BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM TP.HCM
TÍNH COMPACT, LIÊN THÔNG CỦA TẬP NGHIỆM TRONG PHƢƠNG TRÌNH VI TÍCH PHÂN TRONG KHÔNG GIAN BANACH
Mã số: CS2004.23.56 Chủ nhiệm: Lê Hoàn Hóa. Thời gian thực hiện: 7/2003 - 7/2004
Tháng 9 năm 2004
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM TP.HCM
TÍNH COMPACT, LIÊN THÔNG CỦA TẬP NGHIỆM TRONG PHƢƠNG TRÌNH VI TÍCH PHÂN TRONG KHÔNG GIAN BANACH
Mã số: CS2004.23.56 Chủ nhiệm: LÊ HOÀN HÓA. Thời gian thực hiện: 7/2003 - 7/2004
Tháng 9 năm 2004
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM TP.HCM
BÁO CÁO NGHIỆM THU ĐỀ TÀI CẤP CƠ SỞ
TÍNH COMPACT, LIÊN THÔNG CỦA TẬP NGHIỆM
TRONG PHƢƠNG TRÌNH VI TÍCH PHÂN
TRONG KHÔNG GIAN BANACH
Mã số: CS2004.23.56
Chủ nhiệm: Lê Hoàn Hóa.
Cán bộ tham gia thực hiện: Lê Thị Phƣơng Ngọc,
Trƣờng Cao đẳng Sƣ phạm Nha Trang
Thời gian thực hiện: 7/2003 - 7/2004
BÁO CÁO NGHIỆM THU ĐỀ TÀI CẤP CƠ SỞ
Tên đề tài:
Tính comp act, li ên thông của tập nghiệm
trong phƣơng t rình vi tích phân trong không gian Banach.
Mã số: CS2004.23.56
Các thành viên tham gia :
1 - PGS.TS. LÊ HOÀN HÓA (chủ nhiệm đề tài)
2 - Nghiên cứu sinh : LÊ THỊ PHƢƠNG NGỌC
BÁO CÁO TỔNG QUAN
Đề tài về tính compact, liên thông của một số phƣơng trình phi tuyến đã đƣợc chúng
tôi nghiên cứu trong thời gian hai, ba năm. Một số kết quả đã đƣợc trình bày dƣới dạng : luận
văn tốt nghiệp Thạc sĩ, báo cáo khoa học, báo cáo tại Hội nghị toán học toàn quốc, báo cáo
tại Hội nghị Quốc tế về phƣơng trình vi phân. Trong khuôn khổ của bài báo này, chúng tôi sẽ
trình bày các kết quả về tính compact, liên thông của tập nghiệm cho các bài toán sau :
ở đây u0,U1,f đƣợc cho trƣớc, hàm chƣa biết u(x,t) và giá trị biên chƣa biết p(t) thỏa phƣơng
tình phi tuyến sau :
, trong đó g,H,k là các hàm P(t) = g(t) + H(u(0,t))-∫
cho trƣớc.
BÁO CÁO KẾT QUẢ
Báo cáo kết quả gồm hai phần :
1. Một ghi chú về tính compact, liên thông của tập nghiệm của bài toán tiến hóa.
2. Tính compact, liên thông của tập nghiệm yếu của một phƣơng trình sóng nửa tuyến tính
3
liên kết với một phƣơng trình tích phân phi tuyến.
MỘT GHI CHU VỀ TÍNH COMPACT, LIÊN THÔNG CỦA TẬP HỢP NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN TIẾN HÓA
Lê Hoàn Hóa 1 - Lê Thị Phƣơng Ngọc 2 1.Trƣởng ĐHSP Tp.HCM 2.Trƣờng CĐSP Nha Trang
Tóm tắt : Bài báo chứng minh rằng tập hợp tất cả các nghiệm của các phƣơng trình sau là khác rỗng, compact và liên thông :
(2). f : H→ H hoàn toàn liên tục, thỏa điều kiện : Có các số dƣơng
Công cụ chính là lý thuyết bậc tôpô của trƣờng vectơ compact và các tính chất của
2. Các kết quả chính :
(1). A là toán tử tuyến tính tự liên hợp, không âm trong không gian Hinbe H. (2). f : H→ H hoàn toàn liên tục, thoả điều kiện: Có các số dƣơng
Định lý 1 : Giả sử A và f thoả các điều kiện (1), (2). Khi đó tập hợp các nghiệm của
ở đây : (1). A là toán tử tuyến tính tự liên hợp, không âm trong không gian Hinbe H. không đổi a, b và α (0 < α< 1) sao cho | f(x) | < a + b | x |α , ∀x∈H. toán tử tự liên hợp, không âm trong không gian Hinbe. 1. Lời giới thiệu : Trong bài báo [1] mới đây, chúng tôi đã đƣa ra các điều kiện cho toán tử A và toán tử f để có đƣợc tính khác rỗng, compact, liên thông của tập hợp nghiệm của hai bài toán (I), (II). Trong bài báo này, chúng tôi đƣa ra một điều kiện mới, tốt hơn cho toán tử f để có đƣợc kết quả tƣơng tự cho hai bài toán trên. Cho H là không gian Hinbe và chuẩn đƣợc sinh ra bởi tích vô hƣớng trên H đƣợc ký hiệu là |.| . Xét các phƣơng trình và với giả thiết: không đổi a, b, α (0 < α < 1) sao cho |f(x) | < a + b |X |α, ∀x∈H. Ta có : phƣơng trình (I) khác rỗng, compact và liên thông. Định lý 2 : Giả sử A và f thoả các điều kiện (1), (2). Giả sử thêm rằng nếu u(t) là
nghiệm của phƣơng trình thì
4
| u(0) | < E, với E là hằng số dƣơng cho trƣớc.
Khi đó t ập hợp các nghiệ m của phƣơng t r ình (II) khác rỗng, co mpact và
liên t hông.
Chú thích : Sự t hu hẹp |u(0)|< E, với E là hằng số dƣơng cho t rƣớc, là
chấp nhận đƣợc t heo ý nghĩa vật lý của bài t oán t rên, (xem [2], [3]).
Chứng minh định lý 1:
Chứng minh hoàn t oàn t ƣơng t ự nhƣ chứng minh định lý 1 ở bài báo
[1], với các ký hiệu giố ng nhƣ ƣơng [1]. Do đó t rong chứng minh sau đây chỉ
t rình bà y k ỹ một số ý cần t hiết .
Gọi X= C([0,1], H ) là khô ng gian Banach các ánh xạ liên t ục t rên [0, 1],
nhận giá t r ị t rong không gian H inbe H với chuẩn ||.|| t hông t hƣờng; X 1 = C 1([0,1],
H ) với chuẩn ||u|| = max {|u(t ) | + |u'(t )|, t ∈ [0, 1]}.
Bƣớc 1 : Xét χ = 0. Gọi X 1*= { u ∈ X 1 /u(0) = 0 }.
Đ ặ t T : X 1 * → x sao cho T(u)(t ) = u t(t ) +A(u(t )), ∀t ∈ [0, 1].
F : X → x
u→ F(u) sao cho F(u)(t ) = f(u(t )), ∀t ∈ [0, 1].
- Bổ đề : Với giả t hiết (1), (2), các t ính chất sau là đúng : i. T là t oán t ử t uyến t ính liên t ục và khả nghịch. T -1 là t oán t ử t uyến t ính liên t ục. ii. Toán t ử F là t oán t ử compact . iii.Toán t ử T -1F là t oán t ử compact .
Chứng minh ii. Rõ ràng F liên t ục. Điều này có đƣợc do f, u liên t ục. Khi đó nếu u→ u 0 t hì ∀t ∈ [0, l], u(t )→ u 0(t) => ∀t ∈ [0, 1], f(u(t )) → f(u 0(t )) => F(u)
→F (U0).
Mặt khác : Lấy B bị chặn t rong X. t a chứng minh đƣợc F(B) co mpact t ƣơng
đối t rong X bằng cách sử dụng định lý Asco li- Azela nhƣ sau :
Ta có : F(B) đẳng liên t ục. Vì : ∀u ∈ B, f0 u liên t ục t rên [0, 1] nên f0u liên t ục
đều t rên [0, 1] =>∀ε > 0,∃δ > 0 : ∀t ,t '∈ [0, 1] t a có:
0 < | t -t' | < s => |f0u(t)- f0u(t') | < e =>|F(u)(t)-F(u))(') | < e . F(B) bị chặn đều . Vì
:
Do B bị chặn nên ∃C' > 0 :||u|| u(t ) ∈ (0,C), ∀t ∈ [0, 1], ∀u∈ B, ở đây (0, C') là hình cầu đóng có t âm t ại 0 và có bán kính C' trong không (0,C')). Ta lại có f( (0,C')) là t ập gian Hinbe H. Nhƣ t hế f(u(t )) ∈ f( co mpact t ƣơng đố i ƣơng H, do f hoàn t oàn liên t ục. Nên m>0 : | f( v) | < m, ∀v∈ (0,C). 5 Do đó |F(u)(t)| < m, ∀t ∈ [0,1], ∀u∈ B. Tóm lại F là t oán t ử compact . t a xét hai t rƣờng hợp : - Ta chứng minn t ập nghiệ m của phƣơng t r ình : 6 bị chặn. Nghĩa là chứng minh có một số dƣơng khô ng đổ i M để mọ i nghiệ m
u(t ) của phƣơng t ình (3) đều t hoả điều kiện : |u(t )| < M, ∀T∈ [0,1], ∀Λ∈ [0,1],
(4). Chứng minh nhƣ sau :
Nếu u(t ), T∈[0,1] là nghiệm của (3) t hì:
(u t, u) = - (Au, u) + ( f(u), u) và u(0) = 0.
Từ đó, với các giả t hiết (1),(2) và 0 ≤ λ ≤ 1, t a có :
Nên :
Để có (4), trƣớc hết t a chú ý rằng :
Vì vậy với hằng số dƣơngR=
Trƣờng hợp 1. Với mọ i Λ∈ [0,1], nếu f |u(t) I < R , ∀T∈ [OA] t hì (4) đúng.
Trƣờng hợp 2. Với mọ i Λ∈ [0,1]. nếu t ồn tại t 0∈ [0,1] sao cho |u (t 0)| ≥ R t hì
(4) cũng đúng. Thật vậ y,
Vì |u(t )| liên t ục t rên đoạn [0,1], tồn t ại một lân cận của t 0 sao cho |u(t ) | ≥ R,
với mọ i t t huộc vào lân cận đó. Mặt khác, | u(0) | = 0 và |u(t 0)| > R, nên có s'
∈(0, t 0) sao cho |u(s')| = R.
Suy ra t ồn t ại s ∈ (0, t 0) sao cho |u(t ) | ≥ R, ∀T∈ [s, t 0] và |u(s)| = R. Nhƣ t hế,
V t ∈ [s, to], t heo t rên t a có : Suy ra với mọi Ta nhận đƣợc : w(t0)< w(s) +4(1-β)b (t0 - s) < w(s) +4(l-β)b. Nên Do đó (4) đúng. Vậy (4) sẽ đúng ƣơng cả hai trƣờng hợp, nếu ta chọn Do đó tồn tại tập mở và bị chặn D trong X sao cho u ∈ D và u ∂D (ở đây ∂D là biên của D), * thỏa mãn các điều kiện với mọi λ∈[0,1]. Suy ra mọi nghiệm của phƣơng trình (3) (nếu có), với mọi λ∈[0,1] đều chứa trong D nhƣng không chứa trong ∂D.
- Bằng việc chứng minh toán tử T-1F : ⊂ X→X 1
của định lý Krassosel'skii-Perov. bƣớc 1 hoàn thành. Bƣớc 2 : Xét χ ≠ 0 .
Với mọi u thuộc tập nghiệm của (I), đặt u* : [0,1]→Hs sao cho: u*(t) = u(t)-χ. Khi đó t = ut. u* ∈X1, u*(0)= 0 và u* Suy ra Nhƣ thế u*(t) là nghiệm của phƣơng trình (I)' trong đó f* : H→ H X→ f*(x) = f(x+χ ) -A(χ ). Ngƣợc lại, nếu u*(t) là nghiệm của (I)' thì u(t) = u*(t)+ χ sẽ là nghiệm của (I). Rõ ràng, tập nghiệm của (I) khác rỗng, compact, liên thông khi và chỉ khi tập nghiệm của (I) khác rỗng, compact, liên thông. Ta có f* hoàn toàn liên tục vì f hoàn toàn liên tục. Mặt khác : ∀x∈ H,
| f*(x)| ≤ | f (x+χ)||A(x)|≤ a +|A(χ)|+ b | x +χ|α≤; ≤a +|A(χ)| + b ( | x | + |χ|) α< a *+bC| x | α, với a* = >a+| A(χ)| > 0; b > 0; 0 < α < 1 và C >1 là các hằng số cho trƣớc, nếu và 7 chỉ nếu Từ t ính chất nà y của f* bằng cách chứng minh t ƣơng t ự NHƢ Ở BƢỚC 1, t a sẽ chứng minh đƣợc tập nghiệm của (I') khác rỗng, compact, liên thông. Bƣớc 2 hoàn thành. Tóm lại tập các nghiệm của phƣơng trình : với các điều kiện (1),(2) là khác rỗng, compact và liên thông. Chứng minh định lý 2 : Ta chỉ cần chứng minh định lý 2 đúng trong trƣờng hợp X = 0. Hoàn toàn tƣơng tự nhƣ ở định lý 2, [1], chứng minh sẽ hoàn thành nếu ta chứng minh đƣợc tập nghiệm của phƣơng trình sau bị chặn : trong đó toán tử A và f thoả các điều kiện (1), (2). Ta sẽ chứng minh có một số dƣơng không đổi M để mọi nghiệm u(t) của (5) đều thoả điều kiện : |u(t)| ≤ M. ∀t∈ [0,1], ∀λ∈ [0,1], (6). Chứng minh tƣơng tự (4), với giả thiết (1), (2) và có thêm điều kiện |u(0)| Nếu u(t), t∈ [0,1] là nghiệm của ( 5 ) thì(ut,u)= -(Au,u)+ λ (f(u),u) và u(1)=0 Từ (1), (2) v à 0 ≤ λ ≤ 1, ta có Để có (6), trƣớc hết ta chú ý rằng : Nên với hằng số dƣơng ,ta xét hai trƣờng hợp : Trƣờng hợp 1. Với mọi λ∈ [0,1], nếu |u(t)|≤ R , ∀t∈ [0,1] thì (6) đúng. Trƣờng hợp 2. Với mọi λ∈ [0,l], nếu có t0 ∈ [0,1] sao cho |u(t0)| > R thì (6) đúng. Thật vậy, Vì |u(t)| liên tục trên [0,1], có một lân cận của t0 sao cho |u(t)| ≥ R với mọi t thuộc vào lân cận đó. Ta lại có |u(1)| = 0 và |u(t0)| > R nên có s' ∈ (t0,l) sao cho |u(s')| = R. Nhƣng ta không sử dụng đƣợc s' trong chứng minh ở đây, ta cần thêm giả thiết |u(0)|< E . Nếu có s∈ [0, t0) sao cho |u(s)| ≤ R thì nhƣ ở (4), ta có (6) đúng. 8 Nếu không nhƣ vậy thì ∀t∈ [0, to], ta có |u (t)| > R. Suy ra : 9 Lê Hoàn Hóa 1 - Lê Thị Phƣơng Ngọc 2
1. Trƣờng ĐHSP Tp.HCM
2.Trƣờng CĐSP Nha Trang Tóm tắt : Bài báo này chứng tỏ tập hợp các nghiệm yếu của phƣơng trình sóng thỏa điều
kiện đầu và điều kiện biên sau đây là khác rỗng, liên thông và compact trong đó U0, U 1 , f đƣợc cho trƣớc, hàm chƣa biết u(x, t) và giá trị biên chƣa biết P(t) thoa
phƣơng trình tích phân phi tuyến sau : Công cụ chính là lý thuyết bậc tôpô của trƣờng vectơ compact. ở đây g, H, k là các hàm cho trƣớc.
1. Lời giới thiệu :
Trong các bài báo [1], [2], [3] gần đây các tác giả đã chỉ ra đƣợc tính khác rỗng,
compact và liên thông của các tập hợp nghiệm của một số phƣơng trình vi phân, tích phân và
của bài toán tiến hóa. Trong bài báo này, chúng tôi lại tiếp tục nghiên cứu tính chất đó cho
tập hợp các nghiệm yếu của phƣơng trình sóng nửa tuyến tính với các điều kiện ban đầu và
điều kiện biên nhƣ sau : ở đây g, H, k là các hàm đã cho. 10 trong đó U0, U1 ,f là các hàm cho trƣớc, hàm chƣa biết u(x,t) và giá trị biên P(t) chƣa
biết thoả phƣơng trình tích phân phi tuyến
Bài toán này đã đƣợc Nguyễn Thành Long và Trần Minh Thuyết ([4]) nghiên cứu. Một trong
những kết quả mà hai tác giả nghiên cứu đƣợc là chứng minh sự tồn tại và sự tồn tại duy nhất
nghiệm yếu của bài toán trên với các điều kiện tƣơng ứng. Sử dụng kết quả này và lý thuyết
bậc tôpô của trƣờng vectơ compact kết hợp với việc vận dụng định lý Krassnosel'skii-Perov
(xem [2], [3]) và sự xấp xỉ Lipschitz địa phƣơng của hàm f (xem [1], [2], [3]), trong mục 3 chúng tôi chứng minh tập hợp các nghiệm yếu tìm đƣợc theo phƣơng pháp xấp xỉ Galerkin ([4]) của bài toán nói trên khác rỗng, compact và liên thông. 2. Các định lý : Chúng tôi nhắc lại các định lý quan trọng ở đây để sử dụng cho chứng minh ở mục 3. Định lý 1 : (Định lý Krassnoserskii-Perov) Cho (E,|.|) là không gian Banach, D là tập con mở và bị chặn của E và T: là toán tử compact. Giả sử 0 (I-T) δD và deg (I-T,D,0) ≠ 0 Giả sử T thoả
thêm điều kiện: (*) Với mọi ε >0có toán tử compact Tε sao cho | Tε (x)-T(x)|< ε ( * ) ∀x ∈ ̅ và với mỗi h
mà|h|< ε phƣơng trình x= Tε (x)+h có nhiều nhất
một nghiệm trên Khi đó tập các điểm bất động của T khác rỗng, compact và liên thông. Định lý 2 [4] (Định lý về sự tồn tại và tồn tại duy nhất nghiệm yếu) -Các ký hiệu đƣợc sử dụng trong định lý 2 : Chuẩn trong không gian L2 đƣợc ký hiệu là||.||,< . , . > là ký hiệu tích vô hƣớng trong ở đây H1, H2 là các không gian Sobolev trên Ω
L2 hoặc để chỉ sự cặp đôi đối ngẫu của một hàm tuyến tính liên tục với một phần tử trong
không gian hàm,||.||x ký hiệu cho chuẩn trong không gian Banach X và X' là đối ngẫu của X.
Lp(0, T ; X), 1 < p < là không gian Banach các hàm số thực đo đƣợc u : (0, T) →X với Đặt V là không gian con đóng của H1 và trên V, là hai chuẩn tƣơng đƣơng. và -Các giả thiết :(A1) u0∈H1, u1∈ L2; 11 (A2) g ∈ H 1 ( 0 , T ) , ∀ T > 0 ;
(A3) k ∈ H1(0, T), ∀T>0 và k(0) = 0; (A4) Hàm H ∈ C1(R) thoa H(0) = 0 và có một số không đổi h0 > 0 sao cho Hàm f: R2→ R thỏa điều kiện f(0, 0) = 0 và các điều kiện sau : Có hai số không đổi α, β∈ (0, 1] và hai hàm số B1, B2 : R+→R+ liên tục, sao cho : - Định lý 2 :Giả sử các giả thiết (A1) - (A4) và (F1) -(F3) đúng. Khi đó với mọi số T>0, tồn tại một nghiệm yếu (u, P) của bài toán (1.1)-(1.5) sao cho u ∈ L∞(0, T; V), ut ∈ L∞(0, T; L2), ut(0,t) ∈ L2(0,T), P(t)∈H1(o, T). Hơn nữa, nếu β = 1 trong (F3) và hàm H, B2 thỏa thêm điều kiện (A5) H ∈ C2(R), H'(s) > - 1 , ∀s∈R;
(F4) B2 (|v|) ∈ L2(Qt), với mọi ∀ ∈ L2(QT), ∀ T > 0, thì nghiệm tồn tại duy nhất. Chứng minh : Để thuận lợi cho việc sử dụng kết quả này trong chứng minh định lý ở mục 3, chúng tôi xin nêu lại các bƣớc chứng minh cần thiết mà các tác giả của bài báo [4] đã thực hiện nhƣ sau : Bƣớc 1 : (Sử dụng phƣơng pháp Galerkin) của hệ phƣơng trình : Tìm nghiệm (um(t), Pm(t)) với (hội tụ mạnh) trong H1, (hội tụ mạnh) ƣơng L2. Hệ này đƣợc viết lại thành một hệ phƣơng trình tƣơng đƣơng với hệ phƣơng trình có dạng : (2.4) c = Uc, ở đây c = (c1,c2,...,cm), Uc = ((Uc)1,(Uc)2,...(Uc)m), (chỉ số m đƣợc lƣợc bỏ trong thành phần thứ j, 1 ≤ j ≤m ) 12 (2.5) (Uc)j (t)= Gj(t) + ∫ + ||G|| 1 *=||G|| 0 * +||G’|| 0 * = Chọ n và' sao cho Khi đó S là t ập con lồ i, đóng và bị chặn củ a khô ng gian Banach và toán t ử U : S Y có các t ính chất : U liên t ục t rên S, , là t ập compact t rong Y. Áp d ụng đ ịnh lý điểm bất độ ng
∈ S. Từ đó hệ Shauder, t oán t ử U có một điểm bất động
phƣơng t ình (2.1)-(2.3) có nghiệ m Bƣớc 2: Tìm các ƣớc lƣợng để có t hể lấy = T với mọ i m. 13 Bƣớc 3 : Chuyển qua giới hạn . tồn t ại mộ t dãy co n của dã y(đƣợc chọn hai lần),
cũng ký hiệu là U m,P m, sao cho :
u m→u trong L∞ (0,T;V) yếu * ,um→u mạnh trong L2 (Qt)
u’m→u’ trong L∞(0,T;L 2) yếu *,
um (0,t) → u (0,t) trong L∞(0,T) yếu* , um (0,t) → u (0,t) mạnh trong C0 ([0,T]),
u’m (0,t) → u’ (0,t) trong L2(0,T) yếu,
P m→P^ trong H1(0,T) yếu , P ≡ P^h.k.n trong Qt
f(um,u’m ) →f(u,u’) trong L∞(0,T;L 2) yếu *, u ∈ L∞(0, T; V), ut ∈ L∞(0, T; L ), ut(0, t) ∈ L2(0,T), P(t)∈ H1(0, T), tìm đƣợc theo , ∀u∈R , với μ> 0 đƣợc chọn thích hợp để u(0) = U0, u'(0) = u1.
Khi đó (u, P) chính là nghiệm yếu cần tìm.
Bƣớc 4. Chứng minh nghiệm tồn tại duy nhất với giả thiết của bài toán .
3. K ết quả chính :
Định lý : Giả sử các giả thiết (A1) - (A4) và (F1) -(F3) đúng. Khi đó với mọi số T>0, tập
hợp các nghiệm yếu (u, P) của bài toán (1.1)-(1.5) sao cho :
phƣơng pháp trên khác rỗng, compact và liên thông (với cách chọn phù hợp).
Chứng minh : Ta chứng minh lần lƣợt theo các bƣớc sau :
Bƣớc 1 : Tập các điểm bất động c của toán tử U : s →Y là tập khác rỗng,
compact, liên thông.
Ở đây
là bao đóng của tập con lồi, mở và bị chặn :
với M > 0 sẽ đƣợc chọn thích hợp dƣới đây.
Chứng minh : Ta có f:(u, .) ∈ R2→ f(u, .) ∈ R liên tục nên ∀ε > 0, có ánh xạ
fε: (u, .)→ fε (u,.) là xấp xỉ lipschitz địa phƣơng của f theo biến thứ nhất sao cho
(3.1)
đủ bé.
Rõ ràng ánh xạ fε thoả mãn các giả thiết (F1)(F2).
- Xét toán tử Uε: ̅→ Y xác định nhƣ sau : (xác định nhƣ ở (2.7)) 14 ( xác định nhƣ ở (2 (giá t r ị này Đặt ,
hoàn t oàn xác đ ịnh do f ε liên t ục t rên R 2),
-Xét họ toán t ử viết gọn là xác định nhƣ sau : xác định nhƣ ở (2.6), (2.7)
Đặt SAO cho : Chọn và -Khi đó, t ừ chứng minh ở bƣớc 1 của định lý 2 t a suy ra các t oán t ử u : :[0, 1 ] x là CÁC TOÁN TỬ COMPACT, (3.6) . Hơn nữa do nên các t oán t ử khi có điểm bất động c ∈ s nhƣng (rõ ràng
Từ đó là t oán t ử compact , Tƣơng t ự, t a cũng chứng minh đƣợc t oán tử
với chú ý sau : Khi t hay f bởi t rong toán t ử u : ,t a có toán tử Khi đƣợc sử dụng ƣơng chứng minh chứng minh u là t oán t ử compact , giả t hiết
bất đẳng t hức (2.26) và chứng minh t oán tử u liên t ục (xem [4]). Ánh xạ không t hoả t ính chất nhƣ t rong giả t hiết nhƣng liên t ục nên bất có t ính chất Lipschit z địa phƣơng đẳng t hức (2.26) t rong [4] vẫn đúng và
nên với để mọ i c ∈ s, t ồn t ại một lân cận của có t ính chất Lipschit z t rên lân 15 cận này, do đó vẫn chứng minh đƣợc liên t ục. nếu μ đủ lớn. Thật vậy : là 16 Ta lại có :
kết hợp (3.1), ta có
Suy ra :
và
Nhƣ thế
- Bây giờ ta chứng minh với mỗi h mà||h||1 < ε , phƣơng trình (3.9) : c = Uεc + h có nhiều
nhất một nghiệm trên
. Giả sử c = (c1, c2,...,cm), d = (d1. d2,...,dm) là hai nghiệm của (3.9) với h = 0.
Khi đó :
hai nghiệm của hệ phƣơng trình (2.1)-(2.2).
(Để cho gọn ta lƣợc bỏ chỉ số m trong ký hiệu trên cũng nhƣ trong các ký hiệu tƣơng ứng sau
đây.)
Rõ ràng c = d khi và chỉ khi u1 = u2, do hệ ω j độc lập tuyến tính. Vậy ta chứng minh u1 = u2.
Ta có u1(0) = u2(0) = u0.
Đặt b = max {a € [0, T] : u1 (t) = u2(t), ∀t∈ [0, a]}. Ta chứng minh b = T.
Giả sử 0 < b < T.
Ta có ánh xạ f ε(u, .): R2→R có tính chất Lipschitz địa phƣơng nên với u1 (b) =
u2(b) ∈ R, tồn tại một lân cận B của u1(b) có bán kính r > 0 và số L> 0 sao cho :
Ta lại có u1 (t) , u2(t) liên tục trên [0, T] nên liên tục tại b. Do đó, với số r >0 ở trên, tồn tại số
δ > 0 sao cho u1(t), u2(t) thuộc B với mọi t ∈ [b, b + δ ].
Nhƣ thế: ||fε(u1(s),u2'(s))-fε(u2(s),u2'(s)|| ≤ L||u1-u2||v,∀s ∈ [0, b + δ ] . Khi là hai nghiệm của (3.9) với là (hội tụ mạnh) ƣơng có tính chất có các tính chất cũng có các tính chất TƢƠNG tự
, Suy ra đpcm. Từ tính chất này và chứng minh tƣơng tự nhƣ chứng minh định lý 2 ở bƣớc 4,
ta có u1=u2 trên [0,b+ δ].Điều này mâu thuẫn với cách chọn b.
Suy ra u1=u2 trên [0,T]
• Giả sử
đó
hai nghiệm của hệ phƣơng trình (2.1')-(2.3f) :
(hội tụ mạnh) trong H1
Ớ đây
Do h thuộc s nên hàm
nhƣ g(t). Từ đó
Vì vậy, tƣơng tự trên ta có :
- Cuối cùng ta chỉ ra deg (I-U, D, 0) 0, (3.10).
Ta có họ toán t ử co mpact : [0,1] X t hỏa điều kiện (3.7) : 0 , nên theo tính bất biến đồng luân, ta có: deg(I - s, 0) không phụ thuộc = I -G với G là ánh xạ = I - U,I - s, 0) = deg(I - s, 0), trong đó I - deg(I -U, s, 0) = deg(I - G, s, 0) = I. tìm đƣợc tƣơng ứng là tập khác rỗng, compact, qua giới 17 Suy ra deg(I -
hằng vì
hay
Từ (3.6) - (3.10) và áp dụng định lý Krassnosel'skii-Perov, ta chứng minh xong Bƣớc 1 .
Bƣớc 2 : Tập các nghiệm
liên thông.
Điều này có đƣợc do ánh xạ đặt tƣơng ứng c =(c1m, c2m,…, cmm) với um sao cho
là ánh xạ liên tục.
Bƣớc3 : Tập các nghiệm yếu (u, P) có đƣợc do chuyển các nghiệm (um,Pm)
hạn là khác rỗng, compact, liên thông. Điều này có đƣợc do ánh xạ đặt t ƣơng ứng mỗ i nghiệ m (u m, p m) với nghiệ m yếu (u, P) là ánh xạ liên t ục . Định lý hoàn t oàn đƣợc chứng minh. Tài liệu tham khảo : [1] L. H. Hóa - V. T. T. Nhiều - N. T. Phƣơng, The co nnect ivit y and co mpact ness o f so lut ion set s. Hội nghị Toán học t oàn quốc, Huế, 7 - 10/09/2002. Chƣơng t rình và t óm t ắt các báo cáo, 82 - 83. [2] L. H. Hóa - L. T. P. Ngọc, Tính liên t hông và t ính co mpact của t ập hợp nghiệ m. Hộ i nghị Khoa học T oán-T in học, ĐHSP Tp. HCM, t háng 12/2002. [3] L. H. Hóa - L. T. p. Ngọc, Tính liên t hông và t ính co mpact của t ập hợp nghiệ m của bài t oán t iến hóa.(Đang chuẩn bị gởi đăng ở Tạp chí khoa học của Trƣờng ĐHSP Tp HCM.) [4] Nguyen Thanh Lo ng - Tran Minh T huyet , A semilinear wave equat ion associat ed vit h a nonlinear int egral equat ion, Demo nst rat io Mat hemat ica, Vo l.XXXVI, No 4, 2003. Abst ract : The paper proves t hat for t he follo wing semilinear wave equat ion wit h t he init ial- boundar y, t he set of weak so lut io ns is no nempt y, co mpact and connect ed : where U0,U1 f are given funct ions, t he unknown funct ion u ( x,t ) and t he unkno wn boundar y value P(t ) sat isfy t he fbllo vving nonlinear int egral equat ion where g, H, k are given funct ions. 18 The main t ool is t he t opological degree t heory o f co mpact vect or field. Đối với đề t ài nghiên cứu cấp cơ sở "T ính compact , liên t hông c ủa t ập nghiệm của phƣơng t rình vi t ích phân t rong không gian Banach", ngoài bài báo "T ính co mpact , liên t hông c ủa t ập nghiệm của bài t oán t iến hóa" đăng t rong Tạp chí Khoa học t ự nhiên số 36 (2-2004) Trƣờng Đại họ c Sƣ phạm Tp.HCM t háng 5/ 2004, t rong phần báo cáo này, chúng t ôi đã t r ình bày một kết quả khác về t ính co mpact , liên t hông c ủa t ập nghiệm cho phƣơng t rình t iến hóa với một điều kiện mớ i t ốt hơn và t ính co mpact , liên t hô ng c ủa t ập nghiệm yếu cho phƣơng t rình sóng n ửa t uyến t ính liên kết với mộ t phƣơng t rình t ích phân phi t uyến. Chúng t ôi s ẽ t iếp t ục gửi đăng các kết quả t rên t rong các t ạp chí t rong 19 nƣớc và ngoài nƣ ớc. h Nhatrang Educational College, 0 1 Nguyen Chanh Str., Nha Trang City, Viet Nam Besides the existence problem for solution, the number of solutions or the structure of According to [7], the first theorem stating that the solution funnel has connected On the basis of the above theorems, we have considered the structure of the solution Abstract : The paper shows that the solution sets of the following equations (in three forms:
integral equation, differential equation, partial differential equation) are nonempty, connected
and compact. The main tool is the topological degree theory of compact vector fields with
applying the theorem of Krasnosel'skii-Perov and locally Lipschitz approximation of a
continuous mapping.
1. Introduction.
the solution set for many equations such as differential equations, integral equations, partial
differential equations,... have been considered by many mathematicians. The matter is of
particular importance in many nonlinear problems, for example the theory of waves, auto -
oscillations, or forms of loss of stability in elastic sy stems. Many authors have considered
the connectivity property of the solution set. A paradigmatic application is the following
theorem : if a mixed boundary value problem for a quasilinear parabolic equation has two
different solutions, then there must be a continuum of solutions.
sections was stated by A. Kneser (*). Connectedness of the solution set was first established
by M. Fukuhara(*). These theorems have been extended by various authors to more general
classes of differential equations. There are three generalizations which are particularly
important. E.E. Viktorovskii(*) treated the case of equations with mutivalued right hand side,
V.A. Cecik(*) dealt with the singular Cauchy problem, and A.D. Myskis (*) with equation
with a retarded argument. A topological approach to proving connectivity of the solution set
of operator equations was invented by M.A. Krasnosel'skii and A.I. Perov(*) . This approach
was further developed and applied by several authors. There are many important
contributions. The contributions by M.A. Krasnosel'skii and P.E. Sobolevskii (*) to equations
with unbounded operators in Banach spaces and to partial differencial equations of parabolic
type, by V.A. Pogorelenko and P.E. Sobolevskii (*) to equations of hyperbolic type, by V.F.
Subbotin (*) to new classes of equation with a retarded argument, by A.E. Rodkina and B.N.
Sadovskii (*), R.V. Ahmerov and A.E. Rodkina (*) to equations of neutral type, and by W.V.
Petryshyn (*) to equation with operators in some special classes. (The papers (*) were given
in [7], Ch.6 -316 with the references therein.)
sets of the following equations 1 (1) Corresponding author.
E-mail address: phuongngoccdsp@dng.vnn.vn (L.T.P. Ngoc) and we also consider this problem for the.following semilinear wave equation with the ninitial-boundary where u0, u1. f are given functions. the unknovvn function u (x,t) and the unknown boundary value P(t) satisfy the follovving nonlinear integral equation are given functions. The solution existence of the equations (I)-(VI) was established in ([5], [6], [8]. [9]. [10]). On the basis of the results of these papers and the topological degree theory of compact vector field with applying Krasnosel'skii-Perov"s theorem and locally Lipschitz approximation of a continuous mapping, we prove that the solution sets of the above equations are nonempty.compact and connected. The paper consists of six sections. In section 2, we recall the fixed point theorem of Krassnosel'skii type in locally convex space, the theorem of Krasnosel'skii-Perov on the connectiviry and compactness of fixed points set of a completely continuous operator T: where D is a bounded open subset of the real Banach space E, and the
theorem on the locally Lipschitz approximation. In section 3. we present the content of the main theorems on the connectiviry and compactness of the solution seis (or weak solution set) of the equations (I)-(VI). These theorems will be proved in sections 4. 5 and 6. 2. The theorems. The fixed point theorem of Krassnosel'skii type in locally convex space. Condition (A). ([5], [6]). Let X be a locally convex topological vector space and let P be a separating family of seminorms on X. Let D be a subset of X and let U : 2 D X. For any a X. define Ua : D→X by Ua(x)=U(x)-a
The operator U: D→X is said to satisfy condition (A) on a subset Ω o f X i f : (A.1) For any
a∈ Ω,Ua(D) ⊂ D r r (y)) < P(Ua (x), Ua P (x, y) ε<+ δ implies Α3 i(x) - Ua P(x,y) = max {p(Ua j(y)), i, j = 0, 1,2,... ka}, N={ 1, 2, 3,...} and r(x) - U r (A.2) For a n y a ∈ Ω a n d p ∈ P there exists k3 ∈ Z- with the property : for any ε > 0, there
exist r ∈ N and δ > 0 such that for x, y ∈ D with Α3
ε , where Α3
Remark 1. ([5]) Let X be a locally convex space with a separating family of seminorms P.
Let D be 2 sequentially complete subset of X. Let U be a unifonmly continuous operator on
D and U satisfies condition (A) on a subset Ω of X. Then the operator (I-U)-1 is well defined
and continuous on Ω . Furthermore, if δ in condition (A) can be chosen independent of a
∈ Ω then the operator (I-U)-1 is uniformly continuous in Ω .
Theorem 2.1. (The fixed point theorem of Krassnosel'skii type in locally convex space, [5])
Let X be a sequentially complete locally convex space with a separating family of
seminorms p. Let U and C be operators on X such that (i) U satisfies condition (A) on X.
(ii) For any p ∈ P , there exists k > 0 (dependins on p) such that
y ∈ X, x0 (y)) < λ p (x - y), (iii)There exists X0 ∈ X with the property : for any p ∈ p, there exist r ∈ N and λ ∈ [0, 1) ( r
and λ depending on p) such that p (Ux0 (iv)C is completely continuous, p(C(A)) < ∞ whenever p(A) <∞ , for A ⊂ X, (v)
(v) lim p(C(λ))/p(x) = 0 for all x∈ X . x→∞ Then. U - C has a fixed point. Remark 2. From the proof of theorem 2.1 ([5]) we have : I n case family of seminorms p
is finite. there exists a bounded open convex subset D of X with boundary δD and closure ̅
such that (I-U)-1C( ̅) ⊂ D and (I-U)-1C has a fixed point in ̅ (not in δD) which is precisely
a fixed pont of u + c in ̅ (not in δD). Indeed. I n the proof of theorem 2.1 ([5]), we only choose 2R3p- 2βp(x0) > R'3p> R3p > 2βp(x0) + βR2p, then D is a bound open convex subset of X, ̅p={x ∈ X /p(x-x0) ≤R'3p} and ̅ = ∩p∈ p ̅p is a bounded closed convex subset of X satisfying the above conditions.
The following theorems are known and are proved, let us recall these theorems without
having the proofs. Foreach ε > 0,there isacompact operator Tεsuch that|Tε(x)-T(x)| < ε, ∀x ∈
̅ (*) and such that for each h with |h| < ε the equation X = Tε(x)+h has at Theorem 2.2. (Krasnosel'skii-Perov) Let (E, I. I) be a real Banach space, D be a bounded
open set of E and T: ̅ → E be a compact operator. Assume that 0Ể(I-T) δD and that deg (I-
T, D, 0) ≠ 0. Assume in addition that T satisfies the condition
(*) mostone solution in ̅. 3 Then the set of fixed points of T is nonempty, compact and connected. for E) be the Frechet space of all continuous functions on [0, oo) to E with the Theorem 2.3. (The locally Lipschitz approximation)
Let E, F be Banach space, D be an open subset of E and f: D→ F be continuous. Then for
each E > 0, there is a mapping ft: D→ F that is locally Lipschitz such that
all
x ∈D and fc(D) c cof(D), where cof(D) is the convex hull off(D).
3, The main results.
Let E be a real Banach space with norm |.| and let r > 0 be given. Let C = C([-r, 0], E)
be the Banach space of all continuous functions on [-r, 0] to E with the usual norm. For each
continuous function x: R→ E and for t > 0, we let x1 ∈ C be defined by xt( ) =x(t+ ), ∈[-
r,0]
Let
family of seminomas for each n e N and the metric Consider the integral equation :
Where f, g satisfy the conditions as follows :
(1.1) f: (0, ∞) ∞ E → E is continuous with the prorerty : for each n ∈ N, 3 kn > 0 such that
|f(t,x) – f(t,y)| kn | x – y|, ∀ , y ∈ E, ∀ t ∈ [0,n], (1.2) g: [0, ∞)2 ∞ E→E is completely continuous such that g(t, ., .) : I x A → E is
continuous
uniformly with respect to t in any bounded interval, for any bounded I [0, ∞) and any
bounded A⊂ E.
(1.3) =0 uniformly with respe:: to (t. s) e [0, ∞)2. Remark 3. Here, the condition ( 1 . 1 ) relaxs the condition (1.1) of theorem 5 i n [5]. but
the theorem also holds. That is f: [ 0 , ∞) xE →E is continuous such that there exists a
constant k > 0 satisfying |f(x,t)-f(t,y)| k|x-y|,∀x.y ∈ E And we consider the following
equations : (II){ (III){[ ( )] |f(x,t)-f(t,y)| kn|x-y|,∀x.y ∈ C , ∀t ∈ [0,n] or |f(x,t)-f(t,y)| kn|x-y|,∀x.y ∈ E , ∀t ∈ [0,n] and | | uniformly Where φ ∈ C and f. g satisfy the conditions respectively as follows :
(II.4) f: [0, ∞) x C → E is continuous with the property : For each n ∈ N, 3 kn > 0 such that
(III.5) f: [0. ∞) x E → E is continuous with the property : For each n e N, 3 kn > 0 such that
( I I I . 6) g : [ 0 , ∞)x→E is completely continuous such that with respect to t in each bounded set of [0, ). 4 We have the following theorems. Theorem 3.1. Suppose that f and g satisfy (1.1), (1.2), (1.3) respectively. Then the solution
set of equation (I) on [0, ∞ ) is nonempty, compact and connected.
Theorem 3.2. Suppose that f and g satisfy (I1.4),(III.6) respectively. Then the solution set of
equation (II) on [0, ∞ ) is nonempty, compact and connected.
Theorem 3.3. Suppose that f and g satisfy (III.5), (III.6) respectively. Then the solution set of
equation (III) on [0, ∞ ) is nonempty, compact and connected.
Remark 4. Here, the equations (I), (II), and (III) are only considered on the domains which
are chosen as follows (see the following proofs of these theorems).
Let H be Hilbert space with |.| denotes the norm in H . We consider the following equations : (IV) { (V) { (IV.2). f : H → H is completely continuous and satisfies the following condition: where : (IV.1). A is any non-negative, self-adjoint operator which does not depend on t and χ
is a given vector in a Hilbert space H.
There are positive constants a. b. α (0 < α < 1) such that|f(.x) | < a - b | x | a .∀x∈H. We have:
Theorem 3.4. Suppose that A and f satisfy (IV. 1). (IV. 2). respectively. Then the solution set
of the equation (IV) is nonempty, compact and connected.
Theorem 3.5. Suppose that A and f satisfy (IV.1), (IV.2), respectively. Suppose in addition that if u(t) is a solution of the equation (IV) { ∀ ∈ [ ] then | u (0)|< E, Let Ω= (0, I), QT = Ω x (0, T), T > 0, Lp = LP(Ω), H1 = Hl(Ω), H2 = H2(Ω), where H1, , if 1 p ∞ where E is some known positive constant.
Then the solution set of the equation (V) is nonempty, compact and connected.
Remark 5. It is known that, the restriction | u (0)|< E is acceptable because of a physical
reasonning, (see [8], [11]).
H2 are the usual Sobolev spaces on Ω.
The norm in L2 is denoted by ||.|| , < . , . > denotes the scalar product in L2 or pair of
dual scalar product of continuous linear functional with an element of a function space, the
norm of a Banach space X is denoted by ||.|| x. LP(0, T ; X), 1 ≤ p ≤ ∞ denotes the Banach
space of the real
function u : (0, T)→X measurable, such that ||u|| Lp (0,T;X)=(∫ [ ] ||u(t)||x , if p= ∞ 5 and ||u||L∞ (0,T;X) =ess Put are two equivalent norms. V is a closed subspace of H' and on V, ||v||H, and The notations are used : The following assumptions are made ([10]): (A4) The function H ∈ C1(R) satisfies H(0) = 0 and there exists a constant h0> 0 such that The function f: satisfies f(0, 0) = 0 and the following conditions : continuous and There are two constant α, β ∈ (0, 1] and two functions B1 B2 : satisfying : Theorem 3.6 : Let (A1) - (A2) and (F1) -(F3) hold. Then, for every T>0, the set of the weak solutions (u, P) of problem (VI) such that T). is nonempty, compact and connected. 3. The proofs of the theorems 1, 2 and 3. Proof of Theorem 3.1. Stepl. We prove that for each n ∈ N. the solution set of (I) on [0. n] is nonempty, compact and connected. with the norm For each n ∈ N. let Let U. C: be defined as follows: Then, by proof of theorem 5 in [5], we have : And C is completely continuous operator on satisfying 6 This implies that U and C satisfy the conditions of theorem 2.1, hence by that theorem and
remarks 1: 2. (1-U)-1 is well defined and is uniformly continuous on Xn. Further there exits a
bounded open convex subset D in Xn with boundary δ D and closure ̅ such that
(I-U)1C( ̅ )⊂D |gΕ(t. s, x)-g* (t, s, x)| < Δ/2n for all s,t∈ [0, n], for all x∈E, 7 and (I-U)-1C has a fixed point in ̅ (but it is not in ∂D), clearly ̅ is bounded closed convex
subset of Xn.
LetT = (I-U)-1C.
It is clear that I-T = (I-U)-1(I-U-C) , so fixed points set of T in ̅ is also fixed points set of (I-
U-C) which is precisely solutions set of equation (I) with the domain is ̅ . If we can prove the
set of fixed points of T in ̅ is nonempty, compact and connected then the proof of step 1
completes.
Since C is completely continuous operator on Xn, T is completely continuous operator on Xn.
Otherwise T(
)⊂D and D convex , so we have deg(I-T, D, 0) = 1. S has no fixed point in ∂D
, so 0 e (I-T)( ∂D).
∀ Ε > 0, since (I-U)-1 is uniformly continuous on Xn, there exists Δ> 0 such that ||x-y||n<Δ
=>||(l-U)-1(x)-(I-U)-1(y)||n<Ε , ∀x.y∈Xn.
Let K= {x(s)/s ∈ [0,n], x ∈ } Then K is bounded in E.
Let g* be the extension of g/[0, n]2x K on [0, n]2xE (g/A denotes the restriction of g on A)
such that: g*([0, n]2xE) ⊂cog([0, n]2xK).
Using theorem 2.3, there is gΕ that is a locally lipschitz operator on [0, n]2xE such that:
and gΕ([0, n]2 x E) ⊂cog*([0, n]2 x E)⊂cog([0, n]2 x K).
Since g is completely continuous, g([0,n]2 K) is relatively compact. It follow that ([0,n]2
E) is relativly compact. We obtain is completely continuous
Let CΕ : Xn → Xn be defined by
Then TΕ is completely continuous.
Finally, we verify that T satisfies condition (*) of Theorem 2.2 on ̅
We have :
So, ||CΕ(x)-C(x)||n<5. Thus ||(I-U)-1CΕ(x)-(l-U)-1C(x)|n<Ε, it means that ||TΕ(x) -T(x)||n < Ε. For
each h with ||h||n < Ε, suppose that x, y are the solutions of the equation x = TΕ(x) + h.
We shall prove that x(t) = y(t) for all t ∈[0, n]. Clearly, x(0) = y(0) = h(0). Let b = max
{α∈[0, n]/ x(t) = y(t), t ∈[0, a]}. Suppose in contradiction that 0 ≤ b < n. Since gΕ is locally
lipschitzian, there is r > 0 such that gΕ is lipschitzian with coefficient m in [0, n]2xBr, where
Br = {x* e E / | x' - x(b) | < r}. Since x, y are continuous, there is δ' > 0 such that x(s), y(s)
∈Br for all s ∈[b, b+δ']. For all t ∈[b, b+δ'], we have :
Since x(b) = y(b), this inequality implies that x(t) = y(t) for all t ∈[b, b+δ'] which is a
contradiction to our assumption on b as above.
Thus the equation x = Sε (x) + h has at most one solution on ̅. Applying theorem 2.2, the set
of fixed points of T in ̅ is nonempty, compact and connected. Step 1 is proved.
Step 2. We prove that the solution set of (I) on [0, ∞) is nonempty, compact and connected. .={ x|[0,n] , x ∈ S b}. It is clear that Sa n are .={ x|[0,n] , x ∈ S a}, . On the other hand. S3 n are closed. Indeed. n and Sb n which converges to x0, as k → ∞. Then there exists a
=|[0,n] =xk. Since Sa is compact, there exists a n are n is also closed. This implies that Sn is not connected which gives 8 Then ̅ is continuous on [-r, n] and the mapping x → ̅ is continuous. Let U, G: Xn→Xn be
defined as follows:
Then, by the proof of theorem 2 in [6], we have : ∀z∈Xn, And G is completely continuous operator on X n satisfying 9 This implies that U and G satisfy the conditions of theorem 2.1, as above. (l-U)-1 is well
defined and is uniformly continuous on Xn and there exists a bounded open convex subset D
in Xn with boundary ∂D and closure ̅ such that (I-U)-1G( ̅)⊂D and (I-U)-1G has a fixed
point in ̅ (but it is not in ∂D). Put T = (I-U)-1G. We can prove in a similar manner in step 1
of theorem 3.1, that T satisfies conditions of Theorem 2.2 on ̅ . The proof completes. z
Proof of Theorem 3.3. As above, we only prove that for each n ∈ N, the solution set of (III)
on [0, n] is nonempty , compact and connected.
Let Xn, = C([-r. n]. E) with the norm ||x||n = sup{|x(t)|.t ∈ [-r, n]} .
The problem (III), with t ∈[-r, n], is equivalent to the integral equation :
Let Z and H : Xa→ Xn be defined by
Put T = (I - Z)-1H. And the remainder of the proof is similar to the one of two above
theorems. The proof completes. G
5. The proofs of the theorems 4 and 5 .
Let X = C([0,1], H ) be Banach space of the continuous functions u :[0, 1]→H , with the
usual norm is denoted by ||.||, ||u|| = sup{ | u(t) |, t[0, 1]}, u∈X. Let X, = C1 ([0,1], H) with
the norm is also denoted by ||.||, ||u|| = max { | u(t) | + | u'(t)|. t∈[0, l]},u∈X1. - 1 is the continuous linear operator. u→F(u) such that F(u)(t)=f(u(t)),∀ t ∈[0,1] (4) g(s) ds The proof of the theorem 4.
Step1. We prove the theorem with χ= 0.
PutX'1 = { u∈X1/u(0) = 0}.
Let T: X1 → X such that T(u) = u1 +Au, ie. T(u)(t) = ut(t) +A(u(t)), ∀ t ∈[0,1] (3)
Let F : X →X
With assumption (IV.1) and f: H→H is completely continuous, we have the following
lemma.
LEMMA 1.
I, T is the continuous linear and invertible operator. T
ii. F is compact.
iii. T 1 F is compact.
PROOF.
i. T is continuous linear since ut, A are continuous linear and if u1, u2 ∈ X1 then ku1+lu2 ∈
X 1 ( for all k, l∈R). T is the invertible operator. Indeed, we have
Vg∈X. the equation has a unique solution u ∈ X1 .That is
u(t)= e1A(0) + ∫
This implies that the equation Tu = g has a unique solution u ∈ X1.
Then T-1 is the continuous linear operator and clearly ||T-1 || > 0 .
ii. We have F is continuous, since f and u are continuous.There fore, if u→ u0 thì ∀ t∈[0,1].
u(t)→ u0(t) => ∀t ∈[0, 1], f(u(t)→f(u0(t) => F(u)→F(u0).
In the other hand, for each B is a bounded subset in X. we shall prove that F(B) is relatively
compact in X by applying Ascoli-Azela's theorem as follows :
∀u∈B. f0u is continuous on closed interval [0.l].This implies that f0u is uniform continuous on
[0. 1]. then for all ε>0. there exists δ > 0 such that ∀t. t' ∈[0, 1], we have : 0< |t-t’|< => |f0u(t) – f0(t’)| < => |F(u)(t) – F(u)(t’)| < 10 This shows that F(B) is equicontinuous.
Since B is bounded, there exists C > 0 such that ||u||< C, ∀u ∈ B=>|u(t)| < C, ∀u∈B. ∀t∈[0,1],
then u(t) ∈S(0,C), ∀t ∈[0,1], ∀u ∈B, where S (0, C) is a bounded ball in Hilbert space H of
radius C.centered at 0. Since f is completely continuous, f (S(0,C)) is relatively compact in H.
So. there exists m > 0 such that |f(v)|< m, ∀v∈S(0,C). This implies that |f(u(t))| < m, ∀t
∈[0.1]. Vu ∈ B. Thus |F(u)(t)| < m, ∀t ∈ [0,1]. ∀u ∈ B. This shows F(B) is uniformly
bounded. Consequently F is compact. iii. Since F is compact and T-1 is the continuous linear operator, T 1 F : X→X1, is compact.
THE LEMMA 1 IS PROVED. Clearly. This implies that u is a solution of equation ut + Au = f(u),t∈[0,l] with initial condition u(0) =
0 if only if u is a fixed point of operator T-1F. Therefore the solution set of equation ut+Au =
f(u), t∈[0,1] with initial condition u(0) = 0 is also the fixed point set of T-1F. If we prove that
the fixed point set of T-1F is nonempty, compact and connected then step I will be proved
completely. We consider the equation : 2a |u(t)| + 2b |,∀t ∈[0.1], where A and f satisfy the conditions (IV.1),(IV.2) (thus the equation (IV) is a special case of
the equation (6) when Λ = 1).
We shall prove that the solution set of (6) is bounded, ∀λ∈ [0,1]. ie. there exists a positive
constant M such that for any solution u(t) of (6) satisfies : |u(t)| ≤ M, ∀t∈ [0,1], ∀λ∈[0,1], (7).
This thing is proved as follows :
If u(t).t∈[0.1] is a solution of (6) then (ut, u) = - (Au, u) + λ(f(u), u) and u(0) = 0. It follows
from ( 1 ),(2) and 0 ≤ λ ≤ 1 that
(u,u)= -(Au,u) + (f(u),u) (f(u),u) |f(u)||u| (a+b )|u|,∀t ∈[0.1], ∀λ∈[0,1]
Thus |u(t)|2 a|u(t)| +b ∀λ∈[0,1] < |u(t)|, so, with a To have (7), we first note that ) we consider the two cases : 2a|u(t)+ 2b < 4b 2a|u(t)< 2b (
positive ) 11 constant,R=(
The case 1. For each λ∈ [0,1], if |u(t) | ≤ R for all t∈ [0,1] then (7) holds.
The case 2. For each λ∈ [0,1], if there exists t0∈[0,1] such that |u (t0) | > R then (7) holds.
Indeed, since |u(t)| is continuous on [0,1], there exists a neighbourhood of to such that
|u(t)|≥R for all t belongs to that neighbourhood. On the other hand, |u(0)| = 0 and |u(t0) | > R,
there exists s'∈(0, t0) such that |u(s') | = R.
It follows that there exists s ∈(0, t0) such that |u(t)| ≥ R for all t ∈[s, t0] and |u (s)| = R.
Therefore, for all t ∈[s, t0], as above we have :
Put v(t)= . We have v’(t) 4b v 4b w’(t) 4(1 - )b and w(t) = v(t)1-β. We have w'(t) = (l-β)v(t)-β v'(t). , this implies that (7) holds. Put
it follovvs that for all = ! ∈ [s,t0], v’(t) 4bv
We obtain that
w(t0) w(s) - s)
Then , So|u(t0)| [ ] Thus (7) will hold in both cases as above if vve choose M= [ ]
Therefore there exists an open and bounded set D with boundary ∂D and closure ̅ in X such
that u ∈ D and u ∈ ∂D, for all λ∈[0,1]. This shows that for each solution of equation (6), for
all λ∈ [0.1]. belongs io D bút it does not belong to ∂D. (7').
we shall consider : T-1F : ̅ ⊂ X→ X1" and show that this operator satisfies the
conditions of Krasnosel'skii-Perov's theorem. We have :
From lemma 1. T1F is compact.
The function f : H→ H is completely continuous. from the theorem 2.3, for each ε > 0. there
e.xists a mapping fε : H → H that is locally ]ipschi:z such that u → Fε(u) such that Fεu(t) = fε(u(t)).∀t ∈ [0.1]. Let Fε : X → X
we consider operator T'Fε : ̅ → X1. we also have T-1Fε is compact.
Furthennore ∀ u∈X .||T-1Fε(u) – T-1F(u)|| < (8). indeed.we have :
||T-1Fε (u) –T-1F(u) = T-1(Fε(u) – T-1F(u))||, since T-1 is linear operator on X.
∀ ∈ [ ] | ( ) ( )|
so || Fε (u) –F(u) < || T-1||. Thus ||T-1 (Fε(u) – F(u))|| || T-1|| || Fε(u) – F(u)|| <
On the other hand. for each h with ||h||< ε, the equaiion u = T-1Fε(u) + h (9) has at most one
solution on ̅ . Indeed. let U1, u2 be two solutions of the equation (9). Then Clearly. u1(0) = u2(0)= h(0). If h(0)=0 then: This means that u1(t). u2(t) are two solutions of the equation 12 The equation (10) is equivalent to the interral equation Applying Gronwall's lemma and the locall lipschitz property of the operator fε on H, we have
U1(T)=u2(t),∀t∈[0,1]. if h(0) ≠ 0then Put v1(t) = u1(t) -h(0), v2(t) = u2(t) -h(0), k(t) = h(t) - h(0).
(11) can be rewritten as
We see k(0) = 0. v1(0) = v2(0) = 0. Then, from ( 1 1 ' ) we obtain This means that v1(t), v2 (t) are two solutions of the equation Therefore v1 = v2. This shows u1= u2. I t follows from (8).(9) that T -1F satisfies the condition (*) of Krasnosel'skii-Perov's
theorem.
Now. we only have to prove that T-1 F has no fixed points on ∂D and deg (1-T-1F, D, 0) ≠ 0.
We have ∀λ∈ [0.1]. (6) ↔T(u) =λf(u) ↔ u = T1(λF(u)).Then a solution u of (6) is a fixed
point of T-1(λF). So, from (7*). we have T-1(λF) has no fixed points on ∂D, ∀λ∈[0,1].
Thus, the operator φλ= T-1(λ F) : [0,1 ]x → X1
* satisfies the conditions as follows :
φλ is continuous; (φλ([0,1 ] x ) is relatively compact set and 0 (I - φλ(∂D).
Applying the homotopy invariance property of the degree, we have deg(l - φλ, D, 0) does not
depend on X. This implies that deg(I - φ0, D. 0) = deg(I - φ1, D, 0), where I - φ0 = I;
I - φ1, = I - T-1F. Hence, deg(I - T-1F, D,0) = deg(I, D, 0) = 1. The step 1 is completed .
Step 2. We prove the theorem with χ≠ 0.
For each u belongs to the solution set of the equation (IV), put u* : [0,1]→ H such that
u*(t) = u(t) - χ then u* ∈X1.u*(0)=0 anh u*t = ut This implies that This means that u*(t) is the solution of the equation(lV)' x → f*(x) = f(x+ χ) - A( χ) 13 where f* : H→H The converse is also true. Ifu*(t) is the solution of the equation (IV)' then u(t) = u*(t)+ χ is
also the solution of the equation (IV). Clearly, the solution set of the equation (IV) is
nonempty, compact and connected if only if the solution set of the equation (IV)' is
nonempty, compact and connected.
It follows from (1V.2) that P is completely continuous since f is completely continuous. On
the other hand, for all x ∈ H. where and C >1 are given constants. 14 if only if,
From these properties of f*, we can prove in a similar way in step 1, the solution set of the
equation (IV)' is nonempty, compact and connected. Thus step 2 is proved.
The theorem 4 is proved completely. □
The proof of the theorem 5.
Step 1. We prove the theorem with χ = 0
We denote X,X1 as above andX1= { u∈X,/u(l) = 0 }.
Let S : X1→ X such that
With the assumption (1V.1) and f : H→H is completely continuous. We have the following
lemma.
Lemma 2 :
i. S is the continuous linear and invertible operator. S-1 is the continuous linear operator.
ii. S-1F is compact.
Proof:
i. S is continuous linear since u1, A are continuous linear and if u1.u2 ∈X1 then ku1+lu2
∈X1 (k,l∈R). S is the invertible operator. Indeed we have
∀g∈X, the equation has a unique solution u∈X1, that is
This shows that the equation Su = g has a unique solution u ∈X1.
Then S-1 is the continuous linear operator and clearly ||S-1||> 0 .
ii.The proof is similar to (iii) in the lemma 1.
The Iemme 2 is proved.
The proof is similar to that in stepl of theorem 4. If we prove that the fixed point set of
operator S-1F is nonempty, compact and connected then this step will be proved completely. We consider the equation : We shall consider : and show that this operator satisfies the 15 where A and f satisfy the conditions (1), (2) (thus (V) is a special case of the (15) when λ =
1). We have to prove that the solution set of (15) is bounded, ∀ λ∈[0,1], ie. there exists a
positive constant M such that for any solution u(t) of (15) satisfies : |u(t)≤ M, ∀ t∈[0,l], ∀
λ∈[0,l]. (16). It is proved as follows, in a similar way as (7) with the condition |u(0)|< E, ∀
λ∈[0,1], is added.
If u(t),t∈[0,1] is a solution of (15) then (ut,u) = - (Au, u) + λ (f(u), u) and u (1) = 0. It follows
from (1).(2) and 0 ≤ λ ≤ 1 that
To have (16). we first note that So, with a
positive constant . we consider the two cases :
The case 1. For each λ∈ [0,1], if |u(t) | ≤ R for all t ∈ [0.1] then. (16) holds.
The case 2. For each λ∈ [0,1], if there exists t0 ∈ [0.1] such that |u (t0) | > R then (16) holds.
Indeed, since |u(t)| is continuous on [0,1], there exists a neighbourhood of t0 such that |u(t)| ≥
R for all t belongs to that neighbourhood. Similarly, since |u(1) =0 and |u(t0)|> R. there exists
s'∈(t0,1) such that |u(s')| = R. But we do not use s' in our proof. Here, we need the condition
|u(0)| u → Fε (u) such that Fε u (t) = fε (u(t)). ∀ t e [0,1]. 16 Let Fε : X → X
'
We consider the operator S-1Fε : ̅̅̅̅→X1" . We also have S-1Fε is compact.
Furthermore :
On the other hand, for each h with ||h|| <ε , the equation u = S-1Fε (u) + h (18) has at most one
solution on ̅̅̅̅. Indeed,
Let u1, u2 be two solution of the equation (18). We have u1(1) = u2(l) = h(l). Similarly, we
only prove u1, = u2 in the case h(l) = 0. Then u1 = u2 in the case h(1)≠ 0.
With h(1) = 0, we have u1(t), u2(t) are two solutions of the equation
The equation (19) is equivalent to the integral equation
Then
We have u1(1) = u2(1)= 0.
Let a = min{b∈ [0,1]/u,(t) = u2(t). ∀t∈ [b.1] }.We prove a= 0.
Suppose in contradiction that 0 0
such that fε is lipschitzian with coefficient k > 0 on Br= {x∈H /1 x- u1(a)< r}. Since u1(t),
u2(t) are continuous on [0,1]. there exists 8>0 such that u1(t). u2(t) belong to Br for all
t ∈[a -δ . a].
This implies that
(we can choose constant C'> 0 such that the inequality holds)
Applying Gronwall's lemma, we have u1(t) = u2(t), ∀t∈[a-5,a], which gives the contradiction.
Thus S-1F satisfies the condition (*) of Krasnosel'skii-Perov's theorem.
As stepl of theorem 4, we have S-1F has no fixed points on ∂D* and deg (1 - S-1F, D*, 0) ≠ 0.
The step 1 is completed.
Step 2. We prove the theorem with % ≠ 0.
The proof is similar to the proof in the step 2. theorem 4. The theorem 5 is proved. z 6. The proof of the theorem 6. In order to prove the theorem 6, for convenience, we recall the following theorem ([10]) and the main steps in the proof of this theorem. The notations which are used in this theorem are given as above. Theorem C ([ 10]) (The existence and uniqueness of weak solution)
Let (A1) - (A4) and (F1) -(F3) hold. Then, for every T>0. there exists a weak solution (u, P) of
problem (XIII) such that u ∈L*(0, T; V), ut ∈ L∞(0, T; L2), ut(0.t) ∈ L2(0,T), P(t) ∈H1(0, T).
Furthermore, if β = 1 in (F3) and the function H. B2 satisfying, in addition, (A5) H ∈ C2(R). H'(s)>-1, ∀s∈R:
(F4) B2 (|v|) ∈ L2(QT). for all v ∈ L2(Qt). ∀T > 0, Then the solution is unique. The proof of theorem C ([10]). Step 1. (The Galerkin approximation)
Seeking the solution (um(t), Pm(t)) with of the equations :
(C.l) st rongly in H 1, strongly in L 2 This system was rewritten in form which is equivalent to the system c = Uc, (C.4)
where c = (c1. c2,….,cm), Uc = ((Uc)1, (Uc)2, .... (Uc)m) (the index m was omit), 17 f1j : R2m →R, f2j : Rm→ R 18 For every Tm > 0, M > 0, put
Put
Choosing M> 0 and Tm > 0 such that
Then, S is a closed convex and bounded subset ofthe Banach spaceY= C1([[0,Tm]; Rm) and
the
operator U : S→Y has the properties : U is continuous on S, US ⊂ S, US is compact in Y.
Applying the Schauder fixed point theorem. U his a fixed point c = (ch c2, ..... cm) ∈ S such
that c = Uc. This implies that the system (C1)-(C3) has a solution (um(t), Pm(t)) with um(t) =
Step 2. A priori estimates. These estimates allow cne to take Tm= T for all m.
Step 3. Passing to limit. There exists a subsequence of sequence {um. Pm} (it was chosen two
times) .still denoted by {um. Pm}.such that:
um→ U in L∞(0. T: V) weak* , UM→U strongly in L2(QT),
u'm→ u in L∞(0. T; L2) weak*,
um(0, t)→ u(0, t) in L∞(0, T) weak* , um(0. t)→ u(0. t) strongly in C°([0. T]).
u'm(0, t)→ u'(0. t) in L2(0, T) weak,
Pm→ P in H'(0. T) weak. P = P a.e in QT
f(um, u'm)→ f(u. u') in L∞ (0.T; L2) weak*.
u(0)= u0. u'(0) = u1.
Then (u, P) is the weak solution of the problem. Step 4. Uniqueness of the solution.
The proof of theorem 6. The proof consists of the following steps .
Stepl. The set of fixed points c of the operator U:S → Y is nonempty, compact, and
connected. , wit h M > 0, T m> 0 will be chosen lat er. ε. (t2..M) = sup{|t ε 1j (y.z)| : ||y||Rm ≤ M , \\z\\Rm≤ M}.(it is defined since fε is continuous ε 2j(y)| : \\y\\Rm< M }. :(f2,M) = sup { | fε 1j( y, z)|: ||y|| R m ≤ M ,||z|| R m ≤ M, λ ∈ [0, 1] }, λ ( f ε
λ ( f ε 1j .M ) = sup { λ| f ε
2j,M) = sup { λ|f2 j ( y)|: |y| R m ≤ M,λ ∈ [0, 1]}. where is t he clo sure of t he open convex and bounded
subset
Proof. We have f:(u, .) ∈ R 2→f(u, .) ∈ R is cont inuous, so ∀ ε > 0, t here exist s
a mapping
f ε : (u. .)→fε (u, .) is locally Lipschit zian approximat io n of a co nt inuous map
f wit h respect
to t he first var iable such t hat
(6.1) |f(u..) - fε (u,.)|< ε / μ , ∀u∈R , wit h μ > 0 is chosen in order t hat ε / μ is
small enough. Clear ly, f ε sat isfies t he assumpt io ns (F 1), (F 2).
Let U ε : → be defined as fo llo ws : N 1
N 2 19 Put N1
on R2), N2
We consider t he family o f operat ors U λ: [0, 1 ]x → Y
(λ, c) → U λ(λ, c) is denot ed by U λc.
which is defined as fo llows :
Put
Choosing M> 0 and T m > 0 such t hat :M>2||G|| I * , Ten, fro mt he proof of st epl in t heorem C, we have t he operators U : S → Y
and U λ :[0, 1] xS→ Y are co mpact , (6.6). such t hat f ε is Lipschit z on t hat (1-t )((V c) j(t ) dt Then, fro m t he proof of st ep 1 in t heorem C, we have t he operat or U: ̅ Y
and :[0,1] ̅ Y are compact , (6.6).
Furt her more, since ||Uc|| 1 < M 2 ||U λc|| 1 < M, ∀c ∈ S, ∀ λ ∈ [0, 1], we have t he
operators U, U λ (U λ = U when λ = 1) have a fixed po int c ∈ S but c ∈ ∂S. This
shows t hat 0 ∈( l-U) ∂S , 0e(I- U λ) ∂S ,(6.7).
S imilar ly, we also obt ain t he co mpact operator U ε :S→ Y, wit h t he
fo llo wing not e.
That is, when we replace f by f ε in t he operat or U : S → Y,we obt ain t he
respect ive operat or
U ε : S→ Y. When we prove t hat U is co mpact , t he assumpt io n (F 3) is used in
order to prove
t he inequa lit y ([10].(2.26)) and t hat U is cont inuous. ([10]).
The funct io n fε does not sat isfy ( F 3), but subst it ut e for t his co ndit io n. f ε is
cont inuous, so t he inequalit y ([10].(2.26)) ho lds. On t he ot her hand. f ε is
lo cally Lipschit zian. so for all c ∈ S. t here
m
exist s a neighbour hood of ∑
neighbourhood, t hus we
i=1
also have U ε: S → Y is co nt inuous.
Furt her more, we have : (U c), (t ) – ( c),(t) =∫ if μ is large enough. 20 Co mbine wit h (6.1). we have
This imp lies t hat
and
Thus
Now, we prove t hat for each h wit h ||h|| 1 < ε , t he equat ion c = U ε c + h, (6.9),
has at most one so lut ion on S . Indeed,
I f c = (c 1, c 2 c m). d =(d h d 2, ....,d m) are t wo solut ions o f t he equat ion (6.9),
t hen strong ly in H1, are two solutionsof the system (C'.1)-(C'.3):
(C.1') < um"(t), ωj>+ a(um(t), ωj) + P*m(t) ωj(0) + < f(u1n(t), um'(t)). ωj> =0. 1 ≤ J≤ m, 1 (t) = um 2(t) on [0. Tm]. since the family (ωj) is linearly 1 (0) = um 1 (t) = um 2 (0) = u*0m 2(t) on [0. Tm]. We haveum 1 (t) = um 2(t), ∀ t ∈ [0. a]}. We shall prove b = Tm. Suppose in 2 (b) ∈ R, there exists a 1(b) = um 1(t), um 2(t) belong to B. for all t ∈ [b, b + δ] . 1(t), um 1(s), u2 2(s), u2 m'(s))- f ε ( um m),∀ s ∈ [0, b + δ]. m'(s))|| ≤ L||u1 m - u2 2(t) on 1(t) = um 1(t) = um strongly in L2, 21 where α*mj = αmj + hj(0), β*mj = βmj - h'j(0).
Clearly, c = d if only if um
independent. So, we prove um
Put b = max { a ∈ [ 0 , Tm] : u m
contradiction that 0 < b < Tm.
Since f , (u. .): R2→ R is locall Lipschitzian. with um
neighbourhood B of u1(b) which has radius r > 0 and there exists L > 0 such that (F*3) | fε(u,
2(t) are continuous
v ) - f ε ( u , v) | ≤ L|u - u ' | . ∀ u . u ' ∈ B,∀ v ∈ R. We also have um
on [0. Tm], so they are continuous at b. Then, with r > 0 as above, there exists δ > 0 such that
um
We obtain || f ε ( um
From this property, we can prove in a similar manner in step4,([10]), that um
[0, b-δ]. It completes contradition with choosing b.
2(t) on [0, Tm]. Here, we only prove deg (I-U, D.0) ≠ 0, (6.10).
This shows that um
We have the family of the compact operators Uλ: [0,1 ] x S→y satifies the condition (6.7) :
0 g (I - Uλ)(δS), so applying the homotopy invariance property of the degree, deg(I -Uλ , S, 0)
does not depend on λ.
Then deg(I - U1,S, 0) = deg(l - U0, S, 0), where I - U1 = I - U and U0 is the constant mapping
since
Thus deg(I -U, S, 0) = deg(I - U0, S, 0) = 1.
From (6.6) - (6.10) and applying Krasnosel'skii-Perov's theorem, stepl is proved .
Step 2. The set of the solutions (um, Pm). which exist from the above proof, is nonempty,
compact and connected. c,mm) is [1] A Granas. The theory of compact vector fields and some of its applications to [2] Dan Henry. Geometric Theory of Semilinear Parabolic Equations, Lecture Notes [3] Haim BREZIS, ANALYSE FONCTIONNELLE Theuorie et applications. [4] Jack K.Hale. Asympotic behavior of dissipative systems. Mathematical surveys [5] L. H. Hoa - K. Schmitt, Fixed point Theorem of Krassnosel'skii type in locally [6] L. H. Hoa - K. Schmitt, Periodic solutions of functional differential equations of [7] M.A. Krasnosel'skii P.P. Zabreiko. Geometrical Methods of Nonlinear Analysis, [8] Nguyen Thanh Long - Alain Pham Ngoc Dinh. Approximation of a parabolic [9] Nguyen Thanh Long - Alain Pham Ngoc Dinh. Note on a regularization of a [10] Nguyen Thanh Long - Tran Minh Thuyet, A semilinear wave equation associated 22 There is this result since the mapping in which for each c = (cmU c,m2
corresponding
with um such that is continuous.
Step 3. The set of the weak solutions (u, P) which exist thanks to passing the solutions (um
,Pm) to limmit is nonempty, compact and connected.
We also have this result since the mapping in which for each (um, Pm) is corresponding with
the weak solution (u, P) is continuous.
The theorem 6 is proved completely. □
Acknowledgements
The authors would like to thank the referees for helpful comments.
References
topology of functional spaces. Bull. Amer. Math. Soc. 74 (1968), 1-93.
in Math., vol. 840. Springer- Verlag Berlin Heidelberg New York. 1981.
MASSON Paris New York Barcelone Milan Mexico Sao Paulo. 1987.
and monographs. No. 25. American Mathematical Society. 1988.
convex spaces and applications to integral equations. Results in Math 28 (1994) - 314.
retarded and neutral types in Banach spaces. Boundary Value Problems for Functional
Differential Equations. Editor Jonhny Henderson, World Scientific (1995) 177 - 185.
Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York Tokyo. 1984.
nonlinear evolution equation backwards in time. Inverse Problem 10 (1994) 905-914. Printed
in the UK.
parabolic nonlinear evolution equation backwards in time. Inverse Problem 12 (1996) 455-
462. Printed in the UK.
with a nonlinear integral equation, Demonstratio Mathematics Vol.XXXVI, No 4, 2003. [11] Richard E. Ewing, The approximation of certain parabolic equations backward in 23 time by Sobolev equations, SIAM J. Math. Anal. Vol.6. 283- 94. 1975. Mã số: CS2004.23.56 Chủ nhiệm. Lê Hoàn Hóa Trƣờng CĐSP Nha Trang 24 Cán bộ t ham gia t hực hiện: Lê Thị Phƣơng Ngọc,
Thờ i gian t hực hiện: 7/2003 - 7/2004 Tên đề tài: Tính compact, liên thông của tập nghiệm trong phƣơng trình vi tích phân trong không gian Banach. Mã số: CS2004.23.56 Các thành viên tham gia : 1 - PGS.TS. LỀ HOÀN HÓA (chủ nhiệm đề tài) 2 - Nghiên cứu sinh : LÊ THỊ PHƢƠNG NGỌC Đề tài về tính compact, liên thông của một số phƣơng trình phi tuyến đã đƣợc chúng tôi nghiên cứu trong thời gian hai, ba năm. Một số kết quả đã đƣợc trình bày dƣới dạng : luận văn tốt nghiệp Thạc sĩ, báo cáo khoa học, báo cáo tại Hội nghị toán học toàn quếc, báo cáo tại Hội nghị Quốc tế vẻ phƣơng trình vi phân. Trong khuôn khổ của bài báo này, chúng tôi sẽ trình bày các kết quả về tĩnh compaet, liên thông của tập nghiệm cho các bài toán sau: ở đây u 0 , u 1 , f đƣợc cho trƣớc, hà m chƣa biết u(x,t) và giá trị biên chƣa biết P( t ) thỏa 25 phƣơng trình phi tuyến sau : Báo cáo kết quả gồm hai phần : 1. Một ghi chú về tính compact, liên thông của tập nghiệm của bài toán tiến hoá. 2. Tính compact, liên thông của tập nghiệm yếu của một phƣơng trình sóng nửa tuyến tính 26 liên kết với một phƣơng trình tích phân phi tuyến. 1. Trƣờng ĐHSPTP.HCM 2. Trƣờng CĐSP Nha Trang Tóm tắt : Bài báo chứng minh rằng tập hợp tất cả các nghiệm của các phƣơng 27 Xét các phƣơng trình giả thiết: (1) A là toán tử tuyến tính tự liên hợp, không âm trong không gian Hinbe H. (2) . f:H→H hoàn toàn liên tục, thoả điều kiện: Có các số dƣơng không đổi a, b, α (0 < α < 1) sao cho I f(x) I < a + b|x| α , ∀ x ∈ H .Ta có : Định lý 1 : Giả sử A và f thoả các điều kiện (1), (2). Khi đó tập hợp các nghiệm của phƣơng trình (1) khác rỗng, compact và liên thông. Định lý 2 : Giả sử A và f thoả các điều kiện (1), (2). Giả sử thêm rằng nếu u(t) là nghiệm của phƣơng trình thì |u(0)|< E với E là hằng số dƣơng cho trƣớc. Khi đó tập hợp các nghiệm của phƣơng trình (II) khác rỗng, compact và liên thông. Chú thích : Sự thu hẹp |u(0)|< E với E là hằng số dƣơng cho trƣớc, là chấp nhận đƣợc theo ý nghĩa vật lý của bài toán trên, (xem [2], [3]). Chứng minh định lý 1: Chứng minh hoàn toàn tƣơng tự nhƣ chứng minh định lý 1 ở bài báo [1], với các ký hiệu giống nhƣ trong [1]. Do đó trong chứng minh sau đây chỉ trình bày kỹ một số ý cần thiết. Gọi x= C([0,1], H ) là không gian Banach các ánh xạ liênt 28 lục nên [0, 1]. nhận giá trị trong không gian Hinbc H với chuẩn ||.|| t hông t hƣờng; với chuẩn *→X sao cho Bƣớc 1: Xét χ =0 Gọi Đặt T :X 1 F:X→X u→F(u) sao cho F(u)(t )=f(u(t )), ∀ t∈ [0,1] t ục. Ta chứng minh t ập nghiệ m của phƣơng t r ình : bị chặn. Nghĩa là chứng minh có một số dƣơng khô ng đổ i M để mọ i nghiệ m u(t ) của phƣơng t r ình (3) đều t hoả điều kiện : |u(t )| Chứng minh nhƣ sau : Nếu u(t ),t∈ [0,1] là nghiệm của (3) t hì : Từ đó, với các giả t hiết (1 ),(2) và 0 ≤ λ ≤ 1, t a có : 29 Nên : Để có (4), trƣớc hết ta chú ý rằng : Do đó tồn tại tập mở và bị chặn D trong X sao cho u ∈ D và U ∂D (ở đây ∂D là biên của D), với mọi λ ∈ [0,1] Suy ra mọi * thỏa mãn nghiệm của phƣơng trình (3) (nếu có), với mọi X ∈ [0,1] đều chứa trong D nhƣng không chứa trong ∂D.
- Bằng việc chứng minh toán t ử T - 1 : ̅ ⊂ X →X1 các điều kiện của định lý Krassosel'skii-Pcrov, bƣớc 1 hoàn thành. Với mọi u thuộc tập nghiệm của (1), đặt u*: [0,1] → H sao cho: U*(t)=U(t)- χ Khi đỏ u*∈ X1 ,u*(0)=0 và u*t = ut Suy ra Nhƣ thế u*(t) là nghiệm của phƣơng trình trong đó f*: H→H x→f*(x)=f(x+ χ) – A(χ) Ngƣợc lại, nếu u*(t) là nghiệm của (1)' thì U*(t)=U(t)+χ sẽ là 30 nghiệm của (1). Chứng minh dịnh lý 2: Ta chỉ cần chứng minh định lý 2 đúng trong trƣờng hợp χ=0 Hoàn toàn tƣơng tự nhƣ ở định lý 2, [1], chứng minh sẽ hoàn thành nếu ta chứng minh đƣợc tập nghiệm của phƣơng trình sau bị chặn : trong đó toán tử A và f thoả các điều kiện (1), (2). Ta sẽ chứng minh có một số dƣơng không đổi M để mọi nghiệm u(t) của (5) đều thoả điều kiện : |u(t )| M, ∀t ∈ [0,1] , ∀ λ ∈ [0,1], (6). Tài liệu tham khảo : [1] L. H. Hoá - L. T. P. Ngọc, Tính compact, liên thông của tập hợp nghiệm của bài toán tiến hóa. Tạp chí Khoa học Trƣờng ĐHSP Tp. HCM, tháng 5/2004. [2] Nguyen Thanh Long - Alain Pham Ngoc Dinh, Approximation of a parabolic nonlinear evolution equation backwards in time. Inverse Problem 10 (1994) 905-914. Printed in the UK. [3] Richard E. Ewing, The approximation of certain parabolic equations backward in time by Sobolev equations. SIAM J.Math. Anal. Vol 6, No. 2, April 1975. Note on the connectivity and compactness of solution set of the evolution problem Abstract : The paper proves that for the following equations the sets of solutions are 31 nonempty, compact and connected : where where : (1). A is any non-negative, self-adjoint operator which does not depend on t and χ is a given vector in a Hilbert space H. (2). f : H→ H is completely continuous and satisfies the following condition : There arc positive constants a, b, α ( 0 < α < 1) such that | f(x) | ≤ a + b | x | α , VxeH. The main tools are the topological degree theory of compact vector field and 32 properties of the non-negative, self-adjoint operator. Lê Hoàn Hóa 1 - Lê Thị P hƣơng Ngọc 2 1. Trƣờng ĐHSP Tp.HCM 2. Trƣờng CĐSP Nha Trang Tóm tắt : Bài báo này chứng t ỏ t ập hợp các nghiệm yếu của phƣơng t rình sóng t hoả điều kiện đầu và điều kiện biên sau đâ y là khác rỗng, liên t hông và co mpact t rong đó Uo, U i, f đƣợc cho trƣớc, hàm chƣa biết u(x, t ) và giá t r ị biên chƣa biết P(t ) t hoả phƣơng t r ình t ích phân phi t uyến sau : ở đây g, H, k là các hàm cho t rƣớc. Công cụ chính là lý t huyết bậc t ôpô của t rƣờng vect ơ co mpact . 1. Lời giới thiệu : Trong các bài báo [1], [2], [3] gần đây các t ác giả đã chỉ ra đƣợc t ính khác rỗng, co mpact và liên t hô ng của các t ập hợp nghiệ m của một số phƣơng t rình vi phân, t ích phân và của bài t oán t iến hóa. Trong bài báo này, chúng tôi lại t iếp t ục nghiên cứu t ính chất đó cho t ập hợp các nghiệm yếu của phƣơng t rình sổng nửa t uyến t ính với các điều kiện ban đầu và điều kiện biên 33 nhƣ sau : t rong dó U0, U1, F là các hàm cho trƣớc, hàm chƣa biết u(x,t ) và giá t rị biên P(t ) chƣa biết t hoả phƣơng t r ình t ích phân phi t uyến ở đây g, H, k là các hàm đã cho. Bài t oán này đã đƣợc Nguyễn T hành Lo ng và Trần Minh T huyết ( |4|) nghiên cứu. Một trong những kết quả mà hai t ác giả nghiên cứu đƣợc là chứng minh sự t ồn t ại và sự t ồn t ại duy nhất nghiệm yếu của bài t oán t rên với các diều kiện t ƣơng ứng. sử dụng kết quả này và lý t huyết bậc t ô pô của t rƣờng vect ơ co mpact kết hợp với việc vận dụng định lý Krassnosel'skii -Perov ( xem [2], [3]) và sự xấp xỉ Lipschit z địa phƣơng của hàm F ( xe m [ l], [2], [3]), t rong mục 3 chúng t ôi chứng minh t ập hợp các nghiệ m yếu t ìm đƣợc t heo phƣơng pháp xấp xí Galerkin (|4|) của bà i t oán nó i t rên khác rỗng, co mpact và liên t hông. 2. Các định lý : Chúng t ôi nhắc lại các định lý quan t rọng ở dây để sử dụng cho chứng minh ở mục 3. Định lý 1 : (Định lý Kr assnosel'skii-P erov) Cho (E, |. |) là khô ng gian Banach, D là t ập con mở và bị chặn của E và và T: ̅→E là t oán t ử compact . Giả sử deg (I-T, D,0) 0. Giả sử T t hỏa t hêm điều kiện: Với mọ i có toán t ử compact saocho và với mỗ i h mà|h|< phƣơng t rình x= (x)+h có nhiều nhất một nghiệm liên ̅ Khi đó t ập các điểm bất động của T khác rỗng, compact và liên t hông. Định Iý 2 |4| (Định lý về sự t ồn t ại và t ồn lại du y nhất 34 nghiệm yếu) -Các ký hiệu đƣợc sử dụng t rong định lý 2 : ở đâyH 1,H 2 là các không gian Sobo lev t rên Ω Chuẩn t rong khô ng gia n L 2 đƣợc ký hiệu là ||.||,< .,. > là ký hiệu t ích vô hƣớng t rong L 2 hoặc để chỉ sự cặp đô i đố i ngẫu của một hàm t uyến t ính liên t ục với. một phần t ử t rong khô ng gian hàm ,||.||x k ý hiệu cho chuẩn t rong khô ng gian Banach X và X' là đối ngẫu của X. là khô ng gian Banach các Đặt 1 và ||v|| v=√ V là khô ng gian con đóng của H 1 và t rên V, ||v|| H là hai chuẩn t ƣơng đƣơng. -Các giả t hiết : và có một số khô ng đổ i h0 >0 sao cho 35 VỚI M > 0 sẽ đƣợc chọn thích hợp dƣới đây. 36 Chứng minh : Ta có f: (u,.) ∈ R2 → f(u,.) ∈ R liên tục nên ∀ ε có ánh xạ fε : (u,.) → fε(u,.) là xấp xỉ lipschitz địa phƣơng của f theo biến thứ nhất sao cho với μ > 0 đƣợc chọn thích hợp đủ bé. Rõ ràng ánh xạ fε thỏa mãn các giả thiết (F1) (F2). để - Cuối cùng ta chỉ ra deg ( I-U,D,0) ≠ 0, (3.10) Ta có họ toán tử compact Uλ: [0,1] x ̅→Y thỏa điều kiện (3.7) : 0 (I- Uλ)( δ S) ,nên theo tính bất biến đồng luân, ta có: deg(I- Uλ ,S,0) không phụ thuộc λ Suy ra deg(I-U1,S,0) = deg(I-U2,S,0) trong đó I-U1=I-U ,I-U0=I-G với G là ánh xạ hằng vì hay Từ (3.6) - (3.10) và áp dụng định lý Krassnosel'skii-Perov, ta chứng minh xong Bƣớc 1. Bƣớc 2 : Tập các nghiệm (Um,Pm) tìm đƣợc tƣơng ứng là tập khác rỗng, compact, liên thông. Điều này có đƣợc do ánh xạ đặt tƣơng ứng C=(Cm1,Cm2,….,Cmm) là ánh xạ liên tục. với um sao cho Bƣớc3: Tập các nghiệm yếu (u, P) có đƣợc do chuyển các nghiệm (Um,Pm) qua giới hạn là khác rỗng, compact, liên thông. Điều này có đƣợc do ánh xạ đặt tƣơng ứng mỗi nghiệm (Um,Pm) với nghiệm yếu (u, P) là ánh xạ liên tục . 37 Định lý hoàn toàn đƣợc chứng minh. [1] L. H. Hoá V T T Nhiều N. T. Phƣơng, The connectivity and compaclness of solulion sets. Hội nghị Toán học toàn quốc, Huế, 7-10/09/2002. Chƣơng trình và tóm tắt các báo cáo, 82 - 83. |2| L. H. Hoá L. T. P. Ngọc, Tính liên thông và tính compact của tập hợp nghiệm. Hội nghị Khoa học Toán-Tin học, ĐHSP Tp. HCM, tháng 12/2002. [3] L. H. Hóa L. T. P. Ngọc, Tính liên thông và tính compact của tập hợp nghiệm của bài toán tiến hóa.(Đang chuẩn bị gởi đăng ở Tạp chí khoa học của Trƣờng ĐHSP Tp HCM.) |4| Nguyen Thanh Long Tran Minh Thuyet, A semilinear wave equation associated with a nonlinear integral equation, Demonstratio Mathemalica, Vol.XXXVI, No 4, 2003. Abstract : The paper proves that for the following semilinear wave equation with the initiaI-boundary, the set of weak solutions is nonempty, compact and connected where u0, u1, f are given functions, the unknown function u (x,t) and the unknown boundary value P(t) satisfy the following nonlinear integral equation where g, H, k are given functions. 38 The main tool is the topological degree theory of compact vector field. Đối với đề t ài nghiên cứu cấp cơ sở "T ính compact , liên- thông của tập nghiệm của phƣơng trình vi tích phân t rong không gian Banach", ngoài bài báo "T ính co mpact , liên thông của tập nghiệm của bài toán tiến hóa" đăng trong Tạp chí Khoa học t ự nhiên số 36 (2-2004) Trƣờng Đại học Sƣ phạm Tp.HCM t háng 5/2004, t rong phần báo cáo này, chúng tôi đã trình bày một kết quả khác về tính compact, liên thông của tập nghiệm cho phƣơng trình tiến hóa với một điều kiện mới tốt hơn và tính compact, liên thông của tập nghiệm yếu cho phƣơng trình sóng nửa tuyến tính liên kết với một phƣơng hình tích phân phi tuyến. Chúng t ô i s ệ t iếp t ục gửi đăng các k ết quả t rên t rong các t ạp chí trong 39 nƣớc và ngoài nƣớc,W(t0)< W(0)+4(1- β)b < + 4(1- β)b
Nên
Do đó (6) đúng.
Nhƣ thế (6) sẽ đúng trong cả hai trƣờng hợp nếu ta chọn :
Tóm lại tập các nghiệm của phƣơng trình :
với các điều kiện đã đƣa ra là khác rỗng, compact và liên thông.
Tài liệu tham khảo :
[1] L. H. Hóa - L. T. P. Ngọc. Tính compact, liên thông của tập hợp nghiệm
của bài toán tiến hóa. Tạp chí Khoa học Trƣờng ĐHSP Tp. HCM, tháng 5/2004.
[2] Nguyen Thanh Long - Alain Pham Ngoc Dinh, Approximation of a
parabolic nonlinear evolution equation backwards in time. Inverse Problem 10 (1994)
905-914. Printed in the UK.
[3] Richard E. Ewing, The approximation of certain parabolic equations
backward in time by Sobolev equations. SIAM J. Math. Anal. Vol 6, No. 2, April
1975.
Note on the connectivity and compactness of solution set of the evolution
problem
Abstract : The paper proves that for the following equations the sets of
solutions are nonempty, compact and connected :
where where : (1). A is any non-negative, self-adjoint operator which does not depend
on t and χ is a given vector in a Hilbert space H.
(2). f : H→H is completely continuous and satisties the following condition :
There are positive constants a, b, α (0 < α < 1) such that |f(x)| a+b ∀x∈H.
The main tools are the topological degree theory of compact vector field and
properties of the non-negative, self-adjoint operator.
TÍNH COMPACT, LIÊN THÔNG CỦA TẬP HỢP NGHIỆM YẾU CỦA
MỘT PHƢƠNG TRÌNH SÓNG NỬA TUYẾN TÍNH LIÊN KẾT VỚI
MỘT PHƢƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN PHI TUYẾN
KẾT LUẬN
THE CONNECTIVITY AND COMPACTNESS
OF SOLUTION SETS
Le Hoan Hoa a, Le Thi P huong Ngoc b , ( 1 )
° Department of Mathematics, Ho Chi Minh City University of Education,
280 An Duong Vuong Sir.. Dist. 5. Ho Chi Minh City, Viet Nam
t n
+ ∫ ( )
First, we note that if x(t) is a solution of (1) on [0. ∞) then x|[0.n) (t) is a solution of (I)
on [0, n], for all n∈N. Otherwise, for all n∈N, for each solution xn of (I) on [0, n].
there exists a solution x* of (I) on [0. ∞) such that x *|[0.n] = xn. In other words, xn is
expanded on [0, ∞).
Indeed, we.cpnsider the.equation (I'):
x(t) =xn(n) - ∫ ( )
Applying the theorem 2.1, with the proof is similar to that of theorem 5 in [5], we
have the equation (I') has a solution x' on [n, ∞).
We define x* : [0, ∞) → E as follows : if t ∈ [0. n] then x*(t) = xn(t) and if t > n then
x*(t) = x'(t).
Clearly, x*(t) is a solution of (1) on [0, ∞) and x *|[0.n] = xn
Let S be the solution set of (I) on [0, ∞). By theorem 5 ([5]), S is nonempty.
Now, we prove S is compact and connected. Here, we only consider the set S such
that for each
n∈ N, the set Sn={ x|[o,n], x ∈ S} ⊂ ̅ with ̅ is defined in step 1.
By step 1, Sn is nonempty, compact and connected on Xn = C([0, n], E).
Applying proposition 1, ([5]), we have S is relatively compact in X0 =C([0, ∞), E).
Furthermore S is closed. Indeed, let {xk} be a sequence in S which converges to x0 ,
as k → ∞,
then Xk |[0,n] → X0 |[0,n]. It follows from Xk |[0,n] ∈ S n and Sn is compact that X0 |[0,n] ∈
S n
Hence, x0 ∈ S. Thus S is compact.
We prove that S is connected.
Suppose, to get a contradiction, that S is not connected. Then there exists two sets Sa
and Sb which are nonempty, compact and disjointed such that S= Sa Sb
n and Sb
Put
nonempty,
disjointed and
Let {xk} be a sequence in Sa
sequence {x*i} in S3 such that
subsequence { x*k } of
{x*k} such that x*k converges to y in Sa This implies that x*k =|[0,n] → y|[0,n]
It follows from y ∈ S3 and x*k =|[0,n] = xk , converges to x0 that x0 =y|[0,n] ∈
Then Sa
closed. Similarly, Sb
the contradiction. The theorem 3.1 is proved completely.
Proof of Theorem 3.2.
The proof is similar to that of theorem 3.1. So, we only prove that for each n ∈ N, the
solution set of (II) on [0, n] is nonempty, compact and connected. Problem (II), with t
∈[-r, n], is equivalent to the integral equation :
For any x ∈ Xn , put ̅:[-r, n] E be defined as follows:
Bộ Giáo Dục và Đào Tạo
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM TP.HCM
BÁO CÁO NGHIỆM THU ĐỀ TÀI CẤP CƠ SỞ
TÍNH COMPACT, LIÊN THÔNG CỦA TẬP NGHIỆM TRONG
PHƢƠNG TRÌNH VI TÍCH PHÂN TRONG KHÔNG GIAN BANACH
BÁO CÁO NGHIỆM THU ĐỀ TÀI CẤP CƠ SỞ
BÁO CÁO TỔNG QUAN
G,H,K LÀ CÁC HÀM CHO TRƢỚC.
BÁO CÁO KẾT QUẢ
MỘT GHI CHÚ VỀ TÍNH COMPACT, LIÊN THÔNG CỦA TẬP HỢP
NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN TIẾN HÓA
Lê Hoàn Hóa 1 - Lê Thị Phƣơng Ngọc 2
trình sau là khác rỗng, compact và liên thông:
ở đây : (1). A là toán tử tuyến tính tự liên hợp, không, âm trong
không gian Hinbe H.
(2). f : H →H hoàn toàn liên tục ,thỏa điều kiện : Có
các số dƣơng không đổi a, b và α (0< α <1) sao cho | f(x) < a +
b|x| α , ∀ x ∈ H
Công cụ chính là lý thuyết bậc tôpô của trƣờng vectơ compact và các tính chất
của toán tử tự liên hợp không âm trong không gian Hinbe.
1.Lời giới thiệu :
Trong bài báo [1] mới đây, chúng tôi đã đƣa ra các điều kiện cho toán tử A và toán tử
f để có đƣợc tính khác rỗng, compact, liên thông của tập hợp nghiệm của hai bài toán
(I), (II). Trong bài báo này, chúng tôi đƣa ra một điều kiện mới, tốt hơn cho toán tử f
để có. đƣợc kết quả tƣơng tự cho hai bài toán trên.
2.Các kết quả chính :
Cho H là không gian Hinbe và chuẩn đƣợc sinh ra bởi tích vô hƣớng trên H đƣợc ký
hiệu là |.|.
Bổ đề : Với giả t hiết (1), (2), các t ính chất sau là đúng :
i, T là t oán t ử t uyến t ính liên t ục và khả nghịch. T -1 là t oán t ử t uyến t ính liên
ii. Toán t ử F là t oán t ử compact .
iii.Toán t ử T - 1 F là t oán t ử compact .
Bƣớc 2 : Xét χ ≠ 0
TÍNH COMPACT, LIÊN THÔNG CỦA TẬP HỢP NGHIỆM YẾU
CỦA MỘT PHƢƠNG TRÌNH SÓNG NỬA TUYẾN TÍNH LIÊN KẾT
VỚI MỘT PHƢƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN PHI TUYẾN
hàm số t hực đo đƣợc u : (0,T) → X với
Hàm f : R 2→Rt hỏa điều kiện f(0, 0) = 0 và các điều kiện
sau :
Có hai số không đổi
và hai hàm số B1,B2:R+→R+
liên tục, sao cho
- Định lý 2 :Giả sử các giả thiết (A1) – (A4) và (F1) – (F3) đúng. Khi
đó với mọi số T>0, tồn tại một nghiệm yếu (u, P) của bài toán (l.l)-(l.5) sao cho
Hơn nữa, nếu trong (F3) và hàm H,B2 thoả thêm điều kiện
thì nghiệm tồn tại duy nhất.
3. Kết quả chính :
Định lý : Giả sử các giả thiết (A1) - (A4) và (F1) -(F3) đúng. Khi đó với mọi số
T >0 tập hợp các nghiệm yếu (u, P) của bài toán (1 . 1 ) -( 1 .5) sao cho
tìm đƣợc theo phƣơng pháp trên khác rỗng, compact và liên thông (với cách
chọn phù hợp).
Chứng minh : Ta chứng minh lần lƣợt theo các bƣớc sau
Bƣớc 1 Tập các điểm bất động c của toán tử U: ̅ > Y là tập
khác rỗng, compact, liên thông.
ờ đây
và c” ∈ H1(0,T) là bao
đóng của tập con lồi, mở và bị chặn
TÀI LIỆU THAM KHẢO :
KẾT LUẬN
![Báo cáo seminar chuyên ngành Công nghệ hóa học và thực phẩm [Mới nhất]](https://cdn.tailieu.vn/images/document/thumbnail/2025/20250711/hienkelvinzoi@gmail.com/135x160/47051752458701.jpg)
