bất đẳng thức MINCÔPXKI và một số ứng dụng giải toán
Bài toán xuất phát :
¾ 1. Chứng minh rằng với ba số thực tuỳ ý x, y, z ta luôn có :
222222
x
xy y x xz z y yz z+++ ++≥ ++
Khi tôi đọc sách tham khảo đều có lời giải như sau :
Trong mặt phẳng Oxy cho các véctơ AB
J
JJG
và
A
C
J
JJG
lần lượt có các toạ độ sau đây :
2
2
33
;
22 2 2
yy
A
Bx y AB x y
⎛⎞ ⎛
⎛⎞
=+ ⇒ = + +
⎜⎟ ⎜
⎜⎟
⎜⎟ ⎜
⎝⎠
⎝⎠ ⎝
JJJGJJJG⎞
⎟
⎟
⎠
2
2
33
;
22 2 2
zz
A
Cx z AC x z
⎛⎞ ⎛
⎛⎞
=+ ⇒ = + +
⎜⎟ ⎜
⎜⎟
⎜⎟ ⎜
⎝⎠
⎝⎠ ⎝
JJJG JJJG ⎞
⎟
⎟
⎠
2
2
33 33
;
222 2 22 2 2
yz yz
CB y z CB y z
⎛⎞ ⎛
⎛⎞
⇒=− + ⇒ = − + +
⎜⎟ ⎜
⎜⎟
⎜⎟ ⎜
⎝⎠
⎝⎠ ⎝
JJJGJJJG⎞
⎟
⎟
⎠
Do đó : 22 22 2
;;
2
A
B x xy y AC x xz z CB y yz z=++ =++ =++
JJJG JJJG JJJG
Vì
A
BACCB+≥
JJJGJJJGJJJG
ta suy ra điều phải chứng minh.
• Có một số sách khác thì đặt : u;
v
G
rồi áp dụng công thức : uv uv
+
≥−
G
GGG
( tóm lại cùng 1 phán xét
như thế cả )
Cảm nhận :
Tôi không phủ nhận cái hay của nó nhưng thiết nghĩ có 1số hs nó thuộc cái này ngồi chép lại cũng đã
mệt vãi….!!!! rồi, còn một số đứa nhìn thấy véctơ là tay chân cứ “lủn bủn” như vừa mới giết người
xong í…
Có hôm có đứa em nó sang đố tôi một bài kiểu thế này, tôi hỏi nó thế thầy mày chưa dạy mày sao ?.
Nó trả lời thầy giải bằng phương pháp véctơ em đọc thuộc lúc sáng rùi bây zừ sang hỏi xem anh có
làm được không ?
Tôi cũng ngứa nghề nên bảo : để tao làm cho và tôi giải bằng phương pháp sử dụng BĐT Mincôpxki,
nó cười lớn và bảo : Tưởng zì anh làm cách đó thì may khi anh thi ĐH không gặp kiểu bài này chứ
gặp bài này anh rớt chắc…Bó tay ! Hiểu được chết liền !
Nó nói không được sử dụng kiến thức ngoài SGK. Tôi bảo : mày cũng có lí thế thì mày bình phương 1
phát là nó ra cái Cauchy – Scharz (B.S.C) của mấy ổng thôi mà. Cuối cùng thì nó cũng không bảo thủ
nữa bởi véctơ nó có bít cái quái zì đâu …Hehe.
Thiết nghĩ khi đi thi ĐH nếu cần những kiến thức mà mấy ổng ngoài đó không cho thì chứng minh
luôn hoặc cứ phết 1câu “ dễ dàng chứng minh…cái này” – Không phải ngày xưa Fermat cũng thế mà
nổi tiếng sao ?????
Bất đẳng thức Mincôpxki :
()()
22
22 2 2 ,,,, (1a b c d a c b d abcd R++ + ≥ + ++ ∀ ∈ )
Chứng minh :
()
(
)
222 2
(1) a b c d ac bd⇔+ +≥+ (luôn đúng)
copyright by zero in maths.vn
bất đẳng thức MINCÔPXKI và một số ứng dụng giải toán
Như vậy áp dụng BĐT (1) để chứng minh bài 1 như sau :
VT =
2
23
22
y
x
y
⎛⎞
⎛⎞
++
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎝⎠
+
2
23
22
z
x
z
⎛⎞
⎛⎞
−− +
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎝⎠
2
233
22 2 2
yz yz
⎛⎞
⎛⎞
≥−+ +
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎝⎠
=VP
Thực ra thì kiểu làm này cũng như kiểu véctơ thôi, nhưng nhìn đỡ sốc hơn. ( khôn học Đại dại học Hình
mà ….)
I. ỨNG DỤNG CHỨNG MINH BĐT VÀ BÀI TOÁN TÌM MAX, MIN .
Ví dụ : Cho a, b, c > 0 : ab+bc+ca =abc . Chứng minh rằng :
22 22 22
222
3
ba cb ac
ab bc ca
+++
++≥ (2)
Lời giải : Áp dụng BĐT Mincôpxki :
2
2
22 22 22 22
12 12 12 11 2 2 12
(2)
VT ab bc ca ab b c ca
⎛⎞
⎛⎞
=+++++≥+++ ++
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎝⎠ ≥
2
2
111 2 2 2 111
33
VP
abc b c a abc
⎛⎞
⎛⎞ ⎛⎞
≥+++++ = ++==
⎜⎟
⎜⎟ ⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠
⎝⎠ (2)
. Đpcm
( vì : a, b, c > 0 : ab+bc+ca =abc 1111
abc
⇔
++=
)
II. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH .
Ví dụ : Giải phương trình : 22
11xx xx 2
+
++ −+ =
Lời giải :
Áp dụng BĐT Mincôpxki ta có :
22
22
22 13 13
11
22 22
xx xx x x
⎛⎞ ⎛⎞
⎛⎞ ⎛ ⎞
+++−+= ++ +−++ ≥
⎜⎟ ⎜⎟
⎜⎟ ⎜ ⎟
⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝ ⎠
⎝⎠ ⎝⎠2
. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ
khi x= 0. Vậy PT có nghiệm x = 0.
Có mấy thầy ngày xưa tôi học cũng hay chơi khó kiểu này…bọn tôi thì cặm cụi bình phương - thầy thì
thong dong ngồi hút thuốc. Đúng là làm thầy sướng thật !
III . ỨNG DỤNG TRONG HÌNH HỌC TOẠ ĐỘ .
Khỏi cần nói cũng biết, khi đang là học sinh tôi ngán nhất là mấy cái bài toán tìm cái gì đó cho
khoảng cách nhở nhất, lớn nhất…hoặc tìm khoảng cách bé nhất giữa cái này cái kia….Bởi thời đó
véctơ thì ngu mà Mincôpxki cũng mù..
Ví dụ : Trong mặt phẳng Oxy cho A(-3; 0) ; B(1; 3). Hãy tìm tất cả các điểm M trong mặt phẳng sao
cho độ dài : AM + BM nhỏ nhất .
copyright by zero in maths.vn
bất đẳng thức MINCÔPXKI và một số ứng dụng giải toán
Lời giải : giả sử M(x; y), ta có :
() ()( )
22
2
3; 1 3
2
A
Mx yBM x y=++ =−+−
JJJJG JJJJG, Do đó :
() ()( )
22
2
313AM BM x y x y+=+++−+−≥
JJJJG JJJJG2
5
. Vậy Min(AM+BM) = 5 khi …
…..Chết nghĩ lại mới thấy mình dốt. Thôi dừng lại kẻo các thầy lại bảo mày dốt còn bày đặt viết lách.
Để một vài nơron thần kinh còn lại mà tiếp tục theo đuổi tình iu…!!!!!!!!!!!!!!
copyright by zero in maths.vn