Bồi dưỡng HSG lớp 9
Luyện thi vào lớp 10 Chuyên Toán
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
10 Bộ đề thi bồi dưỡng HSG 9 và Luyện thi lên lớp 10 Chuyên
Đề 1:
Câu 1: Cho phương trình 1. Định m để phương trình có 2 nghiệm
2.Tìm giá trị lớn nhất của
Câu 2: Tính tổng: , trong đó:
. Tìm giá trị
Câu 3: Cho ba số thực a, b, c, d không nhỏ hơn 1 thỏa mãn lớn nhất của biểu thức: Câu 4: Cho số tự nhiên a. Chứng minh rằng nếu thì
Câu 5: Cho tam giác ABC có trực tâm H, nội tiếp đường tròn (O). Gọi P là điểm nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC và nằm trong tam giác ABC. PB cắt (O) tại điểm M khác B. PC cắt (O) tại điểm N khác C. BM cắt AC tại điểm E, CN cắt AB tại điểm F. Đường tròn ngoại tiếp tam giác AME và đường tròn ngoại tiếp tam giác ANF cắt nhau tại điểm Q khác A. 1. Chứng minh rằng ba điểm M, N, Q thẳng hàng. 2. Giả sử AP là phân giác của góc MAN. Chứng minh rằng PQ đi qua trung điểm của BC.
Trang | 1
Website: www.hoc247.vn - Hotline: 098 9627 405
Câu 6: Chứng minh rằng không thể phủ kín hình vuông 8 8 đã bỏ đi hai ô ở góc đối diện nhau (góc trên bên trái và góc dưới bên phải) bằng 31 quân đô-mi-nô kích thước 1 2 (các quân đô-mi-nô có thể xoay ngang, dọc tuỳ ý).
Bồi dưỡng HSG lớp 9
Luyện thi vào lớp 10 Chuyên Toán
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
Đề 2:
có hai nghiệm phân biệt.
Câu 1: Cho phương trình Chứng minh rằng phương trình có 4 nghiệm phân biệt.
Câu 2: Giải hệ phương trình:
Câu 3: Cho x, y, z thỏa mãn
.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Câu 4: Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương k sao cho chia hết cho .
Câu 5: Từ một điểm A nằm ngoài đường tròn (O) vẽ các tiếp tuyến AB, AC (A, B là các tiếp điểm), vẽ cát tuyến AEF (EF không đi qua O). Gọi D là điểm đối xứng của B qua O. DE, DF lần lượt cắt AO tại M và N. Chứng minh rằng: 1. 2.
Trang | 2
Website: www.hoc247.vn - Hotline: 098 9627 405
Câu 6: Một miếng giấy hình vuông kích thước 29 x 29 được chia thành các ô vuông kích thước 1 x 1 bằng các đường thẳng song song với các cạnh của miếng giấy. Người ta cắt ra theo đường lưới 99 miếng hình vuông có kích thước 2 x 2. Chứng minh rằng, từ phần giấy còn lại ta có thể cắt ra theo đường lưới một miếng hình vuông 2 x 2 nữa?
Bồi dưỡng HSG lớp 9
Luyện thi vào lớp 10 Chuyên Toán
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
Đề 3:
Câu 1: Cho phương trình (x là ẩn)
1.Tìm điều kiện của x để phương trình có nghĩa 2. Với giá trị nào của a thì phương trình trên có nghiệm, khi đó, tìm x theo a.
Câu 2: Giải phương trình:
Câu 3: Cho a, b, c thỏa mãn điều kiện và phương trình vô nghiệm.
Chứng minh rằng :
Câu 4: Cho x, y, z là các số nguyên sao cho . Chứng minh
rằng chia hết cho .
và tam giác DEC cân.
Câu 5: Cho tam giác ABC vuông cân tại A, D là trung điểm của AC, vẽ đường tròn (O) đường kính CD cắt BC tại E, BD cắt (O) tại F. 1. Chứng minh ABCF nội tiếp 2. Chứng minh 3. Kéo dài AF cắt đường tròn (O) tại H. Tứ giác CEDH là hình gì ?
Trang | 3
Website: www.hoc247.vn - Hotline: 098 9627 405
Câu 6: Mỗi giải bóng đá đá theo luật sau: -Mỗi đội đều thi đấu với tất cả các đội khác. -Hai đội bất kì thì chỉ đấu với nhau đúng một lần. -Trong mỗi trận đấu, đội thắng được hai điểm, thua không được điểm, hòa thì mỗi đội một điểm. Giải đấu kết thúc như sau: Mỗi đội đạt được một số điểm khác nhau và đội đứng cuối thắng cả ba đội đứng đầu (thứ tự sắp xếp theo điểm). Vậy số đội bóng của giải có thể là 12 đội được hay không?
Bồi dưỡng HSG lớp 9
Luyện thi vào lớp 10 Chuyên Toán
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
Đề 4:
Câu 1: Cho phương trình: 1. Giải và biện luận (1)
2. Xác định m để (1) có nghiệm thỏa mãn :
Câu 2: Giải phương trình :
Câu 3: Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn
.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Câu 4: Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức: nhận giá trị nguyên.
từ đó suy ra
Câu 5: Cho hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn (O) ; M là điểm bất kì trên cung nhỏ CD, BM cắt AC tại E. 1. Chứng minh 2. Chứng minh rằng 3. Chứng minh
Trang | 4
Website: www.hoc247.vn - Hotline: 098 9627 405
Câu 6: Mỗi đỉnh của một hình 7 cạnh đều được tô bằng một trong 2 màu xanh và đỏ. Chứng minh rằng với mọi cách tô như thế, luôn tìm được một tam giác cân có các đỉnh được tô cùng màu.
Bồi dưỡng HSG lớp 9
Luyện thi vào lớp 10 Chuyên Toán
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
Đề 5:
Câu 1: Cho phương trình : 1. Tìm tất cả các giá trị m để pt (1) có nghiệm kép, tính nghiệm kép ấy. 2. Tìm tất cả các giá trị m để pt (1) có hai nghiệm phân biệt đều là số âm.
Câu 2: Giải phương trình:
Câu 3: Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức :
Câu 4: Giả sử là một số nguyên tố có ba chữ số. Chứng minh rằng phương trình
không có nghiệm hữu tỉ.
. Xác định vị trí của các điểm B, C trên (O) để diện tích tam giác ABC
Câu 5: Cho hai đường tròn (O) và (O‟) cắt nhau tại A và B. Kẻ tiếp tuyến chung CD (C, D là các tiếp điểm, C thuộc (O) ; D thuộc (O‟)). Qua điểm B kẻ cát tuyến song song với CD cắt (O) tại E, cắt (O‟) tại F. Gọi M, N theo thứ tự là giao điểm của AD và CA với EF. Gọi I là giao điểm EC với FD. Chứng minh rằng : 1. CD là trung trực của đoạn BI. 2. Tam giác MIN cân 3. Giả sử A cố định trên (O ;R), AB và AC là hai dây cung thay đổi của (O) thỏa mãn hệ thức lớn nhất.
Trang | 5
Website: www.hoc247.vn - Hotline: 098 9627 405
Câu 6: Có 5 điểm nằm trong một hình vuông cạnh . Chứng minh rằng tồn tại một điểm nằm trong hình vuông mà khoảng cách từ điểm đó đến 5 điểm nói trên đều lớn hơn 10.
Bồi dưỡng HSG lớp 9
Luyện thi vào lớp 10 Chuyên Toán
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
Đề 6:
Câu 1: Tìm giá trị của m để phương trình : 1. Có nghiệm 2. Có đúng ba nghiệm
Câu 2: 1. Giải phương trình:
2. Giải hệ phương trình :
Câu 3: Cho x, y, z là các số thực dương thỏa . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Câu 4: Cho số nguyên a không nhỏ hơn 2. Hỏi có tồn tại hay không số tự nhiên A sao cho
và A có ít nhất 600 chữ số tận cùng là 0?
Câu 5: Cho đường tròn (O) và đường thẳng d cắt (O) tại hai điểm C, D. Từ điểm M tùy ý trên D kẻ các tiếp tuyến MA, MB (với A, B là các tiếp điểm). Gọi I là trung điểm của CD. 1. Chứng minh tứ giác MAIB nội tiếp. 2. Giả sử MO và AB cắt nhau tại H. Chứng minh H thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác COD. 3. Chứng minh AB đi qua một điểm cố định khi M di động trên d.
4. Chứng minh
Trang | 6
Website: www.hoc247.vn - Hotline: 098 9627 405
Câu 6: Trong phòng có 100 người, mỗi người quen ít nhất 66 người khác. Hỏi có phải trong mọi trường hợp luôn tồn tại 4 người đôi một quen nhau hay không ?
Bồi dưỡng HSG lớp 9
Luyện thi vào lớp 10 Chuyên Toán
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
Đề 7:
Câu 1: Cho phương trình: 1. Chứng minh phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt khi m thay đổi. 2. Định giá trị m để phương trình có 2 nghiệm thỏa:
Câu 2: Giải phương trình :
Câu 3: Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn . Chứng minh rằng :
Câu 4: Cho số nguyên a không chia hết cho 5 và 7. Chứng minh rằng:
Câu 5: Cho đường tròn (O ;R) đường kính AB cố định, đường kính CD di động khác AB. Các tia BC, BD cắt tiếp tuyến của đường tròn tại A lần lượt tại E, F. 1. Chứng minh CDEF là tứ giác nội tiếp. 2. Khi đường kính CD thay đổi, tìm giá trị nhỏ nhất của EF. 3. Đường tròn đi qua ba điểm O, D, F và đường tròn đi qua ba điểm O, C, E cắt nhau tại G (khác O). Chứng minh B, A, G thẳng hàng.
Trang | 7
Website: www.hoc247.vn - Hotline: 098 9627 405
Câu 6: Tại 6 đỉnh của một lục giác đều, theo chiều kim đồng hồ, người ta viết 6 số chẵn liên tiếp. Mỗi lần cho phép lấy ra một cạnh và tăng mỗi số ở hai đỉnh thuộc cạnh đó lên một đơn vị. Hỏi bằng cách đó có thể làm cho 6 số ở 6 đỉnh lục giác bằng nhau được không ?
Bồi dưỡng HSG lớp 9
Luyện thi vào lớp 10 Chuyên Toán
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
Đề 8:
(x là ẩn)
Câu 1: Cho phương trình 1. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt đều âm. 2. Gọi là các nghiệm của phương trình.
Tìm m để
Câu 2: Cho x và y là hai số âm. Chứng minh rằng :
Câu 3: Cho đa thức . Biết rằng .
Chứng minh rằng
Câu 4: Tìm tất cả các số tự nhiên thỏa mãn phương trình :
Câu 5: Cho tam giác ABC. Gọi H là chân đường cao kẻ từ A (H thuộc BC). Đường thẳng AB cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ACH tại D (khác A). Đường thẳng AC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABH tại E phân biệt với A. 1. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB, AC. Chứng minh bốn điểm I, J, D, E cùng nằm trên một đường tròn. 2. Chứng minh HA là tia phân giác của góc EHD. 3. Tìm mối liên hệ giữa AB, AC và AH để DE tiếp xúc với hai đường tròn nói trên.
Câu 6: Chứng minh rằng, bảng hình vuông 10 x 10 không thể lát bằng các miếng như hình
Trang | 8
Website: www.hoc247.vn - Hotline: 098 9627 405
sau:
Bồi dưỡng HSG lớp 9
Luyện thi vào lớp 10 Chuyên Toán
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
Đề 9:
Câu 1: Cho phương trình bậc hai :
1. Định m để pt (1) có nghiệm. 2. Định m để tổng bình phương các nghiệm bằng tích các nghiệm. 3. Định m để tổng bình phương hai nghiệm đạt GTNN.
Câu 2: Giải phương trình:
Câu 3: Giả sử a, b, c, d là các số thực dương thỏa mãn: Tìm giá trị nhỏ nhất của
Câu 4: Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
Câu 5: Cho nửa đường tròn đường kính BC. Gọi A là một điểm thuộc nửa đường tròn sao cho . Dựng về phía đối của tia AB hình vuông ACDE. AD cắt nửa đường tròn tại H, BH cắt DE tại K. 1. Chứng minh rằng: CK là tiếp tuyến của đường tròn đường kính BK. 2. Chứng minh .
Trang | 9
Website: www.hoc247.vn - Hotline: 098 9627 405
Câu 6: Một con khỉ sẽ hài lòng nếu nó được ăn ba loại trái cây khác nhau. Hỏi có thể làm cho nhiều nhất bao nhiêu con khỉ hài lòng nếu ta có 20 quả táo, 30 quả lê, 40 quả chuối và 50 quả đào. Các trái cây phải để nguyên, không được chia nhỏ.
Bồi dưỡng HSG lớp 9
Luyện thi vào lớp 10 Chuyên Toán
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
Đề 10:
Câu 1:
1. Giải và biện luận hệ:
2. Định để hệ có nghiệm duy nhất với
Câu 2: 1.Giải phương trình:
2. Giải phương trình:
Câu 3: Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn . Chứng minh rằng :
. Chứng minh rằng nếu thì A là số
Câu 4: Cho số tự nhiên n. Đặt chính phương.
Câu 5: Cho ba điểm A, B, C cố định thẳng hàng (B nằm giữa A và C). Một đường tròn (O) thay đổi qua A và B. Gọi DE là đường kính của đường tròn (O) vuông góc với AB. CD và CE cắt đường tròn (O) lần lượt tại M và N. Khi (O) thay đổi thì hai điểm M, N di động trên đường cố định nào?
Trang | 10
Website: www.hoc247.vn - Hotline: 098 9627 405
Câu 6: Cho 5 đường tròn trong đó mỗi bộ 4 đường tròn đều có 1 điểm chung. Chứng minh rằng 5 đường tròn đó cùng đi qua 1 điểm.
Bồi dưỡng HSG lớp 9
Luyện thi vào lớp 10 Chuyên Toán
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
PHẦN HƯỚNG DẪN GIẢI
Đề 1:
Câu 1: 1. Phương trình trên có nghiệm
2.Với , ta có:
Do nên
Suy ra và
Vậy,
Câu 2: Ta có:
Câu 3: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm, ta có:
Tương tự đối với các số b, c, d không âm:
Do đó:
khi và chỉ khi
Trang | 11
Website: www.hoc247.vn - Hotline: 098 9627 405
Vậy
Bồi dưỡng HSG lớp 9
Luyện thi vào lớp 10 Chuyên Toán
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
Câu 4: Ta có:
(1)
(2)
là hai số chẵn liên tiếp nên tích chia hết cho 8 và .
. Mặc khác Vì và Từ (1) và (2) suy ra
Câu 5:
1.Dễ dàng chứng minh được các tứ giác AMEQ. ANFQ, AMCB nội tiếp nên ta có:
là hình
Chứng minh tương tự FQ//EB bình hành
Mặc khác:
Vậy, M, Q, N thẳng hàng. 2. Vẽ đường cao CI, BJ của tam giác ABC. EF cắt PQ tại G. Do các tứ giác AMEQ, ANFQ nội tiếp và QEPH là hình bình hành nên:
. Do đó, AP là
đường phân giác góc MAN. Vậy Q, A, P thẳng hàng. Gọi giao điểm của AP với BC là K.
Ta có:
Trang | 12
Website: www.hoc247.vn - Hotline: 098 9627 405
mà vậy tứ giác FPEA nội tiếp.
Bồi dưỡng HSG lớp 9
Luyện thi vào lớp 10 Chuyên Toán
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
Mà K là trung điểm của BC.
Câu 6: Ta tô màu theo hình vẽ:
Trang | 13
Website: www.hoc247.vn - Hotline: 098 9627 405
Nhận thấy rằng, bàn cờ có 64 ô đen trắng xen kẽ, khi mất 2 góc ta nhận được 32 ô trắng và chỉ còn lại 30 ô đen. Khi ta phủ bằng quân cờ đô-mi-nô là ta đã che đi đồng thời 1 ô trắng và 1 ô đen. Vậy ta không thể phủ kín được bàn cờ trên với 31 quân cờ.
Bồi dưỡng HSG lớp 9
Luyện thi vào lớp 10 Chuyên Toán
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
Đề 2:
có 2 nghiệm phân biệt.
không là nghiệm của phương trình (2) nên , chia cả hai vế của pt (2)
Câu 1: Theo đề: Xét phương trình nhận thấy cho ta có:
Đặt
Phương trình (3) trở thành:
nên pt (4) cũng có 2 nghiệm phân biệt . Vì pt (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt
Xét phương trình
Pt (5) có 2 nghiệm phân biệt trái dấu do nên ứng với hai nghiệm thì có 4
nghiệm phân biệt.
là một
Theo Bất đẳng thức Cauchy:
. hoặc
Câu 2: Từ hệ phương trình suy ra: Nếu 1 trong 3 số bằng 0 thì hai số còn lại cũng bằng 0. Thử lại ta có nghiệm của hệ phương trình. Nếu Từ (1), suy ra Tương tự, ta có Vậy nghiệm của hệ phương trình là
Câu 3:
Đặt
Ta có: và .
Trang | 14
Website: www.hoc247.vn - Hotline: 098 9627 405
Vì vậy :
Bồi dưỡng HSG lớp 9
Luyện thi vào lớp 10 Chuyên Toán
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
Dấu „=‟ xảy ra
Vậy
giá trị liên tiếp từ 1 đến giá
Câu 4: Cho k lần lượt lấy trị khác nhau của . Chia tất cả các số này cho ta nhận được ta nhận được số dư thuộc tập
.
số khác nhau chia cho ta có số dư, trong đó có nhiều
số dư khác nhau.
. Giả sử hai
Ta có nhất Theo nguyên lý Dirichlet phải có ít nhất hai số có cùng số dư khi chia cho , m>n, thế thì: số đó là và
chia hết cho .
chia hết cho .
nên . Ta có: Vậy
Câu 5:
1.Ta có:
ACNE nội tiếp
ACNF nội tiếp Tứ giác Tứ giác
. Do đó hình
thang CMND (NM//CD) nội tiếp nên đó là hình thang cân.
lại có:
Từ (1) và (2)
Trang | 15
Website: www.hoc247.vn - Hotline: 098 9627 405
2. Tứ giác CMND là hình thang cân nên
Bồi dưỡng HSG lớp 9
Luyện thi vào lớp 10 Chuyên Toán
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
nên Mà
BN//DM
mà Nên tứ giác BMDN là hình bình hành. Vậy
Câu 6:
Tô màu như hình bên (đây là một phần của bảng đã cho). Mỗi lần cắt chỉ phạm đúng một ô
hình vuông màu (tức 4 ô vuông màu). Có tất cả: hình vuông màu. Sau 99
Trang | 16
Website: www.hoc247.vn - Hotline: 098 9627 405
lần cắt còn lại 1 hình vuông màu, điều phải chứng minh.
Bồi dưỡng HSG lớp 9
Luyện thi vào lớp 10 Chuyên Toán
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
Đề 3:
Câu 1: 1.điều kiện xác định của phương trình có nghĩa là:
2. Với điều kiện trên, ta có phương trình:
Phương trình có nghiệm:
Từ (*) ta có:
.
Vậy:
thì phương trình có nghiệm là
thì phương trình vô nghiệm.
Trang | 17
Website: www.hoc247.vn - Hotline: 098 9627 405
Câu 2:
Bồi dưỡng HSG lớp 9
Luyện thi vào lớp 10 Chuyên Toán
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
Đặt ta có hệ phương trình sau:
Từ (3), dùng phép thế vào (2)
Câu 3: Ta có Mà phương trình đã cho vô nghiệm nên
hay
(vì )
(vì )
Câu 4: Nhận xét rằng có ít nhất một trong các số x, y, z là số chẵn. Thật vậy, nếu x, y, z đều là số
lẻ thì là số chẵn, còn xyz là số lẻ, điều này mâu thuẫn.
Hơn nữa:
Nên: Do là số nguyên, do đó chia
hết cho
Trang | 18
Website: www.hoc247.vn - Hotline: 098 9627 405
Câu 5:
Bồi dưỡng HSG lớp 9
Luyện thi vào lớp 10 Chuyên Toán
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
1. Tứ giác ABCF có ( và cùng nhìn cung BC với hai góc bằng nhau)
là tứ giác nội tiếp.
2. Tam giác DEC có nên vuông cân.
3.
mà nên Lại có tam giác DHC vuông cân nên tam giác DEC và tam giác DCH vuông cân. Vậy CEDH là hình vuông.
Câu 6: Giả sử số đội bóng là 12. Khi đó, số điểm của đội đứng cuối không thể nhỏ hơn 6. Tổng số điểm của 12 đội đó là:
Mặc khác, số trận đấu là và tổng số điểm của 12 đội là , vô lí
Trang | 19
Website: www.hoc247.vn - Hotline: 098 9627 405
Vậy số đội bóng không thể là 12.
Bồi dưỡng HSG lớp 9
Luyện thi vào lớp 10 Chuyên Toán
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
Đề 4:
Câu 1: 1. Giải và biện luận (1):
(1) có nghiệm kép
(1) có 2 nghiệm phân biệt:
pt vô nghiệm.
2.Theo câu trên, pt có 2 nghiệm phân biệt
(thỏa đk)
Vậy và thỏa bài toán
Câu 2:
Điều kiện:
Trang | 20
Website: www.hoc247.vn - Hotline: 098 9627 405
Ta có:
Bồi dưỡng HSG lớp 9
Luyện thi vào lớp 10 Chuyên Toán
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
So điều kiện suy ra phương trình vô nghiệm.
. Câu 3: Đặt Từ giả thiết, ta có:
Do đó,
Vậy
Câu 4:
. Ta có:
.
và
Khi đó, để A nhận giá trị nguyên thì Do đó: Vậy
Câu 5:
1. Ta có:
Trang | 21
Website: www.hoc247.vn - Hotline: 098 9627 405
tứ giác ODME nội tiếp.
Bồi dưỡng HSG lớp 9
Luyện thi vào lớp 10 Chuyên Toán
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
2.
3. Ta dễ chứng minh được
Cộng hai ý trên lại, ta có
Do AC là đường chéo của hình vuông nên
Câu 6:
Trang | 22
Website: www.hoc247.vn - Hotline: 098 9627 405
Do đa giác đều có 7 điểm là số lẻ nên khi tô màu các đỉnh bằng hai màu xanh và đỏ thì không thể xảy ra trường hợp các màu xen kẽ. Luôn tồn tại ít nhất hai đỉnh có cùng màu (giả sử xanh). Xét 4 điểm G, A, B, C (như hình). Giả sử A và B được tô màu xanh. -Điểm G hoặc C đều màu xanh xem như bài toán đã được chứng minh. -Điểm G và C cùng màu đỏ, ta xét thêm điểm E. +Nếu E được tô màu xanh, ta có tam giác ABE thỏa yêu cầu bài toán. +Nếu E được tô màu đỏ, ta có tam giác ECG thỏa yêu cầu bài toán. Vậy, luôn tồn tại tam giác cân cùng màu theo ycbt.
Bồi dưỡng HSG lớp 9
Luyện thi vào lớp 10 Chuyên Toán
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
Đề 5:
Câu 1:
1.Để pt trên có nghiệm kép
Vậy nghiệm kép của pt trên là
2. Phương trình có hai nghiệm phân biệt đều âm
thỏa ycbt.
Câu 2:
Nhận thấy không là nghiệm của (1)
Vậy với ta có:
Đặt ta tìm được
Trang | 23
Website: www.hoc247.vn - Hotline: 098 9627 405
Câu 3:
Bồi dưỡng HSG lớp 9
Luyện thi vào lớp 10 Chuyên Toán
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
Mặc khác, ta có Vậy
Dấu ‟=‟ xảy ra khi và chỉ khi
Câu 4: Giả sử phương trình có nghiệm hữu tỉ. Khi đó với k nào đó
. Ta có:
Vì là số nguyên tố, suy ra
Mặc khác, nên . Suy ra:
nên mâu thuẫn với (1). Vậy ta có dpcm.
Câu 5:
1.Ta có
Trang | 24
Website: www.hoc247.vn - Hotline: 098 9627 405
Tương tự cũng có
Bồi dưỡng HSG lớp 9
Luyện thi vào lớp 10 Chuyên Toán
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
CD là đường trung trực của BI
2. Vì CD là đường trung trực của BI nên Mà Gọi K là giao điểm của AB và CD, ta chứng minh được:
Vì CD//MN nên:
Vậy Từ các điều trên suy ra tam giác MIN cân tại I. 3. Kẻ Dễ chứng minh , vẽ đường kính AD.
Mặc khác theo đề
Vậy
Lại có nên
Do không đổi nên diện tích tam giác ABC lớn nhất khi BC lớn nhất nhỏ
nhất.
cân tại A
Mà nên dễ tính được
Trang | 25
Website: www.hoc247.vn - Hotline: 098 9627 405
Vậy diện tích tam giác ABC lớn nhất khi tam giác ABC đều.
Bồi dưỡng HSG lớp 9
Luyện thi vào lớp 10 Chuyên Toán
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
Câu 6:
. Xét 6 đường trong tâm A, B, C, D, M, N bán kính 10, dễ
Trang | 26
Website: www.hoc247.vn - Hotline: 098 9627 405
Giả sử hình vuông đã cho là ABCD. Gọi H, K là trung điểm của AB và CD. Lấy M, N trên đoạn HK sao cho thấy các đường tròn này không có điểm chung. Vì chỉ có 5 điểm nên tồn tại một đường tròn không chứa điểm nào trong 5 điểm đã cho. Gọi O là tâm của đường tròn, khi đó, O thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Bồi dưỡng HSG lớp 9
Luyện thi vào lớp 10 Chuyên Toán
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
Đề 6:
thì:
Câu 1: 1.Phương trình Đặt (1) có nghiệm (2) có ít nhất 1 nghiệm
2. Pt có đúng 3 nghiệm có:
Câu 2: 1.
2.
Câu 3: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
hay (vì )
Do đó
Trang | 27
Website: www.hoc247.vn - Hotline: 098 9627 405
Suy ra
Bồi dưỡng HSG lớp 9
Luyện thi vào lớp 10 Chuyên Toán
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
Vậy
Câu 4:
. Vậy giữa số
và Ta có: nguyên dương liên tiếp suy ra trong số đó, tồn tại số A chia hết cho có ít nhất .
Câu 5:
1. Vì I là trung điểm của CD nên và MA, MB là các tiếp tuyến.
Do đó M, A, I, O, B cùng nằm trên một đường tròn đường kính MO. Vậy tứ giác MAIB nội tiếp.
2.
cân tại M có MO là phân giác
Vậy MO cũng là đường cao. Áp dụng hệ thức cạnh và góc cho tam giác vuông MAO, ta có:
Vậy
Vậy ODCH là tứ giác nội tiếp, hay H thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác OCD. 3. Gọi K, J là giao điểm của AB với OI và CD.
Trang | 28
Website: www.hoc247.vn - Hotline: 098 9627 405
Ta có:
Bồi dưỡng HSG lớp 9
Luyện thi vào lớp 10 Chuyên Toán
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
nên OI không đổi.
không đổi do CD cố định nên OK cố định, hay K cũng cố định.
Mà Mặc khác Vậy M di động thì đường thẳng d qua K cố định.
4.
Mà và
hay
Vậy
Trang | 29
Website: www.hoc247.vn - Hotline: 098 9627 405
Câu 6: Ta xếp 100 người vào 3 nhóm, nhóm A và B mỗi nhóm 33 người, nhóm C có 34 người sao cho: Mỗi người trong mỗi nhóm chỉ quen những người trong các nhóm khác. Theo nguyên tắc Dirichlet thì 4 người bất kì luôn có 2 người chung 1 nhóm, và 2 người này không quen nhau. Vậy, không tồn tại yêu cầu bài toán.
Bồi dưỡng HSG lớp 9
Luyện thi vào lớp 10 Chuyên Toán
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
Đề 7:
Câu 1: 1. Vậy phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt khi m thay đổi. 2. . Hai nghiệm của phương trình là:
Do
Câu 2: Xét thay vào pt trên thấy không thỏa bài toán.
Vậy, với , pt trở thành
Đặt , pt suy ra:
Giải pt trên ta thu được nghiệm
Với
Với
Vậy pt trên nhận hai nghiệm là
Câu 3:
Ta có:
và
Do đó và
Tương tự ta có
Trang | 30
Website: www.hoc247.vn - Hotline: 098 9627 405
Vì vậy
Bồi dưỡng HSG lớp 9
Luyện thi vào lớp 10 Chuyên Toán
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
Câu 4: Đặt . Áp dụng định lý Fermat ta có:
và
vì a không chia hết cho 5 và 7 nên Mặc khác,
Vậy
Câu 5:
1. Ta có
Vậy tứ giác CDFE nội tiếp. 2. B thuộc đường tròn đường kính Vậy: Xét tam giác EBF, ta có:
Đẳng thức xảy ra khi hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. 3. Tứ giác ODFG nội tiếp.
Trang | 31
Website: www.hoc247.vn - Hotline: 098 9627 405
mà Vậy tứ giác BEGF nội tiếp. Ta suy ra các đẳng thức sau:
Bồi dưỡng HSG lớp 9
Luyện thi vào lớp 10 Chuyên Toán
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
G, O, B thẳng hàng, hay G, A, B thẳng hàng.
là tổng các số ghi trên các đỉnh A, . Gọi
là tổng các số ghi trên các đỉnh B, D, F.
Câu 6: Gọi lục giác đã cho là ABCDEF, xếp theo thứ tự kim đồng hồ. 6 số ghi trên các đỉnh đó lần lượt là C, E. Gọi Ta có: , vì: và ,
.
Trang | 32
Website: www.hoc247.vn - Hotline: 098 9627 405
Vậy không thể làm cho 6 đỉnh có 6 số bằng nhau được.
Bồi dưỡng HSG lớp 9
Luyện thi vào lớp 10 Chuyên Toán
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
Đề 8:
Câu 1: 1. Để phương trình có hai nghiệm đều âm:
hai nghiệm là:
Để hai nghiệm đều âm:
2. Ta có:
thỏa ycbt
Câu 2: Ta có:
Nên và cùng dấu.
Ta có:
(vì x, y cùng
dấu)
Câu 3: Do nên
Trang | 33
Website: www.hoc247.vn - Hotline: 098 9627 405
Mà
Bồi dưỡng HSG lớp 9
Luyện thi vào lớp 10 Chuyên Toán
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
thì vế phải là số lẻ, vế trái buộc phải có , thay vào thấy vô lý.
. Vì vế phải chia 4 dư 2 nên vế trái cũng chia 4 dư 2.
Câu 4: Nếu thì Nếu (vì nếu thì vế trái chia hết cho 4).
Vậy nghiệm của hệ trên là
Câu 5:
1. Ta có:
Tứ giác EDIJ nội tiếp, hay 4 điểm D, E, I, J cùng nằm trên một đường tròn.
2.
Vậy HA là đường phân giác của góc DHE. 3. DE là tiếp tuyến chung của hai đường tròn thì ta có:
Vậy tam giác ABC cân tại A thì DE tiếp xúc với hai đường tròn đường kính AB và AC.
Câu 6: Ta tô màu theo dạng bàn cờ. Mỗi miếng dùng để lát thuộc một trong hai loại: 1-Loại gồm 1 ô trắng và 3 ô đen. 2-Loại gồm 1 ô đen và 3 ô trắng. Giả sử có thể phủ được bằng x miếng loại 1 và y miếng loại 2 . Ta có:
Trang | 34
Website: www.hoc247.vn - Hotline: 098 9627 405
(không thỏa)
Bồi dưỡng HSG lớp 9
Luyện thi vào lớp 10 Chuyên Toán
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
Đề 9:
Câu 1: 1. Để pt (1) có nghiệm thì
.
2. Theo câu a, với thì phương trình có hai nghiệm . Gọi là các nghiệm của pt
trên.
thỏa ycbt.
Vậy 3.Theo đề, tổng bình phương các nghiệm là
.
Vì nên
.
. Dấu “=” xảy ra khi Vậy GTNN của biểu thức đề bài yêu cầu là 0 khi
Câu 2: Điều kiện để phương trình có nghiệm: Vế trái: Theo bất đẳng thức B.C.S, ta có:
Trong khi đó vế phải:
Vậy, (*) xảy ra khi
Vậy pt trên nhận nghiệm duy nhất
Câu 3: Trước hết, ta dễ dàng chứng minh được với mọi số thực dương x, y, z ta luôn có:
.
Trang | 35
Website: www.hoc247.vn - Hotline: 098 9627 405
Vai trò của a, b, c trong bài toán là như nhau, ta giả sử thì P đạt GTNN.
Bồi dưỡng HSG lớp 9
Luyện thi vào lớp 10 Chuyên Toán
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
Vậy ta tìm k thỏa mãn
, ta có Đặt
Vì
Với k được xác định như trên, ta suy ra giá trị nhỏ nhất của P bằng
tức
Câu 4: Xem phương trình đã cho là phương trình bậc hai với biến x:
Để phương trình trên có nghiệm nguyên thì phải là số chính phương.
Trang | 36
Website: www.hoc247.vn - Hotline: 098 9627 405
Từ đó suy ra
Bồi dưỡng HSG lớp 9
Luyện thi vào lớp 10 Chuyên Toán
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
Câu 5:
1. Ta có H, D cùng nhìn CK một góc vuông nên CDKH là tứ giác nội tiếp.
nên và vuông cân tại H.
vuông cân tại C
Vậy CK là tiếp tuyến của đường tròn đường kính BC. 2. Xét hai tam giác vuông ABC và DKC, ta có:
. Nếu chia cho 3 ta được 46 và dư 2 quả.
Câu 6: Tổng số trái cây là Nhưng thực tế ta không thể làm cho 46 con khỉ hài lòng được, mà chỉ có thể làm tối đa 45 con khỉ hài lòng. Cách chứng minh như sau: Ta để sang một bên 50 quả đào. Còn lại 90 quả táo, lê, chuối. Muốn một con khỉ hài lòng, ta phải cho nó ăn ít nhất 2 quả trong 90 quả này. Suy ra, số con khỉ hài lòng không vượt quá 90 : 2 = 45. Ta có thể chỉ ra 1 cách để đạt được con số 45 này, như sau: Nhóm 1 có 5 con, mỗi con ăn 1 quả táo, 1 quả lê, 1 quả đào Nhóm 2 có 15 con, mỗi con ăn 1 quả táo, 1 quả chuối, 1 quả đào Nhóm 3 có 25 con, mỗi con ăn 1 quả lê, 1 quả chuối, 1 quả đào. Tổng cộng ta dùng quả chuối, quả táo, quả lê,
Trang | 37
Website: www.hoc247.vn - Hotline: 098 9627 405
quả đào và làm cho con khỉ hài lòng. Ta thừa 5 quả đào.
Bồi dưỡng HSG lớp 9
Luyện thi vào lớp 10 Chuyên Toán
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
Đề 10:
Câu 1:
1.
(1)-(2):
Biện luận:
hệ vô nghiệm
2. Hệ có nghiệm duy nhất
Xét
(nhận)
(nhận)
Vậy hệ luôn có nghiệm nguyên duy nhất.
Câu 2: 1.Điều kiện: . Phương trình đã cho trở thành:
2. Vì không là nghiệm của pt trên nên pt đã cho tương đương:
Trang | 38
Website: www.hoc247.vn - Hotline: 098 9627 405
Đặt ẩn (Cauchy)
Bồi dưỡng HSG lớp 9
Luyện thi vào lớp 10 Chuyên Toán
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
Tìm ra được
Vậy pt đã cho có 3 nghiệm thỏa bài toán
Câu 3: Do nên ta có :
Áp dụng bất đẳng thức CauChy với hai số x, y không âm:
tương tự:
Cộng theo vế lại ta có: GTNN xảy ra khi
Câu 4: Giả sử
Đặt
Với Với
Trang | 39
Website: www.hoc247.vn - Hotline: 098 9627 405
Câu 5:
Bồi dưỡng HSG lớp 9
Luyện thi vào lớp 10 Chuyên Toán
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
Gọi K là trung điểm của AB, dễ chứng minh được K cũng thuộc đường kính DE. Vẽ đường thằng vuông góc với CD tại M, cắt CA tại I. Ta có:
Suy ra
không đổi nên I cố định. M nhìn cạnh CI bằng một góc vuông nên M thuộc đường tròn đường kính CI cố định. Tương tự chứng minh được N nhìn cạnh CI cũng một góc vuông.
Vậy (O) thay đổi thì M và N di động trên đường tròn đường kính .
Câu 6: Gọi 5 đường tròn đã cho là và giả sử chúng không đi qua
cùng 1 điểm. Theo giả thiết bốn đường tròn cùng đi qua điểm A; bốn
đường tròn cùng đi qua điểm B; bốn đường tròn cùng
đi qua điểm C. Khi đó, và có chung 3 điểm A, B, C. Vì 5 đường tròn đã cho
không có điểm chung nên A, B, C đôi một khác nhau. Tức là điều này vô lí.
Trang | 40
Website: www.hoc247.vn - Hotline: 098 9627 405
Vậy điều ta giả sử sai
Bồi dưỡng HSG lớp 9
Luyện thi vào lớp 10 Chuyên Toán
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
CHƯƠNG TRÌNH LUYỆN THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN NĂM 2017 TRÊN HỌC247
- Chương trình luyện thi được xây dựng dành riêng cho học sinh giỏi, các em yêu thích toán và muốn thi
vào lớp 10 các trường chuyên.
- Nội dung được xây dựng bám sát với đề thi tuyển sinh lớp 10 các trường chuyên của cả nước trong
những năm qua.
- Đội ngũ giáo viên giảng dạy gồm các thầy nổi tiếng có nhiều năm kinh nghiệm trong việc ôn luyện học
sinh giỏi.
- Hệ thống bài giảng được biên soạn công phu, tỉ mỉ, phương pháp luyện thi khoa học, hợp lý mang lại kết
quả tốt nhất.
- Lớp học qua mạng, tương tác trực tiếp với giáo viên, huấn luyện viên.
- Học phí tiết kiệm, lịch học linh hoạt, thoải mái lựa chọn.
- Mỗi lớp từ 5 đến 10 em để được hỗ trợ kịp thời nhằm đảm bảo chất lượng khóa học ở mức cao nhất.
- Đặc biệt, các em còn hỗ trợ học tập thông qua cộng đồng luyện thi vào lớp 10 chuyên của HỌC247.
https://www.facebook.com/ OnThiLop10ChuyenToan
Trang | 41
Website: www.hoc247.vn - Hotline: 098 9627 405
