!""#
Trang
= =
>
>
⇒ = = = +
.
Bưc 3. ðưng th#ng
= +
.
Chú ý: Giá tr cc tr là
(
)
(
)
< <
= +
.
IV. GIÁ TR; NH< NHT – GIÁ TR; L=N NHT C9A HÀM S
Phương pháp gii toán
1. Hàm s liên t*c trên ñon [a; b]
Cho hàm s y = f(x) liên tc trên ñon [a; b]. ð tìm giá tr ln nht (max) và giá tr nh nht (min) ca f(x) trên ñon [a; b] ta
thc hin các bưc sau:
Bưc 1. Gii phương trình
=
(tìm ñim ti hn). Gi s có n nghim x
1
; x
2
; …; x
n
thuc ñon [a; b] (ta loi các
nghim nm ngoài ñon [a; b]).
Bưc 2. Tính f(a), f(x
1
), f(x
2
), …, f(x
n
), f(b).
Bưc 3. Giá tr ln nht, nh nht trong các giá tr bưc 2 là các giá tr tương !ng c n tìm.
Chú ý:
a) ð cho g"n ta dùng ký hiu
%$ %
thay cho
%$ %
∈ ∈
.
b) Nu ñ bài chưa cho ñon [a; b] thì ta phi tìm MXð ca hàm s trưc khi làm bưc 1.
c) Có th ñi bin s
=
và vit
'
= =
.
G"i T là min giá tr ca hàm t(x) (thưng g"i là ñiu kin ca t ñi vi x) thì:
<
%$ %$ '
∈ ∈
=
,
<
% % '
∈ ∈
=
.
2. Hàm s liên t*c trên khong (a; b) hoc trên
ℝ
Cho hàm s y = f(x) liên tc trên
"
=
hoc
=
ℝ
ta thc hin các bưc sau:
Bưc 1. Gii
=
(tìm ñim ti hn). Gi s có n nghim x
1
; x
2
; …; x
n
thuc D (ta loi các nghim không thuc D).
Bưc 2. Tính
#$% ?
+
→
=
, f(x
1
), f(x
2
), …, f(x
n
),
#$% ?
−
→
=
.
Bưc 3.
1)
{
}
{
}
%$ %$ ? ?
< ⇒
{
}
%$
%$
=
(1).
2)
{
}
{
}
% % ? ?
> ⇒
{
}
%
%
=
(2).
3) Nu không tha (1) (hoc (2)) thì hàm s không ñt min (hoc max).
Chú ý: Có th lp bng bin thiên ca hàm s f(x) thay cho bưc 3.
V. TI>P TUY>N V=I ð? TH; HÀM S
1. Tip tuyn ti ñim M(x
0
; y
0
) thuc ñư5ng cong (C): y = f(x)
Bưc 1. Kim tra ñim M thuc ñưng cong (C).
Bưc 2. Áp dng công th!c
(
)
− = −
.
2. Tip tuyn vi ñư5ng cong (C): y = f(x) bit h s góc là k
Bưc 1. Gii phương trình
2 - "
= ⇒ ⇒ ⇒
là tip ñim.
Bưc 2. Áp dng công th!c
(
)
2
− = −
.
3. Tip tuyn ñi qua ñim M(x
0
; y
0
) vi ñư5ng cong (C): y = f(x) (M có th thuc (C))
Bưc 1. Tip tuyn qua ñim M có dng (d): y = k(x – x
0
) + y
0
.
Bưc 2. (d) tip xúc (C) khi và ch khi h phương trình sau có nghim:
2
2
= − +
=
.
Bưc 3. Gii h phương trình trên bng cách th k t (2) vào (1), gii x và th tr li (2) ñ tìm k.
Cui cùng th k vào phương trình ca (d).
VI. ð? TH; C9A HÀM S CH/A GIÁ TR; TUY'T ðI
1. ð th hàm s
(
)
(hàm s ch@n)
G"i
=
và
(
)
=
ta thc hin các bưc sau:
Bưc 1. V- ñ th (C) và ch gi. li ph n ñ th nm phía bên phi trc tung.
Bưc 2. Ly ñi x!ng ph n ñ th bưc 1 qua trc tung ta ñưc ñ th (C
1
).
2. ð th hàm s
G"i
=
và
=
ta thc hin các bưc sau:
!""#
Trang
Bưc 1. V- ñ th (C).
Bưc 2. Gi. li ph n ñ th ca (C) nm phía trên trc hoành. Ly ñi x!ng ph n ñ th nm phía dưi trc hoành ca (C) qua
trc hoành ta ñưc ñ th (C
2
).
3. ð th hàm s
(
)
G"i
(
)
=
,
=
và
(
)
=
.
D% thy ñ v- (C
3
) ta thc hin các bưc v- (C
1
) ri (C
2
) (hoc (C
2
) ri (C
1
)).
……………………………………………
D. HÌNH HAC
Chương I. HÌNH HAC PH.NG
I. PHƯƠNG PHÁP TAA ðB TRONG MCT PH.NG
Cho
" "
= =
, ta có:
1)
"
± = ± ±
. 2)
2 2 " 2 2
= ∈
ℝ
.
3)
2
⇔ = ⇔ = ⇔ − = ⇔ = ≠ ≠
.
4)
= +
. 5)
= + ⇒ = +
.
6)
&* &*
+
= ⇒ = = + +
⇒ ⊥ ⇔ + =
.
7)
(
)
(
)
" 3 = − − ⇒ = − −
.
8) ðim M chia ñon AB theo t s k
- 2-
⇔ =
2 2
- "
2 2
− −
⇒
− −
9) ðim I là trung ñim ca ñon AB thì I
"
+ +
10) T"a ñ tr"ng tâm G ca
là
! "
+ + + +
II. ðƯDNG TH.NG
1. Phương trình ñư5ng th ng
1.1. Phương trình t+ng quát
Phương trình tng quát ca ñưng th#ng (d) có dng
(
)
+ + = + >
.
1)
8 "
= −
hoc
8 "
= −
là vectơ ch phương (VTCP) ca (d).
2)
"
=
là vectơ pháp tuyn (VTPT) ca (d).
3) (d) ñi qua
- "
và
"
=
thì (d):
4
− + − =
.
1.2. Phương trình tham s (ptts)
(d) ñi qua
- "
và có VTCP
8 8 " 8
=
thì
8
4*
8
= +
∈
= +
ℝ
.
1.3. Phương trình chính t(c (ptct)
(d) ñi qua
- "
và có VTCP
8 8 " 8
=
vi
8 8
≠
thì
4 8 8
− −
=
.
1.4. Phương trình ñư5ng th ng ñi qua hai ñim
4
− −
=
− −
hoc
4
− −
=
− −
.
1.5. Phương trình ñon ch(n
Cho (d) ñi qua
""
≠ ≠
thì
4
+ =
.
1.6. ðc bit
4,
=
,
4,
=
.
!""#
Trang
2. Mt s tính cht
Cho hai ñưng th#ng (d
1
): A
1
x + B
1
y + C
1
= 0 và (d
2
): A
2
x + B
2
y + C
2
= 0.
2.1. V trí tương ñi ca hai ñư5ng th ng
1) (d
1
) c&t (d
2
)
⇔ ≠ ⇔ ≠
. Hoc
≠
(
)
≠ ≠
.
2) (d
1
) song song (d
2
)
⇔ = ≠
hoc
≠
.
3) (d
1
) trùng (d
2
)
⇔ = = =
.
2.2. Góc gia hai ñư5ng th ng
G"i
ϕ
là góc và VTPT ca (d
1
) và (d
2
), ta có:
&*
ϕ =
.
2.3. Khong cách tE
- "
ñn (d):
- "
+ +
=
+
.
III. ðƯDNG TRÒN
1. Phương trình ñư5ng tròn
Cho ñưng tròn (C) có tâm I(a; b), bán kính R.
1.1. Phương trình chính t(c (C): (x – a)
2
+ (y – b)
2
= R
2
.
1.2. Phương trình t+ng quát (C): x
2
+ y
2
– 2ax – 2by + c = 0,
6
= + −
.
2. V trí tương ñi ca ñư5ng th ng và ñư5ng tròn
Cho (d): Ax + By + C = 0 và (C) tâm I bán kính R, ta có 3 v trí tương ñi sau ñây:
1) (d) tip xúc (C)
⇔
d(I; (d)) = R.
2) (d) c&t (C) ti hai ñim phân bit
⇔
d(I; (d)) < R.
3) (d) không c&t (C)
⇔
d(I; (d)) > R.
3. V trí tương ñi ca hai ñư5ng tròn
Cho (C
1
) tâm I
1
bán kính R
1
và (C
2
) tâm I
2
bán kính R
2
, ta có 5 v trí tương ñi sau ñây:
1) (C
1
) và (C
2
) ngoài nhau
⇔
I
1
I
2
> R
1
+ R
2
.
2) (C
1
) tip xúc ngoài vi (C
2
)
⇔
I
1
I
2
= R
1
+ R
2
.
3) (C
1
) c&t (C
2
) ti hai ñim phân bit
6 6 @ @ 6 6
⇔ − < < +
.
4) (C
1
) tip xúc trong vi (C
2
)
@ @ 6 6
⇔ = −
.
5) (C
1
) và (C
2
) ch!a nhau
@ @ 6 6
⇔ < −
.
IV. CÁC ðƯDNG CONIC
1. ELIP
1.1. ðnh nghĩa
Cho hai ñim c ñnh F
1
, F
2
vi F
1
F
2
= 2c và hng s 2a (a > c > 0). Tp (E) là mt elip nu
- A -B -B
∈ ⇔ + =
.
1) F
1
, F
2
là 2 tiêu ñim. 2) F
1
F
2
= 2c là tiêu c.
3) A
1
(– a; 0), A
2
(a; 0), B
1
(0;–b), B
2
(0; b) là 4 ñnh ca elip.
1.2. Phương trình chính t(c:
A
+ =
. Trong ñó, b
2
= a
2
– c
2
và a > b > 0.
1.3. Bán kính qua tiêu ñim
Cho ñim M thuc
A
+ =
ta có
-
-B
= +
,
-
-B
= −
.
1.4. Tâm sai
(
−
= =
(
)
(
<
.
1.5. ðư5ng chu)n ca elip
( (
= − ⇔ = − = ⇔ =
.
1.6. Tip tuyn vi elip
ðiu kin tip xúc
Cho ñưng th#ng (d): Ax + By + C = 0 và elip
A
+ =
ta có: (d) tip xúc (E)
⇔
a
2
A
2
+ b
2
B
2
= C
2
≠
.
!""#
Trang
2. HYPERPOL
2.1. ðnh nghĩa
Cho hai ñim c ñnh F
1
, F
2
vi F
1
F
2
= 2c và hng s 2a (c > a > 0).
Tp (H) là mt hyperpol nu
- 5 -B -B
∈ ⇔ − =
.
1) F
1
(– c; 0), F
2
(c; 0) là 2 tiêu ñim.
2) F
1
F
2
= 2c là tiêu c.
3) A
1
(– a; 0), A
2
(a; 0) là 2 ñnh thuc trc thc. B
1
(0;–b), B
2
(0; b) là 2 ñnh thuc trc o.
2.2. Phương trình chính t(c (H)
− =
, c
2
= a
2
+ b
2
.
2.3. Bán kính qua tiêu ñim
1) M thuc nhánh phi (x
M
> 0): MF
1
= ex
M
+ a, MF
2
= ex
M
– a.
2) M thuc nhánh trái (x
M
< 0): MF
1
= – ex
M
– a, MF
2
= – ex
M
+ a.
2.4. Tâm sai:
(
= >
2.5. ðư5ng chu)n:
(
= ± = ±
2.6. Tim cn:
= ±
2.7. ðiu kin tip xúc vi ñư5ng th ng: a
2
A
2
– b
2
B
2
= C
2
≠
Chú ý:
− = −
là hyperpol liên hp ca
− =
.
3. PARAPOL
3.1. ðnh nghĩa
Cho ñưng th#ng c ñnh
(
)
và ñim
(
)
B
∉
c ñnh. Tp (P) là mt parapol nu
(
)
- -B -
∈ ⇔ =
.
1)
4
B "
là tiêu ñim,
(
)
là ñưng chun.
2)
(
)
4 B
=
là tham s tiêu.
3) O(0; 0) là ñnh và MF là bán kính qua tiêu ñim ca M (M thuc parapol).
3.2. Phương trình chính t(c (P): y
2
= 2px (p > 0).
3.3. Tâm sai: e = 1.
3.4. ðư5ng chu)n:
4
= −
.
3.4. ðiu kin tip xúc: 2AC = B
2
p.
3.5. Các dng parapol khác: y
2
= – 2px, x
2
= 2py, x
2
= – 2py (p > 0).
Chương II. CÁC TÍNH CHT VÀ CÔNG TH/C CƠ B6N TRONG HÌNH HAC KHÔNG GIAN
1. Quan h song song
Trong không gian cho các ñưng th#ng a, b, c và mt ph#ng (P), (Q), (R). Ta có:
1) a // b
⇔
a, b ñng ph#ng và
∩
= Ø; 2) a // (P)
⇔ =
∩
Ø;
3) a // (P)
⇔ ⊄
và
∃ ⊂
: a // b; 4) (P) // (Q)
⇔ =
∩
Ø;
5) (P) // (Q)
⇔ ∃ ⊂
, a c&t b: a, b // (Q); 6) a // (P) và
= ⇒
∩
a // b;
7) (P) // (Q),
6
=
∩
và
6
= ⇒
∩
a // b;
8)
⊂
,
⊂
, a // b và
= ⇒
∩
a // b // c.
2. Quan h vuông góc
Trong không gian cho các ñưng th#ng a, b, c và mt ph#ng (P), (Q), (R). Ta có:
1)
C
⊥ ⇔ =
;
2)
⊥ ⇔ ∃ ⊂
, b c&t c:
⊥
,
⊥
;
3)
⊥ ⇔ ∃ ⊂ ⊥
;
4) (P) // (Q),
⊥ ⇒ ⊥
;
5)
6 6
⊥ ⊥
và
= ⇒
∩
6
⊥
;
6) Ch
(P)
a = b,
⊂
và
⊥ ⇒
⊥
(ðnh lý 3 ñưng vuông góc).
!""#
Trang
3. Th tích
1) Th tích khi lăng tr:
> 7
=
(S: din tích ñáy, h: ñ dài ñưng cao).
2) Th tích khi chóp:
> 7
=
(S: din tích ñáy, h: ñ dài ñưng cao).
3) Th tích khi nón:
> 7 6 7
= = π
(R: bán kính ñáy, h: ñ dài ñưng cao).
4) Th tích khi tr:
> 7 6 7
= = π
(R: bán kính ñáy, h: ñ dài ñưng cao).
5) Th tích khi c u:
> 6
= π
(R: bán kính ñáy).
6) Cho khi t! din S.ABC. Trên các tia SA, SB, SC ly l n lưt các ñim A’, B’, C’ khác S.
Khi ñó
. . .
>
. . .
>
=
.
4. Din tích
1) Din tích xung quanh hình nón:
;
6#
= π
(R: bán kính ñáy, l: ñ dài ñưng sinh).
2) Din tích toàn ph n hình nón:
4
66 #
= π +
(R: bán kính ñáy, l: ñ dài ñưng sinh).
3) Din tích xung quanh hình tr:
;
67
= π
(R: bán kính ñáy, h: ñ dài ñưng cao).
4) Din tích toàn ph n hình tr:
4
66 7
= π +
(R: bán kính ñáy, h: ñ dài ñưng cao).
5) Din tích mt c u:
6
= π
(R: bán kính ñáy).
Chương III. PHƯƠNG PHÁP TAA ðB TRONG KHÔNG GIAN
I. CÔNG TH/C CƠ B6N
Cho
" " " "
= =
ta có:
1)
" "
± = ± ± ±
. 2)
2 2 " 2 " 2 2 6
= ∈
.
3) Tích vô hưng
= + +
. 4)
= + + ⇒ = + +
.
5)
= (x
B
– x
A
; y
B
– y
A
; z
B
– z
A
)
(
)
(
)
(
)
+ +
⇒ = − + − + −
6)
&*
+ +
= = + + + +
⇒ ⊥ ⇔ + + =
.
7) Tích có hưng
" "
=
.
8)
cùng phương
2
⇔ = ⇔ = ⇔ = =
(
)
≠
.
9)
⊥ ⊥
.
10)
*$ *$
= ⇒ =
.
11)
ñng ph#ng
⇔ =
12) ðim M chia ñon AB theo t s k
- 2-
⇔ =
2 2 + 2+
- " "
2 2 2
− − −
⇒
− − −
.
13) ðim I là trung ñim ca ñon AB thì
+ +
@ " "
+ + +
14) T"a ñ tr"ng tâm G ca
:
+ + +
! " "
+ + + + + +
15) Tr"ng tâm G ca t! din ABCD tha
! ! ! !
+ + + =
và có t"a ñ:
+ + + +
! " "
+ + + + + + + + +
.
![Bài tập so sánh hơn và so sánh nhất của tính từ [kèm đáp án/mới nhất]](https://cdn.tailieu.vn/images/document/thumbnail/2025/20250808/nhatlinhluong27@gmail.com/135x160/77671754900604.jpg)
![Tài liệu tham khảo Tiếng Anh lớp 8 [mới nhất/hay nhất/chuẩn nhất]](https://cdn.tailieu.vn/images/document/thumbnail/2025/20250806/anhvan.knndl.htc@gmail.com/135x160/54311754535084.jpg)
![Tài liệu Lý thuyết và Bài tập Tiếng Anh lớp 6 [Mới nhất]](https://cdn.tailieu.vn/images/document/thumbnail/2025/20250802/hoihoangdang@gmail.com/135x160/18041754292798.jpg)
