
A. ĐT V N ĐẶ Ấ Ề
I. L I M ĐUỜ Ở Ầ
M t trong nh ng y u t quy t đnh s hình thành và phát tri n nhân cách, ócộ ữ ế ố ế ị ự ể
sáng t o, kh năng t duy đc l p, s ham tìm tòi khám phá, gi i quy t v n đ cóạ ả ư ộ ậ ự ả ế ấ ề
căn c chính xác và khoa h c chính là vi c h c toán. Có th nói môn toán là mônứ ọ ệ ọ ể
th thao c a trí tu . Do đó, c n ph i phát hi n và b i d ng k p th i nh ng h cể ủ ệ ầ ả ệ ồ ưỡ ị ờ ữ ọ
sinh có năng khi u toán đ t o đi u ki n cho các em phát tri n t duy, kh năngế ể ạ ề ệ ể ư ả
sáng t o, t o c s ban đu cho vi c b i d ng và phát tri n tài năng sau này.ạ ạ ơ ở ầ ệ ồ ưỡ ể
Trong môn toán thì gi i toán là m t trong nh ng bi u hi n năng đng nh t c aả ộ ữ ể ệ ộ ấ ủ
ho t đng trí tu . Gi i toán đòi h i h c sinh ph i t duy m t cách linh ho t, sángạ ộ ệ ả ỏ ọ ả ư ộ ạ
t o, huy đng t ng h p các ki n th c đã h c đ gi i quy t các tình hu ng c th ,ạ ộ ổ ợ ế ứ ọ ể ả ế ố ụ ể
ph c t p khác nhau.ứ ạ
Trong th c t , trong m t l p h c luôn luôn có 3 đi t ng khá gi i - trung bìnhự ế ộ ớ ọ ố ượ ỏ
- y u. Do đó ng i giáo viên c n ph i xác đnh yêu c u “ph c p” đi v i di nế ườ ầ ả ị ầ ổ ậ ố ớ ệ
đi trà đó là nh ng ki n th c kĩ năng c b n. Đng th i ph i đt ra nh ng yêu c uạ ữ ế ứ ơ ả ồ ờ ả ặ ữ ầ
cao đi v i m t s h c sinh khá gi i. Đó là nh ng bài toán có n i dung và ki nố ớ ộ ố ọ ỏ ữ ộ ế
th c ph c t p h n, đòi h i t duy cao h n. Chuyên đ “Các bài toán v tính tu i”ứ ứ ạ ơ ỏ ư ơ ề ề ỏ
là m t chuyên đ t p h p r t nhi u các d ng toán c b n, đi n hình Ti u h c.ộ ề ậ ợ ấ ề ạ ơ ả ể ở ể ọ
Bên c nh đó nó còn là m t đi u ki n t t đ khai thác, s d ng cho vi c b i d ngạ ộ ề ệ ố ể ử ụ ẹ ồ ưỡ
h c sinh gi i môn toán Ti u h c.ọ ỏ ở ể ọ
Song n i dung và ph ng pháp b i d ng nh th nào đ nh ng h c sinh kháộ ươ ồ ưỡ ư ế ể ữ ọ
gi i phát tri n t duy năng khi u toán c a mình, làm th nào đ các em t tìmỏ ể ư ế ủ ế ể ự
ki m đc ph ng pháp h c t p cho mình khi gi i toán khó? Đó chính là nh ngế ượ ươ ọ ậ ả ữ
trăn tr c a nh ng đng chí giáo viên đng l p Ti u h c nói chung và b n thânở ủ ữ ồ ứ ớ ở ể ọ ả
tôi nói riêng.
Băn khoăn v i nh ng câu h i nêu trên, tôi đã m nh d n nghiên c u đ tài :ớ ữ ỏ ạ ạ ứ ề
B i d ng h c sinh gi i toán Ti u h c, chuyên đ “Các bài toán v tínhồ ưỡ ọ ỏ ở ể ọ ề ề
tu i”. ổ
II. TH C TR NG C A V N Đ NGHIÊN C U:Ự Ạ Ủ Ấ Ề Ứ
1. Th c tr ng:ự ạ Trong m y năm h c g n đây, tôi đu đc phân công ch nhi m,ấ ọ ầ ề ượ ủ ệ
gi ng d y và b i d ng h c sinh gi i môn toán l p 5 tôi th y có nh ng thu n l iả ạ ồ ưỡ ọ ỏ ớ ấ ữ ậ ợ
và khó khăn sau:
- Giáo viên d y b i d ng th ng ch nh m gi i quy t các bài t p ch ch a chú ýạ ồ ưỡ ườ ỉ ằ ả ế ậ ứ ư
đn vi c rèn kĩ năng gi i toán, đc bi t là ch a chú ý rèn các thao tác t duy choế ệ ả ặ ệ ư ư
h c sinh (đây là m t vi c làm r t c n thi t trong vi c b i d ng h c sinh gi i).ọ ộ ệ ấ ầ ế ệ ồ ưỡ ọ ỏ
- Chuyên đ “ ềCác bài toán v tính tu iề ổ ” có s l ng r t phong phú, ki u bài đaố ượ ấ ể
d ng nên vi c nghiên c u đ phân lo i và tìm ra cách gi i phù h p là m t vi c làmạ ệ ứ ể ạ ả ợ ộ ệ
không ph i d dàng đi v i giáo viên b i nó đòi h i ph i đu t th i gian và trí tuả ễ ố ớ ở ỏ ả ầ ư ờ ệ
t ng đi nhi u. H c sinh hi u, ghi nh d ng toán và cách gi i c a d ng toánươ ố ề ọ ể ớ ạ ả ủ ạ
1

thi u b n ch t, kh năng v n d ng trong quá trình gi i toán nâng cao l i càngế ề ặ ả ậ ụ ả ạ
“khiêm t n “ h n. Đây là đi m khó khăn cho giáo viên khi d y b i d ng h c sinhố ơ ể ạ ồ ưỡ ọ
gi i.ỏ
- Bên c nh đó m t b ph n ph huynh h c sinh còn thi u quan tâm đn vi c h cạ ộ ộ ậ ụ ọ ế ế ệ ọ
b i d ng c a con em, ch a mua tài li u tham kh o cho con em theo yêu c u vàồ ưỡ ủ ư ệ ả ầ
h ng d n c a giáo viên d y, vi c h c sinh nh n d ng các bài toán thu c chuyênướ ẫ ủ ạ ệ ọ ậ ạ ộ
đ “Các bài toán v tu i” còn r t h n ch .ề ề ổ ấ ạ ế
- S h c sinh có kh năng phát tri n v môn toán còn ít.ố ọ ả ể ề
2. K t qu c a th c tr ng:ế ả ủ ự ạ
V i th c tr ng nh đã nêu trên, ngay t đu năm h c, tr c khi b t tay vào b iớ ự ạ ư ừ ầ ọ ướ ắ ồ
d ng h c sinh gi i, tôi đã cho h c sinh làm bài ki m tra đ n m b t đc k t quưỡ ọ ỏ ọ ể ể ắ ắ ượ ế ả
h c t p c a t ng em. K t qu kh o sát c a 10 h c sinh l p 5 c th nh sau: ọ ậ ủ ừ ế ả ả ủ ọ ớ ụ ể ư
Đi mể
TSHS
Đi m 9 - 10ểĐi m 8 - 9ểĐi m 7 - 8 ểĐi m 6 - 7ểD i 6ướ
10 SL TL SL TL SL TL SL TL SL TL
0 0 0 0 2 20 3 30 5 50
3. Nguyên nhân c a th c tr ng trên:ủ ự ạ
- Vi c d y c a giáo viên còn ch a bài b n, ch a phát huy h t tính tích c c chệ ạ ủ ư ả ư ế ự ủ
đng, sáng t o c a h c sinh trong quá trình h c t p. Thêm vào đó vi c đu t choộ ạ ủ ọ ọ ậ ệ ầ ư
nghiên c u bài d y ch a nhi u d n đn vi c n i dung các ti t d y còn nghèo nàn,ứ ạ ư ề ẫ ế ệ ộ ế ạ
đn đi u, giáo viên lên l p th ng ch v i m c đích là ti n hành ch a bài t p màơ ệ ớ ườ ỉ ớ ụ ế ữ ậ
ch a chú ý đn vi c rèn các kĩ năng cũng nh các thao tác t duy cho h c sinh.ư ế ệ ư ư ọ
- N i dung c a chuyên đ “ Các bài toán v tính tu i” phong phú nh ng giáo viênộ ủ ề ề ổ ư
ch a ti n hành phân lo i mà còn d y m t cách thi u h th ng nên vi c ti p nh nư ế ạ ạ ộ ế ệ ố ệ ế ậ
c a h c sinh còn nhi u khó khăn.ủ ọ ề
- Vi c h c c a h c sinh còn mang tính th đng, ch a t giác, thêm vào đó là vi cệ ọ ủ ọ ụ ộ ư ự ệ
ghi nh các ki n th c, k năng v gi i toán (phân tích đ, nh n d ng toán, thi tớ ế ứ ỹ ề ả ề ậ ạ ế
l p các m i liên h toán h c trong bài toán...) ch a khoa h c và b n v ng. Khậ ố ệ ọ ư ọ ề ữ ả
năng suy lu n, kh năng t duy c a h c sinh do đc đi m tâm lí l a tu i nên cònậ ả ư ủ ọ ặ ể ứ ổ
nhi u h n ch .ề ạ ế
- Cách h c c a các em còn th đng, ph thu c nhi u vào truy n t i c a giáo viên.ọ ủ ụ ộ ụ ộ ề ề ả ủ
- Đng tr c m t bài toán các em th ng có tâm lí ch đi giáo viên h ng d nứ ướ ộ ườ ờ ợ ướ ẫ
r i m i b t tay vào làm, kh năng t tìm hi u đ bài, xây d ng ch ng trình gi i,ồ ớ ắ ả ự ể ề ự ươ ả
t ki m tra bài làm và t s a ch a là r t h n ch .ự ể ự ử ữ ấ ạ ế
B. GI I QUY T V N ĐẢ Ế Ấ Ề
2

1. CÁC GI I PHÁP TH C HI NẢ Ự Ệ
T vi c nghiên c u th c tr ng trên tôi đã tìm tòi nghiên c u và v n d ng m từ ệ ứ ự ạ ứ ậ ụ ộ
s gi i pháp sau:ố ả
1. Phân d ng các bài toán thu c chuyên đ các bài toán v tính tu i.ạ ộ ề ề ổ
2. L a ch n n i dung và ph ng pháp d y phù h p v i t ng d ng bài và điự ọ ộ ươ ạ ợ ớ ừ ạ ố
t ng h c sinh.ượ ọ
3. T ch c th c nghi m s ph m và rút kinh nghi m.ổ ứ ự ệ ư ạ ệ
II. CÁC BI N PHÁP TH C HI NỆ Ự Ệ
1. Bi n pháp 1: Phân d ng các bài toán v tính tu i.ệ ạ ề ổ
Trong n i dung và ph ng pháp b i d ng h c sinh gi i toán Ti u h c, v iộ ươ ồ ưỡ ọ ỏ ở ể ọ ớ
m i chuyên đ tôi đu tìm tòi, nghiên c u và phân ra t ng d ng đ d y cho h cỗ ề ề ứ ừ ạ ể ạ ọ
sinh. Vì tôi nghĩ r ng d y theo t ng d ng bài h c sinh s n m v ng và kh c sâuằ ạ ừ ạ ọ ẽ ắ ữ ắ
đc ki n th c cũng nh cách gi i c a d ng toán. T đó vi c v n d ng vào gi iượ ế ứ ư ả ủ ạ ừ ệ ậ ụ ả
toán c a các em s thu n ti n h n r t nhi u. Chuyên đ này ch y u đ b iủ ẽ ậ ệ ơ ấ ề ề ủ ế ể ồ
d ng h c sinh l p 4 và 5. Có th phân chia “ Các bài toán v tính tu i” thành 8ưỡ ọ ớ ể ề ổ
d ng nh sau:ạ ư
- D ng 1: Bài toán v “Trung bình c ng”ạ ề ộ
- D ng 2: Bài toán v “ T ìm hai s khi bi t t ng và hi u c a hai s đó”ạ ề ố ế ổ ệ ủ ố
- D ng 3: Bài toán v “ T ìm hai s khi bi t t ng và t s c a hai s đó”ạ ề ố ế ổ ỉ ố ủ ố
- D ng 4: Bài toán v “ T ìm hai s khi bi t hi u và t s c a hai s đó”ạ ề ố ế ệ ỉ ố ủ ố
- D ng 5: Bài toán v “ Tìm hai s khi bi t hai t s ”ạ ề ố ế ỉ ố
- D ng 6: Cho t s tu i c a hai ng i 3 th i đi mạ ỉ ố ổ ủ ườ ở ờ ể
- D ng 7: Các bài toán v tính tu i v i các s th p phânạ ề ổ ớ ố ậ
- D ng 8: M t s bài toán khácạ ộ ố
2. Bi n pháp 2: L a ch n n i dung và ph ng pháp d y phù h p v i t ngệ ự ọ ộ ươ ạ ợ ớ ừ
d ng bài và đi t ng h c sinh.ạ ố ượ ọ
V i bi n pháp này tôi th ng th c hi n các công vi c sau:ớ ệ ườ ự ệ ệ
- H ng d n đ h c sinh hi u đc đc tr ng và n i dung c a d ng toán.ướ ẫ ể ọ ể ượ ặ ư ộ ủ ạ
- H ng d n h c sinh ghi nh nh ng ki n th c c n thi t ph i s d ng khi gi iướ ẫ ọ ớ ữ ế ứ ầ ế ả ử ụ ả
d ng toán đó.ạ
- L a ch n ph ng pháp d y phù h p v i đi t ng h c sinh và n i dung bài.ự ọ ươ ạ ợ ớ ố ượ ọ ộ
- H ng d n h c sinh th c hi n các ví d đi n hình cho t ng d ng toán.ướ ẫ ọ ự ệ ụ ể ừ ạ
C th :ụ ể
*D ng 1: Bài toán v “Trung bình c ng”ạ ề ộ
I. N I DUNGỘ
D ng toán này có th mô t nh sau: Tìm m t s b ng cách l y t ng t t c cácạ ể ả ư ộ ố ằ ấ ổ ấ ả
s trong t p h p đc xét r i chia cho s các s đó.ố ậ ợ ượ ồ ố ố
II. NH NG KI N TH C C N L U Ý Đ ÁP D NG KHI GI I D NG TOÁNỮ Ế Ứ Ầ Ư Ể Ụ Ả Ạ
NÀY:
3

1. M t trong các s đã cho b ng trung bình c ng c a các s còn l i thì s đó đúngộ ố ằ ộ ủ ố ạ ố
b ng s trung bình c ng c a t t c các s đã cho.ằ ố ộ ủ ấ ả ố
2. Cho 3 s a, b, c và s ch a bi t x.ố ố ư ế
a) N u cho bi t x l n h n s trung bình c ng c a 4 s a, b, c, x là n đn v thì sế ế ớ ơ ố ộ ủ ố ơ ị ố
trung bình c ng c a 4 s đó đc tìm nh sau:ộ ủ ố ượ ư
S trung bình c ng c a 4 s a, b, c, x = ( a + b + c + n ) : 3ố ộ ủ ố
b) N u cho bi t x bé h n trung bình c ng c a 4 s a, b, c, x là n đn v thì trungế ế ơ ộ ủ ố ơ ị
bình c ng c a 4 s đó đc tìm nh sau:ộ ủ ố ượ ư
S trung bình c ng c a 4 s a, b, c, x = ( a + b + c - n) : 3ố ộ ủ ố
(C 3 đi u l u ý trên giáo viên đu có th minh ho b ng s đ đo n th ng vàả ề ư ề ể ạ ằ ơ ồ ạ ẳ
đt câu h i đ h c sinh t rút ra).ặ ỏ ể ọ ự
III. PH NG PHÁP D Y:ƯƠ Ạ
1. Ph ng pháp áp d ng đnh nghĩa s trung bình c ng.ươ ụ ị ố ộ
N i dung c a ph ng pháp này là l y t ng t t c các s trong t p h p đc xétộ ủ ươ ấ ổ ấ ả ố ậ ợ ượ
r i chia cho s các s đó.ồ ố ố
2. Ph ng pháp “Dùng s đ đo n th ng”:ươ ơ ồ ạ ẳ
N i dung c a ph ng pháp này là có th di n đt bài toán b ng s đ đo nộ ủ ươ ể ễ ạ ằ ơ ồ ạ
th ng, dùng đo n th ng thay th các s đã cho, m i liên h gi a chúng v i s ph iẳ ạ ẳ ế ố ố ệ ữ ớ ố ả
tìm.
IV. VÍ D MINH HO :Ụ Ạ
Ví d 1: ụTu i trung bình c ng c a hai anh em nhi u h n tu i em là 2 tu i. H i anhổ ộ ủ ề ơ ổ ổ ỏ
h n em m y tu i?ơ ấ ổ
* V i m i d ng toán bao gi tôi cũng h ng d n kĩ ví d đu đ các em n m ch cớ ỗ ạ ờ ướ ẫ ụ ầ ể ắ ắ
cách gi i, sau đó các em v n d ng và làm các ví d t ng t . V i bài toán này, tôiả ậ ụ ụ ươ ự ớ
h ng d n h c sinh nh sau:ướ ẫ ọ ư
- Yêu c u h c sinh đc đ bài và tìm hi u yêu c u c a đ bài, m i quan h gi aầ ọ ọ ề ể ầ ủ ề ố ệ ữ
các d ki n c a bài toán.ữ ệ ủ
?Bài toán thu c d ng toán nào ?ộ ạ
- H ng d n h c sinh tìm ra cách gi i bài toán.ướ ẫ ọ ả
?Bài này gi i b ng ph ng pháp nào? ả ằ ươ
?N u ta coi tu i em là m t ph n thì tu i trung bình c ng c a hai anh em là baoế ổ ộ ầ ổ ộ ủ
nhiêu?
?Th còn tu i anh? ế ổ
- Yêu c u c l p v s đ tóm t t r i t gi i - 1 h c sinh làm trên b ng l p.ầ ả ớ ẽ ơ ồ ắ ồ ự ả ọ ả ớ
Gi i:ả Ta có s đ:ơ ồ
Tu i trung bình:ổ
Tu i em:ổ
Tu i anh:ổ
4
2t

V y anh h n em s tu i là:ậ ơ ố ổ
2 x 2 = 4 (tu i)ổ
Đáp số: 4 tu iổ
- H c sinh nh n xét bài làm c a b n và rút ra cách gi i c a d ng toán:ọ ậ ủ ạ ả ủ ạ
+ V s đ bi u th s tu i c a hai ng i.ẽ ơ ồ ể ị ố ổ ủ ườ
+ Tìm s tu i c a m i ng i (Tìm tu i anh h n em).ố ổ ủ ỗ ườ ổ ơ
Ví d 2:ụ M t l p ghép c a tr ng Dân t c n i trú có 4 b n ch i thân v i nhau.ộ ớ ủ ườ ộ ộ ạ ơ ớ
trong đó: Nga 9 tu i; Nam 10 tu i; Hùng 12 tu i còn tu i c a Đc h n tu i trungổ ổ ổ ổ ủ ứ ơ ổ
bình c a c 4 b n là 2 tu i. H i Đc bao nhiêu tu i?ủ ả ạ ổ ỏ ứ ổ
* bài toán này tôi ti n hành nh sau:Ở ế ư
- Cho h c sinh đc kĩ đ bài, suy nghĩ đ tìm ra các d li u c a bài toán. C th :ọ ọ ề ể ữ ệ ủ ụ ể
+D li u đã bi t: Nga: 9 tu i; Nam: 10 tu i; Hùng: 12 tu iữ ệ ế ổ ổ ổ
Đc: h n trung bình tu i c a 4 b n là 2 tu iứ ơ ổ ủ ạ ổ
+D li u c n ph i đi tìm: Đc: ...tu i?ữ ệ ầ ả ứ ổ
- Yêu c u h c sinh xác đnh d ng toán.ầ ọ ị ạ
- H c sinh suy nghĩ, trao đi tìm cách gi i c a bài toán:ọ ổ ả ủ
+ Tìm tu i trung bình c a c 4 b nổ ủ ả ạ
+ Tìm tu i c a Đcổ ủ ứ
- H c sinh trình bày bài gi iọ ả
Gi i: ả Ta có s đ sau:ơ ồ
Trung bình c ngộ
T ng s tu i: ổ ố ổ
Tu i c a Nga, Nam , Hùng Tu i c a Đcổ ủ ổ ủ ứ
S tu i trung bình c ng c a c 4 b n là:ố ổ ộ ủ ả ạ
( 9 + 10 + 12 + 2 ) : 3 = 11 (tu i)ổ
Tu i c a Đc là: 11 + 2 = 13 (tu i)ổ ủ ứ ổ
Đáp số: Đc 13 tu iứ ổ
- T ch c cho h c sinh ch a bài và c ng c cách gi i c a d ng toán: Tìm trungổ ứ ọ ữ ủ ố ả ủ ạ
bình s tu i c a c 4 b n ta đã áp d ng l u ý 2a (N u cho bi t x l n h n s trungố ổ ủ ả ạ ụ ư ế ế ớ ơ ố
bình c ng c a 4 s a, b, c, x là n đn v thì s trung bình c ng c a 4 s đó đc tìmộ ủ ố ơ ị ố ộ ủ ố ượ
nh sau:ư
S trung bình c ng c a 4 s a, b, c, x = (a + b + c + n) : 3ố ộ ủ ố
Ví d 3: ụ Tu i trung bình c ng c a các c u th m t đi bóng đá l n h n 1 tu i soổ ộ ủ ầ ủ ộ ộ ớ ơ ổ
v i tu i trung bình c a 10 c u th (không tính tu i c a đi tr ng). H i tu i c aớ ổ ủ ầ ủ ổ ủ ộ ưở ỏ ổ ủ
đi tr ng nhi u h n tu i trung bình c a toàn đi là bao nhiêu?ộ ưở ề ơ ổ ủ ộ
*Vì ví d 1 và ví d 2 giáo viên đã h ng d n h c sinh n m v ng cách gi i c aở ụ ụ ướ ẫ ọ ắ ữ ả ủ
d ng toán nên ví d này ta ch ti n hành:ạ ở ụ ỉ ế
5
2 tu iổ

