GV : Nguyeãn Thò Thanh – HHT – Laâm Ñoàng
CAÙC BAØI TAÄP CHÖÙNG MINH TAM GIAÙC ÑOÀNG DAÏNG
Baøi 1: Cho tam giaùc ABC vuoâng taïi A , ñöôøng cao AH .
Chöùng minh :
a/ AH.BC = AB.AC
b/AB2 = BH.BC
c/AH2 = BH.CH
d/Goïi M laø trung ñieåm cuûa BH , N laø trung ñieåm cuûa AH .Chöùng minh :CN
⊥
AM .
Baøi 2: Cho tam giaùc ABC vuoâng taïi A , ñöôøng cao AH chia caïnh huyeàn thaønh 2 ñoaïn BH = 9cm vaø HC =
16cm.Tính AB , AC , BC.
Baøi 3:
Cho tam giaùc ABC vuoâng taïi A , ñöôøng cao AH , bieát AB = 21cm ; AC = 28cm .
a/ Tính AH ?
*b/ Keû HD
⊥
AB; HE
⊥
AC .Tính dieän tích tam giaùc AED.
Baøi 4: Cho tam giaùc ABC vuoâng taïi A coù AB = 15cm , AC = 20cm .Keû ñöôøng cao AH , trung tuyeán AM.
a/ Tính AH ; BC.
b/ Tính BH,CH.
c/ Tính dieän tích tam giaùc AHM.
Baøi 5:Cho
ABC∆
coù ba goùc nhoïn, ñöôøng cao AH
( )
H BC∈
. Veõ HD vuoâng goùc AB taïi D, HE vuoâng goùc
AC taïi E.
a) Chöùng minh :
AHB∆
ñoàng daïng vôùi
ADH∆
;
AHC∆
ñoàng daïng vôùi
AEH∆
.
b) Chöùng minh : AD.AB = AE.AC .
c) Cho AB = 12 cm, AC = 15 cm, BC = 18 cm. Tính ñoä daøi ñöôøng phaân giaùc AK cuûa
ABC∆
( K
∈
BC
Baøi 6:Cho
∆
ABC coù AB = 3 cm, AC = 4 cm, BC = 5 cm. Ñöôøng phaân giaùc goùc A caét caïnh BC taïi D. Qua D veõ
ñöôøng thaúng vuoâng goùc vôùi BC caét AC taïi E vaø BA taïi K.
a/ Chöùng minh
∆
ABC vuoâng
b/ Tính DB, DC.
c/ Chöùng minh
∆
EDC
:
∆
BDK
d/ Chöùng minh DE = DB
Baøi 7 : Cho
ABC vuoâng taïi A, cho bieát AB = 15 cm , AC = 20 cm. Keû ñöôøng cao AH cuûa
ABC.
a) Chöùng minh :
AHB
CAB vaø suy ra AB2 = BH.BC
b ) Tính ñoä daøi caùc ñoaïn thaúng BH vaø CH .
c) Keû HM
⊥
AB vaø HN
⊥
AC. Chöùng minh : AM.AB = AN.AC
d) Chöùng minh :
AMN
ACB
Baøi 8:Cho tam giaùc ABC vuoâng taïi A. Ñöôøng phaân giaùc cuûa goùc A caét caïnh huyeàn BC taïi D.
Qua D keû ñöôøng thaúng vuoâng goùc vôùi BC vaø caét AC taïi E.
a) Chöùng minh DEC ñoàng daïng ABC.
b) Chöùng minh : DB = DE.
Baøi 10 :Cho tam giaùc ABC vuoâng taïi A coù AB = 16cm , BC = 20cm .Keû ñöôøng phaân giaùc BD ( d thuoäc AC)
a/ Tính CD vaø AD
b/ Töø C keû CH
⊥
BD taïi H . Chöùng minh :
ABD
HCD
c/ Tính dieän tích tam giaùc HCD .
Baøi 11:Cho ∆ABC nhoïn, trung tuyeán AM. Tia phaân giaùc cuûa goùc AMB caét AB taïi D,
Trang 1
GV : Nguyeãn Thò Thanh – HHT – Laâm Ñoàng
Tia phaân giaùc cuûa goùc AMC caét caïnh AC taïi E.
a/ Chöùng minh
DA EA
DB EC
=
.
b/ Chöùng minh DE // BC .
Baøi 12:Cho tam giaùc ABC coù 3 ñöôøng cao AD , BE , CF ñoàng quy taïi H .Chöùng minh :AH.DH = BH.EH =
M
.FH
Cho tam giaùc ABC coù 2 ñöôøng cao AD vaø BE .Chöùng minh :
a/
DEC
ABC
b/
ADC
BEC
Baøi 13:Cho tam giaùc ABC vuoâng taïi A coù AB = 6cm , AC = 8cm .Töø B keû ñöôøng thaêûng // AC ; phaân giaùc goùc
BAC caét BC taïi M vaø caét ñöôøng thaêûng a taïi N .
a/ CM:
BMN
CMA
b/ CM:
AB MN
AC AN
=
c/ Töø N keû NE vuoâng goùc vôùi AC ( E thuoäc AC), NE caét BC taïi I .Tính BI.
Baøi 14 : ∆ABC coù ñoä daøi caùc caïnh AB = 6cm, AC = 9cm vaø AD laø ñöôøng phaân giaùc. Chöùng minh raèng tæ soá dieän
tích cuûa ∆ABD vaø ∆ACD baèng
3
2
Baøi 15 : Cho ∆ABC vuoâng taïi A. Keû ñöôøng cao AH. Goïi M, N laàn löôït laø trung ñieåm cuûa BH vaø AH. Chöùng
minh :
a) ∆ABM ∼ ∆CAN
b) AM ⊥ CN
Baøi 16:Cho hình chöõ nhaät ABCD , veõ AH
⊥
DB
a) Chöùng minh
ABD
HAD , suy ra AD2 = DH . DB
b) Chöùng minh
AHB
BCD
c) Tính ñoä daøi DH , AH , bieát AB = 12 cm, BC = 9 cm
d) Tính dieän tích tam giaùc AHB
Baøi 17 : Cho hình chöõ nhaät ABCD, coù AB = 8 cm, BC = 6 cm. Töø A keû ñöôøng thaúng vuoâng goùc vôùi BD taïi H vaø
caét CD taïi M.
a) Tính ñoä daøi BD.
b) Chöùng minh hai tam giaùc AHB vaø MHD ñoàng daïng
c) Chöùng minh MD.DC = HD.BD
d) Tính dieän tích tam giaùc MDB.
Baøi 18 Cho
·
xAy
, treân tia Ax ñaët caùc ñoaïn thaúng AE = 3cm ; AC = 8cm. Treân tia Ay ñaët caùc ñoaïn thaúng AD =
4cm ; AF = 6cm. Goïi I laø giao ñieåm cuûa CD vaø EF.
a) Chöùng minh :
ACD
AFE
b) Chöùng minh :
IEC
IDF
Baøi 19 :Cho ABC coù AB = 4,8 cm; BC = 3,6 cm; CA = 6,4 cm. Treân caïnh AB vaø AC theo thöù töï laáy
AD = 3,2 cm vaø AE = 2,4 cm.
a) Hai tam giaùc ADE vaø ABC coù ñoàng daïng hay khoâng ? Vì sao?
b) Tính ñoä daøi ñoaïn DE.
Baøi 20:Cho hình thang ABCD ( AB//CD) .Goïi O laø giao ñieåm 2 ñöôøng cheùo AC vaø BD .Bieát AB = 3cm , OA =
2cm , OC = 4cm , OD = 3,6cm.
Trang 2
GV : Nguyeãn Thò Thanh – HHT – Laâm Ñoàng
a/ Chöùng minh :OA.OD=OB.OC
b/Tính DC , OB.
c/ Ñöôøng thaêûng qua O vuoâng goùc vôùi AB vaø CD laàn löôït taïi H vaø K .Chöùng minh :
OH AB
OK CD
=
CAÙC ÑEÀ THI HOÏC KÌ II CAÙC NAÊM
Baøi 1:(naêm 2001-2002)
Cho tam giaùc ABC caân taïi A , veõ ñöôøng cao AH xuoáng ñaùy BC .Bieát AB = AC = 17cm , AH = 15cm.
a/ Tính ñoä daøi ñoaïn BH vaø BC.
b/ Töø B veõ BD
⊥
AC ( D thuoäc AC) .Chöùng minh :
AHC
BDC
c/ Qua D veõ DE
⊥
BC ( E thuoäc BC). Chöùng minh : BE.EC =
2 2
2
.AH CE
CH
Baøi 1:(naêm 2001-2002)
Baøi 2:(naêm 2002-2003)
Cho tam giaùc ABC(AC > AB). Veõ ñöôøng cao AH .Töø trung ñieåm I cuûa caïnh AC ta veõ ID vuoâng goùc vôùi caïnh
huyeàn BC .Bieát AB = 3cm , AC = 4cm .
a/ Tính ñoä daøi caïnh BC .
b/ Chöùng minh :
IDC
BHA
c/ Chöùng minh heä thöùc : BD2 – CD2 = AB2 .
Baøi 3:(naêm 2003-2004)
Cho hình thang vuoâng ABCD (
µ
µ
A D= =
900 ) coù AC caét BD taïi O .
a/ Chöùng minh :
OAB
OCD, töø ñoù suy ra
DO CO
DB CA
=
.
b/ Chöùng minh : AC2 – BD2 = DC2 – AB2
c/ Qua O keû ñöôøng thaúng song song vôùi 2 ñaùy caét BC taïi I , caét AD taïi J .CHöùng minh :
1 1 1
OI AB CD
= +
Baøi 4:(naêm 2004-2005)
Cho tam giaùc ABC vuoâng taïi A , ñöôøng cao AH .Phaân giaùc CD ( D thuoäc AB).Bieát AB = 4cm ; AC = 3cm .
a/ Tính BC ; AD .
b/ Chöùng minh :
HAC
ABC
c/ Tính ñoä daøi CH .
d/ Qua B veõ ñöôøng thaêûng vuoâng goùc vôùi tia CD caét tia CD taïi K .Chöùng minh :
ADK
CDB
Baøi 5:(naêm 2005-2006)
Cho tam giaùc caân ABC (AB=AC).Veõ caùc ñöôøng cao BH , CK , AI .
a/ CHöùng minh :BK =
M
.
b/ Chöùng minh : HC.AC = IC .BC
d/ Cho bieát BC = a , AB = AC = b .Tính ñoä daøi ñoaïn thaúng HK theo a vaø b .
Baøi 6:(naêm 2006-2007)
Cho tam giaùc ABC vuoâng taïi A . Ñöôøng cao AH .Phaân giaùc cuûa goùc A caét caïnh huyeàn Bc taïi D .Qua D keû ñöôøng
thaêûng vuoâng goùc vôùi BC caét AC ôû E vaø AB ôû F .
a/ Chöùng minh :AB.EC = BC.DE
b/ Chöùng minh AH // FD suy ra tam giaùc HAB ñoàng daïng tam giaùc DFB .
c/ Chöùng minh DB = DE .
d/ Cho AB = 6cm ; BC = 10 cm vaø EC = 7cm .Tính AC ; DE vaø DC.
Trang 3
GV : Nguyeãn Thò Thanh – HHT – Laâm Ñoàng
Baøi 7:(naêm 2007-2008)
Cho tam giaùc ABC .Keû ñöôøng cao AD , BH .
a/ Chöùng minh :
ADC
BHC
b/ Chöùng minh :
CDH
CAB
c/ Keû DE vuoâng goùc AC .Chöùng minh :CE.Cb = CD .CH
Trang 4