Tailieumontoan.com

Điện thoại (Zalo) 039.373.2038
CHUYÊN ĐỀ
QUAN HỆ SONG SONG
Tài liệu sưu tầm, ngày 8 tháng 12 năm 2020
Website: tailieumontoan.com
CH ĐỀ 7: ĐƯNG THNG VÀ MT PHNG TRONG KHÔNG GIAN.
QUAN H SONG SONG
A. LÝ THUYT
I. ĐẠI CƯƠNG V ĐƯNG THNG VÀ MT PHNG
1. Mt phng
Mt bng, mt bàn, mặt nước h n lng cho ta hình nh mt phn ca mt phng. Mt phng không có
b dày và không có gii hn.
Để kí hiu mt phẳng, ta thường dùng các ch cái in hoa hoc ch cái Hy Lạp đặt trong du ngoc (). Ví
d như mặt phng
( ) ( ) ( ) ( )
,,,PQ
αβ
Để biu din mt phẳng, ta thường dùng hình bình hành hoc mt min góc ghi tên ca mt phng o
mt góc ca hình biu din.
Đưng thng và mt phng là tp hp các điểm. Do đó,
- Nếu điểm
A
thuộc đường thng
a
, ta kí hiu
Aa
và đôi khi còn nói rằng đường thng
a
đi qua điểm
A
.
- Nếu điểm
A
thuc mt phng
( )
α
, ta kí hiu
( )
A
α
đôi khi còn nói rằng mt phng
( )
α
đi qua
điểm
A
.
- Nếu đường thng
a
ch trong mt phng
, ta kí hiu
( )
a
α
đôi khi còn nói rằng mt phng
( )
α
đi qua (hoặc chứa) đường thng
a
.
2. Quy tc đ v hình biu din ca mt hình trong không gian
- Hình biu din ca một đường thng là một đường thng, của đoạn thẳng là đoạn thng.
- Hình biu din ca hai đưng thng song song là hai đưng thng song song, ca hai đưng thng ct
nhau hai đường thng cắt nhau. Hai đoạn thng song song và bng nhau thì phải được v song song và
bằng nhau. Trung điểm ca một đoạn thng phải được ly ngay tại điểm chính gia của đoạn thẳng đó.
- Hình biu din phi gi nguyên quan h thuc giữa điểm và đường thng.
- Dùng nét v liền để biu diễn cho đường nhìn thấy và nét đứt đoạn biu diễn cho đường b che khut.
3. Các tính cht tha nhn ca hình hc không gian
- Tính cht 1: Có mt và ch một đường thẳng đi qua hai điểm phân bit.
- Tính cht 2: Có mt và ch mt mt phẳng đi qua ba điểm không thng hàng.
Như vy, mt mt phng trong không gian có th được xác đnh bi mt trong các cách thc sau:
- Mt phẳng đó đi qua 3 điểm không thng hàng
,,ABC
. Kí hiu là mp
( )
ABC
.
- Mt phẳng đó đi qua một đường thng
a
và một điểm
A
không thuc đưng thng
a
. Kí hiu: ;
mp
(,)Aa
.
- Mt phẳng đó đi qua hai đường thng ct nhau
a
b
. Kí hiu, mp
( )
,ab
.
- Mt phẳng đó đi qua hai đường thng song song
a
,
b
.
- Tính cht 3: Trong không gian có ít nht bốn điểm không cùng thuc bt c mt phng nào.
- Tính cht 4: Trong không gian, hai mt phng phân bit có một điểm chung thì chúng có một đường
thng chung duy nht cha tt c các điểm chung ca hai mt phẳng đó.
P
P
mp(ABC)
A
B
C
mp(A;a)
a
A
mp(a,b)
b
a
b
a
Liên h tài liu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038
Website: tailieumontoan.com
- Tính cht 5: Nếu một đường thng hai đim phân bit thuc mt mt phng thì mọi điểm của đường
thẳng đều thuc mt phẳng đó.
- Tính cht 6: Trong mi mt phng ca không gian, các kết qu đã biết ca hình hc phng đu đúng.
3.V trí tương đối của các đường thng và mt phng trong không gian
a) V trí tương đối ca mt đưng thng và mt mt phng
Cho đường thng
d
và mt mt phng
( )
α
. Có th y ra các kh năng sau:
- Đưng thng
d
và mt phng
( )
α
không điểm chung. Trong trường hp này ta nói
đường thng
d
song song vi mt phng
( )
α
, kí hiu
( )
//d
α
.
- Đưng thng
d
và mt phng
đúng một đim chung. Trong trường hp này ta
nói ta nói đường thng
d
ct mt phng
( )
α
ti
A
, kí hiu:
( ) { }
dA
α
∩=
- Đưng thng
d
và mt phng
( )
α
có nhiều hơn một điểm chung.Trường hp
này ta nói đường thng
d
nm trong mt phng
( )
α
ta kí hiu:
( )
d
α
hay
( )
d
α
.
b) V trí tương đối ca hai mt phng:
Cho hai mt phng phân bit
( )
β
. Có th xy ra mt trong các kh năng
sau:
- Hai mt phng
( )
α
( )
β
không điểm chung. Trong trường hp này ta nói
các mt phng
( )
α
song song vi nhau, kí hiu
( ) ( )
//
αβ
.
- Hai mt phng
( )
β
có ít nht một điểm chung. Trong trường hp này ta
nói các mt phng
( )
α
( )
β
có phn chung là một đường thng, gi s đường
thẳng đó là
d
, ta kí hiu
( ) ( )
d
αβ
∩=
.
Đưng thng
d
được gi là giao tuyến ca hai mt phẳng. Như vậy, vic xác đnh giao tuyến ca hai mt
phng tương ng vi vic xác định hai điểm cùng thuc đng thi hai mt phng phân biệt đó. Ngoài ra,
nếu biết được rằng ba điểm phân bit cùng thuc đng thi hai mt phẳng tba điểm đó phải nm trên
một được thng.
c) V trí tương đi của hai đương thẳng: Cho hai đường thng phân bit
a
b
. Có th xy ra mt
trong các kh năng sau:
- Các đưng thng
a
b
cùng thuc mt mt phẳng. Khi đó
a
b
hoc ct nhau ti một điểm hoc
song song vi nhau.
- Các đương thng
a
b
không cùng nm trong bt kì mt mt phẳng nào. Trong trường hp này ta nói
các đưng thng
a
b
chéo nhau.
4. Hình chóp và hình t din
A
b
a
α
d
α
d
A
α
d
β
α
α
β
Liên h tài liu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038
Website: tailieumontoan.com
1. Hình chóp:
Trong mt phng
( )
α
, cho đa giác lồi
12
... n
AA A
.Ly đim
S
nrm ngoài mt phng
( )
α
. Lần lượt ni
S
vi
các đnh
12
, ,...,
n
AA A
để đưc n tam giác
12 23 1
, ,..., n
SA A SA A SA A
.Hình gm đa giác
12
, ,...,
n
AA A
n tam giác
12 23 1
, ,...,
n
SA A SA A SA A
gi là hình chóp và được kí hiu là
12
. ...
n
SAA A
Ta gi S đỉnh, đa giác
12
, ,...,
n
AA A
là mt đáy, tam giác
12 23 1
, ,..., n
SA A SA A SA A
gi là mt mt bên ca hình
chóp, Các đoạn thng
12
, ,...,
n
SA SA SA
gi là các cnh bên, các cnh ca đa giác
12
... n
AA A
là các cạnh đáy của hình
chóp.
-Cách gọi tên: Hình chóp + tên đa giác.
- Ví d: hình chóp tam giác, hình chóp t giác….
Lưu ý: Hình chóp có đáy là đa giác đều, các cnh bên bằng nhaulaf hình chóp đa giác đều.
b) t din:
T din
ABCD
nh đưc thành lp t bn đim không đồng phng
,,,ABCD
.Các điểm
,,,ABCD
là các đnh
ca t din, các tam giác
,,,BCD ACD ABD ABC
được gi là các mt ca t din đi din vi các đnh
,,,ABCD
và các đon thng
,, ,,,AB BC CD DA CA BD
gi là các cnh ca t din . Trong đó các cặp cnh
AB
CD
,
và DB,
BC
thường được gi là các cp cạnh đối ca t din.
B. CÁC DNG BÀI TOÁN V ĐƯNG THNG VÀ MT PHNG
DẠNG 1: XÁC ĐỊNH GIAO TUYN GIŨA HAI MT PHNG
Phương pháp: Để tìm giao tuyến ca hai mt phng
( )
α
( )
β
ta tiến hành đi tìm hai đim thuc c hai
mt phng
( )
β
.
Lưu ý:
Một điểm chung ca hai mt phng
( )
α
( )
β
thường tìm được bng cách: Chn mt mt phng
( )
γ
sao cho các giao tuyến
12
,∆∆
ca
( )
α
( )
β
vi
( )
γ
có th dng đưc ngay. Giao đim
I
ca
12
,∆∆
(
trong
( )
γ
) là điểm chung cn tìm.
Ta thưng chng minh ba điểm thng hàng bng cách chứng minh ba điểm đó thuộc giao tuyến ca hai
mt phng.
+ Ta cũng có thể chứng minh bà đường thng đng quy bng cách:
Cách 1: Hai trong ba đưng thng y ct nhau và lần lượt nm trong hai mt phng nhận đường th ba
làm giao tuyến.
Cách 2: Tìm một đoạn thng
AB
trên một đường thẳng nào đó. Chứng minh hai đường thng còn li
chia đoạn
AB
theo cùng mt t s đại s.
DẠNG 2: XÁC ĐỊNH GIAO ĐIM CA ĐƯNG THNG
VÀ MT PHNG
.
Phương pháp:
Mặt đáy
cạnh đáy
cạnh bên
Mặt bên
D
C
B
A
S
A
5
A
4
A
3
A
2
A
1
S
S
A
3
A
2
A
1
Liên h tài liu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038
Website: tailieumontoan.com
+ Nếu phát hin ra mt đưng thng
d
trong mt phng
ct
ti
I
thì
I
chính là giao điểm ca
vi mt phng
( )
α
.
+ Nếu chưa phát hiện ra đường thng
d
thì ta dng
d
bng cách: Chn mt mt phng
( )
γ
cha
sao
cho giao tuyến ca
( )
γ
( )
α
có th dựng được ngay, giao tuyến đó chính là đường thng
d
cn tìm.
Hai định lí quan trng thưng dùng:
Định lí Ceva: Cho tam giác
ABC
. Các đim
,,MNP
khác
,,ABC
và theo th t thuc các đưng
thng
,,BC CA AB
. Khi đó các đường thng
,,AM BN CP
hoc đng quy hoặc đôi một song song khi và
ch khi
.. 1
MB NC PA
MC NA PB =
Định lí Menelaus : Cho tam giác
ABC
. Các điểm
,,MNP
khác
,,ABC
và theo th t thuc các đưng
thng
,,BC CA AB
. Khi đó các điểm
,,MNP
thng hàng khi và ch khi
.. 1
MB NC PA
MC NA PB =
.
DNG 3: BÀI TOÁN DNG THIT DIN
Cho trước khối đa diện
T
và mt phng
( )
α
. Nếu
( )
α
điểm chung vi
T
thì
s ct mt s mt
ca
T
theo các đon thng. Phn mt phng
gii hn bi các đoạn đó thường là mt đa giác, gi là
mt ct ( còn gi là thiết din) gia
T
( )
α
.
Chú ý:
+ Đnh ca thiết dingiao đim ca
( )
α
vi các cnh ca
T
. Cnh ca thiết din là các đon giao
tuyến ca
( )
α
vi các mt ca
T
. Do đó thực cht ca vic dng thiết din là bài toán dựng giao điểm
gia đưng thng và mt phng và dng giao tuyến gia hai mt phng.
+ Do mi cnh ca thiết diện là đoạn giao tuyến ca mt phng
( )
α
vi mt mt ca
T
. Do đó số cnh
nhiu nht mà thiết din có th có chính là s mt ca
T
.
- Đối vi hình chóp tam giác ( hoc t din), thiết din ca nó ct bi mt phng
( )
α
ch có th là tam
giác hoc t giác ( đay ta quy ước không xét các trường hp suy biến khi thiết din là mt mt hoc mt
cnh ca hình chóp).
-Đối vi hình chóp t giác, thiết din ca nó ch có th là tam giác, t giác hoc ngũ giác.
Các bài toán liên quan đến thiết din gm các dng:
+ Dng thiết din.
+ Xác đnh hình dng thiết din.
+ tính din tích thiết din.
+ Tính t s th tích hai phn do thiết din phân chia khi th tích đã cho ( s được trình bày trong Công
phá toán tp 3).
Ví dụ 1: Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy là một hình bình hành tâm
O
. Gọi
M
N
lần lượt là trung
điểm của
SA
SC
. Gọi
()P
là mặt phẳng qua 3 điểm
,,MNB
.
a) Tìm các giao tuyến ca
( )
P
( )
SAB
;
( )
P
( )
SBC
.
b) Tìm giao đim
I
ca đưng thng
SO
vi mt phng
( )
P
giao đim
K
ca đưng
thng
SD
vi mt phng
()P
.
c) c đnh các giao tuyến ca mt phng
()P
vi mt phng
()SAD
và mt phng
()SCD
.
Từn đó suy ra thiết din ca hình chóp ct bi
()BMN
.
d) Xác định các giao điểm
,EF
ca các đưng thng
DA
,
DC
vi
()P
. Chng minh rng
,,EBF
thng hàng.
Li gii::
Liên h tài liu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038