CHƯƠNG II. PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN.
BÀI 4. PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN.
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM
I. PHƯƠNG TRÌNH TÍCH
Để giải phương trình tích
( )( ) 0ax b cx d+ +=
, ta giải hai phương trình
0ax b+=
và
0
cx d
+=
.
Sau đó lấy tất cả các nghiệm của chúng.
Ví dụ 1. Giải phương trình
(2 1)(3 1) 0
xx
+ −=
.
Ví dụ 2. Giải phương trình
222xx x
−=− +
.
Nhận xét. Trong Ví dụ 2, ta thực hiện việc giải phương trình theo hai bước:
Bước 1. Đưa phương trình vể phương trình tích
( )( ) 0ax b cx d+ +=
;
Bước 2. Giải phương trình tích tìm được.
II. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU
Đối với phương trình chứa ẩn ở mẫu, ta thường đặt điều kiện cho ẩn để tất cả các mẫu thức trong
phương trình đều khác 0 và gọi đó là điều kiện xác định (viết tắt là ĐKXĐ) của phương trình.
Ví dụ 3. Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình sau:
a)
52
0
1
x
x
+=
−
; b)
11
1
12xx
= +
+−
.
Cách giải phương trình chứa ẩn ở mẫu
Bước 1. Tìm điều kiện xác định của phương trình.
Bước 2. Quy đồng mấu hai vế của phương trình rồi khử mẫu.
Buớc 3. Giải phương trình vừa tìm được.
Bước 4 (Kết luận). Trong các giá trị tìm được của ẩn ở Bước 3, giá trị nào thoả mãn điều kiện xác
định chính là nghiệm của phương trình đã cho.
Ví dụ 4. Giải phương trình
. (3)
B. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
2.1. Giải các phương trình sau:
a)
( 2) 0
xx−=
; b)
(2 1)(3 2) 0
xx+ −=
.
2.2. Giải các phương trình sau:
a)
( )
2
4 ( 2) 0x xx−+ −=
; b)
22
(2 1) 9 0xx+− =
.
2.3. Giải các phương trình sau:
a)
21 3
2 1 1 (2 1)( 1)x x xx
+=
+ + ++
; b)
23
13
1 11
xx
x xx x
−=
+ −+ +
.
2.4. Bác An có một mảnh đất hình chữ nhật với chiểu dài
1 4 m
và chiểu rộng
12 m
. Bác dự định
xây nhà trên mảnh đất đó và dành một phẩn diện tích đất để làm sân vườn như Hình 2.3. Biết diện
tích đất làm nhà là
2
100 m
. Hỏi
x
băng bao nhiêu mét?
2.5. Hai người cùng làm chung một công việc thì xong trong 8 giờ. Hai người cùng làm được 4 giờ
thì người thứ nhất bị điều đi làm công việc khác. Người thứ hai tiếp tục làm việc trong 12 giờ nữa
thì xong công việc. Gọi
x
là thời gian người thứ nhất làm một mình xong công việc (đơn vị tính là
giờ,
0x>
).
a) Hãy biểu thị theo
x
:
- Khối lượng công việc mà người thứ nhất làm được trong 1 giờ;
- Khối lượng công việc mà người thứ hai làm được trong 1 giờ.
b) Hãy lập phương trình theo
x
và giải phương trình đó. Sau đó cho biết, nếu làm một mình thì mổi
người phải làm trong bao lâu mới xong công việc đó.
C. CÁC DẠNG TOÁN
DẠNG 1: PHƯƠNG TRÌNH DẠNG
( ) ( )
.0Ax Bx=
1. Phương pháp giải
- Giải hai phương trình
()
0Ax=
và
( )
0
Bx=
.
- Lấy tất cả các nghiệm thu được.
- Viết tập hợp nghiệm
S
.
2. Ví dụ
Ví dụ 1. Giải phương trình:
a)
( )( )
3 24 5 0xx− +=
; b)
( )( )
2,3 6,9 0,1 2 0xx− +=
;
c)
( )
()
2
42 10xx+ +=
; d)
()( )( )
2 7 55 1 0xx x+ − +=
.
Ví dụ 2: Giải phương trình:
a)
( )
4 12 1
53 0
53
xx
x−+

− −=


; b)
( ) ( )
21
2 11 21 0
33 5
x
xx x
+

−−

− − +=




.
DẠNG 2: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯA VỀ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH TÍCH
1. Phương pháp giải:
- Chuyển tất cả các số hạng sang vế trái, vế phải bằng 0.
- Rút gọn rồi phân tích đa thức thu được ở vế trái thành nhân tử.
- Giải phương trình tích rồi kết luận.
2. Ví dụ
Ví dụ 1. Bằng cách phân tích vế trái thành nhân tử, giải các phương trình sau:
a)
() ( )
2 35 30xx x−+ −=
; b)
( )
( )( )
2
4 232 0xx x−+− − =
;
c)
32
3 3 10xxx
− + −=
; d)
( )
2 7 4 14 0xx x−− +=
;
e)
( ) ( )
22
25 2 0xx− −+ =
; f)
( )
2330xx x−− − =
.
Ví dụ 2: Giải phương trình:
a)
( ) ( )
293 5x x xx−= −
; b)
( ) ( )( )
0,5 3 3 1,5 1xx x x−=− −
;
c)
( )
3 15 2 5x xx
−= −
; d)
( )
31
1 37
77
x xx−= −
.
Ví dụ 3: Giải phương trình:
a)
()
2
2 1 40xx− + −=
; b)
2
22
xx x−=− +
;
c)
22
4 41
xx x
+ +=
; d)
2
5 60xx
− +=
.
Ví dụ 4: Giải phương trình:
a)
3 22
26 3x xx x+=+
; b)
( )
( )
( )( )
2
31 2 31710
xx x x− += − −
.
DẠNG 3. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CÓ CHỨA ẨN Ở MẪU
1. Phương pháp giải
- Tìm ĐKXĐ.
-Quy đồng mẫu thức và bỏ mẫu thức.
- Giải phương trình không chứa ẩn ở mẫu.
- Kiểm tra ĐKXĐ.
- Viết tập nghiệm.
2. Ví dụ
Ví dụ 1. Giải các phương trình:
a)
25
3
5
x
x
−=
+
; b)
2
63
2
xx
x
−= +
;
c)
( )
22 (3 6) 0
3
xx x
x
+−+
=
−
; d)
521
32 x
x= −
+
.
Ví dụ 2. Giải các phương trình:
a)
21 1
1
11
x
xx
−+=
−−
b)
56
1
22 1
x
xx
+=−
++
c)
2
2
11
xx
xx
+= +
d)
33
2
1
xx
xx
+−
+=
+
.
Ví dụ 3. Giải các phương trình sau:
a)
13
3
22
x
xx
−
+=
−−
; b)
3 261
723
xx
xx
−+
=
+−
;
c)
2
1 14
11 1
xx
xx x
+−
−=
−+ −
; d)
2
2 42
23 37
xx
xxx
−=+
++
.
Ví dụ 4.
a)
2
32
13 2
11 1
xx
x x xx
−=
− − ++
b)
32 1
( 1)( 2) ( 3)( 1) ( 2)( 3)xx x x x x
+=
−− −− − −
c)
3
1 12
128xx
+=
++
d)
13 1 6
( 3)(2 7) 2 7 ( 3)( 3)x x x xx
+=
− + + −+
.
Ví dụ 5. Giải phương trình:
a)
( )
2
11
2 21x
xx

+= + +


; b)
22
11
11xx
xx

++ = −−


;
DẠNG 4. XÁC ĐỊNH GIÁ TRỊ CỦA A ĐỂ BIỂU THỨC CÓ GIÁ TRỊ BẰNG HẰNG SỐ K CHO TRƯỚC
1. Phương pháp giải
- Giả sử biểu thức chứa
a
là
( )
Aa
- Muốn tìm giá trị của
a
để biểu thức
( )
Aa
bằng k ta xem a như ẩn và giải phương trình
( )
Aa k=
2. Ví dụ
Ví dụ 1. Tìm các giá trị của
a
sao cho các biểu thức sau có giá trị bằng 2 :
a)
31 3
31 3
aa
aa
−−
+
++
b)
10 3 1 7 2
3 4 12 6 18
aa
aa
−+
−−
++
D. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 1. Giải các phương trình:
a)
()( )
52 70xx+ −=
; b)
( )( )( )
15 9 3 21 0xxx
+ − +=
;
c)
( )
( )
2
1 30xx− +=
; d)
( )( )
22
1 440
x xx+ ++=
;
e)
260xx−−=
; g)
25 60xx+ +=
;
h)
212 0xx+− =
; i)
432
2 2 2 30xxxx+ − + −=
Câu 2. Giải các phương trình:
a)
()
()
23
1 5 2 10
x xx x
− + − − +=
; b)
( )( )
2
2 11 7 4xx x++ −=
;
c)
( )
31 10x xx− + +=
; d)
32
10xxx+ + +=
Câu 3. Giải các phương trình:
a)
27 60
xx− +=
; b)
2
2 3 50xx− +=
; c)
2
4 12 5 0xx− +=
Câu 4. Cho biểu thức:
( )( )
5 3 17 2 2
A xy xy
= −+ +−
.
a) Tìm
x
sao cho với
2y=
thì
0A=
. b) Tìm
y
sao cho với
2
x= −
thì
0
A=
Câu 5. Giải các phương trình :
a)
9 (3 7)(5 6) 0xx x− +=
; b)
41 83
1 30
37
xx+−

+ −=


Câu 6. Giải các phương trình :
a)
2( 3)(2 11) 9xx x−+ − =
: b)
( )
23
( 2) 3 1 8x xx x− − + +=
.
Câu 7. Giải các phương trình :
a)
2
3 4 40xx− −=
: b)
3
3 20xx− +=
Câu 8. Cho biểu thức
(8 5 4)( 3 6) 0
P xy xy= + − −+=
.
a) Tìm các giá trị của
x
sao cho với
4
y=
thì
0P=
;
b) Tìm các giá trị của
y
sao cho với
x1= −
thì
P0=
.
Câu 9*. Cho phương trình :
( )
32
2 5 84 0 1x x xm
+ −− =
Biết
2x= −
là một nghiệm của phương trình (1). Tìm các nghiệm còn lại của phương trình đó.
Câu 10. Giải phương trình:
a)
2
48
0
21
x
x
−=
+
; b)
2
60
3
xx
x
−−=
−
c)
512 3
3 622 4
xx
xx
+−
−=
−−
d)
2
12 1 3 1 3
19 13 13
xx
x xx
−+
= −
− +−
.
Câu 11. Giải các phương trình:
a)
2
96 2 1 3 1
516 4 4
xx
xx x
−−
+=−
− +−
; b)
2
1 5 12 1
22 4
x
xx x
+−= +
−+ −
;
c)
( )
22 42
11 3
11 1
xx
xx xx xx x
+−
−=
++ −+ ++
.
Câu 12. Giải các phương trình: