Nguyễn Đình Sỹ- ĐT: 02403833608 Trang 1
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN :
Cho hàm số y=f(x). có đồ thị (C)
1.Nếu f(x) là hàm số chẵn : Đồ thị của có đối xứng nhau qua trục Oy - Có nghĩa là ,trục Oy
là trục đối xứng của nó .
2. Nếu f(x) là hàm số lẻ : Đồ thị của nó nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng
3. Cho hai điểm

11 2 2
;; ;
A
xy Bxy và đường thẳng d : mx+ny+p=0 . Nếu A và B đối xứng
nhau qua đường thẳng d thì phải thỏa mãn hệ sau :
21
AB
21
.1
;i:k
êm I d
AB d
kk y y
vo
Trungdi x x

4. Cho điểm I( 00
;)
x
y. Nếu chuyển hệ tọa độ Oxy dọc theo phương của véc tơ OI thì công
thức chuyển trục là : 0
0
x
xX
yyy


Khi đó phương trình của đồ thị (C) trong hệ mới : Y=F(X;y0;x0)
B. GHI NHỚ :
- Đối với đồ thị hàm phân thức , thì giao hai tiệm cận là tâm đối xứng
- Đối với hàm số bậc ba thì tọa độ điểm uốn là tọa độ tâm đối xứng
- Đối với hàm số trùng phương thì trục Oy là trục đối xứng của đồ thị hàm số .
C. CÁC BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP
I.CHỨNG MINH ĐỒ THỊ Y=F(X) CÓ TRỤC ĐỐI XỨNG
CÁCH GIẢI
Có hai cách
* Cách 1.
- Giả sử trục đối xứng có phương trình : 0
x
x . Gọi điểm
0;0Ix
- Chuyển

0
Oxy IXY
OI
x
xX
yY



- Viết phương trình đường cong (C) trong tọa độ mới : Y=F(X;x0;y0) (*)
- Buộc cho (*) là một hàm số chẵn : ( Cho hệ số các ẩn bậc lẻ bằng 0 )
- Giải hệ các ẩn số bậc lẻ bằng 0 ta suy ra kết quả cần tìm .
* Cách 2. Nếu với 0
x
x là trục đối xứng thì : f(
00
)
x
xfxx đúng với mọi x , thì ta
cũng thu được kết quả .
Ví dụ 1. Cho hàm số
432
4764yxxxx C  . Chứng minh rằng đường thẳng x=1 là
trục đối xứng của đồ thị (C)
( Hoặc : Chứng minh rằng đồ thị hàm số có trục đối xứng ; tìm phương trình của trục đối
xứng đó ? )
GIẢI
Cảm ơnQuocbao84@gmail.comgửitớiwww.laisac.page.tl
C
C
CH
H
HU
U
UY
Y
YÊ
Ê
ÊN
N
NĐ
Đ
ĐỀ
Ề
ỀĐ
Đ
ĐỐ
Ố
ỐI
I
IX
X
XỨ
Ứ
ỨN
N
NG
G
GT
T
TR
R
RO
O
ON
N
NG
G
GK
K
KH
H
HẢ
Ả
ẢO
O
OS
S
SÁ
Á
ÁT
T
TH
H
HÀ
À
ÀM
M
MS
S
SỐ
Ố
NguyễnĐìnhSỹ
Nguyễn Đình Sỹ- ĐT: 02403833608
Trang 2
- Giả sử đường thẳng x= 0
x
là trục đối xứng của đồ thị (C). Gọi I( 0;0)x
- Chuyển :

0
Oxy IXY
OI
xX
yY



- Phương trình của (C) trong hệ tọa độ mới là :



432
0000
432232 432
0000000000
4764
44 65 4576 4764
Yxx xx xx xx
YX x X x xX x x x X x x x x

 
- Để hàm số là chẵn thì các hệ số của ẩn bậc lẻ và số hạng tự do bằng không :
0
32
00 0 0
432
0000
440
45760 1
47640
x
xxx x
xxxx



Chứng tỏ đồ thị hàm số có trục đối xứng , và phương trình của trục đối xứng là : x=1.
Ví dụ 2. Tìm tham số m để đồ thị hàm số :
43 2
4m
yx x mx C có trục đối xứng song
song với trục Oy.
GIẢI
- Giả sử đường thẳng x= 0
x
là trục đối xứng của đồ thị (C). Gọi I( 0;0)x
- Chuyển :

0
Oxy IXY
OI
xX
yY



- Phương trình của (C) trong hệ tọa độ mới là :


432232 432
000 000000
44 63 4122 4YX x X x xmX x x mxXx xmx 
- Để là hàm số chẵn thì :

00
32
00 0
410 1
4
4122 0
xx
m
xmx



II. Chứng minh đồ thị (C) có tâm đối xứng .
CÁCH GIẢI
Ta cũng có hai cách giải
Cách 1.
- Giả sử đồ thị (C) có tâm đối xứng là
00
;Ixy
- Chuyển :

0
0
Oxy IXY
OI
xX
yyY




- Viết phương trình (C) trong hệ tọa độ mới : Y=F(X;x0;y0) (*)
- Buộc cho (*) là một hàm số lẻ : ( Cho hệ số các ẩn bậc chẵn )
- Giải hệ ( với hệ số các ẩn bậc chẵn bằng 0 ) ta suy ra kết quả .
Cách 2.
Nếu đồ thị (C) nhận điểm I làm tâm đối xứng thì :
000
()()2
f
xx fxx y với mọi x
Nguyễn Đình Sỹ- ĐT: 02403833608 Trang 3
VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1. ( ĐH-QG-98). Cho (C) : 2
1
x
y
x
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)
b. Chứng minh (C) có tâm đối xứng , tìm tọa độ tâm đối xứng đó .
GIẢI
a. Học sinh tự vẽ đồ thị (C)
b. Giả sử (C) có tâm đối xứng là I
00
;Ixy
- Phương trình (C) viết lại thành dạng : 1
11
yx
x

- Chuyển :

0
0
Oxy IXY
OI
x
xX
yyY


- Phương trình (C) trong hệ mới là :




00
0
00
0
1
11
1
11
Yy x X xX
YX x y Xx
 

- Để hàm số là lẻ :

00 0
00
10 1
1; 2
10 2
xy x I
xy






Chứng tỏ đồ thị hàm số có tâm đối xứng I(1;2).
Ví dụ 2. (ĐH-NNI-99). Cho hàm số

1
x
yC
x
a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C)
b. Chứng minh giao hai tiệm cận là tâm đối xứng của đồ thị (C)
GIẢI
a. Học sinh tự vẽ đồ thị (C)
b. Hàm số viết lại : 1
11
y
x

- Giả sử (C) có tâm đối xứng là

00
;Ixy
- Chuyển :

0
0
Oxy IXY
OI
xX
yyY




- Phương trình (C) trong hệ mới là :


0
0
0
0
1
11
1
11
Yy xX
Yy Xx
 

Nguyễn Đình Sỹ- ĐT: 02403833608
Trang 4
- Để hàm số là lẻ :

00
00
10 1 1;1
10 1
yxI
xy






Nhận xét : Giao hai tiệm cận là (-1;1) trùng với I . Chứng tỏ giao hai tiệm cận là tâm đối
xứng của (C).
III. Tìm tham số m để ( )
m
C: y=f(x;m) nhận điểm I( 00
;)
x
y là tâm đối xứng .
CÁCH GIẢI
1. Nếu f(x;m) là hàm số phân thức hữu tỷ :
- Tìm tọa độ giao hai tiệm cận . Giả sử giao hai tiệm cận là J(a;b)
- Để I là tâm đối xứng thì buộc J trùng với I ta suy ra hệ : 0
0
ax m
by
2. Nếu f(x;m) là hàm số bậc ba .
- Tìm tọa độ điểm uốn :

''( ; ) 0 ;
(; )
yxm x a Jab
yfxm yb






- Tương tự như trên , đẻ I là tâm đối xứng , ta cho J trùng vố I ta suy ra hệ : 0
0
ax m
by
Vídụ 3. Tìm m để đồ thị hàm số

32
32;0
m
x
ymxCm
m
 nhận điểm I(1;0) là tâm đối
xứng .
GIẢI
Ta có : 2
36
'6''6
xx
ymx y m
mm
  . Cho y''=0 2
660; u
xmxmx
m

- Tính


645 25
;3.222;22
uu
m
yyxm mm m Umm
m

- Để I là tâm đối xứng thì : cho U trùng với I :
2
5
5
1
11
1
220
m
mm
m
m




- Vậy với m=-1 và m=1 thì I(1;0) là tâm đối xứng của đồ thị .
Ví dụ 4. (ĐH-Luật -99) .
Cho hàm số
 
2
2421
2m
xm xm
y C
x

Tìm m để đồ thị hàm số nhận điểm I(2;1) làm tâm đối xứng .
GIẢI
- Ta viết lại hàm số ; 1
22
yxm
x

. Chứng tỏ với mọi m đồ thị luôn có tiệm cận xiên
với phương trình là : y=2x+m và tiệm cận đứng : x=2 .
- Gọi J là giao hai tiệm cận , thì J(2;m+4)
Nguyễn Đình Sỹ- ĐT: 02403833608 Trang 5
- Để I làm tâm đối xứng thì ta buộc J trùng với I , nghĩa là ta có hệ : 22 3
41 m
m


- Vậy với m=-3 thì I là tâm đối xứng của đồ thị .
Ví dụ 5.( ĐH-CĐ-2000).
Cho hàm số
32
33 34 m
yx x mx m C
Tìm m để

m
Cnhận điểm I(1;2) làm tâm đối xứng .
GIẢI
- Tìm tọa độ điểm uốn :
Ta có : 2
'3 6 3; ''6 6 ''0 6 60; 1 u
yxxmy x y x x x
Tính

1133 3 46 2; 1;6 2
u
yy mm m U m
- Để I là tâm đối xứng thì : 11 0
622 m
m


- Vậy với m=0 , thì I là tâm đối xứng của đồ thị .
IV. TÌM CÁC ĐIỂM ĐỐI XỨNG NHAU TRÊN ĐỒ THỊ
Bài toán : Cho đồ thị (C) : y=f(x) , tìm trên đồ thị những cặp điểm M,N đối xứng nhau qua
điểm A hoặc đường thẳng d: Ax+By+C=0 ( cho sẵn )
CÁCH GIẢI
- Giả sử

00 0 0
;() 1Mx y C y fx
- Tìm tọa độ điểm N theo 00
,
x
y sao cho N là điểm đối xứng của M qua A ( hoặc qua d )
Nên ta có :

2
NN
yfx
- Từ (1) và (2) ta tìm được tọa độ của điểm M,N .
Ví dụ 6. ( ĐH-GTVT-97)
Cho hàm số 32
94yx mx x . Xác định m để trên đồ thị hàm số có một cặp điểm đối
xứng nhau qua gốc tọa độ O.
GIẢI
Giả sử

00 0 0
;à N-x;
M
xy v y là cặp điểm đối xứng nhau qua O, nên ta có :

32
00 0 0
32
0000
941
942
yxmx x
yxmxx


Lấy (1) cộng với (2)vế với vế ,ta có :
2
040 3mx 
Để (3) có nghiệm khi và chỉ khi m<0 . Khi đó : 0
4
xm
Thay vào (1) ta tìm dược 0
y. Vậy đáp số : m< 0 .