Quy nạp toán học

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:7

Thêm vào BST

Báo xấu

14
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu nhằm củng cố kiến thức của các em học sinh thông qua giải các bài tập vận dụng về Quy nạp toán học. Mời các bạn cùng tham khảo tài liệu để nắm chi tiết nội dung chi tiết các bài tập.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Quy nạp toán học

QUY NẠP TOÁN HỌC “tailieumontoan.com” Date II. Bài tâp I. Lý Thuyêt  Dạng 1: Chứng minh đẳng thức ❗ Cơ sở phương pháp. Bài 1. Chứng minh rằng Để kiểm tra mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên n (n + 1 ) 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + n = đúng với mọi số n ≥ p ta làm như sau: 2 tự nhiên n ≥ 1 . 1) Kiểm tra mệnh đề đúng với n = p. Lời giài 2) Giả sử mệnh đề đúng mới n = k n (n + 1 ) (Giải thiết quy nạp) 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + n = (1) 2 3) Chứng minh mệnh đề đúng với n = k + 1. Bước 1: Với n = 1 ta có: VT = VP = 1 ⇒ ( 1 ) đúng với Nhận xét: Trong việc chứng minh bằng phương pháp quy nạp các bạn cần khai thác triệt để giả thiết quy n =1 Bước 2: Giả sử (1) đúng với k, k ∈ , k ≥ 1 tức là: nạp (là mệnh đề khi n = k), tức là trong quá trình giải k (k + 1) bài toán ở bước chứng minh n = k + 1 các bạn phải biến 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + k = 2 đổi làm sao xuất hiện giả thiết quy nạp. Ta phải chứng minh (1) đúng với k + 1 tức là: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + k + ( k + 1 ) (k + 1 ) (k + 1 ) + 1 (k + 1 )(k + 2 ) = = ( 2 ) 2 2 Ta có 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + k + ( k + 1 ) k (k + 1) = ( 1 + 2 + 3 + .... + k ) + k + 1 = +k +1 2 k 2 + 3k + 2 (k + 1 )(k + 2=) = 2 = 2 ( 2 ) ⇒ dpcm Hiệu ứng đô mi nô là hình ảnh biểu diễn trực quan cho Vậy đẳng thức đã cho đúng với mọi n ≥ 1 phương pháp quy nạp toán học Bài 2. Chứng minh với n ∈ N * thì 1 + 3 + 5 + ... + ( 2n − 1 ) =n2 (2) ❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗
Lời giải  Dạng 2: Chứng minh bất đẳng thức. Với n = 1: mệnh đề (2) trở thành: 1=1 = 1 (đúng) 2 Bài 4. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 2 , Giả sử mệnh đề (2) đúng khi n= k ≥ 1, tức là: ta có bất đẳng thức: S k = 1 + 3 + 5 + ... + ( 2n − 1 ) = k 2 (giải thiết quy nạp) 1 1 1 1 13 + + ⋅⋅⋅ + + > . n +1 n +2 2n − 1 2n 24 Cần chứng minh mệnh đề (2) đúng với n = k + 1, tức là cần chứng minh: Lời giải S k + 1 = 1 + 2 + ... + ( 2n − 1 ) + 2 2 ( k + 1 ) − 1  = ( k + 1 ) 2 Với n = 2 , ta có VT > VP nên bất đẳng thức đúng với Thật vậy: n =2 Giả sử bất đẳng thức đúng với : n= k ≥ 2 , tức là : S k + 1 = S k + 2 2 ( k + 1 ) − 1  = k 2 + 2k + 1 = (k + 1) 2 1 1 1 1 13 Vậy mệnh đề (2) đúng với mọi n ∈ N * + + ⋅⋅⋅ + + > . k +1 k +2 2k − 1 2k 24 Như vậy n 4 + 4 là một số nguyên tố khi n = 1. Cần chứng minh bất đẳng thức đúng với n= k + 1 , Bài 3. Chứng minh với n ∈ N thì * tức là : n ( 3n + 1 ) 1 1 1 1 13 2 + 5 + 8 + ... + ( 3n − 1 ) = (3 ) + + ⋅⋅⋅ + + > . 2 k +2 k +3 2k + 1 2k + 2 24 Lời giải Thật vậy, xét hiệu số: ới n = 1: mệnh đề (3) trở thành: 2 = 2 (đúng)  1 1 1 1  Giả sử mệnh đề (3) đúng khi n= k ≥ 1, tức là:  k + 2 + k + 3 + ⋅ ⋅ ⋅ + 2 k + 1 + 2k + 2    k ( 3k + 1 )  1 1 1 1  S k = 2 + 5 + 8 + ... + ( 3k − 1 ) = − + + ⋅⋅⋅ + +  2 k +1 k +2 2k − 1 2k  (giải thiết quy nạp) 1 1 1 1 = + − = >0 Cần chứng minh mệnh đề (3) đúng với n = k + 1, tức 2k + 1 2k + 2 k + 1 2 ( k + 1 )( 2k + 1 ) là cần chứng minh: 1 1 1 1 ⇒ + + ⋅⋅⋅ + + S k + 1 = 2 + 5 + 8 + ... + ( 3k − 1 ) + 3 ( k + 1 ) − 1  k +2 k +3 2 k + 1 2k + 2 1 1 1 1 13 > + + ⋅⋅⋅ + + > (k + 1 ) 3 (k + 1 ) + 1 k +1 k +2 2k − 1 2k 24 = 2 Vậy với mọi n ≥ 2 , ta có : Thật vậy: 1 1 1 1 13 + + ⋅⋅⋅ + + > . k ( 3k + 1 ) n +1 n +2 2n − 1 2n 24 S k + 1 = S k + 3 ( k + 1 ) − 1  = + 3 ( k + 1 ) − 1  2 Bài 5.Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 2 , ta  4 3 (k + 1)  k +  có bất đẳng thức: 3k + 7k + 4 2  3 = 1 1 1 1 2 2 + 2 + ⋅⋅⋅ + 2 < 2 − 1 2 2 n n (k + 1 ) 3 (k + 1 ) + 1 = 2 Lời giải Vậy mệnh đề (3) đúng với mọi n ∈ N * 1 1 1 Với n = 2 , ta có + 2 < 2 − (đúng) nên bất 2 1 2 2 đẳng thức đúng với n = 2 Giả sử bất đẳng thức đúng với : n= k ≥ 2 , tức là : ❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗
 Dạng 2: Chứng minh chia hết. 1 1 1 1 Bài 7. Chứng minh rằng n(2n2 + 7) chia hết cho 3 với mọi số 1 2 + 2 + ⋅⋅⋅ + 2 < 2 − 2 n n ( 1) nguyên dương n. Cần chứng minh bất đẳng thức đúng với n= k + 1 , tức Lời giải 1 1 1 1 ( ) Với n = 1 thì ta có: n 2n 2 + 7 = 1. ( 2 + 7 )= 9  3 , do đó bài là : 2 + 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + < 2 − n (2) (n + 1 ) + 1 toán đúng với n = 1 2 1 2 Giải sử bài toán đúng đến n = k với k ≥ 1, k ∈ N tức là: Thật vậy, từ (1) ta có:  1 1 1  1 1 1 ( ) ( k 2k 2 + 7  3 hay k 2k 2 + 7= 3x x ∈ N* , ) ( )  2 + 2 + ⋅⋅⋅ + 2 + 2 (đúng) nên bất đẳng 4k + 15k − 1 9 2 thức đúng với n = 2 k (* k ) hay 4 + 15k − 1 = 9x x ∈ N ⇔ 4 = 9x − 15k + 1 ta sẽ cần chứng minh bài toán đúng với n = k + 1. Thật vậy: Giả sử bất đẳng thức đúng với : n= k ≥ 2 , tức là : 4 k +1 + 15 ( k + 1) −= 1 4.4 k + 15k + 14 1 1 1+ + ... + > n ( 1) = 4 ( 9x − 15k + 1) + 15k + 14 2 n = 36x − 45k + 18  9 Cần chứng minh bất đẳng thức đúng với n= k + 1 , tức 1 1 Do đó A = 4n 2 + 15n − 1 chia hết cho 9 với n= k + 1 là : 1+ + ... + > n +1 (2) Vậy bài toán được chứng minh. 2 n +1 Bài 9. Chứng minh rằng 52n + 7 chia hết cho 8 với mọi số Thật vậy, từ (1) ta có: nguyên dương n.  1 1  1 1 Lời giải 1 + + ⋅⋅⋅ + + > n+  2 n n +1 n +1 • Với n = 1 , khi đó ta có 52 + 7 = 32  8 (đúng) 1 n (n + 1 ) + 1 n2 + n + 1 • Giả sử mệnh đề đúng với , tức là ta có 52n + 7  8 . =n+ = = • Ta cần chứng minh mệnh đề đúng với n + 1 . Thật vậy, ta có n +1 n +1 n +1 n2 + 1 n + 1 5 ( )= 2 n +1 + 7 25.52n = + 7 24.52n + 52n + 7 ( ) > = = n +1 Để ý là 52n + 7  8 và 24.52n  8 . Do đó ta được 5 ( ) + 7  8 . 2 n +1 n +1 n +1 Vậy theo nguyên lý quy nạp ta được 52n + 7 chia hết cho 8 với Vậy bài toán đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 2 . mọi số nguyên dương n. ❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗
BÀI TÂP VÂN DUNG Bài 1. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 1 ta luôn có: n ( n + 1)( n + 2 ) a. 1.2 + 2.3 + 3.4 + .... + n ( n + 1) = 3 n ( n + 1)( 2n + 1) b. 12 + 2 2 + 32 + ... + n2 = 6 1 2 3 n 3 2n + 3 c. + 2 + 3 + ... + n = − 3 3 3 3 4 4.3n Bài 2. Cho n là một số nguyên dương, Chứng minh rằng: = C 7.22 n−2 + 32 n−1 5 (1) Hướng dẫn giải Xét với n = 1 ta có: C = 105 . Vậy (1) đúng với n = 1 là: Ck 7.22 k −2 + 32 k −1 5 Giả sử (1) đúng với n = k ( k ≥ 1, k ∈ N ), tức = ( 2) Ta sẽ chứng minh (1) đúng với n = k + 1, tức là phải chứng minh: Ck +1 7.2 ( ) + 3 ( ) 5 2 k +1 − 2 2 k +1 −1 = Ta có: Ck +1 = 7.22( k +1)−2 + 32( k +1)−1 = 7.22 k + 2−2 + 32.32 k −1 = 4.7.22 k −2 + 9.32 k −1 ( ) =4 7.22 k −2 + 32 k −1 + 5.32 k −1 =4.Ck + 5.32 k −1 5 Vậy theo nguyên lý quy nạp ta được = C 7.22 n−2 + 32 n−1 chia hết cho 5 với mọi số nguyên dương n. Bài 3. Chứng minh rằng số được tạo 3n bởi chữ số giống nhau thì chia hết cho 3n với n ∈ N * Hướng dẫn giải Với n = 1, ta có: aaa = 111.a  3 , Vậy bài toán đúng với n = 1. Giả sử bài toán đúng đến n = k ( k ≥ 1, k ∈ N ), tức là: aa  ...a 3k 3k Ta sẽ chứng minh mệnh đề đúng đến n = k + 1.   Thật vậy: aa  =  ...a aa  ...a aa = ...a aa  ...a aa..a × 100...0100..01   3 n +1  do 100...0100..01   3    3k +1 3k 3k 3k 3k 3k −1 3k −1  3k −1 3k −1  Vậy bài toán được chứng minh. Bài 4. Chứng minh với mọi số tự nhiên n khác 0, ta có bất đẳng thức : 1 1 1 n 1 + + + ⋅⋅⋅ + n > . 2 3 2 −1 2 Hướng dẫn giải 1 Khi n = 1 ta có 1 > , tức là khẳng định đúng khi n = 1 . 2 ❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗
Giả sử bất đẳng thức đúng với n= k ≥ 1, nghĩa là ta có : 1 1 1 k 1 + + + ⋅⋅⋅ + k > . 2 3 2 −1 2 Ta cần phải chứng minh khẳng định đúng với n= k + 1 , tức là : 1 1 1 k +1 1 + + + ⋅⋅⋅ + k +1 > . 2 3 2 −1 2 1 1 1  1 1 1   1 1 1  Ta có : 1 + + + ⋅ ⋅ ⋅ + k +1 =  1 + + + ⋅ ⋅ ⋅ + k + k + k + ⋅ ⋅ ⋅ + k +1  2 3 2 −1  2 3 2 −1  2 2 +1 2 −1  1 1 1  Nhận thấy :  k + k + ⋅ ⋅ ⋅ + k +1  gồm 2 phân số, tử số bằng 1, còn mẫu số lần lượt là : k 2 2 +1 2 −1 2 , 2 + 1, 2 + 2,..., 2 − 1; đều nhỏ hơn 2k +1 , do đó : k k k k +1 1 1 1 1 1 1 > k +1 , k > k +1 , k +1 > k +1 . 2 k 2 2 +1 2 2 −1 2  1 1 1  1 1 ⇒ k + k + ⋅ ⋅ ⋅ + k +1  > 2 ⋅ k +1 = k 2 2 +1 2 −1 2 2 1 1 1  k Theo giả thiết quy nạp :  + k + ⋅⋅⋅ + k >  2 2 +1 2 −1  2 1 1 1 k 1 k +1 Do đó : + k + ⋅⋅⋅ + k > + = . 2 2 +1 2 −1 2 2 2 1 1 1 n Vậy với mọi n ≥ 1 , ta có : 1 + + + ⋅⋅⋅ + n > . 2 3 2 −1 2 Bài 5. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta có: 1 3 5 2n − 1 1 ⋅ ⋅ ⋅⋅⋅ < 2 4 6 2n 3n + 1 Hướng dẫn giải + Kí hiệu bất đẳng thức đã cho là (*) , với n = 1 , bất đẳng thức trở thành 1 1 1 1 ≤ ⇔ ≤ (đúng) 2 3.1 + 1 2 2 Bất đẳng thức đúng với n = 1 . ( ) + Giả sử (*) đúng đến n = k k ∈ N, k ≥ 1 , tức là ta được 1 3 5 ⋅ ⋅ ⋅⋅⋅ 2 4 6 2k − 1 2k < 1 3k + 1 + Ta cần chứng minh (*) đúng với n= k + 1 , hay 1 3 5 2k − 1 2k + 1 1 ⋅ ⋅ ⋅⋅⋅ ⋅ < 2 4 6 2k 2k + 2 3k + 4 Theo giả thiết quy nạp, ta có 1 3 5 2k − 1 2k + 1 1 2k + 1 ⋅ ⋅ ⋅⋅⋅ ⋅ < ⋅ 2 4 6 2k 2k + 2 3k + 1 2k + 2 ❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗
Bất đẳng thức (*) đúng với n= k + 1 khi 1 2k + 1 1 ⋅ 2k + 2 < ( ⇔ 2k + 1 ) ( 3k + 4 < 2k + 2 ) 3k + 1 3k + 1 3k + 4 ( ) ( 3k + 4 ) < (2k + 2 ) ( 3k + 1) ⇔ k > 0 2 2 ⇔ 2k + 1 (đúng) Do đó (*) đúng với n= k + 1 , nên theo nguyên lý quy nạp bất đẳng thức đúng với mọi số nguyên dương n. Bài 6. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta có 1 1 1 1 + + + ... + >1 n +1 n +2 n + 3 n + 2n + 1 Hướng dẫn giải 1 1 1 13 + Với n = 1 bất đẳng thức có dạng: + + >1⇔ > 1 (đúng) 1+1 1+2 1+ 3 12 Nên bất đẳng thức đúng với n = 1 ( + Giả sử bất đẳng thức đúng đến n = k k ∈ N, k ≥ 1 , tức là ) 1 1 1 1 S= + + + ... + >1 k k +1 k +2 k + 3 3k + 1 + Ta phải chứng minh bất đẳng thức đúng với n= k + 1 , hay 1 1 1 1 Sk += + + + ... + >1 1 k+2 k+3 k+4 3k + 4 Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có 1 1 1 1 2 Sk +1 = Sk + + + − = Sk + 3k + 2 3k + 3 3k + 4 k + 1 ( 3 k + 1 3k + 2 3k + 4 )( )( ) Hay Sk +1 > Sk > 1 . Do đó bất đẳng thức đúng với n= k + 1 , nên theo nguyên lý quy nạp ta có bất đẳng thức đúng với mọi số nguyên dương n. Bài 7. Tìm tất cả các số nguyên dương n thỏa mãn bất đẳng thức: 3n > 2n + 7n Hướng dẫn giải Thử trực tiếp với n = 1, 2, 3, 4 ta thấy n = 4 thì bất đẳng thức đúng. Ta sẽ chứng minh mọi giá trị cần tìm của n là n ≥ 4, n ∈ N . Tức là chứng minh bất đẳng thức sau đúng với mọi n ≥ 4, n ∈ N : 3n > 2n + 7n + Với n = 4 thì bất đẳng thức trở thành có dạng 34 > 24 + 7.4 ⇔ 81 > 44 (đúng) Nên bất đẳng thức đúng với n = 4 ❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗
( + Giả sử bất đẳng thức đúng đến n = k k ∈ N, k ≥ 4 tức là: 3k > 2k + 7k ) + Ta phải chứng minh bất đẳng thức đúng với n= k + 1 , hay 3k +1 > 2k +1 + 7 k + 1 ( ) Thật vậy, theo giả thiết quy nạp, ta có 3k +1 = 3.3k > 3 2k + 7 ( ) Nhưng với mọi k ≥ 4 thì ( ) ( ) 3 2k + 7k = 2k +1 + 2k + 21k = 2k +1 + 7 k + 1 + 2k + 7 2k − 1 > 2k +1 + 7 k + 1 ( ) ( ) Suy ra bất đẳng thức đúng với n= k + 1 , nên theo nguyên lý quy nạp ta có bất đẳng thức đúng. Vậy bài toán được hoàn thành. Thí dụ . Chứng minh rằng với mọi n ≥ 1, n ∈ N , ta có 1 1 1 7 + + ... + < n +1 n +2 2n 10 Hướng dẫn giải Kiểm tra trực tiếp ta thấy bất đẳng thức đã cho đúng với n = 1, 2, 3 Xét trường hợp n ≥ 4 . khi đó ta sẽ chứng minh bất đẳng thức mạnh hơn 1 1 1 7 1 + + ... + < − n +1 n +2 2n 10 4n + Với n = 4 bất đẳng thức trở thành 1 1 1 1 7 1 533 51 + + + < − ⇔ < ⇔ 1066 < 1071 (đúng) 4 + 1 4 + 2 4 + 3 4 + 4 10 4.4 840 80 Nên bất đẳng thức đúng với n = 4 . ( + Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k k ∈ N, k ≥ 4 , tức là ) 1 1 1 7 1 S= + + ... + < − k k +1 k +2 2k 10 4k + Ta phải chứng minh bất đẳng thức đúng với n= k + 1 , hay 1 1 1 7 1 Sk= + + ... + < − +1 k+2 k+3 2k + 2 10 4 k + 1 ( ) Sử dụng giả thiết quy nạp ta được 1 1 1 1 1 1 Sk +1 = + + ... + = Sk − + + k+2 k+3 2k + 2 k + 1 2k + 2 2k + 2 1 7 1 1 = Sk + < − + ( 2 k + 1 2k + 1 )( ) 10 4k 2 k + 1 2k + 1 ( )( ) Do vậy chỉ cần chứng minh 1 1 1 2 1 1 − + 2k ⇔ 1 > 0 ( k + 1 2k + 1)( ) k k +1 ( ) Đánh giá cuối cùng hiển nhiên đúng. Vậy bất đẳng thức đúng với n= k + 1 , nên theo nguyên lý quy nạp ta có bất đẳng thức đúng với mọi n ≥ 4 . Bài toán được chứng minh xong. ❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗