QUY NẠP TOÁN HỌC
“tailieumontoan.com”
Date
Để kiểm tra mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên
np
≥
ta làm như sau:
1)
Kiểm tra mệnh đề đúng với
n = p.
2)
Giả sử mệnh đề đúng mới
n = k
(Giải thiết quy nạp)
3)
Chứng minh mệnh đề đúng với
n = k + 1.
Nhận xét:
Trong việc chứng minh bằng phương pháp
quy nạp các bạn cần khai thác triệt để
giả thiết quy
nạp
(là mệnh đề khi n = k), tức là trong quá trình giải
bài toán ở bước chứng minh n = k + 1 các bạn phải biến
đổi làm sao xuất hiện
giả thiết quy nạp
.
Hiệu ứng đô mi nô là hình ảnh biểu diễn trực quan cho
phương pháp quy nạp toán học
❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗
Dạng 1: Chứng minh đẳng thức
Bài 1.
Chứng minh rằng
( )
1
1 2 3 4 5 ... 2
nn
n
+
+++++ +=
đúng với mọi số
tự nhiên
1
n
≥
.
Lời giài
( )
1
1 2 3 4 5 ... 2
nn
n
+
+++++ +=
(1)
Bước 1: Với
1
n
=
ta có:
( )
11
VT VP
= = ⇒
đúng với
1
n
=
Bước 2: Giả sử (1) đúng với k,
,1
kk
∈≥
tức là:
( )
1
1 2 3 4 5 ... 2
kk
k
+
+++++ +=
Ta phải chứng minh (1) đúng với k + 1 tức là:
( )
( ) ( ) ( )( ) ( )
2
1 2 3 4 5 ... 1
1 11 12
2
2
kk
kk kk
+++++ ++ +

+ ++ ++

= =
Ta có
( )
( ) ( )
( )( ) ( )
2
1 2 3 4 5 ... 1
1
1 2 3 .... 1 1
2
12
32 2
22
kk
kk
kk k
kk
kk dpcm
+++++ ++ +
+
= +++ + ++= ++
++
++
= = = ⇒
Vậy đẳng thức đã cho đúng với mọi
1n≥
Bài 2.
Chứng minh với
*
nN
∈
thì
( ) ( )
2
1 3 5 ... 2 1 2
nn
+++ + − =
❗
Cơ sở phương pháp.
II. Bài tâp
Lời giải
Với n = 1: mệnh đề (2) trở thành: 1=12= 1 (đúng)
Giả sử mệnh đề (2) đúng khi
1,
nk
= ≥
tức là:
( )
2
1 3 5 ... 2 1
k
S nk
=+++ + − =
(giải thiết quy nạp)
Cần chứng minh mệnh đề (2) đúng với n = k + 1, tức
là cần chứng minh:
( ) ( ) ( )
2
1
1 2 ... 2 1 2 2 1 1 1
k
S nk k
+

=+++ − + + − = +

Thật vậy:
( ) ( )
2
2
1
22 1 1 2 1 1
kk
S S k kk k
+

= + + − = + += +

Vậy mệnh đề (2) đúng với mọi
*
nN
∈
Như vậy
4
4
n
+
là một số nguyên tố khi
1.
n
=
Bài 3.
Chứng minh với
*
nN
∈
thì
( ) ( ) ( )
31
2 5 8 ... 3 1 3
2
nn
n
+
+++ + − =
Lời giải
ới n = 1: mệnh đề (3) trở thành: 2 = 2 (đúng)
Giả sử mệnh đề (3) đúng khi
1,
nk
= ≥
tức là:
( ) ( )
31
2 5 8 ... 3 1 2
k
kk
Sk
+
=+++ + − =
(giải thiết quy nạp)
Cần chứng minh mệnh đề (3) đúng với n = k + 1, tức
là cần chứng minh:
( ) ( )
( ) ( )
12 5 8 ... 3 1 3 1 1
13 1 1
2
k
S kk
kk
+
=+++ + − + + −


+ ++

=
Thật vậy:
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
1
2
31
3 11 3 11
2
4
31 3
3 74
22
13 1 1
2
kk
kk
SS k k
kk
kk
kk
+
+
 
= + +−= + +−
 

++

++ 
= =

+ ++

=
Vậy mệnh đề (3) đúng với mọi
*
nN
∈
Dạng 2: Chứng minh bất đẳng thức.
Bài 4.
Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên
2
n
≥
,
ta có bất đẳng thức:
1 1 1 1 13 .
1 2 2 1 2 24
nn n n
+ +⋅⋅⋅+ + >
++ −
Lời giải
Với
2
n
=
, ta có VT > VP nên bất đẳng thức đúng với
2
n
=
Giả sử bất đẳng thức đúng với :
2
nk
= ≥
, tức là :
1 1 1 1 13 .
1 2 2 1 2 24
kk k k
+ +⋅⋅⋅+ + >
++ −
Cần chứng minh bất đẳng thức đúng với
1nk= +
,
tức là :
1 1 1 1 13 .
2 3 212224
kk k k
+ +⋅⋅⋅+ + >
++ + +
Thật vậy, xét hiệu số:
( )( )
11 1 1
2 3 2122
1 1 11
1 2 2 12
1 11 1 0
2122 1
2 12 1
11 1 1
2 3 2122
1 1 1 1 13
1 2 2 1 2 24
kk k k
kk k k
k kk kk
kk k k
kk k k

+ +⋅⋅⋅+ +

++ + +


− + +⋅⋅⋅+ +

++ −

= + −= >
+ ++ ++
⇒ + +⋅⋅⋅+ +
++ + +
> + +⋅⋅⋅+ + >
++ −
Vậy với mọi
2
n
≥
, ta có :
1 1 1 1 13 .
1 2 2 1 2 24
nn n n
+ +⋅⋅⋅+ + >
++ −
Bài 5.
Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên
2
n
≥
, ta
có bất đẳng thức:
22 2
11 1 1
2
12
n
n
+ +⋅⋅⋅+ < −
Lời giải
Với
2
n
=
, ta có
22
11 1
22
12
+ <−
(đúng) nên bất
đẳng thức đúng với
2
n
=
Giả sử bất đẳng thức đúng với :
2
nk
= ≥
, tức là :
❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗
( )
22 2
11 1 1
21
12
n
n
+ +⋅⋅⋅+ < −
Cần chứng minh bất đẳng thức đúng với
1
nk
= +
, tức
là :
( ) ( )
22 2
11 1 1
22
1
12 1
n
n
+ +⋅⋅⋅+ < − +
+
Thật vậy, từ (1) ta có:
( ) ( )
22 2 2 2
11 1 1 1 1
2
12 11
n
nnn

+ +⋅⋅⋅+ + < − +


++
( )
( ) ( )
22
22
11
22
11
nn
nn
nn nn
+− ++
=−=−
++
( )
( )
( )
2
22
11
222
1
11
nn
nn
n
nn nn
+
+
<−=−=−
+
++
Vậy bài toán đúng với mọi số tự nhiên
2
n
≥
.
Bài 6.
Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên
2
n
≥
, ta
có bất đẳng thức:
11
1 ...
2
n
n
+ ++ >
Lời giải
Với
2
n
=
, ta có
1
12
2
+>
(đúng) nên bất đẳng
thức đúng với
2
n
=
Giả sử bất đẳng thức đúng với :
2
nk
= ≥
, tức là :
( )
11
1 ... 1
2
n
n
+ ++ >
Cần chứng minh bất đẳng thức đúng với
1
nk
= +
, tức
là :
( )
11
1 ... 1 2
21
n
n
+ ++ > +
+
Thật vậy, từ (1) ta có:
1 11 1
12 11
n
nn n

+ +⋅⋅⋅+ + > +

++

( )
2
2
11
11
11 1
11 1
11
nn nn
nnn n
nn n
nn
++ ++
=+= =
++ +
++
>==+
++
Vậy bài toán đúng với mọi số tự nhiên
2
n
≥
.
Dạng 2: Chứng minh chia hết.
Bài 7.
Chứng minh rằng n(2n2 + 7) chia hết cho 3 với mọi số
nguyên dương n.
Lời giải
Với n = 1 thì ta có:
( )
( )
2
n 2n 7 1. 2 7 9 3+= +=
, do đó bài
toán đúng với
1n=
Giải sử bài toán đúng đến
nk=
với
1,k kN≥∈
tức là:
( ) ( ) ( )
2 2*
k 2k 7 3 hay k 2k 7 3x x N+ += ∈
,
Ta sẽ cần chứng minh bài toán đúng với
1nk= +
. Thật vậy
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
22
32 2
32
2
k 1 2 k 1 7 n 1 2n 4n 9
2n 4n 9n 2n 4n 9
2n 7n 6n 6n 9
3x 3 2n 2n 3 3y 3

+ + +=+ ++


=+++++
= + + ++
= + + +=
Do đó
( )
2
n 2n 7+
chia hết cho 3 với
1nk= +
Vậy bài toán được chứng minh.
Bài 8.
Chứng minh rằng
4 15 1
n
n
+−
chia hết cho 9 với mọi
*
nN∈
Lời giải
Với n = 1 thì ta có:
A 18=
chia hết cho 9, do đó bài toán đúng
với n = 1
Giải sử bài toán đúng đến
nk=
với
1,k kN≥∈
tức là:
4 15 1 9
k
k
+−
hay
( )
*
4 15 1 9 4 9 15 1
kk
k xx N x k
+ −= ∈ ⇔ = − +
ta sẽ cần
chứng minh bài toán đúng với
n = k + 1
. Thật vậy:
( )
( )
k1 k
4 15 k 1 1 4.4 15k 14
4 9x 15k 1 15k 14
36x 45k 18 9
++ + −= + +
= − ++ +
=−+
Do đó
2
A 4n 15n 1=+−
chia hết cho 9 với
1nk= +
Vậy bài toán được chứng minh.
Bài 9.
Chứng minh rằng
+
2n
57
chia hết cho 8 với mọi số
nguyên dương n.
Lời giải
•
Với
=n1
, khi đó ta có
+=
2
5 7 32 8
(đúng)
•
Giả sử mệnh đề đúng với , tức là ta có
+
2n
5 78
.
•
Ta cần chứng minh mệnh đề đúng với
+n1
. Thật vậy, ta có
( )
( )
++= += + +
2n 1 2n 2n 2n
5 7 25.5 7 24.5 5 7
Để ý là
+
2n
5 78
và
2n
24.5 8
. Do đó ta được
( )
+
+
2n 1
5 78
.
Vậy theo nguyên lý quy nạp ta được
+
2n
57
chia hết cho 8 với
mọi số nguyên dương n.
❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗
Bài 1.
Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên
1n≥
ta luôn có:
a.
( ) ( )( )
12
1.2 2.3 3.4 .... 1 3
nn n
nn ++
+ + ++ +=
b.
( )( )
222 2
12 1
1 2 3 ... 6
nn n
n++
+ + ++ =
c.
23
1 2 3 32 3
...
34
3 3 3 4.3
nn
nn+
+ + ++ =−
Bài 2.
Cho n là một số nguyên dương, Chứng minh rằng:
( )
2 2 21
7.2 3 5 1
−−
= +
nn
C
Hướng dẫn giải
Xét với n = 1 ta có:
10 5=C
. Vậy (1) đúng với n = 1
Giả sử (1) đúng với n = k (
1,k kN≥∈
), tức là:
( )
2 2 21
7.2 3 5 2
−−
= +
kk
k
C
Ta sẽ chứng minh (1) đúng với n = k + 1, tức là phải chứng minh:
( ) ( )
212 211
17.2 3 5
+− +−
+= +
kk
k
C
Ta có:
( ) ( )
212 211 2 22 221 2 2 21
17.2 3 7.2 3 .3 4.7.2 9.3
+− +− +− − − −
+= += += +
kk k k kk
k
C
( )
2 2 21 21 21
4 7.2 3 5.3 4. 5.3 5
−− − −
= ++ =+
kk k k
k
C
Vậy theo nguyên lý quy nạp ta được
2 2 21
7.2 3
−−
= +
nn
C
chia hết cho 5 với mọi số nguyên dương n.
Bài 3.
Chứng minh rằng số được tạo
3n
bởi chữ số giống nhau thì chia hết cho
3n
với
*
∈nN
Hướng dẫn giải
Với n = 1, ta có:
111. 3=aaa a
, Vậy bài toán đúng với n = 1.
Giả sử bài toán đúng đến n = k (
1,k kN≥∈
), tức là:
3
... 3
k
k
aa a
Ta sẽ chứng minh mệnh đề đúng đến n = k + 1.
Thật vậy:
1 11 11
1
3 333 3 3 3 3 3
... ... ... ... .. 100...0100..01 3 100...0100..01 3
k kkk k k k k k
n
aa a aa a aa a aa a aa a do
+ −− −−
+
= = × 



Vậy bài toán được chứng minh.
Bài 4.
Chứng minh với mọi số tự nhiên
n
khác 0, ta có bất đẳng thức :
11 1
1.
23 2 12
n
n
+ + +⋅⋅⋅+ >
−
Hướng dẫn giải
Khi
1n=
ta có
1
12
>
, tức là khẳng định đúng khi
1n=
.
❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗
BÀI TÂP VÂN DUNG
Giả sử bất đẳng thức đúng với
1,nk= ≥
nghĩa là ta có :
11 1
1.
23 2 12
k
k
+ + +⋅⋅⋅+ >
−
Ta cần phải chứng minh khẳng định đúng với
1nk= +
, tức là :
1
11 1 1
1.
23 2 1 2
k
k
+
+
+ + +⋅⋅⋅+ >
−
Ta có :
11
11 1 11 1 1 1 1
11
23 23
21 21 221 21
k k kk k++

+ + +⋅⋅⋅+ = + + +⋅⋅⋅+ + + +⋅⋅⋅+

− − +−

Nhận thấy :
1
11 1
2 21 2 1
kk k+

+ +⋅⋅⋅+

+−

gồm
2
k
phân số, tử số bằng 1, còn mẫu số lần lượt là :
1
2 , 2 1, 2 2,..., 2 1;
kk k k+
++ −
đều nhỏ hơn
1
2k+
, do đó :
1 11 1
11
111 1 1 1
,, .
2 2 2 12 2 12
1 1 1 11
22
2 21 2 1 2
kkk kk k
k
kk k k
+ ++ +
++
>> >
+−

⇒ + +⋅⋅⋅+ > ⋅ =

+−

Theo giả thiết quy nạp :
11 1
22 1 2 1 2
kk
k

+ +⋅⋅⋅+ >

+−

Do đó :
11 1 1 1
.
22 1 2 122 2
kk
kk+
+ +⋅⋅⋅+ > + =
+−
Vậy với mọi
1n≥
, ta có :
11 1
1.
23 2 12
n
n
+ + +⋅⋅⋅+ >
−
Bài 5.
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta có:
1 3 5 2n 1 1
2 4 6 2n 3n 1
−
⋅ ⋅ ⋅⋅⋅ < +
Hướng dẫn giải
+ Kí hiệu bất đẳng thức đã cho là (*) , với
n1=
, bất đẳng thức trở thành
1 1 11
2 22
3.1 1
≤ ⇔≤
+
(đúng)
Bất đẳng thức đúng với
n1=
.
+ Giả sử (*) đúng đến
( )
n k k N, k 1=∈≥
, tức là ta được
1 3 5 2k 1 1
2 4 6 2k 3k 1
−
⋅ ⋅ ⋅⋅⋅ < +
+ Ta cần chứng minh (*) đúng với
n k1= +
, hay
1 3 5 2k 1 2k 1 1
2 4 6 2k 2k 2 3k 4
−+
⋅ ⋅ ⋅⋅⋅ ⋅ <
++
Theo giả thiết quy nạp, ta có
1 3 5 2k 1 2k 1 1 2k 1
2 4 6 2k 2k 2 2k 2
3k 1
−+ +
⋅ ⋅ ⋅⋅⋅ ⋅ < ⋅
++
+
❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗