TOÁN TỪ TÂM
ttt QUAN HỆ
QUAN HỆ
QUAN HỆ
TÁC GIẢ
TOÁN TỪ TÂM
Vuông góc
Trang 1
» TOÁN TỪ TÂM – 0901.837.432
QUAN HỆ VUÔNG GÓC
Chương 08
MỤC LỤC
Bài 1. HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC
A. Lý thuyết
1. Góc giữa 2 đường thẳng ............................................................................................................................. 4
2. Hai đường thẳng vuông góc trong không gian ...................................................................................... 4
B. Các dạng bài tập
Dạng 1. Xác định góc giữa hai đường thẳng ......................................................................................... 5
Dạng 2. Chứng minh hai đường thẳng vuông góc ............................................................................... 8
C. Luyện tập
A. Câu hỏi – Trả lời trắc nghiệm ................................................................................................................. 10
B. Câu hỏi – Trả lời Đúng/sai ...................................................................................................................... 13
C. Câu hỏi – Trả lời ngắn ............................................................................................................................. 16
Bài 2. ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC MẶT PHẲNG
A. Lý thuyết
1. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng................................................................................................ 18
2. Liên hệ giữa tính song song – vuông góc của đường thẳng & mặt phẳng ....................................... 19
3. Phép chiếu vuông góc .............................................................................................................................. 20
4. Định lý ba đường vuông góc ................................................................................................................... 21
5. Góc giữa đường thẳng & mặt phẳng ..................................................................................................... 21
6. Kiến thức bổ trợ ......................................................................................................................................... 21
6.1. Một số mô hình thường gặp ............................................................................................................ 21
6.2. Các hệ thức lượng trong tam giác ................................................................................................... 22
6.3. Các chú ý khác ................................................................................................................................... 23
B. Các dạng bài tập
Dạng 1. Chứng minh đường thẳng vuông góc mặt phẳng ............................................................... 24
Dạng 2. Chứng minh hai đường thẳng vuông góc ............................................................................. 27
C. Luyện tập
A. Câu hỏi – Trả lời trắc nghiệm ................................................................................................................. 29
B. Câu hỏi – Trả lời đúng/sai ....................................................................................................................... 31
C. Câu hỏi – Trả lời ngắn ............................................................................................................................. 33
Bài 3. HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC
A. Lý thuyết
1. Góc giữa hai mặt phẳng ........................................................................................................................... 35
2. Hai mặt phẳng vuông góc ....................................................................................................................... 35
3. Tính chất cơ bản về hai mặt phẳng vuông góc ..................................................................................... 36
4. Hình lăng trụ đứng, hình hộp chữ nhật, hình lập phương................................................................. 37
Trang 2
» TOÁN TỪ TÂM – 0901.837.432
QUAN HỆ VUÔNG GÓC
Chương 08
5. Hình chóp đều và hình chóp cụt đều ..................................................................................................... 38
B. Các dạng bài tập
Dạng 1. Xác định góc giữa hai mặt phẳng bằng cách dùng định nghĩa .......................................... 40
Dạng 2. Xác định góc giữa hai mặt phẳng dựa trên giao tuyến ....................................................... 42
Dạng 3. Xác định góc giữa hai mặt phẳng dựa vào định lý hình chiếu ........................................... 44
Dạng 4. Tổng hợp các phương pháp xác định góc giữa hai mặt phẳng .......................................... 45
Dạng 5. Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc ................................................................................. 49
Dạng 6. Thiết diện .................................................................................................................................... 52
C. Luyện tập
A. Câu hỏi – Trả lời trắc nghiệm ................................................................................................................. 55
B. Câu hỏi – Trả lời đúng/sai ....................................................................................................................... 58
C. Câu hỏi – Trả lời ngắn ............................................................................................................................. 60
Bài 4. KHOẢNG CÁCH & THỂ TÍCH
A. Lý thuyết
1. Khoảng cách từ 1 điểm tới 1 đường thẳng, đến 1 mặt phẳng ............................................................ 62
1.1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng ........................................................................ 62
1.2. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng ............................................................................ 62
2. Khoảng cách giữa đường và mặt song song, hai mặt song song ....................................................... 63
2.1. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song .......................................................... 63
2.2. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song ................................................................................. 63
3. Đường vuông góc chung và khoảng cách hai đường chéo nhau ....................................................... 63
3.1. Định nghĩa .......................................................................................................................................... 63
3.2. Cách dựng đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau ........................................ 63
4. Thể tích khối chóp ..................................................................................................................................... 64
5. Thể tích khối lăng trụ ............................................................................................................................... 65
6. Công thức tính diện tích đáy. .................................................................................................................. 66
7. Tỷ số diện tích. ........................................................................................................................................... 67
B. Các dạng bài tập
Dạng 1. Khoảng cách từ chân đường cao đến một mặt bên .............................................................. 68
Dạng 2. Khoảng cách từ điểm bất kỳ đến một mặt phẳng ................................................................ 70
Dạng 3. Khoảng cách hai đường chéo nhau ........................................................................................ 72
Dạng 4. Chóp có cạnh bên vuông góc với đáy .................................................................................... 75
Dạng 5. Chóp có mặt bên vuông góc với đáy ...................................................................................... 81
Dạng 6. Chóp đều .................................................................................................................................... 85
Dạng 7. Lăng trụ đứng ............................................................................................................................ 91
Trang 3
» TOÁN TỪ TÂM – 0901.837.432
QUAN HỆ VUÔNG GÓC
Chương 08
C. Luyện tập
A. Câu hỏi – Trả lời trắc nghiệm ................................................................................................................. 95
B. Câu hỏi – Trả lời Đúng/sai ...................................................................................................................... 97
C. Câu hỏi – Trả lời ngắn ........................................................................................................................... 100
Bài 5. GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG – MẶT PHẲNG & GÓC NHỊ DIỆN
A. Lý thuyết
1. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng .................................................................................................. 103
2. Góc nhị diện ............................................................................................................................................. 103
3. Góc phẳng nhị diện ................................................................................................................................. 104
B. Các dạng bài tập
Dạng 1. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng .................................................................................. 105
Dạng 2. Góc nhị diện ............................................................................................................................. 110
C. Luyện tập
A. Câu hỏi – Trả lời trắc nghiệm ............................................................................................................... 116
B. Câu hỏi – Trả lời Đúng/sai .................................................................................................................... 120
C. Câu hỏi – Trả lời ngắn ........................................................................................................................... 123
Trang 4
» TOÁN TỪ TÂM – 0901.837.432
QUAN HỆ VUÔNG GÓC
Chương 08
1. Góc giữa 2 đường thẳng
Để tính số đo của góc giữa hai đường thẳng
1
d
và
ta có thể thực hiện tính thông qua góc
giữa hai đường thẳng cắt nhau lần lượt song song với hai đường thẳng đã cho.
Bước 1. Sử dụng tính chất sau:
12 1 2 1 3
23
,,,
//
dd d d d d
dd
Bước 2. Áp dụng định lí côsin trong tam giác để xác định góc.
2. Hai đường thẳng vuông góc trong không gian
HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC
Bài 1.
Chương 08
Lý thuyết
Định nghĩa:
Góc giữa hai đường thẳng trong không gian, kí hiệu , là góc giữa hai đường
thẳng và cùng đi qua một điểm và lần lượt song song hoặc trùng với và .
⑴ Xác định góc giữa đường thẳng và ta có thể lấy điểm thuộc một trong hai
đường thẳng đó rồi vẽ một đường thẳng qua ; song song với đường thẳng còn lại
⑵ Với hai đường thẳng và bất kì: .
Nhận xét
Định nghĩa:
Hai đường thẳng và được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng .
Kí hiệu .