Khóa học CHINH PHỤC TỔ HỢP – XÁC SUẤT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG www.Moon.vn
Tham gia trọn vẹn các khóa Luyện thi môn Toán tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015
Ví dụ 1. [ĐVH]: Một học sinh có 12 cuốn sách đôi một khác nhau, trong đó có 2 cuốn sách Toán, 4 cuốn
sách Văn và 6 cuốn sách Anh. Hỏi có bao nhiêu cách xếp tất cả các cuốn sách lên một kể sách dài, nếu
các cuốn sách cùng môn được xếp kề nhau?
Đ/s: 207360 cách Lời giải:
Hoán vị 2 cuốn sách Toán với nhau có
2!
cách
Hoán vị
4 cu
ố
n sách V
ă
n v
ớ
i nhau có
4!
cách
Hoán v
ị
6 cu
ố
n sách Anh v
ớ
i nhau có
6!
cách
Hoán v
ị
3 nhóm sách c
ủ
a 3 môn có
3!
cách
V
ậ
y s
ố
cách x
ế
p t
ấ
t c
ả
các cu
ố
n sách
đ
ó là
2!.4!.6!.3! 207360
=
Ví dụ 2. [ĐVH]:
M
ộ
t bàn dài có hai dãy gh
ế
đố
i di
ệ
n nhau, m
ỗ
i dãy có 6 gh
ế
. Ng
ườ
i ta mu
ố
n x
ế
p ch
ỗ
ng
ồ
i cho 6 h
ọ
c sinh tr
ườ
ng A và 6 h
ọ
c sinh tr
ườ
ng B vào bàn nói trên. H
ỏ
i có bao nhiêu cách x
ế
p trong
m
ỗ
i tr
ườ
ng h
ợ
p sau:
a)
B
ấ
t c
ứ
2 h
ọ
c sinh nào ng
ồ
i c
ạ
nh nhau ho
ặ
c
đố
i di
ệ
n nhau thì khác tr
ườ
ng v
ớ
i nhau.
b)
B
ấ
t c
ứ
2 h
ọ
c sinh nào ng
ồ
i
đố
i di
ệ
n nhau thì khác tr
ườ
ng v
ớ
i nhau.
Đ/s: a)
1036800 cách
b)
33177600 cách
Lời giải:
a)
X
ế
p ch
ỗ
ng
ồ
i cho 2 nhóm h
ọ
c sinh có 2 cách x
ế
p
Trong nhóm h
ọ
c sinh tr
ườ
ng A, có
6!
cách x
ế
p 6 h
ọ
c sinh vào 6 ch
ỗ
ng
ồ
i
Trong nhóm h
ọ
c sinh tr
ườ
ng B, có
6!
cách x
ế
p 6 h
ọ
c sinh vào 6 ch
ỗ
ng
ồ
i
V
ậ
y có
2.6!.6! 1036800
=
cách x
ế
p
b)
H
ọ
c sinh th
ứ
nh
ấ
t c
ủ
a tr
ườ
ng A có 12 cách ch
ọ
n gh
ế
Ch
ọ
n h
ọ
c sinh tr
ườ
ng B ng
ồ
i
đố
i di
ệ
n h
ọ
c sinh th
ứ
nh
ấ
t tr
ườ
ng A có 6 cách
Ch
ọ
n h
ọ
c sinh th
ứ
c hai tr
ườ
ng A có 10 cách ch
ọ
n gh
ế
Ch
ọ
n h
ọ
c sinh tr
ườ
ng B ng
ồ
i
đố
i di
ệ
n h
ọ
c sinh th
ứ
c hai tr
ườ
ng A có 5 cách
Ch
ọ
n h
ọ
c sinh th
ứ
c ba tr
ườ
ng A có 8 cách ch
ọ
n gh
ế
Ch
ọ
n h
ọ
c sinh tr
ườ
ng B ng
ồ
i
đố
i di
ệ
n h
ọ
c sinh th
ứ
c ba tr
ườ
ng A có 4 cách
Ch
ọ
n h
ọ
c sinh th
ứ
c t
ư
tr
ườ
ng A có 6 cách ch
ọ
n gh
ế
Ch
ọ
n h
ọ
c sinh tr
ườ
ng B ng
ồ
i
đố
i di
ệ
n h
ọ
c sinh th
ứ
c t
ư
tr
ườ
ng A có 3 cách
Ch
ọ
n h
ọ
c sinh th
ứ
c n
ă
m tr
ườ
ng A có 4 cách ch
ọ
n gh
ế
Ch
ọ
n h
ọ
c sinh tr
ườ
ng B ng
ồ
i
đố
i di
ệ
n h
ọ
c sinh th
ứ
c n
ă
m tr
ườ
ng A có 2 cách
Ch
ọ
n h
ọ
c sinh th
ứ
c sáu tr
ườ
ng A có 2 cách ch
ọ
n gh
ế
Ch
ọ
n h
ọ
c sinh tr
ườ
ng B ng
ồ
i
đố
i di
ệ
n h
ọ
c sinh th
ứ
c sáu tr
ườ
ng A có 1 cách
V
ậ
y có
12.6.10.5.8.4.6.3.4.2.2.1 33177600
cách x
ế
p
Ví dụ 3. [ĐVH]:
X
ế
p 3 viên bi
đỏ
có bán kính khác nhau và 3 viên bi xanh gi
ố
ng nhau vào m
ộ
t dãy 7 ô
tr
ố
ng. H
ỏ
i:
a)
Có bao nhiêu cách x
ế
p khác nhau?
b)
Có bao nhiêu cách x
ế
p khác nhau sao cho 3 viên bi
đỏ
x
ế
p c
ạ
nh nhau và 3 viên bi xanh x
ế
p c
ạ
nh nhau?
Đ/s: a)
840 cách
b)
36 cách
Lời giải:
a)
X
ế
p 3 viên bi
đỏ
có bán kính khác nhau vào 7 ô tr
ố
ng có
3
7
A
cách
X
ế
p 3 viên bi xanh gi
ố
ng nhau vào 4 ô còn l
ạ
i có
3
4
C
V
ậ
y có 3 3
7 4
. 840
A C = cách xếp
b) Xem 3 viên bi đỏ là 1 bộ, 3 viên bi xanh là 1 bộ, còn ô trống còn lại là 1 bộ
⇒
có
3!
cách xếp các bộ
Mà 3 viên bi đỏ có bán kính khác nhau nên hoán bị 3 viên bi đỏ có
3!
CÁC BÀI TOÁN CHỌN VÀ SẮP XẾP NGƯỜI, ĐỒ VẬT
Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH]
Khóa học CHINH PHỤC TỔ HỢP – XÁC SUẤT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG www.Moon.vn
Tham gia trọn vẹn các khóa Luyện thi môn Toán tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015
Vậy có
3!.3! 36
=
cách xế
p
Ví dụ 4. [ĐVH]:
M
ộ
t nhóm g
ồ
m 10 h
ọ
c sinh, trong
đ
ó có 7 nam và 3 n
ữ
. H
ỏ
i có bao nhiêu cách s
ắ
p x
ế
p
10 h
ọ
c sinh trên thành m
ộ
t hàng dài sao cho 7 h
ọ
c sinh nam ph
ả
i
đứ
ng li
ề
n nhau?
Đ/s:
120960 cách
Lời giải:
Xem 7 nam là 1 b
ộ
, hoán v
ị
3 n
ữ
và 1 b
ộ
h
ọ
c sinh nam có
4!
cách
Hoán v
ị
7 nam trong b
ộ
đ
ó có
7!
cách
V
ậ
y có
4!.7! 120960
=
cách x
ế
p
Ví dụ 5. [ĐVH]:
Có 6 h
ọ
c sinh nam và 3 h
ọ
c sinh n
ữ
x
ế
p thành m
ộ
t hàng d
ọ
c. H
ỏ
i có bao nhiêu cách x
ế
p
để
có
đ
úng 2 h
ọ
c sinh nam
đứ
ng xen k
ẽ
3 h
ọ
c sinh n
ữ
. (Khi
đổ
i ch
ỗ
2 h
ọ
c sinh b
ấ
t kì cho nhau ta
đượ
c
m
ộ
t cách x
ế
p m
ớ
i).
Đ/s:
21600 cách
Lời giải:
Đ
ánh s
ố
t
ừ
1
đế
n 9
Để
có
đ
úng 2 h
ọ
c sinh nam
đứ
ng xen k
ẽ
3 h
ọ
c sinh n
ữ
thì m
ỗ
i h
ọ
c sinh n
ữ
đứ
ng cách nhau m
ộ
t t
ứ
c là 3
h
ọ
c sinh n
ữ
đứ
ng
ở
các v
ị
trí
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1,3,5 ; 2,4,6 ; 3,5,7 ; 4,6,8 ; 5,7,9
Có 5 c
ặ
p ba v
ị
trí c
ủ
a 3 h
ọ
c sinh n
ữ
suy ra cách s
ắ
p x
ế
p 3 b
ạ
n n
ữ
vào m
ỗ
i c
ặ
p 3 v
ị
trí c
ủ
a các b
ạ
n n
ữ
là 3!
Cách s
ắ
p x
ế
p sáu b
ạ
n nam vào sáu v
ị
trí còn l
ạ
i là 6!
V
ậ
y s
ố
cách x
ế
p th
ỏ
a mãn là
5.3!.6! 21600
=
Ví dụ 6. [ĐVH]:
M
ộ
t th
ầ
y giáo có 12 cu
ố
n sách
đ
ôi m
ọ
t khác nhau trong
đ
ó có 5 cu
ố
n sách V
ă
n, 4 cu
ố
n
sách Nh
ạ
c và 3 cu
ố
n sách Ho
ạ
. Ông mu
ố
n l
ấ
y ra 6 cu
ố
n và t
ặ
ng cho 6 h
ọ
c sinh A, B, C, D, E, F m
ỗ
i em
m
ộ
t cu
ố
n.
a)
Gi
ả
s
ử
th
ầ
y giáo ch
ỉ
mu
ố
n t
ặ
ng cho các h
ọ
c sinh trên nh
ữ
ng cu
ố
n sách thu
ộ
c 2 th
ể
lo
ạ
i V
ă
n và Nh
ạ
c.
H
ỏ
i có bao nhiêu cách t
ặ
ng?
b)
Gi
ả
s
ử
th
ầ
y giáo mu
ố
n r
ằ
ng sau khi t
ặ
ng sách xong, m
ỗ
i m
ộ
t trong ba lo
ạ
i sách trên
đề
u còn l
ạ
i ít nh
ấ
t
m
ộ
t cu
ố
n. H
ỏ
i có bao nhiêu cách ch
ọ
n?
Đ/s: a)
60480 cách
b)
579600 cách
Lời giải:
a) S
ố
cách t
ặ
ng là s
ố
sách ch
ọ
n 6 cu
ố
n sách t
ừ
9 cu
ố
n có k
ể
th
ứ
t
ự
, suy ra s
ố
cách t
ặ
ng là 6
9
60480
A=
cách
b) Tổng 2 bộ sách bất kỳ đều vượt quá 6 cuốn, nên không thể chọn sao cho cùng hết 2 loại sách
Số cách chọn 6 quyển sách từ 12 quyển là
6
12
665280
A=
Số cách chọn sao cho không còn sách Văn
5
6
5040
A=
Số cách chọn sao cho không còn sách Nhạc
4 2
6 8
. 20160
A A =
Số cách chọn sao cho không còn sách Họa
3 3
6 9
. 60480
A A =
Số cách chọn cần tìm là
665280 85680 579600
− =
Ví dụ 7. [ĐVH]: Một lớp có 18 nam và 12 nữ. Có bao nhiêu cách chọn 5 bạn làm ban cán sự lớp sao cho:
a) Mọi người đều vui vẻ tham gia.
b) Bạn A và B không thể làm việc chung với nhau.
c) Bạn C và D từ chối tham gia.
Đ/s: a) 142506 cách b) 1139230 cách c) 98280 cách
Lời giải:
a) Chọn 5 bạn làm ban cán sự lớp khi mọi người vui vẻ tham gia sẽ có
5
30
142506
C=
Khóa học CHINH PHỤC TỔ HỢP – XÁC SUẤT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG www.Moon.vn
Tham gia trọn vẹn các khóa Luyện thi môn Toán tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015
b) Khi có 2 bạn A, B không thể làm việc chung với nhau thì ta sẽ có
5 4
28 29
2. 145782
C C+ =
c) Khi C, D từ chối thì sẽ còn 28 người, do đó số cách chọn là
5
28
98280
C=
Ví dụ 8. [ĐVH]: Có 5 nam và 5 nữ ngồi vào hai dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy có 5 ghế. Hỏi:
a) Có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho hai người đối diện khác phái?
b) Có bao nhiêu cách sắp xếp mà nam và nữ ngồi xen kẽ và đối diện?
Đ/s: a) 46080 cách b) 28800 cách Lời giải:
a) Có
5! 120
cách chia 5 nam, 5 nữ
thành 5 c
ặ
p nam – n
ữ
Có
5! 120
cách ch
ọ
n 5 c
ặ
p gh
ế
đố
i di
ệ
n cho 5 c
ặ
p nam – n
ữ
Có 2 cách x
ế
p m
ỗ
i c
ặ
p nam n
ữ
vào c
ặ
p gh
ế
đ
ã ch
ọ
n
⇒
Có
5
120.120.2 46080
= cách
b) Để nam nữ ngồi xen kẽ thì nam ngồi vào 6 vị trí chẵn và nữ ngồi vào 6 vị trí lẻ mà 2 người đối diện và
xen kẽ có thể đổi chỗ cho nhau nên có
2.5!.5! 28800
=
Ví dụ 9. [ĐVH]: Cần xếp 3 nam và 2 nữ vào 1 hàng ghế có 7 chỗ ngồi sao cho 3 nam ngồi kề nhau và 2
nữ ngồi kề nhau. Hỏi có bao nhiêu cách.
Đ/s: 72 cách Lời giải:
Ta coi 3 nam và 2 nữ ngồi cùng nhau là 2 nhóm a và b.
Số cách sắp xếp trong nhóm a là

=
và trong nhóm b là
=
cách.
Trong 7 chỗ ngồi gồm 3 nam và 2 nữ nên số ghế trống là 2, nếu ta coi 3 nam và 2 nữ ngồi cạnh nhau là
các nhóm riêng biệt thì số chỗ ngồi mặc định là 4, từ đó số cách sắp xếp 2 nhóm a và b vào 4 chỗ ngồi là
=
cách.
Vậy số cách là
 
=
Ví dụ 10. [ĐVH]: Người ta xếp ngẫu nhiên 5 lá phiếu từ 1 đến 5 cạnh nhau.
a) Có bao nhiêu cách sắp xếp để các phiếu số chẵn luôn ở cạnh nhau.
b) Có bao nhiêu cách xếp để các phiếu phân thành các nhóm chẵn lẻ riêng biệt.
Đ/s: a) 48 cách b) 24 cách Lời giải:
a) Coi như 2 phiếu chẵn cạnh nhau là 1 phiếu : có thể là 24 hoặc 42
⇒
có 2 cách chọn .
Khi coi 2 phiếu chẵn cạnh nhau là 1 phiếu thì từ 5 phiếu cần sắp xếp thì giờ ta có 4 phiếu để sắp xếp nên
số cách sắp 4 phiếu này là

=
Vậy nên số cách sắp xếp là 2.4! = 48.
b) Coi 2 phiếu chẵn cạnh nhau (số 2,4) là 1 phiếu a và 3 phiếu lẻ cạnh nhau (1,3,5) là 1 phiếu b.
Số cách tạo ra phiếu a là

=
Số cách tạo ra phiếu b là
 
=
Khóa học CHINH PHỤC TỔ HỢP – XÁC SUẤT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG www.Moon.vn
Tham gia trọn vẹn các khóa Luyện thi môn Toán tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015
Khi ta coi như vậy thì từ việc sắp xếp 5 phiếu thì giờ ta phải sắp xếp 2 phiếu a và b nên số cách sắp xếp là
2! = 2.
Vậy số cách sắp xếp là
 
=
cách.
Ví dụ 11. [ĐVH]: Một lớp có 10 học sinh nam và 10 học sinh nữ. Cần chọn ra 5 học sinh để đi làm công
tác “Mùa hè xanh”. Hỏi có bao nhiêu cách chọn nếu trong 5 học sinh đó phải có ít nhất:
a) Hai học sinh nữ và hai học sinh nam.
b) Một học sinh nữ và một học sinh nam.
Đ/s: a) 10800 cách b) 15000 cách Lời giải:
a) Các trường hợp có thể xảy ra là 2 nữ 3 nam và 3 nữ 2 nam nên số cách chọn là :
   

+ =
b) Các trường hợp có thể xảy ra là: 1 nữ 4 nam, 2 nữ 3 nam, 3 nữ 2 nam,4 nữ 1 nam nên số cách chọn là :
       

+ + + =
Ví dụ 12. [ĐVH]: Trong một môn học, thầy giáo có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu hỏi khó, 10 câu hỏi
trung bình, 15 câu hỏi dễ. Từ 30 câu hỏi đó có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra, mỗi đề gồm 5 câu hỏi
khác nhau và nhất thiết phải có đủ 3 loại câu hỏi (khó, trung bình, dễ) và số câu hỏi dễ không ít hơn 2.
Đ/s: 56875 đề Lời giải:
Ta có trong bộ đề có 5 năm và phải có đủ 3 loại câu hỏi (khó , dễ, trung bình) nên mỗi đề với 1 loại câu
hỏi thì số câu tối đa là 3 mà số câu dễ không ít hơn 2 nên số câu dễ hoặc 2 hoặc 3.
Trường hợp 1:
Nếu số câu dễ bằng 3 thì số câu khó và trung bình phải lần lượt bằng 1 nên số cách ra đề là
 

=
Trường hợp 2 :
Nếu số câu dễ bằng 2 thì có 2 khả năng xảy ra. Hoặc số câu trung bình = 2 và số câu khó = 1 hoặc số câu
trung bình bằng 1 và số câu khó bằng 2 nên số cách ra đề là
  

+ = .
Như vậy thì tổng số cách ra đề là
  
+ =
Ví dụ 13. [ĐVH]: Đội thanh niên xung kích của một trường phổ thông có 12 học sinh, gồm 5 học sinh
lớp A, 4 học sinh lớp B và 3 học sinh lớp C. Cần chọn 4 học sinh đi làm nhiệm vụ sao cho 4 học sinh này
thuộc không quá 2 trong 3 lớp trên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy?
Đ/s: 225 cách Lời giải:
Số cách chọn 4 học sinh từ 12 học sinh đã cho là
Số cách chọn 4 học sinh mà mỗi lớp có ít nhất một em được tính như sau :
Lớp A có 2 học sinh, các lớp B,C mỗi lớp có 1 học sinh. Số cách chọn là
Lớp B có 2 học sinh, các lớp A,C mỗi lớp có 1 học sinh. Số cách chọn là
Lớp C có 2 học sinh, các lớp A,B mỗi lớp có 1 học sinh. Số cách chọn là
vậy theo quy tắc cộng có
120 90 60 270
+ + =
cách chọ
n mà m
ỗ
i l
ớ
p có it nh
ấ
t 1 h
ọ
c sinh
v
ậ
y theo
đề
bài s
ố
cách ch
ọ
n là :
495 270 225
− =
cách ch
ọ
n.
Ví dụ 14. [ĐVH]:
T
ừ
m
ộ
t nhóm g
ồ
m 15 h
ọ
c sinh kh
ố
i A, 10 h
ọ
c sinh kh
ố
i B, 5 h
ọ
c sinh kh
ố
i C, ch
ọ
n ra
15 h
ọ
c sinh sao cho có ít nh
ấ
t 5 h
ọ
c sinh kh
ố
i A và
đ
úng 2 h
ọ
c sinh kh
ố
i C. Tính s
ố
cách ch
ọ
n.
Khóa học CHINH PHỤC TỔ HỢP – XÁC SUẤT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG www.Moon.vn
Tham gia trọn vẹn các khóa Luyện thi môn Toán tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015
Đ/s: 51836470 cách Lời giải:
Chọn 15 học sinh có đúng 2 học sinh khối C có:
2 13
5 25
.
C C
Ta xét các khả năng chọn được ít hơn 5 học sinh khối A sau:
Chọn 2 học sinh khối C, 10 học sinh khối B và 3 học sinh khối A có:
2 10 3
5 10 15
. .
C C C
Chọn 2 học sinh khối C, 9 học sinh khối B và 4 học sinh khối A có:
2 9 4
5 10 15
. .
C C C
Vậy có tổng cộng
2 13 2 10 3 2 9 4
5 25 5 10 15 5 10 15
. . . . . 51861950.
C C C C C C C C− − =
Ví dụ 15. [ĐVH]: Một hộp đựng 4 viên bi đỏ, 5 viên bi trắng và 6 viên bi vàng. Người ta chọn ra 4 viên
bi từ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn để trong số bi lấy ra không có đủ cả 3 màu?
Đ/s: 645 cách Lời giải:
Số cách chọn ra 4 viên bi trong 15 viên bi là:
4
15
C
Số cách chọn ra 4 viên bi trong 15 viên bi có đủ 3 màu là:
TH1: 2 viên bi đỏ, 1 viên bi trắng và 1 viên bi vàng có:
2 1 1
4 5 6
. . 180
C C C = cách
TH2: 1 viên bi đỏ, 2 viên bi trắng và 1 viên bi vàng có:
1 2 1
4 5 6
. . 240
C C C = cách
TH3: 1 viên bi đó, 1 viên bi trắng và 2 viên bi vàng có:
1 1 2
456
. . 300
C C C = cách
Vậy có
4
15
180 240 300 645
C− − − = cách.
Ví dụ 16. [ĐVH]: Có hai chuồng gà, chuồng 1 nhốt 3 gà trống và 4 gà mái, chuồng 2 nhốt 4 gà trống và 5
gà mái. Hỏi có bao nhiêu cách bắt một lần 3 con gà từ một trong hai chuồng đã cho, trong đó có hai gà
trống và một gà mái?
Đ/s: 42 cách Lời giải:
TH1: Chuồng được chọn là chuồng 1: Số cách 3 con gà ở chuồng 1 trong đó có hai gà trống và một gà
mái là:
2 1
3 4
. 12
C C
=
.
Th2: Chuồng được chọn là chuồng 2: Số cách 3 con gà ở chuồng 2 trong đó có hai gà trống và một gà mái
là:
2 1
4 5
. 30
C C
=
.
Vậy theo quy tắc cộng có:
12 30 42
+ =
cách chọ
n.
Ví dụ 17. [ĐVH]:
M
ộ
t nhóm công nhân g
ồ
m 15 nam và 5 n
ữ
. Ng
ườ
i ta mu
ố
n ch
ọ
n t
ừ
nhóm ra 5 ng
ườ
i
để
l
ậ
p thành m
ộ
t t
ổ
công tác sao cho ph
ả
i có 1 t
ổ
tr
ưở
ng nam, 1 t
ổ
phó nam và có ít nh
ấ
t 1 n
ữ
. H
ỏ
i có bao
nhiêu cách l
ậ
p t
ổ
công tác.
Đ/s:
111300 cách
Lời giải:
S
ố
cách ch
ọ
n 5 ng
ườ
i
để
l
ậ
p t
ổ
công tác trong
đ
ó có 1 t
ổ
tr
ưở
ng nam, 1 t
ổ
phó nam và không có
n
ữ
là: 1 1 3
15 14 13
. . 60060
C C C
=.
S
ố
cách ch
ọ
n ra 5 ng
ườ
i
để
l
ậ
p
độ
i công tác trong
đ
ó có 1 t
ổ
tr
ưở
ng nam, 1 t
ổ
phó nam là:
1 1 3
15 14 18
. . 171360
C C C
=.
V
ậ
y khi
đ
ó s
ố
cách thoã mãn bài toán là:
171360 60060 111300
− =
cách.