NGUYỄN NHẬT ĐIỀN
CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
KHẢO SÁT HÀM SỐ
2015_0982.778857
Nguyễn Nhật Điền Tính đơn điệu của hàm số
Trang 1
A. Kiến thức cơ bản
Giả sử hàm số
y f x()
có tập xác định D.
Hàm số f đồng biến trên D
y x D0,
và
y0
chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm
thuộc D.
Hàm số f nghịch biến trên D
y x D0,
và
y0
chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm
thuộc D.
Nếu
y ax bx c a
2
' ( 0)
thì:
+
+
Định lí về dấu của tam thức bậc hai
g x ax bx c a
2
( ) ( 0)
:
+ Nếu < 0 thì
gx()
luôn cùng dấu với a.
+ Nếu = 0 thì
gx()
luôn cùng dấu với a (trừ
b
xa2

)
+ Nếu > 0 thì
gx()
có hai nghiệm
x x
12
,
và trong khoảng hai nghiệm thì
gx()
khác dấu
với a, ngoài khoảng hai nghiệm thì
gx()
cùng dấu với a.
So sánh các nghiệm
x x
12
,
của tam thức bậc hai
g x ax bx c
2
()
với số 0:
+
x x P
S
12
0
00
0
+
x x P
S
12
0
00
0
+
x x P
12
00
ab
g x m x a b g x m
( ; )
( ) , ( ; ) max ( )
;
ab
g x m x a b g x m
( ; )
( ) , ( ; ) min ( )
B. Một số dạng câu hỏi thƣờng gặp
1. Tìm điều kiện để hàm số
y f x()
đơn điệu trên tập xác định (hoặc trên từng khoảng
xác định).
Hàm số f đồng biến trên D
y x D0,
và
y0
chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm
thuộc D.
Hàm số f nghịch biến trên D
y x D0,
và
y0
chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm
thuộc D.
Nếu
y ax bx c a
2
' ( 0)
thì:
+
+
2. Tìm điều kiện để hàm số
y f x ax bx cx d
32
()
đơn điệu trên khoảng
( ; )ab
.
Ta có:
y f x ax bx c
2
( ) 3 2

.
a) Hàm số f đồng biến trên
( ; )ab
yx0, ( ; )
ab
và
y0
chỉ xảy ra tại một số hữu
hạn điểm thuộc
( ; )ab
.
Trường hợp 1:
Nếu bất phương trình
f x h m g x( ) 0 ( ) ( )
(*)
thì f đồng biến trên
( ; )ab
h m g x
( ; )
( ) max ( )
ab
TÍNH ÑÔN ÑIEÄU CUÛA HAØM SOÁ
Tính đơn điệu của hàm số Nguyễn Nhật Điền
Trang 2
Nếu bất phương trình
f x h m g x( ) 0 ( ) ( )
(**)
thì f đồng biến trên
( ; )ab
h m g x
( ; )
( ) min ( )
ab
Trường hợp 2: Nếu bất phương trình
fx( ) 0
không đưa được về dạng (*) thì đặt
txa
.
Khi đó ta có:
y g t at a b t a b c
22
( ) 3 2(3 ) 3 2
.
– Hàm số f đồng biến trên khoảng
a( ; )
g t t( ) 0, 0
a
a
S
P
0
00
00
0



– Hàm số f đồng biến trên khoảng
a( ; )
g t t( ) 0, 0
a
a
S
P
0
00
00
0



b) Hàm số f nghịch biến trên
( ; )ab
yx0, ( ; )
ab
và
y0
chỉ xảy ra tại một số hữu
hạn điểm thuộc
( ; )ab
.
Trường hợp 1:
Nếu bất phương trình
f x h m g x( ) 0 ( ) ( )
(*)
thì f nghịch biến trên
( ; )ab
h m g x
( ; )
( ) max ( )
ab
Nếu bất phương trình
f x h m g x( ) 0 ( ) ( )
(**)
thì f nghịch biến trên
( ; )ab
h m g x
( ; )
( ) min ( )
ab
Trường hợp 2: Nếu bất phương trình
fx( ) 0
không đưa được về dạng (*) thì đặt
txa
.
Khi đó ta có:
y g t at a b t a b c
22
( ) 3 2(3 ) 3 2
.
– Hàm số f nghịch biến trên khoảng
a( ; )
g t t( ) 0, 0
a
a
S
P
0
00
00
0



– Hàm số f nghịch biến trên khoảng
a( ; )
g t t( ) 0, 0
a
a
S
P
0
00
00
0



3. Tìm điều kiện để hàm số
y f x ax bx cx d
32
()
đơn điệu trên khoảng có độ dài
bằng k cho trƣớc.
f đơn điệu trên khoảng
xx
12
( ; )
y0
có 2 nghiệm phân biệt
xx
12
,
a0
0
(1)
Biến đổi
x x d
12

thành
x x x x d
22
1 2 1 2
( ) 4
(2)
Sử dụng định lí Viet đưa (2) thành phương trình theo m.
Giải phương trình, so với điều kiện (1) để chọn nghiệm.
Nguyễn Nhật Điền Tính đơn điệu của hàm số
Trang 3
TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ BẬC BA
Câu 1(NNĐ). Cho hàm số
y m x mx m x
32
1( 1) (3 2)
3
(1)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) khi
m2
.
2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số (1) đồng biến trên tập xác định của nó.
Tập xác định: D = R.
y m x mx m
2
( 1) 2 3 2
.
(1) đồng biến trên R
yx0,

m2
Câu 2(NNĐ). Cho hàm số
y x x mx
32
34
(1)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi
m0
.
2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số (1) đồng biến trên khoảng
( ;0)
.
Tập xác định: D = R.
y x x m
2
36
. y
có
m3( 3)

.
+ Nếu
m3
thì
0
yx0,

hàm số đồng biến trên R
m3
thoả YCBT.
+ Nếu
m3
thì
0
PT
y0
có 2 nghiệm phân biệt
x x x x
1 2 1 2
, ( )
. Khi đó hàm số
đồng biến trên các khoảng
xx
12
( ; ),( ; )
.
Do đó hàm số đồng biến trên khoảng
( ;0)
xx
12
0
P
S
0
0
0
m
m
3
0
20



(VN)
Vậy:
m3
.
Câu 3(NNĐ). (A_2013) Cho hàm số
y x x mx
32
3 3 1
(1)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi
m0
.
2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số (1) nghịch biến trên khoảng
(0; )
.
Tập xác định: D = R.
y x x+3m
2
36
.
Do đó hàm số nghịch biến trên khoảng
( ;0)
yx' 0, 0
22 , 0m x x x
Xét hàm

2
( ) 2f x x x
với
0x
. Ta có
'( ) 2 2; '( ) 0 1f x x f x x
Dựa vào bảng biến thiên YCBT
m1
.
Câu 4(NNĐ). Cho hàm số
y x m x m m x
32
2 3(2 1) 6 ( 1) 1
có đồ thị (Cm).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0.
2) Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng
(2; )
Tập xác định: D = R.
y x m x m m
2
' 6 6(2 1) 6 ( 1)
có
m m m
22
(2 1) 4( ) 1 0
xm
yxm
'0 1


. Hàm số đồng biến trên các khoảng
mm( ; ), ( 1; )
Do đó: hàm số đồng biến trên
(2; )
m12
m1
Câu 5(NNĐ). Cho hàm số
y x m x m x m
32
(1 2 ) (2 ) 2
.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1.
2) Tìm m để hàm đồng biến trên khoảng
K(0; )
.
Hàm đồng biến trên
(0; )
y x m x m
2
3 (1 2 ) (22 )0
với
x0)( ; 
x
f x m
x
x
223
() 41
2
với
x0)( ; 
Tính đơn điệu của hàm số Nguyễn Nhật Điền
Trang 4
Ta có:
xx xx xxfx
x
22
2
6( 1) 1
1
2
( ) 0 2
() 0 1; 2
41
 
Lập BBT của hàm
fx()
trên
(0; )
, từ đó ta đi đến kết luận:
f m m
15
24



.
Câu hỏi tương tự:
a)
y m x m x m x
32
1( 1) (2 1) 3(2 1) 1
3
m( 1)
,
K( ; 1)
. ĐS:
m4
11
b)
y m x m x m x
32
1( 1) (2 1) 3(2 1) 1
3
m( 1)
,
K(1; )
. ĐS:
0m
c)
y m x m x m x
32
1( 1) (2 1) 3(2 1) 1
3
m( 1)
,
K( 1;1)
. ĐS:
m1
2
Câu 6(NNĐ). Cho hàm số
y m x m x x
2 3 2
1( 1) ( 1) 2 1
3
(1)
m( 1)
.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 0.
2) Tìm m để hàm nghịch biến trên khoảng
K( ;2)
.
Tập xác định: D = R;
y m x m x
22
( 1) 2( 1) 2
.
Đặt
tx–2
ta được:
y g t m t m m t m m
2 2 2 2
( ) ( 1) (4 2 6) 4 4 10
Hàm số (1) nghịch biến trong khoảng
( ;2)
g t t( ) 0, 0
TH1:
a0
0

m
mm
2
210
3 2 1 0

TH2:
a
S
P
0
0
0
0

m
mm
mm
m
m
2
2
2
10
3 2 1 0
4 4 10 0
23
0
1


Vậy: Với
m
11
3

thì hàm số (1) nghịch biến trong khoảng
( ;2)
.
Câu 7(NNĐ). Cho hàm số
y m x m x x
2 3 2
1( 1) ( 1) 2 1
3
(1)
m( 1)
.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 0.
2) Tìm m để hàm nghịch biến trên khoảng
K(2; )
.
Tập xác định: D = R;
y m x m x
22
( 1) 2( 1) 2
.
Đặt
tx–2
ta được:
y g t m t m m t m m
2 2 2 2
( ) ( 1) (4 2 6) 4 4 10
Hàm số (1) nghịch biến trong khoảng
(2; )
g t t( ) 0, 0
TH1:
a0
0

m
mm
2
210
3 2 1 0

TH2:
a
S
P
0
0
0
0

m
mm
mm
m
m
2
2
2
10
3 2 1 0
4 4 10 0
23
0
1


Vậy: Với
m11
thì hàm số (1) nghịch biến trong khoảng
(2; )
Câu 8(NNĐ). Cho hàm số
y x x mx m
32
3
(1), (m là tham số).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 3.
2) Tìm m để hàm số (1) nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1.
Ta có
y x x m
2
' 3 6
có
m93

.
+ Nếu m ≥ 3 thì
y x R0,
hàm số đồng biến trên R
m ≥ 3 không thoả mãn.
+ Nếu m < 3 thì
y0
có 2 nghiệm phân biệt
x x x x
1 2 1 2
, ( )
. Hàm số nghịch biến trên đoạn