CÁC BÀI TOÁN V TÍNH VUÔNG GÓCỀ
1. Lý thuy tế
a. Tìm hình chi u c a đi m M lên m t ph ng (P).ế ủ ể ặ ẳ
Cách gi i:ả
- Vi t ph ng trình đ ng th ng ế ươ ườ ẳ d đi qua M và vuông góc v i m t ph ng (P).ớ ặ ẳ
- Tìm giao đi m c a d v i m t ph ng (P) là H thì H là hình chi u c a M lên m t ph ng (P).ể ủ ớ ặ ẳ ế ủ ặ ẳ
b. Tìm hình chi u c a đi m M lên đ ng th ng d.ế ủ ể ườ ẳ
Cách gi i: có 2 cách.ả
- Vi t ph ng trình m t ph ng (P) đi qua M và vuông góc v i d.ế ươ ặ ẳ ớ
- Tìm giao đi m c a H c a (P) v i d thì H t đ ng là hình chi u c a M lên d.ể ủ ủ ớ ự ộ ế ủ
C s c a cách làm này là áp d ng đ nh lý: đ ng th ng a vuông góc v i m t ph ng (α) thìơ ở ủ ụ ị ườ ẳ ớ ặ ẳ
vuông góc v i m i đ ng th ng b n m trong m t ph ng (α).ớ ọ ườ ẳ ằ ặ ẳ
Cách 2. Đ a ph ng trình đ ng th ng d v d ng tham s n u ph ng trình ban đ u c a nóư ươ ườ ẳ ề ạ ố ế ươ ầ ủ
có d ng chính t c ho c t ng quát.ạ ắ ặ ổ
G i H là hình chi u c a M lên d. Khi đó t a đ đi m M có d ng tham s c a d doọ ế ủ ọ ộ ể ạ ố ủ
M d
.
Khi đó ta tính
MH
uuuur
thì
. 0
d d
MH u MH u⊥ =�
uuuur uur uuuur uur
. Ta tìm ra đ c t th vào t a đ đi m M ta tìmượ ế ọ ộ ể
ra đ c t a đ đi m M.ượ ọ ộ ể
c. Cho đ ng th ng d và m t ph ng (P). Vi t ph ng trình hình chi u ∆ c a đ ng th ng d lênườ ẳ ặ ẳ ế ươ ế ủ ườ ẳ
m t ph ng (P).ặ ẳ
Cách gi i: ả
+ N u ế
( )d P⊥
t c là ứ
,
d p
u n
uur uur
cùng ph ng. Có th ki m ra b ng cách tính ươ ể ể ẳ
, 0
d P
u n
� �
=
� �
uur uur r
Thì lúc đó hình chi u c a d lên m t ph ng (P) là 1 đi m. Đi m đó chính là giao đi m c a dế ủ ặ ẳ ể ể ể ủ
v i (P).ớ
+ N u d không vuông góc v i (P) bao g m c d song song v i (P). Thì có 2 cách tìm hìnhế ớ ồ ả ớ
chi u c a d lên (P).ế ủ
Cách 1: Vi t ph ng trình m t ph ng (Q) ch a d và vuông góc v i (P). Khi đó giao tuy n c aế ươ ặ ẳ ứ ớ ế ủ
2 m t ph ng (P) và (Q) là hình chi u c a d lên m t ph ng (P). Ph ng trình hình chi u ∆ cóặ ẳ ế ủ ặ ẳ ươ ế
d ng t ng quát.ạ ổ
1
Giáo Viên: Võ H u Hoàng Ti nữ ế
Cách 2: N u d c t (P) thì tìm giao đi m c a d và (P) là N. Sau đó l y 1 đi m M b t kỳ trênế ắ ể ủ ấ ể ấ
đ ng th ng d. Vi t ph ng trình đ ng th ng dườ ẳ ế ươ ườ ẳ ’ đi qua M và vuông góc v i (P). R i ti p t cớ ồ ế ụ
tìm giao đi m c a dể ủ ’ v i (P). Lúc này hình chi u ∆ c a d lên (P) chính là đ ng th ng đi qua 2ớ ế ủ ườ ẳ
đi m N, M. Vi t ph ng trình đ ng th ng đi qua 2 đi m N, M.ể ế ươ ườ ẳ ể
d. Cho d1 , d2 là 2 đ ng th ng chéo nhau. Vi t ph ng trình đ ng vuông góc chung c a dườ ẳ ế ươ ườ ủ 1 , d2.
Cách suy nghĩ tìm ra l i gi i:ờ ả
Gi s MN là đ ng vuông góc chung c a dả ử ườ ủ 1 và d2 thì
1 2
,MN d MN d⊥ ⊥
uuuur uuuur
. Do đó
1 2
,u u u
� �
=� �
r ur uur
là vector ch ph ng c a đ ng th ng MN. ỉ ươ ủ ườ ẳ
G i (P) là m t ph ng xác đ nh b i MN và đ ng th ng dọ ặ ẳ ị ở ườ ẳ 1 , (Q) là m t ph ng xác đ nh b i MNặ ẳ ị ở
và đ ng th ng dườ ẳ 2 thì MN = (P) ∩(Q).
Đ ý n u g i Mể ế ọ 0 , N0 là đi m tùy ý c a ể ủ
thì (P) là m t ph ng qua Mặ ẳ 0 và nh n c p vectorậ ặ
1
,u u
r ur
làm c p vector ch ph ng, (Q) là m t ph ng qua Nặ ỉ ươ ặ ẳ 0 và nh n ậ
2
,u u
r uur
làm c p vector chặ ỉ
ph ng. Khi đó đ ng vuông góc chung c a ươ ườ ủ
có ph ng trình là giao tuy n c a 2 m tươ ế ủ ặ
ph ng (P) và (Q). Do đó cách gi i nh sau:ẳ ả ư
Cách 1:
- G i ∆ là đ ng vuông góc chung c a ọ ườ ủ
suy ra vetor ch ph ng c a ∆ là ỉ ươ ủ
1 2
,
d d
u u u
� �
=� �
V
uur uur uur
- G i (P) là m t ph ng ch a dọ ặ ẳ ứ 1 và ∆ . Vi t ph ng trình m t ph ng (P).ế ươ ặ ẳ
- G i (Q) là m t ph ng ch a dọ ặ ẳ ứ 2 và ∆. Vi t ph ng trình m t ph ng (Q).ế ươ ặ ẳ
- Khi đó giao tuy n c a (P) và (Q) là đ ng th ng ∆ c n tìm.ế ủ ườ ẳ ầ
Cách 2: - Đ a ph ng trình c a dư ươ ủ 1 và d2 v d i d ng tham s .ề ướ ạ ố
- G i đ ng vuông chung ∆ c t dọ ườ ắ 1 và d2 t i M, N.ạ
- Vi t t a đ đi m M, N d i d ng tham s c a dế ọ ộ ể ướ ạ ố ủ 1 và d2 .
- Tính
MN
uuuur
. Khi đó:
1 2
,
d d
MN u MN u
⊥ ⊥
uuuur uur uuuur uur
1 2
. 0, . 0
d d
MN u MN u
= =�
uuuur uur uuuur uur
- Gi i h ph ng trình trên tìm đ c 2 tham s t v i s c a dả ệ ươ ượ ố ớ ủ 1 , d2 th vào t a đ đi m M, Nế ọ ộ ể
- Vi t ph ng trình đ ng th ng đi qua 2 đi m M, N.ế ươ ườ ẳ ể
e. Cho 2 đi mể
1 1 1 2 2 2
( , , ), ( , , )A x y z B x y z
và m t ph ng (P) có ph ng trình: Ax+By+Cz+D=0. Tìmặ ẳ ươ
đi m M n m trên (P) sao cho AM+BM nh nh t v i đi u ki n 2 đi m A, B không thu c (P).ể ằ ỏ ấ ớ ề ệ ể ộ
2
Giáo Viên: Võ H u Hoàng Ti nữ ế
Cách gi i: có 2 tr ng h p x y ra ả ườ ợ ả
- N u 2 đi m A, B n m v 2 phía c a m t ph ng (P). Khi đó đ ng th ng AB c t (P) t i M.ế ể ằ ề ủ ặ ẳ ườ ẳ ắ ạ
Thì M là đi m c n tìm. Ta ch c n vi t ph ng trình đ ng th ng đi qua 2 đi m A, B và sauể ầ ỉ ầ ế ươ ườ ẳ ể
đó tìm giao đi m c a đ ng th ng AB v i m t ph ng (P) ra đi m M thì M là đi m c n tìm.ể ủ ườ ẳ ớ ặ ẳ ể ể ầ
- N u 2 đi m A, B n m v cùng 1 phía đ i v i m t ph ng (P) thì g i Aế ể ằ ề ố ớ ặ ẳ ọ ’ là đi m đ i x ng v iể ố ứ ớ
đi m A qua m t ph ng (P) tìm t a đ đi m Aể ặ ẳ ọ ộ ể ’. Sau đó vi t ph ng trình đ ng th ng đi quaế ươ ườ ẳ
2 đi m B và Aể’. G i M là giao đi m c a đ ng th ng BAọ ể ủ ườ ẳ ’ v i m t ph ng (P). Thì M là đi mớ ặ ẳ ể
c n tìm.ầ
f. Cho 2 đi m A, B và m t ph ng (P). Tìm các đi m M n m trên m t ph ng (P) cách đ u A, Bể ặ ẳ ể ằ ặ ẳ ề
t c là MA=MB.ứ
Cách gi i: ả
G i M là đi m n m trên (P) và cách đ u A, B. Do MA=MB nên suy ra M n m trên m t ph ngọ ể ằ ề ằ ặ ẳ
trung tr c c a đo n th ng AB.ự ủ ạ ẳ
Vi t ph ng trình m t ph ng trung tr c c a đo n th ng AB là (Q). ế ươ ặ ẳ ự ủ ạ ẳ
K ti p xem (Q) có song song v i (P) không b ng cách gi i tr ng h p 2 m t ph ng songế ế ớ ằ ả ườ ợ ặ ẳ
song.
N u (P)║(Q) (t c là ế ứ
,
P
AB n
uuur uur
cùng ph ng). Thì bài toán vô nghi m.ươ ệ
N u (Q) không song song v i (P) ( t c là 2 vector ế ớ ứ
,
P
AB n
uuur uur
không cùng ph ng). Lúc này g iươ ọ
∆= (P)∩(Q), thì t p h p đi m M c n tìm là đ ng th ng ∆.ậ ợ ể ầ ườ ẳ
g. Cho 2 đi m A, B và đ ng th ng d. tìm các đi m M thu c d mà cách đ u A, B t c là MA=MB.ể ườ ẳ ể ộ ề ứ
Cách gi i: ả
- Vi t ph ng trình m t ph ng trung tr c c a đo n th ng AB. Sau đó xét đ n 2 kh năng:ế ươ ặ ẳ ự ủ ạ ẳ ế ả
- N u d║(P) (t c là xem th ế ứ ử
P d
n u
⊥
uur uur
), lúc này bài toán vô nghi m. ệ
- N u d không song song (P) ( t c là 2 vector ế ứ
,
P d
n u
uur uur
không vuông góc).
- Tìm t a đ giao đi m M c a d và m t ph ng (P) thì M là đi m c n tìm.ọ ộ ể ủ ặ ẳ ể ầ
Bài t pậ
3
Giáo Viên: Võ H u Hoàng Ti nữ ế
1. Tìm kho ng cách t đi m M(2,3,-1) t i đ ng th ng ả ừ ể ớ ườ ẳ
2 1 0
:3 2 2 0
x y z
dx y z
+ − − =
+ + + =
2. Tìm kho ng cách gi a các c p đ ng th ng sau:ả ữ ặ ườ ẳ
a.
1 2
1 2 3
: 1 , : 2 3
1 3
x t x s
d y t d y s
z z s
= + = −
� �
� �
= − − = − +
� �
� �
= =
� �
b.
1 2
2 1 0 3 2 0
: , :
4 0 2 0
x z x y
d d
x y y z
− − = + − =�
� �
− − + = − − =
c.
1 2
1 3 4 2 1 1
: , :
2 1 2 4 2 4
x y z x y z
d d
− + − + − +
= = = =
− − −
3. Cho 2 đ ng th ng: ườ ẳ
1 2
1 1 2 2 2
: , :
2 3 1 1 5 2
x y z x y z
d d
+ − − − +
= = = = −
a. Ch ng minh r ng: dứ ằ 1 và d2 chéo nhau.
b. Vi t ph ng trình đ ng vuông góc chung c a chúng.ế ươ ườ ủ
4. Gi s (P) là m t ph ng có ph ng trình: x+2y+-3z+7=0 và đi m A(2,4,-6), B(4,0,-2) là 2ả ử ặ ẳ ươ ể
đi m cho tr c. Tìm các đi m trên (P) mà cách đ u A và B.ể ướ ể ề
5. Vi t ph ng trình hình chi u vuông góc c a đ ng th ng ế ươ ế ủ ườ ẳ
2 5 0
:2 3 0
x y z
dx z
− + + =
− + =
trên
m t ph ng (P): x+y+z-7=0.ặ ẳ
4
Giáo Viên: Võ H u Hoàng Ti nữ ế