Bài 3: Các bài toán xác định góc – Khóa LTĐH Đảm bảo – Thầy Phan Huy Khải.
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1
BÀI TẬP VỀ NHÀ BÀI CÁC BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH GÓC
Bài 1: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ đáy là tam giác cân đỉnh A và BAC
. Gọi M là trung điểm
của AA’ và giả sử mp(C’MB) tạo với đáy (ABC) một góc
.
1.Chứng minh
' .
C BC
2.Chứng minh
tan os
2
c
là điều kiện cần và đủ để
'
BM MC
.
HDG:
1.Trong mp(ACC’A’) kéo dài C’M cắt CA tại N, thì A là trung điểm của NC suy ra:
1
2
BA AC AN BA CN BCN
vuông tại B nên
BN BC
.
Tương tự ta có
'
BN BC
Dễ thấy:
'
BN mp MBC mp ABC
, từ trên suy ra
' , '
C BC ABC MBC
2. Vì BM là trung tuyến của
'
BC N
nên:
' '
BM MC NBC
cân đỉnh B
. os 2
' os tan
os 2
sin sin
2 2
BC c
BC BH
BC BN c
c
(Với H là chân đường vuông góc hạ từ B xuống cạnh AC)
Bài 2: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh là
.
a
Gọi E, F và M lần lượt là trung điểm của
AD, AB và CC’. Gọi
là góc giữa hai mặt phẳng (ABCD) và (EFM). Tính
os
c
HDG: Ta có: 2 2 2 2 2
2 6
A ,
2 2
a a
EF AE F ME MF MC CB BF
Gọi
I EF AC MI EF
. Mà
,
MI EF AC MEF ABCD EF
nên:góc giữa hai mặt
phẳng (ABCD) và (EFM) là MIC
Do đó: 2 2
3
3 11
4
os ..
11
IF
AC
IC
cIM MF
Bài 3: Trong mp(P) cho hình vuông ABCD cạnh a. Dựng đoạn SA vuông góc với (P) tại A. Gọi M, N
lần lượt là các điểm trên BC, CD. Đặt
, .
BM u DN v
Chứng minh rằng:
Bài 3: Các bài toán xác định góc – Khóa LTĐH Đảm bảo – Thầy Phan Huy Khải.
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 2
Page 2 of 3
2
3 3
a u v uv a
là điều kiện cần và đủ để hai mặt phẳng (SAM) và (SAN) tạo với nhau một góc
30
.
HDG: Ta có:
2 2 2 2 2 2
;
AM a u AN a v
2 2
2 2 2 2
2 2
MN a u a v a u v a u v
Dễ thấy góc giữa hai phẳng (SAM) và (SAN) là góc MAN
Do đó:
2 2 2
30 os os30
2 .
AM AN MN
c c
AM AN
2 2 2 2
2
2
2 2
2
3
2.
3
3 3
a u v
a u a v
a uv a u v
a u v uv a
Bài 4: Cho tam diện vuông góc Oxyz. Lần lượt lấy trên Ox, Oy, Oz ba đoạn OA=a, OB=b, OC=c. Gọi α,
β,
là số đo các nhị diện cạnh BC, CA, AB.
a) CMR: 2 2 2
os os os 1
c c c
b) CMR:
2 2 2 2
( ) ( ) ( ) ( )
ABC OBC OCA OAB
S S S S
HDG:
a) Kẽ
.
CH AB OH AB OHC
Ta có:
2
2
2
os os
OH OH
CH CH
c c
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
os
a b b c c a a b
CH OC OH c
a b a b b c c a
Tương tự và ta tính được: 2 2 2
os os os 1
c c c
b) Áp dụng công thức diện tích hình chiếu ta có:
2 2 2 2
cos
cos ( ) ( ) ( ) ( )
cos
ABC OBC OCA OAB
OBC ABC
OCA ABC
OAB ABC
S
S S
S S
SS S S S
Bài 5: Trong mặt phẳng (P) cho hình vuông ABCD cạnh a. Lấy M,N thuộc CB và CD. Đặt CM=x,
CN=y. Lấy
( )
S At P
. Tìm hệ thức giữa x, y để:
Bài 3: Các bài toán xác định góc – Khóa LTĐH Đảm bảo – Thầy Phan Huy Khải.
Page 3 of 3
a)
0
( ),( ) 45
SAM SAN
b)
( ) ( )
SAM SMN
HDG:
a)
( ),( )
SAM SAN MAN
Ta có: 2 2 2 2 . cos
MN MA NA MA NA MAN
Ta tính được:
2 2 2
2 2 2 0 2 2 3 4
2 2 2
( ) 45 4 ( ) 4 2 ( )
( )
MN x y
MA a a x MAN x y a x y a axy x y
NA a a y
b) Giả sử
( ) ( )
SAM SMN
Kẽ ' ' ( ) '
NM SM NM SMA NM SA
Nhưng
SA MN
nên NM’ trùng với NM hay M’trùng với M
2 2 2 2 2 2 2
( ) ( ) ( )
a a y a a x x y x a x y
………………….Hết…………………
Nguồn: Hocmai.vn