TRƯỜNG THPT NGUYỄN HỒNG ĐẠO
GV: NGUYỄN THÀNH HƯNG
TÍCH PHAÂN HAØM SOÁ HÖÕU TÆ
1. DẠNG 1:
b
a
P(x) .dx
ax b
trong ñoù P(x) laø ña thöùc vaø ax +b bậc nhất
Nếu bậc của P(x) lớn hơn hoặc bằng bậc một thì dùng phép chia
đa thức.
Nếu bậc của P(x) nhỏ hơn bậc một thì
b
b
a
a
dx 1 ln a.x+b
ax b a
BÀI TẬP: Tính các tích phân sau:
1.
dxx
x
x
2
0
1
2
13
2.
dx
x
x
1
0
3
1
22
3.
0
1
12
12
2dxx
x
x
4.
3
21
2dx
x
x
5.
dx
x
xx
1
0
2
3
32
6.
dxx
x
xx
0
1
2
12
1
1
7.
8.
13
0
21
1
xx x dx
x




9.
32
2
2
1
xdx
x
10.
33
2
2
1
xdx
x
2. DẠNG 2:
b
a
2
P(x) .dx
ax bx c
trong ñoù P(x) laø ña thöùc bậc bé hơn
hai.
a.Loại 1:
b
a
2
P(x) .dx
ax bx c
trong ñoù P(x) laø ña thöùc vaø tam thöùc:
ax2 + bx +c voâ nghieäm
TH1: Nếu P(x) bậc không thì
TRƯỜNG THPT NGUYỄN HỒNG ĐẠO
GV: NGUYỄN THÀNH HƯNG
22
2
2
24
bb
aa
dx dx
I
ax bx c b
ax
aa


 











Đặt
12
tan 1 tan
22
22
4
b
x t dx t dt
aaa
TH2: Nếu P(x) bậc một thì
b b b
2 2 2
a a a
mx + n A(2ax + b) B
dx = dx + dx
ax + bx + c ax + bx + c ax + bx + c
I
Tích phân
2
(2 )
b
a
A ax b dx
ax bx c

=
2
ln
b
a
A ax bx c
Tích phân
22
2
2
24
bb
aa
dx dx
I
ax bx c b
ax
aa


 











Đặt
12
tan 1 tan
22
22
4
b
x t dx t dt
aaa
Ví dụ 1:Tính tích phân:
1
2
01
dx
xx

.
Giải:
Do
11
22
00
113
24
dx dx
xx
x

 



TRƯỜNG THPT NGUYỄN HỒNG ĐẠO
GV: NGUYỄN THÀNH HƯNG
Đặt
1 3 3 2
tan , ; 1 tan
2 2 6 3 2
x t t dx t dt




Vậy
32
1 tan
133
2 3 2 3 3
3
2
23
03 3 9
2
1(1 tan )
66
46
t dt
dx dt t
xx t



Ví dụ 2:Tính tích phân:
1
2
0
(2 2)
1
x dx
I
xx

.
Giải:
1 1 1
2 2 2
0 0 0
1
2
1
0
1
(2 2) (2 1)
1 1 1
ln 1
ln3
x dx x dx dx
I
x x x x x x
x x I
I


Mà
11
22
100
113
24
dx dx
I
xx
x


 



Đặt
1 3 3 2
tan , ; 1 tan
2 2 6 3 2
x t t dx t dt




32
1 tan
133
2 3 2 3 3
3
2
2
13
03 3 9
2
1(1 tan )
66
46
t dt
dx
I dt t
xx t



TRƯỜNG THPT NGUYỄN HỒNG ĐẠO
GV: NGUYỄN THÀNH HƯNG
Vậy:
3
ln 3
9
I

BÀI TẬP : Tính các tích phân sau:
1. I =
1
0
2
dx
x x 2
2. I =
1
0
2
(2x 1).dx
x x 2

3. I =
1
0
2
5x 4 .dx
x x 2

4.I =
1
0
4
1dx
x
x
5. I=
1
0
2
3x 4 .dx
x1
6.I=
1
2
2
1 4x .dx
x 4x 5

7.I=
2
2
2 3 3
23
dx
x 4x 13

8.I=
1
0
2
5x .dx
x1
9.I=
1
2
0
1
1
xdx
x
10. I=
2
0
2
4
1dx
x
b.Loại 2:
b
a
2
P(x) .dx
ax bx c
trong ñoù P(x) laø ña thöùc vaø tam thöùc:
ax2 + bx +c có một nghieäm ax2 + bx + c = a(x-
1
x
)2
+)Nếu P(x) bậc không thì
2
2
b
a
dx
I
b
ax
a



tính được
+)Nếu P(x) bậc một thì
2
2
22
ax ax
2
bb bdx
mx n ax b
I dx dx Aa
bx c bx c b
aa ax
a




tính được
BÀI TẬP: Tính các tích phân sau:
1. I=
2
2
1
1dx
x
2. I=
0
2
1
1
21
dx
xx

TRƯỜNG THPT NGUYỄN HỒNG ĐẠO
GV: NGUYỄN THÀNH HƯNG
3. I=
2
2
1
1
21
dx
xx
4. I=
0
2
121
xdx
xx

5. I=
2
2
1
1
1
4
dx
xx
6. I=
0
2
1
23
21
xdx
xx

7. I=
2
2
1
1
44
dx
xx
8. I=
2
2
1
4
69
xdx
xx

9. I=
2
2
1
1
69
dx
xx
10. I=
2
2
1
12 1
69
xdx
xx

c.Loại 3:
b
a
2
P(x) .dx
ax bx c
trong ñoù P(x) laø ña thöùc vaø tam thöùc:
ax2 + bx +c coù 2 nghieäm
Nếu
0
thì đồng nhất thức theo các công tức sau:
()
( )( )
P x A B
x a x b x a x b

.
()
22
( )( )
P x A Bx C
x a bx cx d x a bx cx d

()
2
2
( )( )
P x A B C
x a x b
x a x b xb


.
Ví dụ 1. Tính tích phân:
1
2
0
4 11
56
x
I dx
xx

.
Cách 1.
Chú ý: Bằng phương pháp đồng nhất hệ số ta có thể tìm A, B sao cho: