Các dạng toán thường gặp môn toán 11 – Bài: Phương pháp quy nạp toán học

CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489

Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 1

TOÁN 11 PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC

TRUY CẬP https://diendangiaovientoan.vn/tai-lieu-tham-khao-d8.html ĐỂ ĐƯỢC NHIỀU

HƠN

1D3-1

PHẦN A. CÂU HỎI

Câu 1. Khi sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh mệnh đề chứa biến

 

A n

đúng với mọi số tự

nhiên

n p

(

là một số tự nhiên), ta tiến hành hai bước:



Bước 1, kiểm tra mệnh đề

 

A n

đúng với

.n p



Bước 2, giả thiết mệnh đề

 

A n

đúng với số tự nhiên bất kỳ

n k p 

và phải chứng minh rằng

nó cũng đúng với

n k

 

Trogn hai bước trên:

A. Chỉ có bước 1 đúng. B. Chỉ có bước 2 đúng.

C. Cả hai bước đều đúng. D. Cả hai bước đều sai.

Câu 2. Một học sinh chứng minh mệnh đề

''8 1



chia hết cho

7, ''

n 



 

như sau:



Giả sử

 

đúng với

n k

, tức là

8 1



chia hết cho



Ta có:

 

8 1 8 8 1 7

k k

   

, kết hợp với giả thiết

8 1



chia hết cho

nên suy ra được 1

8 1

k



chia hết cho

Vậy đẳng thức

 

đúng với mọi

n



Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Học sinh trên chứng minh đúng.

B. Học sinh chứng minh sai vì không có giả thiết qui nạp.

C. Học sinh chứng minh sai vì không dùng giả thiết qui nạp.

D. Học sinh không kiểm tra bước 1 (bước cơ sở) của phương pháp qui nạp.

Câu 3. Cho

 

1 1 1 1

...

1 2 2 3 3 4 . 1

Sn n

    

   

với

n

Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. 3

S B. 2



C. 2



D. 3



Câu 4. Cho

 

1 1 1 1

...

1 2 2 3 3 4 . 1

Sn n

    

   

với

n

Mệnh đề nào sau đây đúng?



 B.













Câu 5. Cho

2 2 2

1 1 1

1 1 ... 1

2 3

    

   

    

    

với



và



Mệnh đề nào sau đây đúng?









 C.



 D.





Câu 6. Với mọi

n



, hệ thức nào sau đây là sai?

 

1 2 ...

n n



   

 

1 3 5 ... 2 1

n n     

  

2 2 2

1 2 1

1 2 ...

n n n

 

   

CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489

Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 2

 

  

2 2 2

2 1 2 1

2 4 6 2

n n n

 

    .

Câu 7. Với mối số nguyên dương

, đặt

2 2 2

1 2 ...

S n   

. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

( 1)( 2)

n n n

 

. B.

( 1)(2 1)

n n n

 

.

( 1)(2 1)

n n n

 

. D.

( 1)(2 1)

n n n

 

.

Câu 8. Đặt

2 2 2 ... 2

T     (có

dấu căn). Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề đúng?

T. B.

2cos





. C.

cos





. D.

T.

Câu 9. Đặt 1 1 1

...

1.3 3.5 (2 1)(2 1)

Sn n

   

 

,với

n



.Mệnh đề nào dưới đây đúng?

2(2 1)







. B.

3 1

4 2







. C.

2 1





. D.

6 3







Câu 10. Tìm tất cả các số nguyên dương

sao cho 1 2

2 3 .

n n

 



. B.



. C.



. D.



Câu 11. Tổng

các góc trong của một đa giác lồi

cạnh,



, là:

.180

S n

 

. B.

 

2 .180

S n

  

 

1 .180

S n

  

. D.

 

3 .180

S n

  

Câu 12. Với

n



, hãy rút gọn biểu thức

 

1.4 2.7 3.10 ... 3 1

S n n

     

 

S n n

 

. B.

 

S n n  . C.

 

S n n

 

. D.

 

2 1

S n n

 

Câu 13. Kí hiệu

 

! 1 ...2.1,k k k k   



. Với

n



, đặt

1.1! 2.2! ... . !

S n n

    . Mệnh đề nào dưới

đây là đúng?

2. !

S n

. B.

 

1 ! 1

S n

  

. C.

 

1 !

S n

 

. D.

 

1 ! 1

S n

  

Câu 14. Với

n



, đặt

 

2 2 2

1 2 3 ... 2

T n

     và

 

2 2 2

2 4 6 ... 2

M n

     . Mệnh đề nào dưới

đây là đúng?

4 1

2 2

M n







. B.

4 1

2 1

M n







. C.

8 1

M n







. D.

2 1

M n







Câu 15. Tìm số nguyên dương

nhỏ nhất để

2 2 1

n 

với mọi số nguyên

n p



. B.



. C.



. D.



Câu 16. Tìm tất cả các giá trị của

n



sao cho

n



. B.



hoặc



. C



. D.



hoặc



Câu 17. Với mọi số nguyên dương

, ta có:

  

1 1 1

...

2.5 5.8 3 1 3 2 4

an b

n n cn



   

  

, trong đó

, ,abc

là các

số nguyên. Tính các giá trị của biểu thức

2 2 2

T ab bc ca

   .



. B.



. C.



. D.

42T

Câu 18. Với mọi số nguyên dương



, ta có: 2

1 1 1 2

1 1 ... 1

4 9 4

n bn



    

   

    

  

    , trong đó

,a b

là các số

nguyên. Tính các giá trị của biểu thức

2 2

T a b 



. B.



. C.



. D.



CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489

Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 3

Câu 19. Biết rằng

3 3 3 4 3 2 *

1 2 ... , nn an bn cn dn e         



. Tính giá trị biểu thức

M a b c d e    

4M

. B.

1M

. C.



. D.



Câu 20. Biết rằng mọi số nguyên dương

, ta có

 

3 2

1 1 1 1

1.2 2.3 ... 1

n n a n b n c n d       

và

 

3 2

2 2 2 2

1.2 2.5 3.8 ... 3 1

n n a n b n c n d        

. Tính giá trị biểu thức

1 2 1 2 1 2 1 2

T a a b b c c d d

    .

2T

. B.

1T

. C.



. D.



Câu 21. Biết rằng 1 2 ...

k k k

n  

, trong đó

,n k

là số nguyên dương. Xét các mệnh đề sau:

 

n n



,

  

1 2 1

n n n

 

,

 

n n

S

 và

  

 

1 2 1 3 3 1

n n n n n

   

.

Số các mệnh đề đúng trong các mệnh đề nói trên là:

. B.

. C.

. D.

Câu 22. Với

n

, ta xét các mệnh đề

:"7 5



chia hết cho

;

:"7 5



chia hết cho

và

:"7 5



chia hết cho

. Số mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên là :

. B.

. C.

. D.

Câu 23. Xét bài toán: “Kiểm nghiệm với số nguyên dương

bất đẳng thức



”. Một học sinh đã trình

bày lời giải bài toán này bằng các bước như sau:

Bước 1: Với



, ta có:

! 1! 1

 

và 1 1 1 0

2 2 2 1

n 

  

. Vậy

! 2n



 đúng.

Bước 2 : Giả sử bất đẳng thức đúng với

n k

 

, tức là ta có

! 2k



.

Ta cần chứng minh bất đẳng thức đúng với

1n k 

, nghĩa là phải chứng minh

 

1 ! 2k

 

Bước 3 : Ta có

   

1 ! 1 . ! 2.2 2

k k

k k k 

    

. Vậy

! 2n

n



với mọi số nguyên dương

Chứng minh trên đúng hay sai, nếu sai thì sai từ bước nào ?

A. Đúng. B. Sai từ bước 2. C. Sai từ bước 1. D. Sai từ bước 3.

Câu 24. Biết rằng

  

1 1 1

...

1.2.3 2.3.4 1 2 16

an bn

n n n cn dn



   

   

, trong đó

, , ,a b c d

và

là các số

nguyên dương. Tính giá trị của biểu thức

  

T a c b d  

là :



. B.

364



. C.

300



. D.

256



PHẦN B. LỜI GIẢI THAM KHẢO

Câu 1. Chọn C.

Câu 2. Chọn D. Thiếu bước 1 là kiểm tra với



, khi đó ta có 1

8 1 9 

không chi hết cho

Câu 3. Nhìn vào đuôi của

là

 

. 1n n



 cho



, ta được

 

1 1 .

2. 2 1 2 3



 

Do đó với



, ta có 2

1 1 2 .

1 2 2 3 3

  

  Chọn C.

Câu 4. Cách trắc nghiệm: Ta tính được 1 2 3

1 2 3

, ,

2 3 4

S S S

  

. Từ đó ta thấy quy luật là từ nhỏ hơn

mẫu đúng 1 đơn vị. Chọn B.

Cách tự luận. Ta có 1 2 3

1 2 3

, ,

2 3 4

S S S

   

dự đoán





CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489

Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 4



Với



, ta được 1

1 1

1.2 1 1

S 



: đúng.



Giả sử mệnh đề đúng khi

n k

 



, tức là

 

1 1 1

...

1.2 2.3 1 1

k k k

   

 



Ta có

 

1 1 1

...

1.2 2.3 1 1

k k k

   

 

       

1 1 1 1 1

...

1.2 2.3 1 1 2 1 1 2

1 1 1 1 2 1

...

1.2 2.3 1 1 2 1 2

k k k k k k k

k k

k k k k k k

      

     

 

     

    

    

1 1 1 1 1

... .

1.2 2.3 1 1 2 2

k k k k k



     

   

Suy ra mệnh đề đúng với

1n k 

Câu 5. Vì



nên ta cho

32 2

1 3

2 1 2 4

1 1 2

3 1 . 1

2 3 3

n P

 

    

 



  

   



     

   

   



Kiểm tra các đáp án chỉ cho D thỏa. Chọn D.

Câu 6. Bẳng cách thử với



là ta kết luận được. Chọn D.

Câu 7.

Đáp án C. Cách 1: Chúng ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học rằng mọi

n



, ta có đẳng

thức 2 2 2 2

( 1)(2 1)

1 2 3 ... .

n n n

 

    

- Bước 1: Với



thì vế trái bằng 2

1 1

, vế phải bằng

1(1 1)(2.1 1) 1

  

Vậy đẳng thức đúng với



-Bước 2: Giả sử đẳng thức đúng với

n k

 

, tức là chứng minh

  

2 2 2 2 2 ( 1) ( 1) 1 2( 1) 1

( 1)( 2)(2 3)

1 2 3 ... ( 1) .

6 6

k k k k k k

k k        

       

Ta phải chứng minh đẳng thức cũng đúng với

1n k 

, tức là chứng minh

  

2 2 2 2 2 ( 1) ( 1) 1 2( 1) 1

( 1)( 2)(2 3)

1 2 3 ... ( 1) .

6 6

k k k k k k

k k        

       

Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có

2 2 2 2 2 2

( 1)( 1)(2 1)

1 2 3 ... ( 1) ( 1) .

k k k

  

        

Mà

( 1)( 1)(2 1) ( 1)(2 1) 6( 1) ( 1)( 2)(2 3)

( 1) .

6 6 6

k k k k k k k k k k

         

   

Suy ra 2 2 2 2 2

( 1)( 2)(2 3)

1 2 3 ... ( 1) .

k k k

k k

  

      

Do đó đẳng thức đúng với

1n k 

. Suy ra có điều phải chứng minh.

Vậy phương án đúng là C.

Cách 2: Kiểm tra tính đúng-sai của từng phương án đến khi tìm được phương án đúng thông qua

một số giá trị cụ thể của n.

+ Với



thì 2

1 1

 

(loại được các phương án B và D);

+ Với



thì 2 2

1 2 5

  

(loại được phương án A).

CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489

Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 5

Vậy phương án đúng là C.

Câu 8.

Đáp án B. Ta chứng minh

2cos





 bằng phương pháp quy nạp toán học. Thật vậy:

Bước 1: Với



thì vế trái bằng

, còn vế phải bằng 1 1

2cos 2cos 2

2 4

 

  .

Vậy đẳng thức đúng với



Bước 2: Giả sử đẳng thức đúng với

n k

 

, nghĩa là

2cos





.

Ta phải chứng minh đẳng thức cũng đúng với

1n k 

, tức là chứng minh 1

2cos





.

Thật vậy, vì 12

k k

T T



 

nên theo giả thiết quy nạp ta có 1

2 2 2cos

k k k

T T





    .

Mặt khác, 2

1 2 2

1 cos 1 cos 2. 2cos

2 2 2

k k k

  

  

 

   

 

  nên 2

2 2

2.2cos 2cos

2 2

kk k

 



 

  .

Vậy phương án đúng là B.

Câu 9.

Đáp án C. Cách 1: Rút gọn biểu thức

dựa vào việc phân tích phần tử đại diện.

Với mọi số nguyên dương

, ta có 1 1 1 1

(2 1)(2 1) 2 2 1 2 1

k k k k

 

 

 

   

 

Do đó: 1 1 1 1 1 1

1 ...

2 3 3 5 2 1 2 1

Sn n

 

      

 

 

 

1 1

2 2 1 2 1

n n

 

  

 

 

  .

Vậy phương án đúng là phương án C.

Cách 2: Kiểm tra tính đúng – sai của phương án dựa vào một số giá trị cụ thể của n.

Với



thì 1

1 1

1.3 3

 

(chưa loại được phương án nào);

Với



thì 2

1 1 2

1.3 3.5 5

  

(loại ngay được các phương án A,B và D.

Vậy phương án đúng là phương án C.

Câu 10.

Đáp án D. Kiểm tra tính đúng – sai của bất đẳng thức với các trường hợp

1,2,3,4,



ta dự đoán được

1 2

2 3 ,

n n

  với



Ta chứng minh bất đẳng thức này bằng phương pháp quy nạp toán học.

Thật vây:

-Bước 1: Với



thì vế trái bằng 4 1 5

2 2 32,

  còn vế phải bằng 2

4 3.4 28.

 

32 28

nên bất đẳng thức đúng với



-Bước 2: Giả sử đẳng thức đúng với

n k

 

nghĩa là 1 2

2 3 .

k k

 

Ta phải chứng minh bất đẳng thức cũng đúng với

n k

 

tức là phải chứng minh

 

   

1 1

2 1 3 1

kk k

 

   

hay 2 2

2 5 4.

kk k



  

Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có 1 2

2 3 .

k k

 

Suy ra

 

1 2

2.2 2 3

k k

  hay 2 2

2 2 6

k k



 

Mặt khác

 

2 2 2 2

2 6 5 4 4 4 4 4 16

k k k k k k

          

với mọi



Do đó

 

2 2 2

2 2 3 5 4

kk k k k



    

hay bất đẳng thức đúng với

n k

 

Các dạng toán thường gặp môn toán 11 – Bài: Phương pháp quy nạp toán học

Tài liêu mới

Tài liệu Tổng hợp bài tập định lý Viète

Bài tập ôn luyện ngữ pháp tiếng Anh cơ bản

Bài tập vận dụng về từ vựng, ngữ pháp tiếng Anh

Bài tập So sánh hơn và nhất của tính từ

Tài liệu tham khảo Tiếng Anh lớp 8

Đề ôn tập Vật lí lớp 12

Tài liệu chuyên đề: Cực trị hàm số

Câu hỏi trắc nghiệm ôn tập môn Toán lớp 11

Tài liệu Tổng hợp lý thuyết Toán lớp 8

Tài liệu Lý thuyết và bài tập Tiếng Anh lớp 6

Tài liệu Bài tập cơ bản và nâng cao Đại số 7 (Dành cho giáo viên, phụ huynh)

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi môn Lịch sử lớp 9 (Sách Kết nối tri thức)

Tài liệu Hình học 9 - Chương 5: Đường tròn - Tự luận có lời giải (Sách Kết nối trí thức với cuộc sống)

Phiếu bài tập cuối tuần Tiếng Việt 1 - Tuần 1 đến tuần 5

Phiếu bài tập cuối tuần Tiếng Việt 1 - Tuần 2 - Đề 4

Giới thiệu

Về chúng tôi

Việc làm

Quảng cáo

Liên hệ

Chính sách

Thoả thuận sử dụng

Chính sách bảo mật

Chính sách hoàn tiền

DMCA

Hỗ trợ

Hướng dẫn sử dụng

Đăng ký tài khoản VIP

093 303 0098

support@tailieu.vn

Phương thức thanh toán

Theo dõi chúng tôi

Facebook

Youtube

TikTok

Các dạng toán thường gặp môn toán 11 – Bài: Phương pháp quy nạp toán học

Tài liêu mới

Tài liệu Tổng hợp bài tập định lý Viète

Bài tập ôn luyện ngữ pháp tiếng Anh cơ bản

Bài tập vận dụng về từ vựng, ngữ pháp tiếng Anh

Bài tập So sánh hơn và nhất của tính từ

Tài liệu tham khảo Tiếng Anh lớp 8

Đề ôn tập Vật lí lớp 12

Tài liệu chuyên đề: Cực trị hàm số

Câu hỏi trắc nghiệm ôn tập môn Toán lớp 11

Tài liệu Tổng hợp lý thuyết Toán lớp 8

Tài liệu Lý thuyết và bài tập Tiếng Anh lớp 6

Tài liệu Bài tập cơ bản và nâng cao Đại số 7 (Dành cho giáo viên, phụ huynh)

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi môn Lịch sử lớp 9 (Sách Kết nối tri thức)

Tài liệu Hình học 9 - Chương 5: Đường tròn - Tự luận có lời giải (Sách Kết nối trí thức với cuộc sống)

Phiếu bài tập cuối tuần Tiếng Việt 1 - Tuần 1 đến tuần 5

Phiếu bài tập cuối tuần Tiếng Việt 1 - Tuần 2 - Đề 4

AI tóm tắt

Giới thiệu tài liệu

Đối tượng sử dụng

Từ khoá chính

Nội dung tóm tắt

Giới thiệu

Về chúng tôi

Việc làm

Quảng cáo

Liên hệ

Chính sách

Thoả thuận sử dụng

Chính sách bảo mật

Chính sách hoàn tiền

DMCA

Hỗ trợ

Hướng dẫn sử dụng

Đăng ký tài khoản VIP

093 303 0098

support@tailieu.vn

Phương thức thanh toán

Theo dõi chúng tôi

Facebook

Youtube

TikTok