CÁC TÍNH CHẤT PHI CỔ ĐIỂN CỦA TRẠNG THÁI THÊM VÀ<br />
BỚT MỘT PHOTON LÊN HAI MODE KẾT HỢP CHẴN<br />
1<br />
<br />
TRẦN THỊ THU 1 , TRƯƠNG MINH ĐỨC 1 , HỒ SỸ CHƯƠNG 2<br />
Trường Đại học Sư phạm, Đại học Huế, Email: tmduc2009@gmail.com<br />
2 Trường Đại học Đồng Nai, Email: hosichuong@gmail.com<br />
<br />
Tóm tắt: Bài báo này trình bày việc khảo sát các tính chất phi cổ<br />
điển của trạng thái thêm và bớt một photon lên hai mode kết hợp<br />
chẵn. Bằng việc sử dụng điều kiện nén tổng và nén hiệu hai mode, kết<br />
quả thu được cho thấy trạng thái này là một trạng thái thể hiện tính<br />
nén tổng nhưng không nén hiệu. Sau đó chúng tôi đã khảo sát tính<br />
chất phản kết chùm hai mode và sự vi phạm bất đẳng thức CauchySchwarz của trạng thái này. Kết quả cho thấy trạng thái thêm và bớt<br />
một photon lên hai mode kết hợp chẵn có tính chất phản kết chùm và<br />
hoàn toàn vi phạm bất đẳng thức Cauchy-Schwarz. Chúng tôi cũng<br />
đã khảo sát các điều kiện đan rối Hillery–Zubairy và đan rối Nha-Kim<br />
và thu được kết quả cho thấy trạng thái thêm và bớt một photon lên<br />
hai mode kết hợp chẵn đan rối hoàn toàn theo cả hai tiêu chuẩn đan<br />
rối Hillery–Zubairy và Nha-Kim.<br />
Từ khóa: Nén tổng hai mode, nén hiệu hai mode, phản kết chùm,<br />
sự vi phạm bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, tiêu chuẩn đan rối<br />
Hillery–Zubairy và đan rối Nha-Kim.<br />
1 GIỚI THIỆU<br />
Trong những năm gần đây, các lĩnh vực thông tin lượng tử, viễn tải lượng tử<br />
và máy tính lượng tử thu hút sự quan tâm rất lớn của các nhà khoa học và đang<br />
có những bước phát triển mạnh mẽ. Cùng với đó, việc nghiên cứu các trạng thái có<br />
tính phi cổ điển, đặc biệt là tính đan rối đóng vai trò quan trọng trong quá trình<br />
tạo ra các nguồn tài nguyên rối. Vào năm 1991, Agarwal và Tara đã đề xuất ý tưởng<br />
về trạng thái kết hợp thêm photon [1] và chứng minh được nó là một trạng thái phi<br />
cổ điển, thể hiện tính nén, tính phản kết chùm và tuân theo thống kê sub-Poisson.<br />
Việc thêm và bớt photon vào một trạng thái vật lý là một phương pháp quan trọng<br />
để tạo ra một trạng thái phi cổ điển mới. Bài báo này trình bày các nghiên cứu của<br />
chúng tôi về các tính chất phi cổ điển đối với trạng thái thêm và bớt một photon<br />
lên hai mode kết hợp chẵn sau<br />
<br />
<br />
|Ψiab = Nαβ a<br />
ˆ† + ˆb (|αia |βib + |βia |αib ) ,<br />
(1)<br />
trong đó Nαβ = [2|α|2 +2+2α∗ β ∗ +2αβ +2|β|2 +(2α∗ β + 2 + 2α∗ β ∗ + 2αβ + 2β ∗ α)×<br />
1<br />
ˆ† là toán tử sinh đối với mode a và ˆb là toán<br />
exp −|α − β|2 ]− 2 là hệ số chuẩn hóa, a<br />
Tạp chí Khoa học và Giáo dục, Trường Đại học Sư phạm, Đại học Huế<br />
ISSN 1859-1612, Số 01(45)/2018: tr. 93-103<br />
Ngày nhận bài:06/10/2017; Hoàn thành phản biện: 11/10/2017; Ngày nhận đăng: 23/10/2017<br />
<br />
94<br />
<br />
TRẦN THỊ THU và cs.<br />
<br />
tử hủy đối với mode b.<br />
2 TÍNH CHẤT NÉN CỦA TRẠNG THÁI THÊM VÀ BỚT MỘT PHOTON<br />
LÊN HAI MODE KẾT HỢP CHẴN<br />
2.1 Nén tổng hai mode<br />
Nén tổng hai mode được Hillery [2] đưa <br />
ra vào năm<br />
1989. Một trạng thái được<br />
<br />
2 <br />
na + n<br />
ˆ b + 1) , hay<br />
gọi là nén tổng nếu thỏa mãn bất đẳng thức<br />
∆Vˆϕ<br />
< 14 (ˆ<br />
S=<br />
<br />
<br />
<br />
∆Vˆϕ<br />
<br />
2 <br />
<br />
−<br />
<br />
1<br />
(ˆ<br />
na + n<br />
ˆ b + 1) < 0,<br />
4<br />
<br />
(2)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
1 iϕ †ˆ†<br />
trong đó h(∆Vˆϕ )2 i = Vϕ2 − hVϕ i2 , Vˆϕ =<br />
e a<br />
ˆ b + e−iϕ a<br />
ˆˆb , n<br />
ˆa = a<br />
ˆ† a<br />
ˆ và n<br />
ˆ b = ˆb†ˆb.<br />
2<br />
Đối với trạng thái thêm và bớt một photon lên hai mode kết hợp chẵn, ta có<br />
D E D E2<br />
S = Vˆϕ2 − Vˆϕ − 14 (ˆ<br />
na + n<br />
ˆ b + 1)<br />
<br />
2<br />
<br />
2<br />
4<br />
2<br />
2<br />
4<br />
2<br />
1<br />
8|α|<br />
+<br />
3<br />
|β|<br />
+<br />
2|β|<br />
+<br />
5|β|<br />
+<br />
2<br />
= 4 |Nαβ | { 2|α| + 5|α| + 2 + 4|α|4 +<br />
<br />
<br />
<br />
+ 4|β|4 + 8|β|2 + 3 |α|2 + 2 4|α|2 + 4 |β|2+ 1 Re[αβ] + 2 2|α|2 + 2|β|2 + 6<br />
×Re[e−2iϕ α2 β 2 ] + 2 2|α|2 |β|2 + 2|β|2 + 2|α|2 Re[e−2iϕ αβ] + 4Re[e−2iϕ α3 β 3 ]<br />
+[2Re[(α∗2 β 2 + 4α∗ β + 2) (β ∗ α + 1)] + 2Re[(α∗2 β 2 + 3α∗ β + 1) β ∗ α]<br />
+2Re[αβ] 2|α|2 |β|2 + 6Re[β ∗ α] + 4 + 2Re[β ∗ α]|α|2 |β|2 + 2|α|2 Re[(α∗ β + 1) β ∗2 ]<br />
+2|β|2 Re[(α∗ β + 1) α2 ] + 2Re[(α∗ β + 1) (β ∗2 α2 + β ∗ α)] + 2 (2Re[α∗ β] + 6)<br />
×Re[e−2iϕ α2 β 2 ] + 2|α|2 Re[e2iϕ (α∗ β + 2) β ∗2 ] + 2Re[e2iϕ (β ∗ α <br />
+ 2) α∗2 ]|β| 2<br />
+2Re[e2iϕ β ∗2 α∗3 β] + 2Re[e2iϕ α∗2 β ∗3 α] + 4Re[e2iϕ β ∗3 α∗3 ]] exp −|α − β|2 }<br />
iϕ<br />
−{ 21 |Nαβ |2 {2 2|α|2 + 2|β|2 + 4 Re[e−iϕ αβ] + 2 2|α|2 |β|2 + |α|2 + |β|2 Re[e<br />
]<br />
<br />
2<br />
2<br />
−iϕ 2 2<br />
∗<br />
−iϕ<br />
∗<br />
+4Re[e α β ] + [{2 (2Re[α β] + 4) Re[e αβ] + 2 2|α| |β| + 2Re[αβ<br />
] Re[eiϕ ]<br />
<br />
2<br />
2<br />
2<br />
+4Re[eiϕ α∗2 β ∗2 ] + |α| 2Re[eiϕ β ∗2 ] + |β| 2Re[e−iϕ α2 ]] exp −|α − β| }]}2<br />
4<br />
+ 4 + 3|α|2 + 6 |β|2 + |β|2 + 6 |α|2<br />
− 41 |Nαβ |2 {2|α|4 + 2|β|<br />
<br />
+ 2|α|2 + 2|β|2 + 4 2Re[αβ] + [4Re[α∗2 β 2 ] + 4 + 2Re[(α∗ β + 6) β ∗ α]<br />
∗<br />
∗<br />
+2Re[(α<br />
+ 4) αβ] + |α|2 2Re[β 2 ] + |β|2 2Re[α2 ] + 2|α|2 |β|2 ]<br />
β+β α<br />
2 <br />
× exp −|α − β| },<br />
(3)<br />
2<br />
2<br />
2<br />
∗ ∗<br />
∗<br />
∗ ∗<br />
∗<br />
trong đó, |Nαβ | = [2|α| +2+2α β +2αβ+2|β| +(2α β + 2 + 2α β + 2αβ + 2β α)×<br />
<br />
exp −|α − β|2 ]−1 .<br />
Ta đặt α = ra exp(iϕa ) và β = rb exp(iϕb ) và ϕ = ϕa − ϕb rồi khảo sát tính<br />
nén tổng hai mode theo biên độ rb và pha dao động ϕb với điều kiện khảo sát là<br />
ra = rb , ϕa = 2ϕb , 0 ≤ rb ≤ 5 và ϕb = π/2. Kết quả ở hình 1a cho thấy trạng thái<br />
thêm và bớt một photon lên hai mode kết hợp chẵn có tính nén tổng.<br />
2.2 Nén hiệu hai mode<br />
<br />
CÁC TÍNH CHẤT PHI CỔ ĐIỂN CỦA TRẠNG THÁI ...<br />
<br />
95<br />
<br />
Nén hiệu hai mode cũng được Hillery<br />
[2]. Một trạng thái gọi là nén hiệu<br />
đưa ra<br />
2 <br />
ˆϕ<br />
hai mode nếu thỏa mãn bất đẳng thức<br />
∆W<br />
< 14 |ˆ<br />
na − n<br />
ˆ b | [3], hay<br />
D=<br />
<br />
<br />
<br />
ˆϕ<br />
∆W<br />
<br />
2 <br />
<br />
1<br />
− |ˆ<br />
na − n<br />
ˆ b | < 0,<br />
4<br />
<br />
(4)<br />
<br />
D E D E2<br />
<br />
<br />
+ˆ<br />
ˆb+ + e−iϕ a<br />
ˆ ϕ )2 i = W<br />
ˆ2 − W<br />
ˆϕ , W<br />
ˆ ϕ = 1 eiϕ a<br />
trong đó h(∆W<br />
ˆ<br />
ˆ<br />
b<br />
,n<br />
ˆa = a<br />
ˆ+ a<br />
ˆ và<br />
ϕ<br />
2<br />
n<br />
ˆ b = ˆb+ˆb. Đối với trạng thái thêm và bớt một photon lên hai mode kết hợp chẵn, ta<br />
có<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
2<br />
2iϕ 2 ∗2<br />
2iϕ ∗2 2<br />
D = 14 |Nαβ |2 { |α|2 + 3 2Re[e<br />
α<br />
β<br />
]<br />
+<br />
|β|<br />
+<br />
3<br />
2Re[e<br />
α<br />
β<br />
]<br />
+<br />
|β|<br />
+<br />
2<br />
<br />
×2Re[e2iϕ α∗3 β] + |α|2 + 2 2Re[e2iϕ αβ ∗3 ] + 2Re[e2iϕ α3 β ∗ ]|β|2 + 2Re[e2iϕ β 3 α∗ ]|α|2<br />
+2Re[e2iϕ β 2 α∗2 ]|α|2 + 2Re[e2iϕ α2 β ∗2 ]|β|2 + 4|α|4 |β|2 + 4|β|4 |α|2+ 16|β|2 |α|2<br />
2<br />
+2|α|4 + 6|α|2 + 6|β|2 + 2|β|4 + 2 4|β|<br />
|α|2 + 4|β|2 + 4|α|2 + 2 2Re[αβ]<br />
<br />
+[2Re[(α∗ β + 3) e2iϕ |β|4 + e−2iϕ |α|4 ] <br />
2<br />
+2Re[(α∗ β + 2) e2iϕ β ∗2 |β|<br />
+ e−2iϕ α2 |α|2 ] + 2Re[e2iϕ β ∗ α]|β|4 + 2Re[e2iϕ α∗ β]|α|4<br />
<br />
+2Re[e2iϕ αβ] |α|4 + |β|4 + 2Re[ 2α∗ 2 β 2 + 7α∗ β + 6 β ∗ α] + 2Re[β ∗ 2 α2 ] + 2<br />
+4 |β|2 |α|2 + 2Re[α∗ β] + 1 Re[αβ] + |β|2 |α|2 (2Re[α∗ β] + 2)<br />
∗<br />
∗2 2<br />
+2Re[(α<br />
α ] + 2|α|2 Re[(β ∗ α + 2)β 2 ] + 2|β|2 Re[(α∗ β + 2) α2 ]]<br />
β + 1) β<br />
2 <br />
× exp −|α −<br />
β| } − ( 21 |Nαβ |2 {2 |α|2 + 2 Re[eiϕ αβ ∗ ] + 2 |α|2 + 1 Re[eiϕ β ∗2 ]<br />
<br />
+2 |β|2 + 2 Re[eiϕ α∗ β] + 2 |β|2 + 1 Re[eiϕ α∗2 ] + 2|β|2 Re[eiϕ α2 ] <br />
+2|β|2 Re[eiϕ αβ ∗ ] + 2|α|2 Re[eiϕ β 2 ] + 2|α|2 Re[eiϕ βα∗ ] + [2 |β|2 + |α|2<br />
∗<br />
iϕ ∗2<br />
×Re[eiϕ ] (2Re[α∗ β] + 2) +<br />
2Re[(α<br />
β + 1) (e<br />
β + e−iϕ α2 )]<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
+2Re[eiϕ αβ] |α| + |β|<br />
] exp −|α − β| })2 − 41 |Nαβ |2 {2|α|<br />
+ 2|β|2 + 2<br />
<br />
<br />
+2Re[ |α|2 − |β|2 + 1 αβ] − 2Re[β ∗ α∗2 α] + 2Re[ |β|2 + 1 αβ]+ [4Re[α∗ β]<br />
<br />
+2Re[αβ] (2Re[α∗ β] + 4) − 2|α|2 Re[β 2 ] − 2|β|2 Re[α2 ] + 2] exp −|α − β|2 }.<br />
(5)<br />
Ta đặt α = ra exp(iϕa ) và β = rb exp(iϕb ) và ϕ = ϕa − ϕb rồi khảo sát tính nén hiệu<br />
hai mode theo biên độ rb và pha dao động ϕb với điều kiện khảo sát là ra = rb , ϕa =<br />
2ϕb , 0 ≤ rb ≤ 2.5 và ϕb = π/2. Kết quả ở hình 1b cho thấy, trạng thái thêm một và<br />
bớt một photon lên hai mode kết hợp chẵn không có tính nén hiệu.<br />
3 SỰ VI PHẠM BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY-SCHWARZ, TÍNH PHẢN<br />
KẾT CHÙM VÀ TÍNH ĐAN RỐI CỦA TRẠNG THÁI THÊM VÀ BỚT MỘT<br />
PHOTON LÊN HAI MODE KẾT HỢP CHẴN<br />
3.1 Sự vi phạm bất đẳng thức Cauchy-Schwarz<br />
Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho trạng thái hai mode có dạng<br />
h<br />
<br />
D †2 2 Ei 21 D † † E<br />
†2 2<br />
ˆb ˆb<br />
/ a<br />
ˆ ˆb ˆbˆ<br />
a − 1 ≥ 0.<br />
I= a<br />
ˆ a<br />
ˆ<br />
<br />
(6)<br />
<br />
96<br />
<br />
TRẦN THỊ THU và cs.<br />
<br />
Hình 1: Sự phụ thuộc của tham số S và D vào biên độ kết hợp rb .<br />
<br />
Với trạng thái thêm và bớt một photon lên hai mode kết hợp chẵn, ta có<br />
I = {[|α|6 + 5|α|4 + 4|α|2 + |β|6 + 5|β|4 + 4|β|2 + |α|4 |β|2 + |β|4 |α|2 + 2(|β|4<br />
+2|β|2 + |α|4 + 2|α|2 )Re[αβ] + 2[Re[α∗3 β 3 ] + 5Re[α∗2 β 2 ] + 4Re[α∗ β]<br />
2<br />
∗3<br />
+|β|2 Re[α<br />
β] + 2|β|<br />
Re[α2 ] + |α|2 Re[α∗ β 3 ] + 2|α|2 Re[β 2 ] + |β|2 |α|2 Re[αβ ∗ ]]<br />
<br />
<br />
× exp −|α − β|2 ][|α|2 |β|4 + |β|4 + |β|6 + |β|2 |α|4 + |α|4 + |α|6<br />
∗<br />
+2Re[αβ](|β|4 + |α|4 ) + 2[Re[(α<br />
β + 1) β ∗2 α2 ] + Re[β ∗3 α3 ] + |β|2 Re[β ∗ α3 ]<br />
<br />
+|α|2 Re[α∗ β 3 ]] exp −|α − β|2 ]}1/2 {2|α|4 |β|2 + 2|α|2 |β|4 + 6|α|2 |β|2 + |α|2 + |β|2<br />
+2Re[αβ] 2|α|2 |β|2 + |α|2 + |β|2 + [(2Re[α∗ β] + 6) |α|2 |β|2 + 2Re[(β ∗ α + 1) β 2 ]<br />
×|α|2 + 2Re[(α∗ β + 1) α2 ]|β|2 + 2Re[α∗ β] |α|2 |β|2 + 1 ] exp −|α − β|2 }−1 − 1.<br />
(7)<br />
Ta đặt α = ra exp (iϕa ), β = rb exp (iϕb ) và ϕ = ϕa − ϕb , rồi khảo sát sự vi phạm bất<br />
đẳng thức Cauchy-Schwarz theo biên độ rb và pha dao động ϕb với điều kiện khảo<br />
sát là ra = rb , ϕa = 2ϕb , 0 ≤ rb ≤ 2 và ϕb = π/2. Kết quả ở hình 2 cho thấy trạng<br />
thái này vi phạm bất đẳng thức Cauchy–Schwarz.<br />
3.2 Tính phản kết chùm<br />
Trạng thái hai mode trong trường bức xạ có tính phản kết chùm khi<br />
D<br />
<br />
E D<br />
E<br />
a<br />
ˆ†(l+1) a<br />
ˆ(l+1)ˆb†(p−1)ˆb(p−1) + a<br />
ˆ†(p−1) a<br />
ˆ(p−1)ˆb†(l+1)ˆb(l+1)<br />
D<br />
E D<br />
E<br />
Rab (l, p) =<br />
− 1 < 0,<br />
†l<br />
l<br />
†p<br />
p<br />
†p<br />
p<br />
†l<br />
l<br />
ˆ<br />
ˆ<br />
ˆ<br />
ˆ<br />
a<br />
ˆ a<br />
ˆb b + a<br />
ˆ a<br />
ˆ b b<br />
<br />
(8)<br />
<br />
trong đó l ≥ p > 0 và n<br />
ˆa = a<br />
ˆ† a<br />
ˆ, n<br />
ˆ b = ˆb†ˆb. Nếu tham số R (l, p) càng âm thì tính<br />
phản kết chùm hai mode thể hiện càng mạnh. Đối với trạng thái thêm và bớt một<br />
<br />
CÁC TÍNH CHẤT PHI CỔ ĐIỂN CỦA TRẠNG THÁI ...<br />
<br />
97<br />
<br />
Hình 2: Sự phụ thuộc của tham số I vào biên độ kết hợp rb .<br />
photon lên hai mode kết hợp chẵn, chúng tôi tính được<br />
E<br />
<br />
<br />
D<br />
a<br />
ˆ†l a<br />
ˆlˆb†pˆbp = { |α|2(l+1) + (2l + 1) |α|2l + l2 |α|2(l−1) |β|2p<br />
<br />
<br />
2(l+1)<br />
2l<br />
2(l−1)<br />
2<br />
+ |β|<br />
+ (2l + 1) |β| + l |β|<br />
|α|2p + |α|2l |β|2(p+1) + |β|2l |α|2(p+1)<br />
<br />
<br />
+2 |β|2l |α|2p + l|β|2(l−1) |α|2p + |α|2l |β|2p + l|α|2(l−1) |β|2p Re[αβ]<br />
(9)<br />
∗p p<br />
∗(l+1) l+1<br />
∗l l<br />
2 ∗(l−1) (l−1)<br />
+[2Re[ α<br />
β + (2l + 1)<br />
β +l α<br />
β<br />
β α ]<br />
α∗(p+1)<br />
∗(l+1) l<br />
∗l (l−1)<br />
p<br />
∗l (p+1) l ∗(p+1)<br />
+2Re[ α<br />
β + lα β β<br />
α ] + 2Re[α<br />
α β β<br />
]<br />
<br />
2<br />
∗l l+1<br />
∗(l−1) l<br />
∗p (p+1)<br />
+2Re[ α β + lα<br />
β β α<br />
]] exp −|α − β| ;<br />
D<br />
E <br />
<br />
2(p+1)<br />
2p<br />
2(p−1)<br />
†p pˆ†lˆl<br />
2<br />
a<br />
ˆ a<br />
ˆ b b = |α|<br />
+ (2p + 1) |α| + p |α|<br />
|β|2l<br />
<br />
<br />
+ |β|2(p+1) + (2p + 1) |β|2p + p2 |β|2(p−1) |α|2l + |α|2p |β|2(l+1) + |β|2p |α|2(l+1)<br />
<br />
<br />
+2 |β|2p |α|2l + p|β|2(p−1) |α|2l + |α|2p |β|2l + p|α|2(p−1) |β|2l Re[αβ]<br />
<br />
+[2Re[ α∗(p+1) β p+1 + (2p + 1)α∗p β p + p2 α∗(p−1) β (p−1) β ∗l αl ]<br />
∗(l+1) l<br />
∗p (l+1) p ∗(l+1)<br />
+2Re[ α∗(p+1) β p + pα∗p β (p−1)<br />
α β β<br />
]<br />
β∗l (l+1)α ] + 2Re[α<br />
<br />
∗p p+1<br />
∗(p−1) p<br />
+2Re[ α β<br />
+ pα<br />
β β α<br />
]] exp −|α − β|2 ;<br />
D<br />
E<br />
<br />
(10)<br />
2(l+2)<br />
2(l+1)<br />
2<br />
2(l)<br />
†(l+1) (l+1)ˆ†(p−1)ˆ(p−1)<br />
a<br />
ˆ<br />
a<br />
ˆ<br />
b<br />
b<br />
= { |α|<br />
+ (2l + 3) |α|<br />
+ (l + 1) |α|<br />
<br />
<br />
2(p−1)<br />
2(l+2)<br />
2(l+1)<br />
2<br />
2(l)<br />
×|β|<br />
+ |β|<br />
+ (2(l + 1) + 1) |β|<br />
+ (l + 1) |β|<br />
|α|2(p−1)<br />
<br />
+|α|2(l+1) |β|2(p) + |β|2(l+1) |α|2(p) + 2Re[αβ] |β|2(l+1) |α|2(p−1)<br />
<br />
2(l)<br />
2(p−1)<br />
2(l+1)<br />
2(p−1)<br />
2(l)<br />
2(p−1)<br />
(11)<br />
+(l + 1)|β| |α|<br />
+ |α|<br />
|β|<br />
+(l + 1)|α| |β|<br />
<br />
×[2Re[ α∗(l+2) β l+2 + (2(l + 1) + 1) α∗(l+1) β l+1 +(l + 1)2 α∗(l) β (l)<br />
×β ∗(p−1) αp−1 ] + 2Re[ α∗(l+2) β l+1 + (l + 1)α∗(l+1) β (l) β ∗(p) αp−1 ]<br />
∗(l+1) (p) l+1 ∗(p)<br />
+2Re[α<br />
α β β ] + 2Re[ α∗(l+1) β l+2 + (l + 1)α∗(l) β l+1 β ∗(p−1) α(p) ]]<br />
<br />
× exp −|α − β|2 ;<br />
<br />