TUY
ỂN CHỌN 50 B
ÀI TOÁN ĐI
ỂN H
ÌNH
MIN  MAX
C
ẨM NANG CHO M
NGUY
ỄN HỮU BIỂN
https://www.facebook.com/ng.huubien
Email: ng.huubien@gmail.com
(ÔN THI THPT QUỐC GIA)
TUY
ỂN
T
ẬP 50
BÀI TOÁN ĐI
ỂN H
ÌNH V
Ề
MIN
MAX
TRONG
CÁC Đ
Ề
THI
TH
Ử
THPT QU
ỐC
GIA
2015
Trang
1
NGUYỄN HỮU BIỂN 
https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien
Bài 1: Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn:
1
x y z
+ + =
Tìm giá trị nhỏ nhất của:
x y y z z x
P
xy z yz x zx y
+ + +
= + +
+ + +
Hướng dẫn
Ta có
1 1
+ + = ⇒+ = −
x y z x y z
, ta có:
1 1
1 (1 )(1 )
+ − −
= =
+ + − − − −
x y z z
xy z xy x y x y
1 1
1 (1 )(1 )
+ − −
= =
+ + − − − −
y z x x
yz x yz y z y z
1 1
1 (1 )(1 )
+ − −
= =
+ + − − − −
z x y y
zx y zx x z x z
Khi đó
+ + +
= + +
+ + +
x y y z z x
P
xy z yz x zx y
=
1
(1 )(1 )
−
− −
z
x y
+
1
(1 )(1 )
−
− −
x
y z
+
1
(1 )(1 )
−
− −
y
x z
3
1 1 1
3 . . 3
(1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 )
− − −
≥ =
− − − − − −
z x y
x y y z x z
.
Vậy
3
=
MinP
đạt được khi
1
3
= = =
x y z
Bài 2: Cho x, y, z là ba số thực tùy ý thỏa mãn x + y + z = 3.
Chứng minh rằng với
1
a
∀ ≥
ta luôn có :
111
.
x y z x y z
x y z
a a a a a a
+ + ≥ + +
Hướng dẫn
* Với a = 1 ta thấy BĐT đúng .
* Ta xét khi a > 1.
Hàm số y =
1 1
t
t
y
a a
= =
nghịch biến với
t R
∀ ∈
, khi a > 1.
Khi đó ta có
Ta có :
1 1
( )( ) 0,
x y
x y
a a
− − ≤
, .
x y R
∀ ∈
Suy ra
x y y x
x y x y
a a a a
+≤+
(1)
Chứng minh tương tự
y z y z
y z z y
a a a a
+ ≤ +
(2)
z x z x
z x x z
a a a a
+ ≤ +
(3)
Cộng vế với vế (1) ,(2) và (3) ta được
2( )
x y z x y z
x y z y z z x x y
a a a a a a
+ + +
+ + ≤ + +
(4)
Cộng 2 vế của (4) với biểu thức
x y z
x y z
a a a
+ +
ta được
1 1 1
3( ) ( )( )
x y z x y z x y z
x y z x y z x y z x y z x y z
a a a a a a a a a
+ + + + + +
+ + ≤ + + = + + + +
TUY
ỂN
T
ẬP 50
BÀI TOÁN ĐI
ỂN H
ÌNH V
Ề
MIN
MAX
TRONG
CÁC Đ
Ề
THI
TH
Ử
THPT QU
ỐC
GIA
2015
Trang
2
NGUYỄN HỮU BIỂN 
https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien
Suy ra
111
.
x y z x y z
x y z
a a a a a a
+ + ≥ + +
( do x + y + z = 3 )
Dấu bằng xảy ra khi chỉ khi x = y = z = 1. (đpcm)
Bài 3: Cho
, ,
abc
là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện
3.
ab bc ca
+ + =
Chứng minh rằng:
2 2 2
1 1 1 1
.
1 ( ) 1 ( ) 1 ( )
a b c b c a c a b abc
+ + ≤
+ + + + + +
Hướng dẫn
Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số dương ta có:
2
3
3 3 ( ) 1
ab bc ca abc abc
= + + ≥ ⇒≤
.
Suy ra:
2 2
2
1 1
1 ( ) ( ) ( ) 3 (1).
1 ( ) 3
a b c abc a b c a ab bc ca a a b c a
+ + ≥ + + = + + =
⇒
≤
+ +
Tương tự ta có:
2 2
1 1 1 1
(2), (3).
1 ( ) 3 1 ( ) 3b c a b c a b c
≤ ≤
+ + + +
Cộng (1), (2) và (3) theo vế với vế ta có:
2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1
( )
1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 3 3
ab bc ca
a b c b c a c a b c b c abc abc
+ +
+ + ≤ + + = =
+ + + + + +
□
.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
1, 3 1, ( , , 0).
abc ab bc ca a b c a b c
= + + = ⇒= = = >
Bài 4: Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn
0,0,221221 >>+−<<−− zyx
và
1
−
=
+
+
z
y
x
.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
222
)(8
1
)(
1
)(
1
zyzxyx
P+−
+
+
+
+
=
.
Hướng dẫn
Ta có
222222
)1(8
1
)1(
1
)1(
1
)1(8
1
)1(
1
)1(
1
xzyxyz
P
+−
+
+
+
+
=
−−−
+
−−
+
−−
=
Ta sẽ chứng minh
yzzy
+
≥
+
+
+
1
1
)1(
1
)1(
1
22
Thật vậy:
222
22
)]1)(1[(])1()1)[(1(
1
1
)1(
1
)1(
1yzyzyz
yzzy ++≥++++⇔
+
≥
+
+
+
.
222
)1()222)(1( yzzyyzyzyz +++≥+++++⇔
22
2
)()1)((2)1(
)1(2))(1()1(2)1)((2
yzzyyzzy
yzzyzyzyyzzyyz
++++++≥
++−++++++⇔
04)()1(242))(1(
22222
≥−−−+−+++−+⇔ yzzyyzzyyzzyzy
0)1()(
22
≥−+−⇔ yzzyyz
(hiển nhiên đúng).
Dấu “=” xảy ra khi
1
=
=
zy
.
Ta lại có
yz
zy ≥
+
2
4
)1(
4
)1(
2
22
2
xxzy
yz +
=
−−
=
+
≤⇒
TUY
ỂN
T
ẬP 50
BÀI TOÁN ĐI
ỂN H
ÌNH V
Ề
MIN
MAX
TRONG
CÁC Đ
Ề
THI
TH
Ử
THPT QU
ỐC
GIA
2015
Trang
3
NGUYỄN HỮU BIỂN 
https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien
Do đó
2
2
22
)1(4
4
4
)1(
1
1
1
1
)1(
1
)1(
1
x
x
yzzy ++
=
+
+
≥
+
≥
+
+
+
22
)1(8
1
)1(4
4
+−
+
++
≥⇒
xx
P
Do
221221 +−<<−− x
nên
)8;0[)1(
2
∈+x
.
Đặt
)8;0[)1(
2
∈⇒+= txt
và
P
t
t
−
+
+
≥
8
1
4
4
Xét
t
t
tf
−
+
+
=
8
1
4
4
)(
với
)8;0[
∈
t.
22
2
22
)8()4(
240723
)8(
1
)4(
4
)(' tt
tt
tt
tf −+
−+−
=
−
+
+
−=
20;402407230)('
2
==⇔=−+−⇔=
tttttf (loại)
Bảng biến thiên
t
0 4
8
f’(t) - 0 +
f(t)
8
9
∞
+
4
3
Do đó
4
3
)( ≥≥
tfP và
4
3
=
P khi
==
−=
⇔
−=++
==
=+
1
3
1
1
4)1(
2
zy
x
zyx
zy
x
Vậy
4
3
min =P
khi
1,3
=
=
−
=
zyx
Bài 5: Cho x,y ∈ R và x, y > 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của
(
)
(
)
3 3 2 2
( 1)( 1)
x y x y
Px y
+ − +
=− −
Hướng dẫn
Đặt t = x + y ; t > 2. Áp dụng BĐT 4xy ≤ (x + y)
2
ta có
2
4
t
xy
≤
3 2
(3 2)
1
t t xy t
Pxy t
− − −
=− +
. Do 3t - 2 > 0 và
2
4
t
xy
− ≥ −
nên ta có
2
3 2 2
2
(3 2)
4
2
1
4
t t
t t
t
Ptt
t
−
− −
≥ =
−
− +
Xét hàm số
2 2
2
4
( ) ; '( ) ;
2 ( 2)
t t t
f t f t
t t
−
= =
− −
f’(t) = 0 ⇔ t = 0 v t = 4.
TUY
ỂN
T
ẬP 50
BÀI TOÁN ĐI
ỂN H
ÌNH V
Ề
MIN
MAX
TRONG
CÁC Đ
Ề
THI
TH
Ử
THPT QU
ỐC
GIA
2015
Trang
4
NGUYỄN HỮU BIỂN 
https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien
t 2 4 +∞
f’(t) - 0 +
f(t)
+ ∞ +∞
8
Do đó min P =
(2; )
min ( )
f t
+∞
= f(4) = 8 đạt được khi
4 2
4 2
x y x
xy y
+ = =
⇔
= =
Bài 6 : Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn a + b + c = 1.
Chứng minh rằng:
3
  
+ + +
+ + ≥
+ + +
Hướng dẫn
* Biến đổi 1 1
1 (1 )(1 )
 
+ − −
= =
+ + − − − −
* Từ đó 1 1 1
(1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 )

− − −
= + +
− − − − − −
Do a,b,c dương và a+b+c=1 nên a,b,c thuộc khoảng (0;1) => 1-a,1-b,1-c dương
* Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số dương ta được
3
1 1 1
3. . .
(1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 )

− − −
≥
− − − − − −
=3 (đpcm)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
1
3
===
Bài 7: Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn:
1
yz zx xy
x y z
+ + =
.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
1 1 1
1 1 1
A
x y z
= + +
− − −
.
Hướng dẫn
Đặt , ,
yz zx xy
a b c
x y z
= = = . Ta có a, b, c > 0 và
2 2 2
1
a b c
+ + =
. Ta có:
1 1 1 3
1 1 1 1 1 1
bc ca ab
A
bc ca ab bc ca ab
= + + = + + +
− − − − − −
. Dễ có:
( ) ( )
2
22 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1
4
1 2 2
1
2
b c
b c
bc b c
bc
b c b a c a b a c a
+
+
≤ = ≤ +
−+ + + + + +
−