CẨM NANG CHO MÙA THI
(ÔN THI THPT QUỐC GIA)
TUYỂN CHỌN 50 BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH MIN - MAX
NGUYỄN HỮU BIỂN
https://www.facebook.com/ng.huubien Email: ng.huubien@gmail.com
TUYỂN TẬP 50 BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH VỀ MIN - MAX TRONG CÁC ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2015
x
y
Bài 1: Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn:
+ + = z 1
+
=
+
+
P
Tìm giá trị nhỏ nhất của:
y +
+ z +
x xy
z
y yz
x
z zx
+ x + y
y
z
y
x
1
1 −
−
=
=
−
z
y
x
xy
y
(1
)
=
=
−
x
yz
y
z
z
(1
)
1 −
=
=
z , ta có: z 1 − x )(1 − x 1 − y )(1 − y 1 −
Hướng dẫn Ta có x + y x + xy + y z + yz + x z + zx
y
x
x
z
(1
)
−
−
−
z
x
y
=
+
+
P
Khi đó
=
+
+
+ + = ⇒ + = − z 1 + − − 1 − x 1 + − − y 1 + − − 1 + y +
+ z +
−
1 −
−
−
zx x xy
z y yz
x
z
− )(1 + z x + zx
y
1 − x
y
1 − y
z
x
z
(1
)(1
)
(1
)(1
)
(1
)(1
)
3
≥
=
3
3
.
−
−
−
−
1 x
y
z
z
− z − )(1
. ) (1
− x 1 y )(1
(1
. ) (1
− y 1 − x )(1
)
= = =
x
y
z
3=MinP
đạt được khi
Vậy
1 3
Bài 2: Cho x, y, z là ba số thực tùy ý thỏa mãn x + y + z = 3.
+
+
≥
+
+
.
Chứng minh rằng với
1a∀ ≥ ta luôn có :
1 x a
1 y a
1 z a
x x a
y y a
z z a
Hướng dẫn
* Với a = 1 ta thấy BĐT đúng .
* Ta xét khi a > 1.
=
y
Hàm số y =
nghịch biến với
t R∀ ∈ , khi a > 1.
=
1 t a
1 t a
Khi đó ta có
−
−
+
≤
+
∀
x
y
(
)(
x y R , .
Ta có :
≤ ) 0,
∈ Suy ra
(1)
x
x x a
y y a
x y a
y x a
1 a
1 y a
+
≤
+
+
≤
+
Chứng minh tương tự
(2)
(3)
y y a
z z a
z y a
y z a
z z a
x x a
x z a
z x a
z
x
z
y
x
+
+
≤
+
+
)
Cộng vế với vế (1) ,(2) và (3) ta được 2(
(4)
x x a
y y a
z z a
+ y x a
+ y a
+ z a
+
+
Cộng 2 vế của (4) với biểu thức
ta được
x x a
y y a
z z a
x
x
x
z
z
z
+
+
≤
+
+
=
+
+
x
+ + y
z
3(
)
(
)(
)
x x a
y y a
z z a
+ + y x a
+ + y y a
+ + y z a
1 x a
1 y a
1 z a
Trang 1
NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien
TUYỂN TẬP 50 BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH VỀ MIN - MAX TRONG CÁC ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2015
+
+
≥
+
+
.
Suy ra
( do x + y + z = 3 )
1 x a
1 y a
1 z a
x x a
y y a
z z a
Dấu bằng xảy ra khi chỉ khi x = y = z = 1. (đpcm)
+
ca
Bài 3: Cho
,a b c là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện ,
= 3.
≤
.
Chứng minh rằng:
2
2
+
+
+
+
+
+
+ ab bc 1 abc
1 a b c (
+ ) 1
1 b c a (
+ ) 1
1 2 c a b (
)
1
2
=
+
≥
+ ab bc
ca
abc
3
3 ( 3
)
1
Hướng dẫn Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số dương ta có:
⇒ ≤ . abc
2
+
+
≥
+
+
=
+
≤
2 abc a b c
+ a ab bc
ca
1
a b c (
)
(
)
(
= ⇒ a ) 3
(1).
Suy ra:
2
+
+
1 a b c (
)
1 a 3
1
≤
≤
(2),
(3).
Tương tự ta có:
2
+
+
+
+
1 b c a (
)
1 b 3
1
1 2 c a b (
)
1 c 3
1
Cộng (1), (2) và (3) theo vế với vế ta có:
ca
≤
=
=
)
□ .
2
2
+
+
+
+
+
+
1 + + b
1 c
1
1 2 c a b (
+ ) 1
+ ) 1
)
1 1 ( c 3
+ + ab bc abc 3
=
+
1 abc = ⇒ = = =
>
abc
+ ab bc
ca
a
b
c
1,
3
1, ( ,
a b c ,
0).
1 1 a b c b c a ( ( Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
−−
+−<<
>
>
x
y
z
và
221
,221
,0
0
Bài 4: Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn x
y
.
1−=++ z
=
+
+
P
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
.
2
2
2
1 +
1 +
x
y
x
z
1 + y
z
(
)
(
)
− (8
)
Hướng dẫn
=
+
+
=
+
+
P
Ta có
2
2
2
2
2
2
z
y
1 + y
1 + z
x
1 −− 1(
)
)
)
)
1(
)
1(
1 +− 1(8
)
+
≥
Ta sẽ chứng minh
2
2
1(
)
)
1
1(
2
+
≥
+
≥
+
+
yz
z
y
z
y
+⇔ 1(
1)[(
)
++ 1(
2 ])
1[(
1)(
2 )]
Thật vậy:
.
2
2
2
+
+
+
) z
y
1(
)
++ z 2
1 + y 1( + 22)( +
1 −− 1( 1 + y 1 + z ) 2 + z +
zy −
+
+
z
y
zy
zy
y
z
yz
yz
+⇔ yz 1( +⇔ (2
1)(
1( y 2 + 1(2)
1 −−− x 1(8 1 1 + + z yz 1 + yz 1 2 ≥ y ) ++ 1(
)(
)
)
zy 1(2
)
2
2
+
+
+
zy
z
zy
z
)
)
+ 2
2
2
−
−
≥
+ y ) 22 zy
yz
y
z
yz
+≥ 1( +⇔ 1(
2
)
)
4
0
(2 − y 2
⇔
zy )( −
y 1)( ++ yz 42 2 ≥
yz
y
z
yz
(
)
z ) −+ 1(
)
0
( + +− − 1( ( (hiển nhiên đúng).
y
1== z
Dấu “=” xảy ra khi
.
2
2
y
z
≥
yz
Ta lại có
2 =
+ 2
Trang 2
NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien
z x ) 1( ) = ≤⇒ yz + y 2 −− 1( 4 + x 4
TUYỂN TẬP 50 BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH VỀ MIN - MAX TRONG CÁC ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2015
=
+
≥
≥
Do đó
2
2
2
2
1 +
1 + y
1 + z
yz
x
)
)
1(
)
1
1(
4 ++ 1(4
)
+
1
1 + x 1( 4
+
≥⇒ P
2
2
+
x
1 x
4 ++ 1(4
)
− (8
−−
+−<<
x
(
2 ∈+x )1
)8;0[
221
221
)1 nên
.
Do
≥
+
t
t
∈⇒+= 2 x )
1(
)8;0[
Đặt
và P
4 +
1 −
t
t
8
4
2
=
+
−=
=
+
f
f
)8;0[∈t
t )(
t )('
Xét
với
.
2
2
1 −
+
− −
1 −
t
8(
)
− t 3 4(
+ t 72 2 t 8()
240 2 t )
2
−
=⇔=
=
t
t
t
0)('
240
0
;4
20
4 + t ) 4( (loại)
4 + t t 8 4 −⇔= + f t t 72 3 Bảng biến thiên
t
f’(t)
f(t)
0 4 8 - 0 + 9 8 ∞+
3 4
2
≥ fP
=P
)( ≥ t
Do đó
và
khi
3 4
3 4
+ = 4 −= x ⇔ y 3 == z 1 x ) == z 1 −=++ y z 1 1( y x
Vậy
khi
3
3
2
2
+
+
−
x
y
x
y
(
)
=
P
−= x y == z min =P ,3 1 3 4
Bài 5: Cho x,y ∈ R và x, y > 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của
−
−
( y
x
) 1)(
(
1)
Hướng dẫn
2
Đặt t = x + y ; t > 2. Áp dụng BĐT 4xy ≤ (x + y)2 ta có
2
3
2
−
−
t
t
2)
xy ≤ t 4
=
P
. Do 3t - 2 > 0 và
nên ta có
− xy t (3 − + xy t 1 2
≥ − xy− t 4
3
2
2
2
2
2
=
=
f
f
t ( )
;
t '( )
;
Xét hàm số
f’(t) = 0 ⇔ t = 0 v t = 4.
t −
t
2
t t (
− t 4 2 − 2)
Trang 3
NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien
t 2) − − t t − t (3 4 ≥ = P t − t 2 − + t 1 t 4
TUYỂN TẬP 50 BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH VỀ MIN - MAX TRONG CÁC ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2015
+∞
t f’(t)
+
+∞
f(t)
2 4 - 0 + ∞
8
Do đó min P =
= f(4) = 8 đạt được khi
+∞
t f min ( ) (2; )
= x x 4 2 ⇔ + = y = = xy y 4 2
Bài 6 : Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn a + b + c = 1.
Chứng minh rằng:
+ + ≥ 3
a b + ab c +
b c + bc a +
c a + ca b +
Hướng dẫn
c
c
−
=
=
* Biến đổi
b a
b
a b + ab c +
1 + − −
− 1 a −
−
1
)(1
(1
ab c
b
a
VT
=
+
+
* Từ đó
b
a
b
− 1 a −
− 1 c −
) − 1 c −
−
−
)
(1
)(1
)(1
)(1
(1
(1
)
)
− Do a,b,c dương và a+b+c=1 nên a,b,c thuộc khoảng (0;1) => 1-a,1-b,1-c dương * Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số dương ta được
c
b
a
VT
3
=3 (đpcm)
≥ 3. . .
b
a
b
− 1 a − − − 1 c − − − 1 c − − (1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 )
a b c
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
+
+
1 = = = 3
Bài 7: Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn:
= . 1
zx y
xy z
=
+
+
A
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
.
yz x 1 −
1 −
1 −
x
y
z
1
1
1
2
2
+
+
=
=
=
Đặt
. Ta có a, b, c > 0 và
= . Ta có:
a
b
c
a
b
c
2 1
,
,
Hướng dẫn yz x
zx y
xy z
=
+
+
+
+
. Dễ có:
A
= + 3
bc −
ca −
ab −
1 − bc
1 − ab
bc
ca
ab
1
1
1
1
1
1 − ca 2 )
(
2
2
2
≤
=
≤
+
1 + b c 4 2
2
2
2
2
2
2
2
2
bc −
+
b +
c +
+
bc
1
1 2
1 2
b
c
b
) ( + b c 2 + c a
a
b
a
c
a
−
1
+ 2
Trang 4
NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien
TUYỂN TẬP 50 BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH VỀ MIN - MAX TRONG CÁC ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2015
2
2
2
2
≤
+
≤
+
Tương tự có:
và
2
2
2
2
2
2
2
2
ca −
ab −
c +
a +
a +
b +
ca
ab
1
1 2
1
1 2
c
b
a
b
a
c
b
c
từ đó: A
≤ + = . Dấu bằng xảy ra khi x = y = z =1/3
3
3 2
9 2
a b c
3
Bài 8: Cho
,a b c là các số thực dương và ,
+ + = .
3
=
+
P
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
+
+
+
+
2 + ab bc
ca
a
c
3
( 1
abc )( + b 1
)( 1
)
2
∀
x y z , ,
∈ ℜ ta có:
≥ x + + y z zx ( ) )
Hướng dẫn Áp dụng Bất đẳng thức: 2
3
+
+ ≥ + + + + yz ⇒ + ≥ ca ca abc ) abc a b c 3 ( = ) 9
b
c
abc
)(1
)(1
)
≥ + (1
(1
a b c , ,
0
, + ab bc 3 > . Thật vậy:
3
3
+
+
+ = + + + +
+
≥ +
+
+
a
c
abc
abc
abc
abc
a b c )
1 (
+ + ab bc ca ( )
1 3
3 ( 3
2 abc )
= + (1
3 )
xy 3( > 0 ∀ abc 3 ) ,
+ a )( b 1
+ )
3
+ ab bc ( Ta có: )( ( 1 1
Khi đó:
(1).
3
2 ≤ = P Q abc 3 + + abc abc + ) 1 3(1
Đặt 6 abc
5
2
< ≤ = abc 0 1 t= ; vì a, b, c > 0 nên + + a b c 3
=
∈
Q
t
,
Xét hàm số
.
(
(
] 0;1
] 0;1
2
3
2
2
3
2 +
t +
t
t
+ ) 1
3(1
( t t 2 ( 1
) 1 )
⇒ =
≤
= (2). Từ (1) và (2):
Do đó hàm số đồng biến trên (
( ) Q Q t Q
( ) 1
]0;1
1 P ≤ . 6
)( − 1 ) ( 2 1 1 6
a b c
1
Vậy maxP =
, đạt được khi và và chi khi :
= = = .
1 6
− t ′⇒ = ≥ ∀ ∈ t Q t ( ) 0, + + t t
3
Bài 9: Cho
,a b c là các số dương và , + + = .
ca
ab
+
+
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
+ a bc 3
+ b ca 3
+ c ab 3
a b c bc = P
Hướng dẫn
=
=
≤
+
Vì a + b + c = 3 ta có
1 + a b
1 + a c
bc 2
+
+
+
bc
)
(
bc a b a c )(
)
(
+
≥
Vì theo BĐT Cô-Si:
, dấu đẳng thức xảy ra ⇔ b = c
bc + a bc 3 1 1 + + a c a b
+
+
)
≤
+
≤
+
và
Tương tự
bc + + a a b c 2 a b a c )( (
1 + c a
1 + c b
ca 2
ab 2
,
Suy ra P
ab + c ab 3 + + a b c 3 2 2
ca + b ca 3 + ca bc + a b ) 2(
1 + b a + ab bc + c a ) 2(
1 + b c + ab ca + b c ) 2(
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1. Vậy max P =
khi a = b = c = 1.
3 2
Trang 5
NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien
= = ≤ + +
a b c 3
TUYỂN TẬP 50 BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH VỀ MIN - MAX TRONG CÁC ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2015 Bài 10: Cho a, b, c là các số dương và
+ + = . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
.
= + + P bc + a bc 3 ca + b ca 3 ab + c ab 3
Hướng dẫn
=
=
≤
+
Vì a + b + c = 3 ta có
1 + a b
1 + a c
bc 2
+
+
+
bc
bc a b a c )(
)
(
)
(
+
≥
Vì theo BĐT Cô-Si:
, dấu đẳng thức xảy ra ⇔ b = c
bc + a bc 3 1 1 + + a c a b
+
+
)
≤
+
≤
+
và
Tương tự
bc + + a a b c 2 a b a c ( )(
1 + b a
1 + b c
1 + c a
1 + c b
ca 2
ab 2
ca + b ca 3
ab + c ab 3
≤
+
+
=
=
Suy ra P
,
bc 2(
+ ca + a b )
+ ab bc + c a 2( )
+ ab ca + b c 2( )
+ + a b c 2
3 2
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1. Vậy max P =
khi a = b = c = 1.
3 2
2009
2009
2009
2009
2009
2009
2009
2009
2009
4
+
+
+
≥
=
a
a
a
a
a 2009.
2009.
a .
a .
(1)
Bài 11: Cho ba số thực không âm a, b, c thỏa mãn: a2009 + b2009 + c2009 = 3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = a4 + b4 + c4. Hướng dẫn Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2005 số 1 và 4 số a2009 ta có: a .
+ + + + (cid:2)(cid:3)(cid:4)(cid:3)(cid:5) a 1 1 ... 1 2005
2009
2009
2009
2009
2009
2009
2009
2009
2009
4
+
+
+
≥
=
b
b
b
b
2009.
b .
b .
b .
b 2009.
(2)
Tương tự:
+ + + + (cid:2)(cid:3)(cid:4)(cid:3)(cid:5) b 1 1 ... 1 2005
2009
2009
2009
2009
2009
2009
2009
2009
2009
4
+
+
+
≥
=
c
c
c
c
2009.
c .
c .
c .
c 2009.
(3)
+ + + + (cid:2)(cid:3)(cid:4)(cid:3)(cid:5) c 1 1 ... 1 2005
2009
2009
2009
4
4
4
+
+
+
≥
+
+
c
a
b
c
) 2009(
)
4
4
4
4
4
4
+
+
+
+
≤
= P a
a
b
c
b
c
≥ 6027 2009(
)
3
a b 6015 4( . Từ đó suy ra
Mặt khác tại a = b = c = 1 thì P = 3 nên giá trị lớn nhất của P = 3.
Từ (1), (2), (3) ta được: ⇔ Bài 12: Cho x, y, z 0≥ thoả mãn x + y + z > 0.
3
3
3
+
+
y
=
P
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
z 3
x
+ + y
z
x (
16 )
Hướng dẫn
+
x
y
2
(
)3
3
3
+
≥
⇔ ⇔ −
+
x
y
x
y
x
y
...
Trước hết ta có:
(biến đổi tương đương)
≥ 0
(
) (
)
4
3
3
3
3
+
x
y
z
− a z
z
64
64
3
(
(
3
≥
=
+
P
t
4
t 64
Đặt x + y + z = a. Khi đó
( = − 1
)
+ 3
+ 3
) a
) a
(với t =
, 0
1t≤ ≤ )
z a
Trang 6
NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien
TUYỂN TẬP 50 BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH VỀ MIN - MAX TRONG CÁC ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2015 Xét hàm số f(t) = (1 – t)3 + 64t3 với t
. Có
2
2
f
t
f
= ⇔ = ∈ t
= t t '( ) 3 64
,
t '( )
0
( − − 1
)
] 0;1
[
]0;1∈ [ 1 9
Lập bảng biến thiên
⇒
M
= ⇒ GTNN của P là
đạt được khi x = y = 4z > 0
16 81
64 81
( ) t inf [ ]0;1 ∈ t
2
2
2
2
2
2
−
=
+
+
+
+
2 2 y z
2 x y
2 z x
z
2(
)
Bài 13: Cho ba số dương x,y,z thỏa x + y + z = 4 và xyz = 2. Tìm GTNN của biểu thức: P = x4 + y4 + z4 Hướng dẫn ( y x P i
)
2
2
2
−
+
+
−
+
+
−
x
+ + y
z
xy
yz
zx
xy
yz
zx
+ + y
z
=
2
2
2
)
(
(
)
(
)
( xyz x
)
2
−
+
+
−
+
+
−
xy
xy
zx
yz
yz
zx
2
16
(
(
)
)
= 16 2 i Đặt t = xy + yz + zx = x(y + z) + yz
2
=
−
+
⇒ + = − z
y
⇒ = t
x
x
x
x
4
x yz ,
4
4
+ Từ gt
(
)
2 x
2 + = − x
2 + x
2
3
2
≥ ⇔ −
+
z
x
yz
x
x
x
(
)
4
4
8
16
+ Ta có:
− ≥ 8 0
)2
(
8 x
2
+
−
x
x
2
6
4
0
≥ (*)
( ⇔ − x
+ y )(
≥ ⇒ − )
−
x
5
2
Giải BĐT (*) giao với điều kiện 0 < x < 4 ta đươc: 3
≤ ≤
−
−
x
≤ ≤ t
5
2
5
+ Khảo sát hàm số t theo biến x với 3
≤ ≤ ta tìm được:
5 5 1 2
2
2
=
−
−
−
+
P
t 2(
= t 16) 2
t 64
288
i
( − t 16 2
)2
−
≤ ≤ t
5
Khảo sát hàm số : f(t) = 2t2 – 64t + 288 với
ta được:
5 5 1 2
−
=
−
=
=
t
t
Maxf
t
M inf( ) 383 165 5 khi
,
t ( ) 18 khi
= 5
5 5 1 2
5
1
−
P =
x
y
= = z
383 165 5
= − 3
5,
đạt được chẳng hạn
Suy ra: min
+ 2
P =
18
đạt được chẳng hạn khi x = 2, y = z = 1
max Bài 14: Cho các số thực
;x y thay đổi.
2
2
2
2
=
+
+
+
−
x
P
y
x
x
y
x
+ + − . y
+ + 1
2
2
1
2
2
2
2
=
+
+
+
−
x
x
x
+ + − y
+ + 1
2
2
1
2
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Hướng dẫn 2 P y y x Xét các điểm M(x−1; −y) , N(x+1; y). Ta có OM + ON ≥ MN 2
2
2
2
2
−
+
+
+
+
≥
⇔
x
y
x
y
y
(
1)
(
1)
+ 4 4
2
≥
+
+
P
y
y
⇒
2 1
− = 2
f y ( )
Trang 7
NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien
TUYỂN TẬP 50 BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH VỀ MIN - MAX TRONG CÁC ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2015
y
2
2
=
+
=
−
y
f y ( )
2 1
2
f
TH1: y ≤ 2:
+ − ⇒ y
y '( )
1
2
+
y
1
0
= ⇔ =
f
y
y
2 + ⇔ y
⇔ = y
'( ) 0
2
1
2
3 3
=
y
1
≥ y 3
=
f
Lập bảng biến thiên f(y) ⇒
f y ( )
= + 2
3
min ∈ −∞ x ( .2]
3 3
2
=
+
y
y
f y ( )
2 1
> + 2
3
TH2: y ≥ 2:
+ − ≥ 2 5 2
∀
P
Vậy
.
≥ + 2
3
x y ;
MinP = +
2
3
khi x = 0 ; y =
Do đó
3 3
Bài 15: Cho các số thực dương a,b,c thỏa a + b + c =3. Tính góc giá trị nhỏ nhất của biểu
2
2
2
+
+
=
thức
P
+ b ca + c ab
+ c ab + a bc
2
2
+
+
=
Xét
P
2
2
+
≥
+
a
c
2ac
+ ca 2ca
mà
2
+
+ b ca + 3c 3ab + + + b(a b c) 3ca 2 + + + ab b a bc
2
2
2
+
b
+ a bc + b ca Hướng dẫn 2 + a 1 bc + 3b 3ca 3 Ta có 3b 3ca = + nên ≤ + 3b 3ca ca Chứng minh tương tự ta có:
2
c +
≤ + + ab ac bc
+ bc 2 + c
+ ab a 2 + b
2
2
2
= ⇔ ≥
≥
Khi đó
P 3
1
P
2
+ +
1 3
+ bc b 2 + bc
+ c ab + 3a 3bc + + = b(a b c) 2 + c + 3c 3ab ac + ≤ + + 3a 3bc a + + + c ca a ab 2 + + + ab b a ca c Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = 1. Vậy MinP 3= khi a = b = c = 1. Bài 16: Cho 3 số dương x, y, z thỏa mãn xy + yz + zx = 3xyz.
+
+
≤
Chứng minh rằng :
3
3
2
2
3
3
2
2
3
3
3 4
+
+
xy +
+
+
x
y
+ x z y z
y
z
yz + + y x z x
zx 2 + z y
z
x
2 x y
Hướng dẫn
3
Ta có : xy + yz + zx = 3xyz
1 ⇔ + + = y
1 x
1 z
≤
+
)
Với x >0; y > 0; z > 0 ta có x3 + y3 ≥ xy(x + y) ;
;x2 + y2 ≥ 2xy
1 +x
y
1 y
1 1 ( x 4
≤
≤
+
2
2
3
3
2
2
+
1 xy(x
y)
xy 4
+
xy +
+
+
xy + + x z y z
x
y
xy(x
y)
(x
2 y )z
(x
1 2 + y )z
⇒
≤
+
≤
+
3
3
2
2
2
1 +
1 +
(x
y)
(x
y)
1 4
1 4
1 2 z
+
xy +
x
y
xy + + x z y z
(x
2 y )z
Trang 8
NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien
TUYỂN TẬP 50 BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH VỀ MIN - MAX TRONG CÁC ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2015
+
=
+
≤
+
+
(1)
1 y
1 2 z
1 8 z
1 1 1 4 4 x
+
≤
+
(2)
2
3
3
2
1 z
1 x 8
+
y
z
+
≤
+
(3)
3
3
1 x
1 1 1 16 x y Chứng minh tương tự : 1 1 y 16 1 1 16 z
1 8 y
+
+
yz + + y x z x zx 2 + z y
2 x y
x
z Công (1) ; (2); (3) theo vế ta được đpcm
Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 1
2
2
=
+
+
+ + 2 y
z
xy
zx
Bài 17: Cho các số thực dương
.
x 5(
)
9(
yz 2
)
x y z thỏa mãn ,
,
=
−
P
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
.
2
2
x +
y
z
1 + + y
z
x (
3 )
2
2
2
=
+
+
=
+
+
+
+
y
z
zx
y
z
xy
zx
xy
yz
zx
Hướng dẫn Theo giả thiết ta có + xy x 5(
9(
)
yz 2
+ ⇔ + + x 5(
)
2 )
9(
yz 2
+ ) 10(
)
=
+
≤
+
+
+
y
z
z
yz
z
z
2 )
x y 19 (
+ ) 28
x y 19 (
)
y 7(
2 )
⇔
+
≤
≤ ⇔ ≤
+
x
z
5
1
+ ⇔ 7
2
y 2(
)
x +
x +
y
z
x 19 + z y
y
z
⇔ + + x 5(
2
2
2
2
+
≤
+ ⇔ +
≥
+
z
y
z
z
z
Mặt khác ta có
y (
2 )
y 2(
)
y (
2 )
1 2
+
z
1
)
≤
−
=
−
P
Vì vậy
3
4 +
y
z
1 +
z
y 27(
3 )
+
z
+ + y
z
y 2(
)
+
(
)
z
2 )
y (
y 2( 1 2
−
+
t (6
1)
−
= −
+
≤
t
P
y
z
Đặt
= + > ⇒ ≤ 0
16
16
3
4 t
1 t 27
2 t 1) (2 3 t 27
=
P
Vậy
; dấu bằng đạt tại
min
16
+ z ) 1 3 ⇔ y 2( z
x
1
= z = x = y + = z 1 12 = x = y y 1 6
xy
x
9
3
y 3 .
= − − + 3 ln
Bài 18: Cho các số thực dương
,x y thỏa mãn
=
+
−
−
⋅
+
M
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
x +
y +
1 +
1 2 x
1 2 y
x
y
3 y x (
1)
3 x y (
1)
+ + y xy 3
Hướng dẫn
x
y
x
y
xy
1) 3(
1)
xy ln(3 ) 3.3
Từ giả thiết ta suy ra ln(
.
Trang 9
NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien
+ + + + + = +
TUYỂN TẬP 50 BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH VỀ MIN - MAX TRONG CÁC ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2015
t
g t ( )
ln
t 3
g t '( )
0
Xét hàm số
trên (0;
)+∞ , ta có
t∀ > , suy ra
( )g t
= + = + > với 3 0
y
x
xy
1 t 1 3
g x (
1)
g xy (3 )
đồng biến trên (0;
)+∞ , từ đó
(*)
= ⇒ −
. Đặt
t
xy
t
t
xy
− = + ≥ x
y
xy
t 3
2
− ≥ ⇒ ≥ 1.
1 0
Theo (*) ta có 3
1
2
2
+
t
2 x 3 (
t 36
1)
3
+
=
=
(2)
.
x +
y +
2 + + y x 1) 3 ( + + + y x
3 y x (
1)
3 x y (
1)
y xy xy (
+ 1)
− 27 2 t 4
2
2
2
2
−
−
−
−
x
t (3
t 2
t 36
4
−
−
= −
= −
=
(3)
y 2
t 32 2
1 2 x
1 2 y
+ 2 x y
1) 2 t
+ t 4
+ + = ⇔ + + = y
≤
≤
M
Theo Cô si
(4). Từ (2), (3), (4) ta có
1 +
x
y
1 1 + . 2
1 2
1 xy
2
1
≤ − t 5 2 t 4
f
t ( )
Xét hàm số
trên [1;+ )∞ , ta có
2
= − t 5 2 t 4
t 5.4
t 1)8
f
t
t '( )
0
f
t ( )
nghịch biến trên [1;+ )∞ , bởi vậy
− = = < ∀ ≥ , suy ra 1 − t (5 4 t 16 − t 2 5 3 t 4
M
f
y
x
t
(1)
1
max
+∞
t f max ( ) [1; )
3 2
− − x
y
x
1
= = = ⇔ = ⇔ = = 1.
Bài 19: Cho x, y, z là các số thực dương và thỏa mãn:
= + + . y
( z z
)
6
4
Chứng minh rằng :
.
≤
3
9
+
+
x
yz
zx
z
xy
4 x y + y
(
).(
).(
)
3 4
+
x
y
z
=+ 1
= + + ⇒ (z + 1)( x + y) = z2 - 1 và do z > 0 nên ta có:
.
x
y
1
Hướng dẫn ( Vì − − x y z z
)
4
4
Khi đó T =
=
+
+
+
+
+
+
x
y
x
y
(
)(1
)1
x
y
y
x
x
x
y
4 yx y
(
1).(
).(
).
)(1
)1
1).(
4 yx [ 2 + (.)
]4
[ (
]3
Áp dụng BĐT Côsi cho các số dương x, y ta có :
4
3
3
4
4
;
+
=
+
+
+
x
(
) 1
4
4 .4
4 ≥ 1
x 3
x 3
x 3
x 27
x 27
=
4
3
3
4
4
+
x
y
xy
.
4
+
=
+
+
+
; (
) 2 ≥
y
(
4
) 1
1
4 .4
4 ≥
y 3
y 3
y 3
y 27
y 27
=
3
9
6
4
+ +
x
y
x
y
(
)(1
)1
8 xy .4.4
4 yx .
.
[ 2 (.)
]4
Do đó
suy ra
( * )
6
9
3 yx . 6 3
4 3
3 4
=
=
1
.
Dấu “=” ở ( * ) xảy ra
⇔
=
=
=⇔ x
y
z
,3
,3
7
=
x 3 z
y 3 ++ y
x
1
Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
Trang 10
NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien
+ + + ≥ = ≤T
3
xy
x
y
2
4
)
(
+ ≥ +
TUYỂN TẬP 50 BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH VỀ MIN - MAX TRONG CÁC ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2015 Bài 20: Cho x, y là hai số thực thỏa mãn điều kiện
.
2
2
P
x
y
x
y
xy
xy
(3
22 )
(2
)
3(
)4
2015
Tìm giá trị nhỏ nhất của biếu thức
.
2
3
3
2
= + − + − − +
y
x
x
y
y
x
4xy 3 y
y
x
x
y
4
(
)
)
(
2
(
)
, nên từ điều kiện suy ra − ≥ ⇒ + ≥ + 2 0
(
)
1
+ + + + ≥ + ≥ + (x y) ≥ ⇒ + +
Hướng dẫn Với mọi số thực x, y ta luôn có 2 xy x ( )
2
2
2
2
P
(x
2 2 y )
(x
2 2 y )
2(x
y
2xy) xy(3xy 4) 2015
Ta biến đổi P như sau
3 2
3 2
2
4
2
2
4
= + + + − + + − + −
(x
2 2 y )
(x
(3)
3 2
2
(x
4
4
2
2
2
= + + + + − y ) 2(x + y ) 2015
x
y
P
(x
2 2 y )
2(x
Do
nên từ (3) suy ra
3 2 2 2 + y ) 2
9 4
2
2
+ ≥ ≥ + − + + y ) 2015
x
y
t
t
Đặt
1 2
+ = thì ≥ (do x y 1) + ≥ .
f (t)
2t 2015
t
f '(t)
t
Xét hàm số
với
1 2
1 2
= − + = ≥ , có − > , với t 2 0 ≥ nên hàm số
. Suy ra
.
f(t) đồng biến trên
29 t 4
9 2 32233 16
x
= = ; f +∞ 1 2 1 2 min f (t) 1 ∈ +∞ ; t 2
Do đó GTNN của P bằng
, đạt được khi và chỉ khi
== y 32233 16 1 2
Bài 21: Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác.
+
+
+
+
<
2.
Chứng minh rằng:
a 2 + + a b c
a + a b 3
a + a c 3
2
b + a c 3
c + a b 3
a b
a c a
b
c b c ;
+ > + > ;
Hướng dẫn +) Vì a, b, c là 3 cạnh của một tam giác nên ta có:
+ > .
x
y
z
x
y
x
a x y z ( ,
z y ;
x z ;
Ta có:
+) Đặt
VT =
(1).
+
+
=
+
+
=
+
+
x +
z +
y +
z
x
y
y
z
z
x
x
y
+ a c + a b 3
+ a b + a c 3
a 2 + + a b c 2
x 2 + y 2
2
y 2 + z 2
2
z 2 + x 2
2
+ > ⇔ + +
>
Lại có:
.
x
y
y
z
z
x
z x (
< ) 2z(
+ ⇔ y )
z +
z
x
x
y
CM tương tự ta có:
<
<
(2);
(3).
x +
y +
y
z
x 2 + + y
x
z
z
x
2z + + y y 2 + + y
x
z
z
2
⇒ (đpcm).
Từ (1),(2) và (3) ta có
+
+
<
=
2
z +
y +
x +
y
z
z
x
x
y
+ + x y 2 2 + + z x y
Trang 11
NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien
= = = > + > y + > z ; ; , 0). + > . + a b 2 + c a 2
TUYỂN TẬP 50 BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH VỀ MIN - MAX TRONG CÁC ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2015 Bài 22 : Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn: xyz = 3.
=
+
P
x
y
z
log
+ + 1
log
+ + 1
log
1
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2 3
2 3
2 3
Hướng dẫn
2
2
2
+
+
a
b
2 + m n
NX: những dạng bài có dạng
rất có thể sẽ áp dụng được
(cid:7) (cid:7)
=
=
x
z
(cid:7) c
(cid:7) b
;1),
(log
y ;1),
(cid:7) (cid:7) = + + ⇒ = c n
(cid:7) a b
(1;3)
, và n
phương pháp BĐT vec - tơ. (cid:7) - Trong mp(Oxy), gọi a
3
(log ;1) 3
3
+
+
+
x
y
z
(cid:7) b
(cid:7) (cid:7) ≥ c
= (cid:7) a b
(log (cid:7) + + ⇒ c
log
log
+ + 1
+ ≥ 1
log
2 1
2 3
(cid:7) - Ta có: a
2 3
2 3
2 3
10
+ + 1 (cid:7)(cid:7) (cid:7)cùng hướng và kết hợp điều kiện đề bài ta ,
, dấu = xảy ra khi ba vecto a b c ,
⇒ ≥ P được x = y = z = 3 3
Vậy minP = 10 khi x = y = z = 3 3
∈
∈
∈
a
b
c
Bài 23: Cho ba số thực a, b, c thỏa:
.
[
[
] 0;3
[ +
] 0;1 , )
Tìm giá trị lớn nhất của
2
2
2
] 0;2 , 8 b c b a c
( ab ac bc 2 2 + + + 1 2
)
∈
∈
c
a
] 0;2 ,
[
] 0;3
+ b = + + P b + + + + a b c 3 8 − ( + + + a 12 b 3 c 27 8
[ 0
ab bc ac
2
c 3
2
c
a
2
2
0
≥ − + + + ≥ ⇒ ⇔ ≥ + + ⇒ + + a b ≥ + − +
ab ac bc
a b
)
( 2 2 + c 1 2 3 ) ( + + ≥ a b c
⇒
≤
=
+ +
8 +
+
+
+
b +
+
+
+
Mặt khác 8 b c b a c
− 8 ab bc ac
8
2
8
8
+ + + ≥ ) ⇒ ≤
Hướng dẫn [ ] Ta có: ∈ b 0;1 , ( ) )( a b c 1 ( ) )( b a c 2 ( + ab ac bc 2 2 + + + 1 2 b c − (
)
b c ab ac + ab bc ) + + ab ac bc [ ]0;1 ( vì a ∈ − b ( b a c
)
)
2
2
2
2
2
2
y
x
y
x
x
y
z
xy
yz
xz
2
2
2
2
b ( + a b c Với mọi số thực x, y, z, ta có ) ( ≥ ⇔ z 0
(
(
)
)
(
)
2
2
2
2
− + − − + + ≥ + +
x
y
z
x
z
3
(
)
y (
2
2
2
2
2
2
2
⇔ + + ≥ + + y + )
a
a
b
a b
a b
ab bc ac
12
b 3
c 27
c 3
2
c 3
2
c 3
2
)
(
)
(
)
⇒ + + = + + ≥ + + = + + ≥ + + ( 3 2
=>
2
2
2
b ≤ + + + b ab bc ac 2 8 + + + a 8 b 3 c 27
≤ + P b + + + + + + b ab bc ac + 8 2 8
+ + + + ab bc ac + ⇒ ≤ P + + 8
t
Đặt t
Trang 12
NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien
2 ) ab bc ac + 12 Suy ra ( ) ab bc ac 2 2 + ab bc ac 1 2 ( + + 2 2 + + + 1 2 = ab bc ac 2 − 8 ab bc ac 8 + ab bc ac 2 ] [ + ⇒ ∈ 0;13
TUYỂN TẬP 50 BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH VỀ MIN - MAX TRONG CÁC ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2015
f
t
,
Xét hàm số
( ) t
[
] 0;13
t
t 2 + t 1 8
2
= ∈ +
f
t
f
,
'
0
6
'
8 + 8 ( ) t
( ) t
2
2
t
t
8
)
(
) 1
= ⇔ = = − + +
f
f
f
f
1;
;
( ) 0
( ) 6
( 13
)
( ) t
[
] 0;13
47 = ⇒ 21
16 7
( 16 7
= = ≤ ∀ ∈ t
P ≤
a
b
c
P =
1;
2;
. Khi
. Vậy giá trị lớn nhất của P là
Do đó:
16 7
2 3
16 7
16 7
= = = thì
− [ 1, ]
Bài 24: Cho x là số thực thuộc đoạn
.
5 4
P
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của
2
=
x b
x
a
− = − x 5 4 + − x 5 4 + x 1 + + x 2 1 6
24 b+
9,
1
Hướng dẫn Đặt − = a 5 4 ,
với
a b ≥ , 0
α∈
α
+ thì
Do đó đặt
với a=3sin ,2b=3cos
α. Khi đó:
−
α
α
3sin
cos
=
=
=
P
α
α 2 sin α +
a
− a b + + b 2
6
3sin
− cos 2 cos
2 sin
4
[0, ] = π 2
x
f x ( )
Xét hàm số
với
α α + π 2
/
= ∈ [0, ] 4
f
x
x ( )
Ta có
2
3 2 α + + 3cos 6 − x x cos 2 sin + + x x 2 cos + x x 8cos + x 4) 2 cos
= > ∀ ∈ 0, [0, ] 2sin 6 4 sin + x + (2 sin
Suy ra hàm số f(x) luôn luôn đồng biến trên [0,
]
Do đó:
π 2 π 2 1 = 3
∈ x
= = = − f f (0) 1 6 π ( ) 2 f x ; max ( ) π ∈ x ] [0, 2
Vậy
= P min khi x f x min ( ) π [0, ] 2 − 1 6 5 = 4
= Max P khi x = − 1 1 3
1
Bài 25: Cho 3 số thực dương
,a b c thoả mãn , abc = .
Chứng minh rằng:
.
+ + ≥ 1 + + + a b a b c b c a c 2 2 2
Ta có
, do 1
.
= ≥ + ≥ a a 2 a + + a ba 1 +
Hướng dẫn a b a
a + a ba 2 2
Tương tự:
;
.
≥ ≥ b + + b bc c + + c ac 1 1 + + b c b 2 2
Trang 13
NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien
c a c Cộng các vế của các BĐT trên ta có:
TUYỂN TẬP 50 BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH VỀ MIN - MAX TRONG CÁC ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2015
+ + + ≥ + b + + b cb c + + c ac 1 1 1 + + a b a b c b c a c 2 2
=
+ + + + b + + b cb a + + a ba cb + b bc bac 1
=
(điều phải chứng minh).
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1
+ + = 1 + 2 abc + bc bca babc b + + b cb bc b cb + b bc + 1 + + 1 1 1
Bài 26: Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn a b c 3
3
=
+
P
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
+
+
+
+
2 + ab bc
ca
a
c
3
( 1
abc )( + b 1
)( 1
)
2
≥
+
+
∀
+ + y
z
xy
yz
zx
∈ ℝ ta có:
3
,
x y z , ,
(
)
2
≥
+ +
=
ca
+ ab bc
abc a b c 3
9abc
> 0
) )
) ≥
+
ab bc
x (
3
3
+
+
+
≥
+
∀
,
a b c , ,
+
+
+
+
+
b
a
c
( 1 + + a b c
)3 + ab bc
ca
abc
≥
+ + = .
Hướng dẫn Áp dụng Bất đẳng thức ( ( + ⇒ + Ta có: ( 1 )( ( + 1 1
abc )( b 1 ) = + 1
ca )( a 1 )( 1
) c (
abc ( )
> Thật vậy: 0. )
2
3
3
3
+
+
=
+
abc
abc
abc
+ 1 3
3
abc
(
)
( 1
)3
3
2
≤
+
=
P
Q
Khi đó
( ) 1
abc 3
+
abc
1
+
abc
( 3 1
)
3
=
<
≤
abc
Đặt 6 abc
t= . Vì
1
a b c > nên ,
0
,
0
+ + a b c 3
2
=
∈
+
Q
Xét hàm số
, t
(
] 0;1
2
3
t +
t
1
t
5
t
⇒
=
≥
0,
∀ ∈ t
( ) Q t '
(
] 0;1
2
3
2
+
+
t
t
2 ( + 3 1 )( − 1 ) ( 2 1
) ) − 1 )
( t t 2 ( 1
≤
=
=
( ) Q Q t Q
( ) 1
( ) 2
Do hàm số đồng biến trên(
]0;1 nên
5 6
Từ (1) và (2) suy ra
5 P ≤ 6
a
b
Vậy
P = , đạt được khi và chỉ khi:
= = = . c
max
1
5 6
y
,
5
1
.
Bài 27: Cho 3 số thực
+ + = và z
x y z = .Tìm giá trị lớn .
nhất của biểu thức:
P
x y z khác 0 thỏa mãn: x , 1 = + x
1 + . z
1 y
Trang 14
NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien
y
z
+ = +
−
P
x
x
5
)
(
TUYỂN TẬP 50 BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH VỀ MIN - MAX TRONG CÁC ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2015 Hướng dẫn 1 = + x
1 = + x
+ yz
1 y
1 x
1 z
2
2
+
≥ ⇔ −
≤ ≤ ∨ ≥ +
y
z
yz
x
≥ ⇔ < ∨ − x
x
x
5
4
0 3 2 2
3 2 2
4
Ta có: (
)
(
)
4 x
+
= −
+ −
=
x
5
5 2x
Xét hàm số:
(
) − ⇒ x
( ) f ' x
( ) f x
1 2 x
1 x ≤ ≤ ∨ ≥ +
< ∨ −
x
x
4
3 2 2
0 3 2 2
= ⇔ =
∨ = −
∨ = +
x
x
x
0
1
2
1
2
Với: x ( ) f ' x
1 2
Lập bảng biến thiên đúng Tính được: = f
f
3 2 2
2
1 4 2
− + = −
f
f
2
3 2 2
1 4 2
( 1 ( 1
) )
( (
) )
=
= = +
= −
x
z
hay x
z
= + 1
2,
1
2, y
= −
=
= = −
hay x
y
x
z
z
y
3 2 2,
= + 1
2
3 2 2,
= + 1
2
Vậy giá trị lớn nhất của P bằng 1 4 2 + Dấu “=” khi : = − y 3 2 2 hoặc
3 2 2
+ = − = +
Bài 28: Cho x, y, z là các số thực dương.
=
−
P
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
3
+
2 + xy
xyz
3 + + y
x
z
x
Hướng dẫn
3
3
x
xy
xyz
x y
z
2 .8
x y 2 .8 .32
Ta có
1 8
+ + + = + x
x
y
x
1 4 z
2
8
2
32
≤
x
x
z
x
z
)
)
(
(
y 8 24
4 3
+ + + + = = + + y + + y + 8
t
x
P f
z t ;
0
Đặt
32 24 ( ) t
3 2 t 2
2 t 3
= − = ≥ ⇒ ≥ + + y
f
f
;
0
( ) t
( ) t
3 3 t
1 2 t
Lập bảng biến thiên của hàm f(t) ta được min
+ + =
x
z
1
y
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
y = =
x x
z
2 2
8 32
3 P = − tại t=1 2 16 21 4 21 1 21
2
2
2
′ ′ = − + = ⇔ = t 1
a
b
c
= x ⇒ = y = z = . 3
+ +
Bài 29: Cho a, b, c không âm và
P ab bc
ca
c 5
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
= + + + + + b 5a 5 + 4
Hướng dẫn
Trang 15
NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien
2
2
2
2
≤
+
+
≤
+ + a b c
b
a
c
3
3
TUYỂN TẬP 50 BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH VỀ MIN - MAX TRONG CÁC ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2015 Ta có
)
( ≤ 9
( (
) )2
3
a b c
t
3; 3
Đặt t
2
2
2
2
+ + a b c ⇔ ≤ 3
b
c
(
)
)
t
ca
Mà
2 3 − 2
+ + ⇔ ≤ + + ≤ a b c 3 = + + với ∈ + + a b c + = = + ab bc
t
t 5
5 0,
3; 3
Nên
( ) P t
t
b c
a
21 t 2 22
5 + . 2 3
Vậy
với
= + = + > ( − a 2 ( ) P t ' ∀ ∈ t . Lập BBT ta có kết quả.
mP =
ax
2
2
2
= ⇔ = = = 1
a
c
a
b
c
5
và
+ + = ≥≥ b
Bài 30: Cho các số thực a, b, c thỏa mãn
.
ab
bc
ca
(
)(
)(
)(
)
4
Chứng minh rằng:
− − + + −≥ − accbba
ab
bc
ca
)(
)(
)(
)
4
− − + + −≥ − accbba
Hướng dẫn Ta có: (
ab
bc
ca
(
)(
)(
)(
)
4
a
− − + + ≤ =⇔ P − cacbba
c
Do
nên
≥≥ b
ca
0 <≤P
4
Nếu
(đúng)
+ + ab bc < thì 0
ca
x
0
0≥
Nếu
(
+ + + = + ab bc ≥ thì đặt ab bc ca
(
cbba )(
)
Áp dụng BĐT Côsi :
2ca − ) 4
(
− − ≤
)(
)(
)
)1(
3ca − ) 4
2
2
2
− ≤ − cacbba −⇒ (
)
(
)
)
2
2
2
2
2
2
+ ≥ − ba − ca − cb (
ab
bc
ca
a
b
] − cb
(4
(2
)
(2
)
(2
)
Áp dụng BĐT Bunhiacopski: [ (2 và − = c )
2
2
2
2
2
+ − − + + + − ba − ca
a
b
c
ab
bc
ca
(4
)
(
)
(2
)
2
⇒ + + − − − ≥ + − ca − ca
x
)
(3
)
0
≥ ≥ − ca −⇔ 5(4
x
52
va
ca
ɳ
5
)2(
3
Từ (1) và (2) ta có:
3
)
(
3
− ≤− ≤⇒ x
.
5(
)
32 9
3
≤ ≤ − P x x x − ca 4
5(
)
;
Xét hàm số
]5;0 [
= − ∈ x x x xf )(
2
5
5(
)
;
5
5 2
= x = − − f x x f x )(' x )(' ⇔= 0 = x
)0(
0
)2(
36
;
)5(
0
;
Ta có:
Trang 16
NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien
= = = f f f
TUYỂN TẬP 50 BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH VỀ MIN - MAX TRONG CÁC ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2015
3
36
5(
)
;36
]5;0 [
⇒ = = − ≤ x x ∈∀ x xf )( xfMax )( [ ] 5;0
36.
4
32 9
+
=
ca
2
=
a
2
cb
⇔
⇔
⇔
Dấu "=" xảy ra
= −=− =−
x 2 ba ca
+ bc −= a −= a
2
1 2
= =
1 0
b c
2
2
2
2
2
2
+
+
=
+
=
+
b
a
c
b
c
5
5
≤⇒ P ≤⇔ P
ab b c a Bài 31:Cho các số thực dương x, y, z.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
2
2
2
yz xy zx = + + P + + + x yz y zx z xy
Hướng dẫn Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có
yz
(1)
= − 1
≤ − 1
x + + y
x
z
2 +
+
x
yz
x
yz
2
x 2
Tương tự ta có
(2)
= − 1
≤ − 1
y + + y
x
z
+
2 +
y
zx
zx
y
zx 2
y 2
xy
(3)
= − 1
≤ − 1
z + + y
x
z
2 +
+
z
xy
z
xy
z 2
2
P
P
Cộng 3 bất đẳng thức cùng chiều (1), (2), (3) ta được 2
≤ ⇔ ≤ 1
2
Dấu bằng xảy ra khi x = y = z.
Vậy Max P = 1 khi x = y = z.
Bài 32: Cho bốn số dương a, b, c, d thoả mãn a + b + c + d = 4
a
b
c
d
+
+
+
≥
2
Chứng minh rằng:
+
+
+
+
2 b c
2 c d
2 d a
2 a b
1
1
1
1
Hướng dẫn
Trang 17
NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien
TUYỂN TẬP 50 BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH VỀ MIN - MAX TRONG CÁC ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2015 Sử dụng bất đẳng thức Cô–si:
a
2 ab c
c
ab
)
−
= − a
≥ − a
= − a
≥ − a
= − a
(1)
ab c 2
+ (1 4
ab 4
abc 4
+
b c
2
2 1+b c
2 ab c 2 b c
1
+
bc
d
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi b = c = 1 ( 1
)
b
2 bc d
−
≥ − b
= − b
≥ − b
= − b
= − b
(2)
2
bc d 2
bc 4
bcd 4
4
+
c d
2
1+c d
2 bc d 2 c d
1
+
cd
a
( 1
)
c
2 cd a
−
= − c
= − c
≥ − c
= − c
≥ − c
(3)
2
cd a 2
cd 4
cda 4
4
+
d a
2
1+d a
2 cd a 2 d a
1
+
da
b
( 1
)
d
2 da b
−
= − d
= − d
≥ − d
= − d
≥ − d
(4)
2
da b 2
da 4
dab 4
4
+
a b
2
1+a b
2 da b 2 a b
1
Từ (1), (2), (3), (4) suy ra:
+
+
+
a
b
c
d
+ ab bc
cd
da
+
+
+
−
≥ − 4
+ 4
+ abc bcd cda dab 4
+
+
+
+
2 b c
2 c d
2 d a
2 a b
1
1
1
1
Mặt khác:
2
+
+
=
+
+
≤
=
+ ab bc
cd
da
4
•
.
(
)( a c b d
)
+ + + a c b d 2
Dấu "=" xảy ra ⇔ a+c = b+d
2
2
+
+
=
+
+
+
≤
+
+ abc bcd cda dab
+ c d
+ b a
•
( ab c d
)
( cd b a
)
(
)
(
)
+ a b 2
+ c d 2
+
+
≤
+
+
=
+
+
+
+ abc bcd cda dab
⇔
(
)( a b c d
)
(
)( a b c d
)
+ a b 4
+ c d 4
2
⇔ +
+
≤
=
+ abc bcd cda dab
4
. Dấu "=" xảy ra ⇔ a = b = c = d = 1.
+ + + a b c d 2
a
b
c
d
+
+
+
≥ − −
4
Vậy ta có:
4 4
4 4
+
+
+
+
2 b c
2 c d
2 d a
2 a b
1
1
1
1
a
b
c
d
⇔
+
+
+
≥
2
⇒ đpcm.
+
+
+
+
2 b c
2 c d
2 d a
2 a b
1
1
1
1
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = d = 1.
2
Bài 33: Cho a,b là hai số thực dương thỏa
5 4
a b+ = .
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2 = + a
1 b 4
F
8
(8
8
Ta có :
+ + − + = + + + F a a a b 4 b 4 ) b 4 − 5
Hướng dẫn 2 = + a
2 = + a
2 a
1 b 4
1 b 4
1 b 4
8
8a
Bất đẳng thức Côsi cho :
2 a
1 b 4
Trang 18
NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien
+ + b 4 ≥ và ≥ 2
TUYỂN TẬP 50 BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH VỀ MIN - MAX TRONG CÁC ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2015
a
8
=
a
=
b 4
⇔
Suy ra
5F ≥ .
+ =
a b
2
= b
1 2 1 4
5 4
>
a b ,
0
2 = a 1 b 4
3
3
2
2
+
+
−
x
y
x
y
(
)
=
P
MinF = đạt khi 5
Bài 34: Cho x,y ∈ R và x, y > 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của
−
−
( y
x
) 1)(
(
1)
Hướng dẫn
2
Đặt t = x + y ; t > 2. Áp dụng BĐT 4xy ≤ (x + y)2 ta có
2
3
2
−
−
t
t
2)
xy ≤ t 4
=
P
. Do 3t - 2 > 0 và
nên ta có
− xy t (3 − + xy t 1 2
≥ − xy− t 4
2)
3
2
2
2
2
1
2
2
=
=
f
f
t ( )
;
;
t '( )
Xét hàm số
f’(t) = 0 ⇔ t = 0 v t = 4.
t −
t
2
+∞
t f’(t)
+
+∞
f(t)
− t t 4 2 − t 2) ( 2 4 - 0 + ∞
8
t − − t t − t (3 4 ≥ = P t − t − + t t 4
4
2
Do đó min P =
= f(4) = 8 đạt được khi
+∞
t f min ( ) (2; )
4
2
= x x ⇔ + = y = = xy y
22 c
= + ab bc
Bài 35: Cho các số thực dương a,b,c đôi một khác nhau thỏa mãn 2a c≤ và
.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
.
= + + P a − a b b − b c c − c a
Hướng dẫn
2 = ⇔ c
2
ên
2
Theo giả thiết:
≤ a c n + ab bc + = ⇔ = 2 − 1 a b . c c b c a c c 2 b a c
0
Vì
1 ≤ ; 2 c = thì b
3 t< ≤ 4
1 2
4 3
2
1
t ≤ nên ≥ . Đặt a c b c
1 −
2 +
1 − 2(1
)
7 + − 1 6(1
)
Trang 19
NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien
a c b c = + = + P = − 1 − t − − t t t t t 2 2 t 2 + 1 1 t 2 − − − + 1 1 a c b c b c a c
TUYỂN TẬP 50 BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH VỀ MIN - MAX TRONG CÁC ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2015
,
0;
Xét hàm số
. Ta có:
2 +
7 + − 1 6(1
)
3 4
= − f t t ( ) 1 ∈ t t 2
0;
0;
, do đó
3 4
3 4
f f t '( ) 0, t đồng biến trên ( ) > ∀ ∈ t
max
Do đó GTLN của hàm số đạt tại
27 5
3 4
=
22 c
=
c
⇔ = a 8
b 3
4
Đẳng thức xảy ra khi
, chẳng hạn chọn được (a,b,c)=(3,8,6).
+ ab bc = c
a
2
3
P = t = , suy ra
Bài 36: Cho
,a b c là các số dương và ,
+ + = .
ca
ab
+
+
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
+ a bc 3
+ b ca 3
+ c ab 3
a b c bc = P
Hướng dẫn
=
=
≤
+
Vì a + b + c = 3 ta có
1 + a b
1 + a c
bc 2
+
+
+
bc
bc a b a c )(
)
(
(
)
+
≥
Vì theo BĐT Cô-Si:
, dấu đẳng thức xảy ra ⇔ b = c
bc + a bc 3 1 1 + + a c a b
+
+
)
≤
+
≤
+
và
Tương tự
bc + + a a b c 2 a b a c ( )(
1 + b a
1 + b c
1 + c a
1 + c b
ca 2
ab 2
ca + b ca 3
ab + c ab 3
Suy ra P
,
3 2
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1. Vậy max P =
khi a = b = c = 1.
3 2
≤ + + = = bc 2( + ca + a b ) + ab bc + c a 2( ) + ab ca + b c 2( ) + + a b c 2
Bài 37: Cho hai số dương x, y thoả mãn điều kiện x + y = 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
3
=
+
S
+ + x
+ + y
thức
1
1
31 x
1 y
3
3
3
+
≥
+
+ + x
+ + x
3.
1
1
(1)
1 x
1 x
Hướng dẫn Theo bất đẳng thức Côsi cho ba số dương ta có: 7 2
7 7 . 2 2
7 2
3
3
3
+
+
≥
+ + y
+ + y
1
3.
1
(2)
1 y
1 y
7 2
7 7 . 2 2
3
3
+
+
≥
+ + y
+ + x
+ + + + y
x
1
1
3.
2
1 y
1 x
1 x
1 y
7 2
7 2
7 2 Cộng từng vế của (1), (2) ta có 3
2
+
≥
= ⇒ +
≥
+
x
y
xy
nên
4
.
4
Mặt khác ta lại có (
4 +
1 x
1 y
x
y
1 y
1 xy
) 1 x 3
3
3
+
+ + +
≥
+
+ + x
+ + y
y
x
1
1
3.
2
4 +
1 x
1 y
x
y
7 2
7 2
2
Trang 20
NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien
TUYỂN TẬP 50 BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH VỀ MIN - MAX TRONG CÁC ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2015
2
⇔ ≥
+
≥
S
S
Theo giả thiết x = y = 4 nên
.7
3.
343 4
37 2
7 2
=
+ + x
= ⇔ = = x
y
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
2
7 2 7 2
1 x 1 y = y x + = y
x
4
1 + + y 1
=S
Vậy
min
343 4
Bài 38: Xét các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 1.
2
2
=
+
+
P
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
.
+ x (y z) yz
+ y (z x) zx
2 + z (x y) xy
2
2
2
2
2
2
=
+
+
+
+
+
P
Ta có :
(*)
Hướng dẫn x y
x z
z y
y x
z x
2
2
+
x y
y z Nhận thấy : x2 + y2 – xy ≥ xy ∀x, y ∈ R Do đó : x3 + y3 ≥ xy(x + y) ∀x, y > 0 hay
≥ + ∀x, y > 0
x y
y x
2
2
+
y z
Tương tự, ta có :
≥ + ∀y, z > 0
y z 2
z y 2
+
z x
≥ + ∀x, z > 0
z x
x z
Cộng từng vế ba bất đẳng thức vừa nhận được ở trên, kết hợp với (*), ta được:
P ≥ 2(x + y + z) = 2 ∀x, y, z > 0 và x + y + z = 1
. Vì vậy, minP = 2.
Hơn nữa, ta lại có P = 2 khi x = y = z = 1 3 2 = + +
+
>
Bài 39:
2 x y
xy
y
x
xy
x
y
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
3
0,
0
−
3
2
2
+
+
= P x
y
> thỏa mãn 2 + xy (1 2 ) xy 2
Hướng dẫn
Trang 21
NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien
= + +
+
>
>
+ > y
n n x
do x
y
y
TUYỂN TẬP 50 BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH VỀ MIN - MAX TRONG CÁC ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2015 + Ta có : 2 2 + xy x y ⇔ xy x (
0 ê
0
)
0,
2
+
+ ⇒ +
−
+
− ≥
x
⇒ + = x
y
y
x
y
+ ≥ 3
3
(
(1)
)
3(
) 4
0
y
+
+
x
y
xy 3 (1) 4 + ≥ ⇒ + ≥ x
y
x
y
0
− ) 4
4
xy y x 3 = + + y x 1 1 y x ][ ) 1 (
x ]
[ ⇒ + (
+
=
⇔ − 1
(1)
⇔ = 1
3 +
3 +
1 xy
x
y
x
y
1 xy
2
2
=
+
=
+
x
y
x
y
N n P ê
(
)
+ − 2
(
)
+ + 1
3 +
1 xy
x
y
2
+ + =
x
+ = y
≥ ⇒ = P t
f
+Đặt
t t (
4)
1
t ( )
3 t
3
t
2
3
=
−
=
f
t
> ∀ > Nên f(t) đồng biến trên
+ Ta có
t '( )
t 2
0,
4
− 2
3 2 t
t
+∞ ⇒ =
≥
=
P
f
f
4;
t ( )
(4)
)
[
71 4
Hay giá trị nhỏ nhất của P bằng
khi x = y = 2
71 4
x
y+ 3
7
Bài 40: Cho x, y là hai số thực dương thỏa mãn 2
≤ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
2
2
2
2
3
=
+
−
+
−
+
+
P
xy
+ + y
x
y
x
y
x
y
2
5(
) 24 8(
)
(
3)
thức
.
Hướng dẫn
2
+
x
y
2
3
+
+
+
≤
≤
x
y
x
y
≤ ⇒ + + x
y
xy
6(
1)(
+ = 1)
(2
2)(3
3)
36
5
Ta có
.
+ + 2 3 2
2
2
2
2
+
≥
+
≥
x
y
x
y
x
y
x
y
5(
)
5(
)
2
2
Ta có
+ và
2
2
2
=
+
−
−
≥
+ +
x
+ − y
x
x
y
( y
xy
(
3)
6
6
0
)2 + ⇒ 9 2
2
2
+
+
−
+
+
⇔ + + x
y
xy
x
y
x
y
2(
≥ 3) 8(
)
(
3)
3
≥
P
xy
+ + x
x
+ + y
xy
2(
3)
Suy ra
+
= + +
∈
=
−
t
x
y
≥ P f
xy t ,
t ( )
t 2
3 t 24 2
Đặt
+ 6
,
y (
− ) 24 2( ] 0;5
2
3
6)
8
24.2
/
2
0,
0;5
Ta có
(
]
2
2
3
6)
6)
+ − t (2 = < ∀ ∈ f t t ( ) = − 2 + t (2
]0;5 .
2
3
3
=
−
=
=
P
khi
min
10 48 2,
f
Suy ra
. Vậy
t f min ( )
− (5) 10 48 2
1
2
2
= x = y 2 +
+
+ t 3 (2 3 Vậy hàm số f(t) nghịch biến trên nữa khoảng (
Bài 41: Xét các số thực không âm x, y, z thoả mãn điều kiện:
= . Tìm giá
x
y
z
3
zx
trị lớn nhất của biểu thức P xy yz
4 + + y
x
z
Trang 22
NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien
= + + +
TUYỂN TẬP 50 BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH VỀ MIN - MAX TRONG CÁC ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2015 Hướng dẫn
2
−
x
+ + y
z
3
2
(
)
2
2
2
−
+
+
=
x
+ + y
z
x
y
z
Ta coù: xy + yz + zx =
)
(
(
)
2
2
1 2 −
x
+ + y
z
3
(
)
+
Do ñoù P=
2
2
z =
≤
≤
+
4 + + y 2 2 + z
x y
x
3
2
−
+ + y
x
z
3
2
Vì 0 xy + yz + zx ) (
≤
≤ ⇔ ≤
− ≤
x
+ + y
z
Neân 0
3
0
3 6
(
)
2
≤
x
z
2 + + y
≤ + + ≤ y
x
z
⇔ ≤ 3
9.
3
3
(
)
Suy ra 2
t
3
+
≤ ≤ t
Ñaët t =x+y+z,
P=
3
3,
4 t
− 2
3
2
t
t
4
3
=
+
≤ ≤ t
Xeùt f(t)=
vôùi
f'(t)= t-
3
3,
4 2 t
− 2 t
4 t
3
3
− 2 t
f
t
(loaïi)
4
0
4
=
=
f
f
3
,
( ) 3
( ) t ' (
= ⇔ = ⇔ = )
13 3
≤
≤
≤ ≤ t
Neân f
khi
3
3,
do ñoù P
( ) t
4 3 3 13 3
13 3
Khi x=y=z=1 thì P=
Do ñoù giaù trò lôùn nhaát cuûa P laø .
13 3
13 3
2
2
Bài 42: Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số 2 +
12
32
24
16
8
3
3
5
− − + − + + x x x x x x
.
[0;8]
2
2
D = − = f x ( ) Hướng dẫn Ta có TXĐ:
5
8
16
Đặt : Ta dễ dàng xác định được
− + = + x x x g x ( )
(2)
6
(2)
(8) 12 2, 2
(8)
4 7
2
2
= − h x x 12 32, ( ) 3 , thì x∀ ∈ [0;8] ≤ = = ≤ ≤ = = h g g g x ( )
)
3
24
0 (
3
24
.
và
8
2
− + ≥ − + x x x x = ⇔ 0 ≤ h x h ( ) = x 0 = x
8(
2)
2
3
12
16
( ) 2
[0;8]
Do đó
.
2
2
8
5
32
24
2
2
2
2
− x = + − + ≥ ∀ ∈ x x h x x f x ( ) ≥ + 0 + − x x x + − 3 + ⇒ = khi x= 2.
5
32
12
24
16
8
3
3
[0;8].
x Đẳng thức xảy khi và chỉ khi x = 2 min ( ) f x Ta có = − − − + + − + ≤ + + ≤ x x x x x x h x ∀ ∈ x g x ( )
( ) 12 2 4 7 khi x= 8.
Trang 23
NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien
+ ⇒ = + f x f x ( ) Đẳng thức xảy khi và chỉ khi x = 8 m ax ( ) 12 2 4 7
2
khi x= 8.
2
2
+ f x = f x = khi x= 2 và m ax ( ) 12 2 4 7
(3
2
+ + +
= P x
y
y
x
x
y
8 4
2)( − −
2
2
2
− + + y x y − = 1) 0 x 2
(3
3(
)
1) 0 2 −
− = ⇔ + + − x x y x y x − y
) 2 y x
( y
3(
2
2
2
− − ≤
+
+
+
+
+
+ x + + = − xy + ≤ ⇔ ≤ + ≤ ) 2 0 2 1
TUYỂN TẬP 50 BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH VỀ MIN - MAX TRONG CÁC ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2015 Vậy min ( ) Bài 43: Cho các số thực không âm x, y thỏa mãn Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức + Hướng dẫn +Ta có − + y y 2)( Vì x,y không âm nên + x y ) ( ]1; 2 [ Đặt t = x+y khi đó t ∈ + + + y
= P x
x
x
x
y
y
y
y
x
y
x
− + ) 8 4 (
8 4
)
)
(
(
Ta có
2
+ + t − t
8 4 2 + + t t
t ∈
8 4
≤ P t +Xét hàm
]1; 2 [
= f t t ( ) − với
t ∈
t ∈
'( ) 3
0
ta có
với
]1; 2 [
]1; 2 [
4 − 4
4 2
⇒
= > − f t⇒ f t '( ) t 2 + − 1 > với t
và f(t) liên tục trên đoạn [1;2] nên f(t) đồng biến trên đoạn [1;2] ⇒ ≤ + t ( ) 6 8 2
6 8 2
(2)
= + = f f t ( ) maxf [1;2]
2
0
+
⇒ 6 8 2 P ≤ +
, P= 6 8 2
khi
0
2
+
đạt được khi x = 2 và y = 0
= ⇔ = x = y
3
+ + = a b c
x y . = t KL: Giá trị lớn nhất của P là 6 8 2 Bài 44: Cho a,b,c là các số thực không âm và thỏa mãn
. Tìm giá trị lớn
3
2
2
2
2 2 2 a b c
2(
)
27
3(
)
nhất của biểu thức:
3
= − + + − + + + P + ab bc ca a b c + ab bc ca + ) 6(
.
)
)
33 ab bc ca + ab bc 3 + +
+ ≥ + ca ≤ 2 ca 2 + ab bc 2 ≤ − + ≥ + ca a ca a
3( f
)
)
(
) + ab bc
= b ≤ − ca ca c + ab bc t 3 t ( )
Hướng dẫn Ta có: + ab bc 2 2 Lại có: + Do đó P
⇒ 2 2 2 a b c . 27 ( + ⇒ − 2 + + b c 3( 3 = − + + + t ab bc 2
)
(
0
với
3( + + a b c 3
]0;1
Ta có bảng bt của hàm số f(t) trên [ t 0 1
f’(t) + 0
f(t)
2
2
+ ≤ ≤ = t + ab bc ca = 1
0 Từ BBT ta có:
= khi t=1 t M f ax ( ) [ ]0;1 ∈ t
Từ đó ta có GTLN của P bằng 2 khi
1 3
Trang 24
NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien
= = = a b c
3.
a b c
TUYỂN TẬP 50 BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH VỀ MIN - MAX TRONG CÁC ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2015 Bài 45: Cho a, b, c là các số thực thoả mãn
a
b
c
a
b
c
a
+ + =
4
9
16
9
16
4
16
b 4
c 9 .
a
b
c
c
a
=
=
=
⇒ =
+
+
+ + + + + + + + M =
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Hướng dẫn (cid:7) a u
(cid:7) v
(cid:7) M u
(cid:7) v
b 2 ;3 ; 4 ,
(cid:10)(cid:10)(cid:7) 2 ;3 ; 4 , w
c b 2 ;3 ; 4
(cid:10)(cid:10)(cid:7) w
+ Đặt
)
(
(
)
(
)
2
2
2
c
a
c
a
+
+
=
≥ + +
+
+
+
+
+
+
2
2
b 2
4
4
c 3
b 3
b 4
a 3
(cid:7) (cid:7) M u v (cid:10)(cid:10)(cid:7) w
)
)
)
(
c
+ + a b c
+
+
≥
3 3 2
b 2
y
,
( 22 + Theo cô – si có 2 + Vậy Dấu bằng xảy ra khi M ≥ 3 29. Bài 46: Cho các số thực dương
2
2
2
+
+
+
= P x
y
z
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
.
3 + +
+ +
( = . Tương tự … 6 = = = c b a 1. x y z thỏa mãn + + = . z x , yz xy 2 2 y z x y
zx 2 z x
3
3
2
2
2
≥
+
≥
+
zx
2 z x
2 y z z ,
2
22 x y 2
2
2
3
+
+
−
zx
yz
x
y
z
2 x y
y
z
2 z x
3
yz 2 . Mặt khác, do
+ + = nên
+ y ( ) 1
. Tương tự ) + +
2
2
2
2
2
2
+
+
+ + y
( x
y
x
z
z
≥ ( + z
2 (
3
3
3
2
2
2
+
+
+
+
xy ) +
+
Hướng dẫn Áp dụng BĐT Côsi ta có 3 x ⇒ + 3 3 ≥ + x ) ( 3 x + = x
2 y z )( 2 + z x
2 x y
2 y z
y
z
xy
yz
zx
= (
xy ) y (
+ )
) ( ) 2
2
2
2
+
+
≥
+
≥
x
y
z
2 x y
2 y z
+ ⇒ 2 z x
Từ (1) và (2), ta có
(3)
2
2
+
+
+
+
2 x y
2 z x
z
1 2 y
1 2 y z
2
2
2
2
2
2
2
=
+
+
+
+
+
+
+
+
+
x
+ + y
z
x
y
z
xy
yz
zx
x
y
z
xy
yz
zx
2
9
2
.
Ta có (
)
(
) + ⇔ =
)
x (
t
9
2
2
2
2
2
2
=
+
+ ⇒ +
+
=
+
+
≥
t
x
y
xy
z
yz
zx
x
y
z
x
y
z
t
3(
)
9
Đặt
. Do
+ + ⇔ ≥ ⇒ ≥ t 3 3
(
)2
2
t
t 2
9
2
2
2
+
+
+
≥ +
≥ P x
y
z
P t
⇔ ≥ P
Từ (3) ta có
. Khi đó
với
t ≥ 3
− 2 + +
+ +
xy 2 x
yz 2 y
zx 2 z
− 9 t 2
− + t t 2
9
22 t
=
f
Xét hàm số ( ) t
) 3; +∞ .
trên [
2
−
− + t
9
t (4
t 1)
9)
=
=
t
f
0,
3
t '( )
> ∀ ≥ . Lập BBT, ta được :
− t 2 2 t 2
Có ⇒ ≥
t
x
z
f
P f
3
1
4
= . Dấu bằng xảy ra khi
= ⇔ = = = y
≥
t
≥ t ( ) min 3
x
z
y
P
4
− + t t 2 2 − t (2 2 t 2 ( ) t = ⇔ = = = 1
2
2
+ +
=
+
+
+
S
x
y
z
1 3
16
2
36
Vậy min Bài 47: Cho x , y , z là ba số thực thỏa mãn : 2x + 3y + z = 40. 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Hướng dẫn
2
2
2
2
2
2
=
+
+
+
+
+
S
x
y
z
2
2
3
12
6
- Ta có:
.
(
)
(
)
=
=
=
+
+
+
+
=
x
y
z
x
y
z
; 6
2
3
; 2 12 6
40; 20
(cid:7) b (cid:7) c
,
- Trong hệ toạ độ Oxy xét 3 véc tơ sau: (cid:7) (cid:7) (cid:7) (cid:7) ) + + = a b c a 3 ; 4 ,
) 2 ; 2 ,
(
(
(
)
(
)
(
)
Trang 25
NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien
TUYỂN TẬP 50 BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH VỀ MIN - MAX TRONG CÁC ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2015
2
2
2
2
+ + =
+
=
+
=
+
=
y
x
20 5
6
3
2
2 2 ,
2 12 ,
(cid:7) (cid:7) (cid:7) a b c (cid:7) c (cid:7) a (cid:7) b
,
)
(
)
(
+
+
≥ + +
S⇒ ≥
20 5
( ) z Sử dụng bất đẳng thức về độ dài véc tơ : (cid:7) (cid:7) (cid:7) (cid:7) S= a a b c
z
= ⇒ =
⇔
=
=
=
=
=
⇒ = x
y
z
2
2,
8,
12
z 6 =
z = = 6 S =
x
y
z
x 2 2 = 12
y 3 12 = 2,
20 5
8,
. (cid:7) (cid:7) (cid:7) cùng hướng Đẳng thức xẩy ra khi các véc tơ ,a b c , + + y x 40 3 2 20 20
y 3 12 thì
=
=
=
x
y
z
2,
8,
12
2
2
2
+
x
y
z
(cid:7) c (cid:7) b
x 2 2 Với : Vậy giá trị nhỏ nhất của S bằng 20 5 đạt được khi : Bài 48: Giả sử x, y, z là các số thực dương thỏa mãn
3
+ 3 x y
=
+
−
P
.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
2
2
xy + z
yz + x
= 1. 3 3 + y z 3 3 x z
1
1
24
Hướng dẫn
+
=
+
Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có :
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
xy + z
yz + x
1
1
+
+
+
+
yz +
z
x
y
x
y
x
z
z
(
)
)
(
)
(
2
2
2
2
≤
≤
+
+
+
+
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
x +
xy ( + y +
y +
) z +
z
x
z
y
x
y
x
z
1 4
+
+
+
+
z
x
z
y
x
y
x
z
2
2
xy )(
(
)
yz )(
)
2
2
2
2
=
+
+
≤
+
+
+
+
+
=
1
1
1
.
2
2
2
2
y +
y +
y z
y x
z
y
x
y
1 4
y yz 2
y xy 2
1 4
y z 2
1 = + 4
1 8
1 4
(
3
3
+
≥
+
3 x y
3 3 y z
xy
yz
)
(
Tiếp tục áp dụng bất đẳng thức Cô si, ta có
3
3
3
3
3 x y
3 3 y z
)
(
≥
=
+
−
+
P
.
.
Suy ra
nên :
y + z
y z
y x
y z
y x
+ yz 3 3 z x
1 4
1 8
1 96
y x 2 1 4 1 ≤ + 4
xy 4
≤ −
+
+
=
+
P
t
t
.
,
Đặt
khi đó
t > và 0
t
2
∞+
0
+ 3 3 z x y z
y x
y x 31 t 96
1 8
1 4
–
f
t '( )
+
0
= −
+
f
t
t >
t ( )
0.
Xét hàm số
+ với
1 8
1 4
+
= −
= ⇔ =
f
f
t
t >
;
t '( )
t '( )
0
2,
0.
Ta có
vì
5 12
31 t 96 1 8
21 t 32
f
t ( )
Suy ra bảng biến thiên:
P ≤
,
2
Dựa vào bảng biến thiên ta có
dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
t = hay
5 12
= = =
= = =
x
y
z
z
y
x
.
,
.
Vậy giá trị lớn nhất của P là
đạt được khi
5 12
1 3
+
ca
abc
,a b c là các số thực dương thoả mãn ,
.
1 3 Bài 49: Cho
+ ab bc 5
4
= 6
+
7 +
8
1
=
+
1 16 +
S
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
.
+ 2
2
a a
b 1 108 2 b
c c
Hướng dẫn
Trang 26
NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien
TUYỂN TẬP 50 BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH VỀ MIN - MAX TRONG CÁC ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2015
7
Giả thiết tương đương với
+ + = áp dụng bất đẳng thức Côsi+Bunhiacôpxki ta
1 a
1 b
1 c
2
3
3
4
=
+
+
+
+
+
+
+
+
+
S
a
c
8
b 54
b 54
16
có:
2
2
2
2
2
2
1 a 2
2 b 9
2 b 9
2 b 9
1 c 4
1 c 4
2
2
+
+
≥ +
+ +
=
+
=
+
4 10 3
17
.7
24
dấu bằng xẩy ra khi
2
2
2
1 a
1 + + b
1 c
1 a 2
1 b 3
1 c 2
1 + + 2 3 2
1 7
a
= = c
b
a
= = c
b
,
,
= .Vậy giá trị nhỏ nhất của S bằng 24 đạt khi
1 2
1 = 3
1 2
1 3
+ + = .
+
+
+
+
≥
3
Bài 50: Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn a b c 1 Chứng minh rằng: a b + ab c
c a + ac b
+ b c + bc
a
Hướng dẫn
Ta có
+ − − a b 1 c 1 c = = + + − − − − ab c ab 1 b a (1 a)(1 b)
VT=
− − − 1 c 1 b 1 a + + − − − − − (1 (1 b) a)(1 c)(1 a) b)
⇒ − 1
− a;1 b;1 c − dương
− (1 c)(1 )0;1 Do a,b,c dương và a+b+c =1 nên a, b, c ( ∈ Áp dụng bđt Cô si cho 3 số dương ta được
VT
(đpcm)
− − − 1 c 1 b 1 a ≥ = 33 . . 3 − − − − − − (1 a)(1 b) (1 c)(1 a) (1 c)(1 b)
Đẳng thức xảy ra khi
1 = = = a b c 3
Fb: https://www.facebook.com/ng.huubien
Trang 27
NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien
