CASIO VIỆT NAM - ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 2 Lâm Hữu Minh
PHẦN II. MA TRẬN - ĐỊNH THỨC - HỆ PT TUYẾN TÍNH
Trong tài liệu này, tôi sẽ sử dụng máy tính CASIO fx-570ES để minh họa các thủ
thuật, với các dòng máy khác cùng kiểu dáng, nếu trong quá trình làm phím bấm
không giống nhau, thì các bạn chỉ cần quan sát tên chức năng mà tôi thao tác và tự
tìm phím chức năng tương ứng là được.
Phần này chúng ta sẽ sử dụng MODE thứ 5 và 6 - EQN và MATRIX.
MODE EQN thì ai cũng đã biết sử dụng từ hồi lớp 10 rồi, nên tôi bỏ qua cho tài liệu
đỡ dài, còn lại MATRIX thì nhiều người cũng đã biết chút chút, do đó trước hết tôi sẽ
giới thiệu những chức năng cơ bản.
Sau khi các bạn đã vào được MODE MATRIX, mép trên màn hình sẽ hiện chữ MAT,
khi đó chúng ta mới bắt đầu các thao tác của MODE này.
Menu của MODE MATRIX nằm ở phím 4 (các bạn có thấy chữ MATRIX chỗ đó
không?), do đó phải nhấn
4
SHIFT . Bảng hiện ra các chức năng như sau:
+ 1 là Dim: viết tắt của “Dimension” là “Kích thước”. Đây là chỗ để mở một ma trận
mới, nói cách khác là thêm dữ liệu là một ma trận mới. Khi chọn vào đây (bằng cách
nhấn
1
), máy sẽ hỏi “Matrix?” và ta phải chọn một trong 3 ma trận MatA, MatB
hoặc MatC mà nó đưa ra, giả sử tôi lấy ma trận A. Khi đó nhấn tiếp
1
và chuyển đến
bước chọn “Dimension” cho ma trận. Ở đây ta có tối đa 9 loại kích thước cho ma trận
( )
ij m n
A a
vì m, n không vượt quá 3. Giả sử tiếp tục nhấn
1
chọn cỡ
3 3
, bây giờ
bảng ma trận đã hiện ra cho ta nhập giá trị các phần tử, nhìn nó rất quen thuộc như
bảng nhập hệ số trong MODE EQN (chính vì thế hệ PT tuyến tính mới liên quan chặt
chẽ đến ma trận như vậy).
+ 2 là Data: xem lại “dữ liệu” đã nhập. Khi bấm vào đây (phím
2
ứng với thứ tự đã
định), màn hình hiện ra y hệt chỗ Dim, và ta muốn xem lại ma trận nào thì chọn số
CASIO VIỆT NAM - ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 2 Lâm Hữu Minh
tương ứng. Cả Dim và Data đều là 2 vị trí ta có thể vừa xem vừa sửa đổi giá trị các
phần tử trong ma trận.
+ 3, 4, 5, 6 lần lượt là 4 ma trận MatA, MatB, MatC và MatAns để chúng ta chọn một
trong 4 ma trận đó đưa vào phép tính (rõ ràng khi chọn số ứng với mỗi ma trận đó thì
tên của nó sẽ hiện tương ứng ra màn hình như một thành phần trong phép tính bình
thường). Ở đây có chút thắc mắc, đó là MatAns là ma trận gì mà có tên khác vậy?
Nếu như ta đã quen thuộc dùng phím
Ans
là để xem lại kết quả sau khi tính, thì
MatAns cũng vậy, xem lại kết quả sau phép tính (nếu kết quả đó là một ma trận).
Trường hợp chưa có kết quả nào để lưu vào MatAns, thì khi các bạn chọn vào đó, tức
là bấm
6
rồi
để xem giá trị, máy sẽ báo lỗi “Dimension ERROR”.
+ 7 là det: tính định thức. Giả sử muốn tính detA, ta chỉ cần nhập det(MatA) rồi nhấn
.
+ 8 là Trn: chuyển vị ma trận. Giả sử muốn tìm ma trận chuyển vị của A, ta nhập vào
Trn(MatA) rồi
, kết quả là ma trận chuyển vị (và được lưu vào MatAns).
Các bạn có nghĩ rằng chức năng thứ 8 thiết kế hơi thừa hay không? Vì ma trận
chuyển vị thì cũng như số phức liên hợp, nhìn phát là đọc được ra ngay. Thực ra phải
đem đặt trong phép tính phức tạp, mới thấy rõ được sự quan trọng của nó.
Bây giờ là từng bài toán chi tiết.
1. Các phép tính ma trận đơn giản
VD1. Tìm X biết:
1 3 2 2 5 6 0 6 6
1
3 4 1 1 2 5 2 9 2
2
2 5 3 1 3 2 4 8 6
X
CASIO VIỆT NAM - ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 2 Lâm Hữu Minh
Ta có:
1 3 2 2 5 6 0 6 6
2 3 4 1 1 2 5 2 9 2
2 5 3 1 3 2 4 8 6
X
, do đó ta cần cả 3 ma trận
MatA, MatB, MatC của máy.
Thực hiện thao tác mở ma trận, chọn kích thước
3 3
trong Dim, ta lần lượt nhập vào
dữ liệu của 3 ma trận:
1 3 2 2 5 6 0 6 6
3 4 1 , 1 2 5 , 2 9 2
2 5 3 1 3 2 4 8 6
MatA MatB MatC
Sau đó, nhập phép tính ra màn hình:
2( )MatA MatB MatC
, bấm
, kết quả là:
2 2 2
2 38 4
4 2 2
MatAns
VD2. Cho ma trận
1 0
0 1
0 0
a
A a
a
. Tính
Có tham số, phải làm sao để dùng máy tính?
Đối với CASIO, mà gặp tham số, các bạn hãy nghĩ ngay đến số 1000, nó được áp
dụng gần như nhiều nhất để trị tham số đấy!
Nếu các bạn chưa hiểu tôi muốn nói gì và làm gì, thì bây giờ sẽ thấy sức mạnh của
CASIO thông qua con số 1000 này.
Thay
1000a
và đưa ma trận này vào MatA, ta được:
1000 1 0
0 1000 1
0 0 1000
MatA
CASIO VIỆT NAM - ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 2 Lâm Hữu Minh
Loại bài toán này phải quy nạp từ n nhỏ ra n lớn, trước hết chúng ta cứ tính
2 3 4 5
, , ,A A A A
xem sao đã.
Ra màn hình viết
2
MatA
ấn
, các bạn thấy gì?
6
6
6
10 2000 1
0 10 2000
0 0 10
MatAns
Ta hồi phục lại tham số a bằng cách thay ngược
1000 a
là được ngay chứ gì, chỉ
cần khéo léo trong việc thay lại là sẽ không sai:
2
2 2
2
2 1
0 2
0 0
a a
A MatAns a a
a
Bây giờ lại tính
3
MatA
, ta được kết quả (tôi thay luôn
1000 a
cho đỡ phải viết lần
nữa):
9 6 3 2
3 9 6 3 2
9 3
10 3 10 3000 3 3
0 10 3 10 0 3
0 0 10 0 0
a a a
A a a
a
Tiếp tục, ta có:
12 9 6 4 3 2
4 12 9 4 3
12 4
10 4 10 6 10 4 6
0 10 4 10 0 4
0 0 10 0 0
a a a
A a a
a
(Lưu ý: khi các bạn nhập
^ (4)MatA
và
thì máy báo lỗi cú pháp “Syntax
ERROR”, đó là vì người ta thiết kế tồi nên không cho tính lũy thừa với mũ lớn hơn 3,
cho nên các bạn phải nhập tách ra là 3
MatA MatA
, tương tự như bên số phức).
Tương tự:
15 12 10 5 4 3
5 15 12 5 4
15 5
10 5 10 10 5 10
0 10 5 10 0 5
0 0 10 0 0
a a a
A a a
a
Chừng ấy kết quả đã đủ đoán dạng tổng quát chưa nhỉ?
CASIO VIỆT NAM - ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 2 Lâm Hữu Minh
Trước hết, ta có thể đoán được:
1 2
1
0
0 0
n n n
n n n
n
a na ka
A a na
a
, vấn đề bây giờ là tìm xem
k là biểu thức nào của n
Ta lập bảng:
n 2 3 4 5
k 1 3 6 10
Nhìn như thế này không thể đoán nổi quy luật (tất nhiên mấy đứa hay đố vui nhau
mấy cái dãy số, dãy chữ thì cũng sẽ đoán ra), ta hãy căn cứ vào những gì đã đoán
được trước đó. Ta thấy có 3 cái
n
a
thì có thể viết thành 0
n
n a
, còn 2 cái
1n
na
thì có
thể viết là
1 1n
n a
, nhưng sang
2n
ka
lại không thấy
2
k n
, do đó ta phải nghĩ rằng k
là một tam thức bậc 2 của n, tức là có thể giả sử: 2
k pn qn r
Khi đó, lấy 3 giá trị đầu tiên trong bảng đã lập trên, ta được hệ:
4 2 1
9 3 3
16 4 6
p q r
p q r
p q r
,
đem vào MODE EQN thu được: 2
1
2
1 1 ( 1)
1
2 2 2
2
0
p
n n
k n n
q
r
, kết quả này
hoàn toàn phù hợp với cặp giá trị (n, k) thứ 4 còn lại trong bảng.
Kết quả đúng là:
1 2
1
( 1)
2
0
0 0
n n n
n
n n
n
n n
a na a
Aa na
a
(nếu còn sợ sai, các bạn có thể lấy
máy thử tiếp với lũy thừa cao hơn xem k bằng mấy nhé).