Trích đoạn “ CHINH PHỤC PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ tập I” – Hồ Văn Diên
Cuốn sach chính thức phát hành vào ngày 25/10/2014 tại 101 Nguyễn Ngọc Nại, Thanh Xuân, Hà Nội
Đây là một phần trích đoạn Chương 2, phần 2: Phương pháp nhân tích nhân tử phương trình
vô tỷ. Rất nhiều điều thú vị đang chờ đón các độc giả khám phá trong một cuốn sách giàu tâm
huyết của tác giả chủ biên bộ “ Tuyển tập 90 đề thi thử đại học môn Toán”.
Để có thể sử hữu cuốn sách này, các bạn liên hệ với nhà sách LOVEBOOK:
Địa chỉ: 101 Nguyễn Ngọc Nại, Thanh Xuân, Hà Nội
Web: lovebook.vn
Facebook: https://www.facebook.com/nhasach.lovebook.
Sđt: 0963 140 260 – 0466 860 849
Ví dụ 5: Giải phương trình
3 2 2 2
7 3 5 2 1 3.x x x x x x x
Giải: Điều kiện x2 + 2x 1. Phương trình đã cho tương đương với:
3 2 2 2
7 3 3 5 2 1x x x x x x x
22
1 6 3 5 1 2 1x x x x x x x
22
10
6 3 5 2 1
x
x x x x x

(1)
(2)
+) (1) x = –1.
+) (2)
2 2 2
3 2 1 5 2 1 2 0x x x x x x
22
2 1 2 3 2 1 0x x x x x x
22
2
22
2
0
2 1 4 (vô nghi m)
2 1 2
0
92
3 2 1
1
x x x
xx
x
xx
x
x
x
x x x
Ö
09 3 17 .
9 3 17 8
8
x
x
x



Phương trình có hai nghiệm x = –1 và x =
9 3 17 .
8

Lưu ý: Khi giải (3) ta đã dùng phương pháp đưa về đẳng cấp, sẽ được giới thiệu ở sau.
Nhận xét: Như vậy từ Ví dụ 1 đến Ví dụ 5 thì việc phân tích nhân tử dựa vào một số dấu hiệu khá đơn
giản đó là tích giữa đa thức f(x) với căn thức
, đồng thời lượng còn lại là một đa thức h(x), trong
đó thì f(x) và h(x) có thể phát hiện nhân tử chung dễ dàng nhờ các bước phân tích nhân tử:
( ) ( ) ( ).h x f x g x
Vì là bài toán chứa căn thức nên cực kì lưu ý sau khi giải tìm được x thì cần đối chiếu điều kiện xác định.
Trong quá trình làm bài thì cần tách nhân tử ở h(x) và f(x) để có thể nhìn ra được các nhân tử có thể “rút
gọn” được cho nhau (“rút gọn” ở đây bản chất là đặt nhân tử: A.B = A.C
A0
BC
, lưu ý không được
nhầm lẫn biến đổi sai: A.B = A.C B = C).
Ví dụ 6: Giải phương trình
2
1 2 1.x x x x x
Định hướng: Phương trình với hình thức khá phức tạp, không thể dùng phương pháp nâng lũy thừa để
xử lí nghĩ đến phương pháp đặc biệt. Nhớ lại một chút ở phần phương trình bậc bốn.
Trích đoạn “ CHINH PHỤC PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ tập I” – Hồ Văn Diên
Cuốn sach chính thức phát hành vào ngày 25/10/2014 tại 101 Nguyễn Ngọc Nại, Thanh Xuân, Hà Nội
Ta có phân tích:
4 2 2 2
1 1 1x x x x x x
ngay cả khi đa thức (x4 + x2 + 1) vô nghiệm thì
nó cũng hoàn toàn có thể phân tích thành nhân tử. Với bài toán này, áp dụng tương tự ta được:
21 1 1x x x x x x
.
Hai vế xuất hiện nhân tử. Việc nghĩ đến nhân tử này hoàn toàn xuất phát từ kinh nghiệm của bản thân:
đa thức (x2 + x + 1) vô nghiệm nên ít ai nghĩ có thể tách nó ra thành nhân tử.
Giải: Điều kiện 0 x 2. Phương trình đã cho tương đương với:
2
2
1 2 1x x x x x
1 2 1 1x x x x x x x
21x x x
(do
10xx
)
2
2 1 2 1x x x x x x
(do x 0)
2
2
2
2
12
2 2 2 1
4 2 2 1
xx
x x x x
x x x x
32
32
1
2 1 (do 0)
2 1 0
1 5 11 1 0 5 11 1 0
x
x
x x x x xx
x
x
x
(*)
Với x
2
– 1 > 0 thì x3 + 5x2 + 11x >
3
0 5.0 11 2 1
> 1 (*) không xảy ra.
Vậy (*) có nghiệm duy nhất x = 1.
Nhận xét: Kinh nghiệm là các đa thức bậc chẵn không có nghiệm thực thì chưa chắc nó không thể phân
tích thành nhân tử! Việc phân tích đa thức thành nhân tử thì ta nên nhớ cách phân tích đa thức bậc 4 dạng
khuyết x3 và x, bởi đây là các phân tích nhân tử khá hay và thân thuộc!
2
4 2 2 2
1 1 2x ax x a x
(điều kiện a < 2)
=
22
2 2 2
1 2 2 1 2 1 .x x a x x a x x a
Với phương pháp tách nhóm như thế này, chắc hẳn các bạn có thể làm cho trường hợp tổng quát (x4 +
ax2 + b) rồi chứ?
Ví dụ 7: Giải phương trình
32 3
2 3 4 3 3 1 2.x x x x x x
Phân tích: Nhìn qua nếu ta dùng phép nâng lũy thừa thì không phải là một sự lựa chọn hay. Một phản xạ
thông thường lúc này là tìm nhân tử chung, khi mà vế phải đã “nhóm sẵn nhân tử” thì việc nhẩm nghiệm
của phương trình sẽ giúp ta nhanh chóng tìm được nhân tử chung. Dùng máy tính bỏ túi CASIO ta nhẩm
được nghiệm x = –1 biến đổi phương trình chắc chắn sẽ có nhân tử (x + 1). Nhận thấy vế phải có sẵn
nhân tử (x + 1) chắc chắn vế phải có nhân tử (x + 1). Lúc này phân tích được:
23
31 2 3 12x x x x x x 
cần xử lí phương trình
23
2 3 3 2.x x x x
Đến đây thì việc nâng lũy thừa cũng không phải là một
giải pháp để thử, nhất là trong các kì thi. Bình thường thì khi đến đây, tôi sẽ dùng máy tính và dò xem
phương trình này có nghiệm hay không, và khi dò nghiệm với nhiều giá trị khởi đầu khác nhau thì máy
vẫn báo Can’t Solve nghi ngờ phương trình vô nghiệm. Một trong kĩ năng đã được đề cập là chứng
minh phương trình vô nghiệm sẽ được sử dụng – bằng cách lập phương hai vế đưa về phương trình hữu
tỉ:
33
23
2 3 3 2x x x x
Trích đoạn “ CHINH PHỤC PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ tập I” – Hồ Văn Diên
Cuốn sach chính thức phát hành vào ngày 25/10/2014 tại 101 Nguyễn Ngọc Nại, Thanh Xuân, Hà Nội
6 5 4 3 2 3
8 12 42 37 63 27 27 27 2x x x x x x x x
6 5 4 3 2
8 12 15 17 63 27 27 0x x x x x x
44
6 6 5 4 3 2
7 17
4 4 12 9 17 17
44
xx
x x x x x x



22
157 27 27 27 0.
44
xx
x



22
4 2 2
2
6 3 2 7 157
4 2 3 17 1 27 1 0
4 2 4 2
x x x x
x x x  
 


2
6 3 2
2 3 1 1 0
22
xx
x x x
, vô lí.
Với định hướng giải thông thường như trên thì kĩ năng tính toán và “đoán” cũng được sử dụng một
cách khá nặng. Nếu để ý tổng lập phương của các số hạng vế phải: x3 + (x + 1)3 + (x + 2) = 2x3 + 3x2 + 4x
+ 3, chính bằng vế trái. Nếu đặt a = x, b = x + 1 và c =
32x
thì phương trình đã cho trở thành:
a3 + b3 + c3 = 3abc (*).
Có thể đến đây nhiều bạn sẽ liên tưởng đến bất đẳng thức Cauchy:
a3 + b3 + c3 3abc.
Thế nhưng bất đẳng thức Cauchy dạng này chỉ áp dụng được khi a, b, c là các số không âm – trong khi
bài toán đã cho không đề cập đến điều đó (sai lầm cần tránh trong quá trình làm bài). Nếu có một chút trí
nhớ và tư duy chứng minh bất đẳng thức Cauchy 3 số thì việc sử dụng hằng đẳng thức sau cũng không xa
lạ gì nữa:
a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca)
= (a + b + c)
2 2 2
1 1 1
2 2 2
a b b c c a



.
Như vậy, (*) (a + b + c)
2 2 2
1 1 1
2 2 2
a b b c c a



= 0
a + b + c = 0 a = b = c.
Bài giải: Đặt a = x, b = x + 1 và c =
32x
thì:
a3 + b3 + c3 = 2x3 + 3x2 + 4x + 3.
Lúc này phương trình đã cho trở thành:
a3 + b3 + c3 = 3abc a3 + b3 + c3 – 3abc = 0
(a + b + c)
2 2 2
1 1 1
2 2 2
a b b c c a



= 0
00
0
a b c a b c
a b b c c a a b c



(1)
(2)
+) (1) x + (x + 1) +
32x
= 0
3
2 1 2xx
(2x + 1)3 = –x – 2 (x + 1)(8x2 + 4x + 3) = 0 x = –1.
+) (2) x = x + 1, vô lí.
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = –1.
Nhận xét: Việc phát hiện được x3 + (x + 1)3 + (x + 2) = 2x3 + 3x2 + 4x + 3 là mấu chốt của lời giải này.
Chính vì vậy tư duy khi dùng hằng đẳng thức bậc ba này cần được đưa vào “danh sách” các dạng đặc biệt
mà ta thường gặp để khi gặp một phương trình có dạng: f(x) = 3g(x).h(x).k(x), trong đó
[g(x)]3 + [h(x)]3 + [k(x)]3 = f(x) thì ta giải tương tự bài toán trên.
Trích đoạn “ CHINH PHỤC PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ tập I” – Hồ Văn Diên
Cuốn sach chính thức phát hành vào ngày 25/10/2014 tại 101 Nguyễn Ngọc Nại, Thanh Xuân, Hà Nội
Tất nhiên, bài toán trên chỉ là một trong những bài toán được che giấu một cách chưa kĩ càng. Ở các
bài toán khác thì có thể người ta sẽ không tách g(x), h(x), k(x) ở dạng tích riêng rẽ, mà có thể “nhóm gộp”
ở dạng [g(x).h(x)] hay [h(x).k(x)], hoặc có thể “ẩn đi số 3”,… để che giấu vấn đề kĩ hơn (sẽ được gặp trong
phần bài tập áp dụng).
Ví dụ 8: Giải phương trình
1 3 9 3 9.x x x x
Định hướng: Với bài toán này thì không khó khăn khi đặt các ẩn phụ để dễ dàng nhận định phương trình
hơn:
31 1 0 1 1 0.
9
ax ab a b a ab b a b
bx


Gần như biến đổi đẳng thức kiểu (1 ± a)(1 ± b) = 0 đã đi vào “huyền thoại” nên việc phân tích nhân tử
kiểu này không hề khó khăn, khi mà khai triển ra chỉ có 4 số hạng (1; ab; a; b) chỉ cần nhóm hợp lí
từng cặp 2 số hạng (thường là nhóm ab với a; hoặc ab với b) phát hiện được nhân tử.
Giải: Điều kiện x –3. Phương trình đã cho tương đương với:
1 3 3 9 9 0x x x x


1 3 9 3 1 0x x x
1 3 1 9 0xx
3 1 2 ( )
8 ( )
91
xx
x
x


tháa m·n
lo¹i
Phương trình có nghiệm duy nhất x = –2.
Lưu ý: Cực kì để ý điều kiện xác định, tránh sai lầm đáng tiếc là nhận giá trị x = –8 là nghiệm ở bước cuối
cùng.
Ví dụ 9: Giải phương trình
2 23 22 7 17 3 3 1 5 1.xxx xxx 
Phân tích: Với hình thức khá “khủng” như thế này thì ta thiên về hướng phát hiện điều đặc biệt hơn là
dùng phương pháp “trâu bò” như nâng lũy thừa. Để ý phương trình có 4 số hạng, đồng thời thì bậc các đa
thức ở trong dấu căn lần lượt là bậc 3; bậc 1 và bậc 2 3 = 1 + 2 phán đoán đa thức bậc ba có thể là
tích (hoặc một lượng là k lần tích) của hai đa thức còn lại. Thử: (2x – 3)(x2 + 5x – 1) = 2x3 + 7x2 – 17x +
3 nghi ngờ đúng. Thực hiện phép nhóm ta được ngay nhân tử!
Bài giải: Điều kiện
2
32
0
3
5 1 0 .
2
2 7 17
3
0
2
3
xx
xx
x
x
x


Phương trình đã cho tương đương với:
22
2 3 5 1 2 3 1 5 1 0x x x x x x



22
5 1 1 2 3 5 1 1 0x x x x x
25 1 1 2 3 1 0x x x
22
05
5 1 1 5 0
2
24
2 3 1
xx
x x x x
x
x
x


Kết hợp điều kiện xác định, kết luận tập nghiệm của phương trình S = {2}.
Ví dụ 10: Giải phương trình
33
23
31 1 1 1.x x x x
Định hướng: Liên tưởng hằng đẳng thức (x3 + 1) = (x + 1)(x2 – x + 1), từ đây ít nhiều ta cũng đã phát hiện
ra được hướng đi của bài toán!
Trích đoạn “ CHINH PHỤC PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ tập I” – Hồ Văn Diên
Cuốn sach chính thức phát hành vào ngày 25/10/2014 tại 101 Nguyễn Ngọc Nại, Thanh Xuân, Hà Nội
Giải: Phương trình đã cho tương đương với:
33
23
31 1 1 1 0x x x x
322
33
1 1 1 1 1 0x x x x x x



32
33
1 1 1 1 1 0x x x x
32
31 1 1 1 0x x x
3
2
32
1 1 1 1 0
01
11
11
xxx
xx
xx
xx

Phương trình có hai nghiệm x = 0 và x = 1.
Nhận xét: Từ Ví dụ 8 đến Ví dụ 10 thì việc biến đổi để ghép nhân tử là khá dễ, khi chỉ cần nhóm được 2
cặp số hạng thích hợp. Nói chung trong các bài toán sử dụng khai triển (a + 1)(b + 1) = ab + 1 + a + b nên
công việc chính của ta thường là kiểm tra trong phương trình có cặp số hạng a, b nào trong phương trình
có tích ab bằng một số hạng nào đó trong phương trình hay không, từ đó nhóm nhân tử thích hợp. Khi mở
rộng ra khai triển:
(a + m)(b + n) = ab + na + mb + mn, trong đó m, n là hằng số
thì việc phát hiện dạng cũng chủ yếu dựa vào phát hiện tích số ab có trong phương trình! Chúng ta sẽ mở
rộng qua vài ví dụ:
Ví dụ 11: Giải phương trình
2
2 2 1 3 6 1 2 1.x x x x
Giải: Điều kiện x 1. Phương trình đã cho tương đương với:
2
2 2 1 2 1 3 1 2 1 0x x x x
2 1 2 1 1 3 2 1 1 0x x x
2 1 1 2 2 1 3 0xx
5(th a m n)
4 1 1
2 1 1 4
5
4 2 1 9
2 2 1 3 (kh ng th a m n)
8
x
x
x
x
xx


 




á·
« á ·
Phương trình có nghiệm duy nhất x =
5
4
.
Cách trình bày khác: Phương trình đã cho tương đương với:
2
2 2 1 6 1 3 2 1 0x x x x
2 1 2 1 3 2 1 3 0x x x
2 1 1 2 2 1 3 0xx
Hai cách trình bày khác nhau đều cho cùng bản chất là phương trình thu được có cùng nhân tử. Chính vì
vậy việc nhóm – tách khi phương trình có 4 số hạng là khá đơn giản, chỉ cần ghép 2 cặp đơn giản sẽ cho ra
nhân tử (nếu có).
Ví dụ 12: Giải phương trình
2
2 1 5 2 2 5 7 2.x x x x x x
Phân tích: Với phản xạ phân tích nhân tử ta thấy ngay:
5x2 + 7x + 2 = (x + 1)(5x + 2).