348
MỘT SỐ CHÚ Ý TRONG VIỆC SỬ DỤNG DANH TỪ CHỈ SỐ LƯỢNG
TRONG DẠY HỌC MÔN TOÁN BẬC TRUNG HỌC CƠ SỞ
Võ Viết Trí 1
1. Khoa Sư phạm, Trường Đại học Thủ Dầu Một
TÓM TẮT
Đứng ở vị trí của người làm công tác trực tiếp đào tạo "Thầy dạy Toán", chúng tôi thấy được
một số vấn đề về Toán học mà các bạn giáo viên gặp phải khó khăn trong một số tình huống dạy học
cụ thể như là giải thích về số lượng nghiệm của một phương trình, số lượng phần tử của một tập hợp
và thực tế sử dụng khái niệm này trong đời sống và trong chính khoa học toán học. Bài viết này trình
bày cơ sở khoa học và cách giải quyết các vấn đề này sao cho hiệu quả.
Từ khóa: Số lượng phần tử, số lượng nghiệm phương trình.
1. MỞ ĐẦU
Các danh từ chỉ số lượng xác định "một", "duy nhất", "hai",... hiện nay được dùng một cách
không khoa học, nhầm lẫn và thiếu chính xác, việc sử dụng khái niệm này không đúng sẽ làm cho
chúng ta bị lúng túng và thiếu sức thuyết phục khi đứng trước một số tình huống trong dạy học (chúng
tôi sẽ có minh hoạ bên dưới sau khi trình bày cơ sở khoa học cho việc sử dụng các danh từ này). Các
khái niệm toán học sơ cấp cũng như toán học hiện đại hầu hết đều dựa trên một nền tảng lý thuyết về
tập hợp và ánh xạ. Chúng ta hãy bắt đầu nhắc lại khái niệm số lượng phần tử của tập hợp làm cơ sở
của phép đếm.
2. NỘI DUNG
2.1. Cơ sở khoa học
Định nghĩa 1
1. Ta quy ước gọi tập rỗng (ký hiệu
) là tập không có phần tử, số lượng phần tử của tập
là 0.
2. Nếu tồn tại số nguyên dương n và một song ánh từ tập
{1, 2, 3, ..., }n
vào tập A. Khi đó, số n
gọi là số phần tử của tập A.
Như vậy, việc viết tập
12
{ , , ..., }
n
A x x x=
là chưa đảm bảo tập hợp A có n phần tử, muốn có
điều kiện này là phải thêm giả thiết
ij
xx
nếu
ij
.
Ví dụ 1.
1. Số lượng phần tử của tập hợp
{2} {2, 2} {2, 2,...,2}A= = =
là 1 một phần tử.
2. Xét phân số
1
2
, và phân số
2
4
. Ta gán
1
1
2
x=
,
. Chúng ta viết
12
{ , }A x x=
và nếu xem
A là tập con của tập các phân số (nghĩa là mỗi phần tử của A là một phân số) thì tập A có hai phần tử,
nhưng nếu xem A là tập con của tập số thực (hay số hữu tỉ) thì tập A chỉ có một phần tử.
349
3. Xét các ký hiệu
0, 0−
và
0+
, nếu đối tượng xem xét là ký hiệu (hình vẽ) thì
{ 0, 0, 0}−+
là
tập có 3 phần tử ( 3 ký hiệu), nhưng nếu đối tượng xem xét là các số (hay phần tử của tập số nguyên
) thì
{ 0, 0, 0} {0}− + =
là tập hợp chỉ có một phần tử.
4. Trên thực tế, cách dùng này là rất phổ biến, chúng ta dùng một cách hết sức tự nhiên mà
không cần quan tâm đến vấn đề toán học: Chẳng hạn như là: Hai tên nhưng dùng chỉ cho một người;
nhiều đồng tiền cùng một mệnh giá,...
Việc có cơ sở khoa học tốt, giúp chúng ta giải thích một số tình huống một cách thuyết phục và
triệt để. Việc sử dụng không rõ ràng các danh từ chỉ số lượng xác định và không xác định, thoáng qua
thì thấy không quan trọng lắm, tuy nhiên nó có thể gây một số phiền toái nếu như sử dụng không cân
nhắc. Chẳng hạn xem ví dụ sau.
Ví dụ 2. Cho hàm số
2
1
4
yx=
có đồ thị là (P). Tìm trên (P) các điểm M sao cho hoành độ và
tung độ của M là hai số đối nhau.
Bàn luận:
+ Những điểm
00
( , )M x y
thỏa
00
yx=−
gồm có
1(0, 0)M
;
2( 4, 4)M−
.
+ Nếu hiểu – 0 và 0 là hai số đối nhau thì chấp nhận điểm
1
M
.
+ Nếu hiểu theo cơ sở đã nêu thì
1
M
không thỏa yêu cầu vì – 0 và 0 chúng đối nhau nhưng
không là hai số đối nhau. Và với yêu cầu như đề bài toán thì bài này lời giải đúng chỉ có một điểm
2( 4, 4)M−
.
2.2. Một số vấn đề cụ thể khi giảng dạy
Thực tế trong giảng dạy ở các trường bậc THCS, nảy sinh vấn đề chúng ta phân biệt hay không
phân biệt cụm từ "phương trình có hai nghiệm" và cụm từ "phương trình có hai nghiệm phân biệt",
cũng như khi có sự phân biệt hay không phân biệt cụm từ "phương trình có hai nghiệm
12
,xx
" và
cụm từ " phương trình có hai nghiệm phân biệt
12
,xx
", với quan đểm "có sự khác biệt" giữa các cặp
cụm từ nói trên nên dễ có giải thích với học sinh rằng nghiệm kép là "hai nghiệm trùng nhau".
Mặt dù trong chương trình bậc THCS đều không trình bày khái niệm số lượng phần tử của một
tập hợp, số lượng nghiệm của một phương trình một cách tổng quát, nhưng qua các ví dụ cụ thể, các
phương trình cụ thể các khái niệm này hình thành một cách tự nhiên mà ta có thể phát biểu tổng quát
như sau:
Định nghĩa 2
Số lượng nghiệm của phương trình là số lượng phần tử của tập hợp nghiệm của phương trình.
Ví dụ 3.
(i) Phương trình
23 2 0xx− + =
(1)
có tập hợp nghiệm là
{1, 2}S=
. Như vậy phương trình này có 2 nghiệm.
(ii) Phương trình
22 1 0xx− + =
(2)
350
có tập hợp nghiệm là
. Như vậy phương trình này có 1 nghiệm (mặc dù phương trình
này có thể viết
( 1)( 1) 0xx− − =
).
Định nghĩa 3
Cho
0
x
là nghiệm của đa thức
()px
(nghĩa là
0
( ) 0px =
) và k là một số nguyên dương.
1. Ta nói
0
x
là nghiệm bội cấp k của đa thức
()px
nếu như
()px
chia hết cho
0
()
k
xx−
và
không chia hết cho
1
0
()
k
xx +
−
(hay nói cách khác: tồn tại đa thức
()gx
để cho
0
( ) ( ) ( )
k
p x x x g x=−
và không thể biểu diễn
1
0
( ) ( ) ( )
k
p x x x q x
+
=−
, với
()qx
là đa thức).
2. Đặc biệt: Nếu
0
x
là nghiệm bội cấp 2 của
()px
thì
0
x
còn gọi là nghiệm kép của p. Nếu
0
x
là nghiệm bội cấp 1 của
()px
thì
0
x
còn gọi là nghiệm đơn của p.
Ở định nghĩa này, trước đây một số tài liệu, như [2] cuối Định nghĩa 4. trang 106, tác giả có
viết: "Người ta coi một đa thức có một nghiệm bội cấp m như một đa thức có m nghiệm trùng nhau".
Những nghiên cứu cao hơn, nếu có quy ước này thì việc phát biểu một số kết quả có vẻ thuận lợi ở
một số điểm nào đó. Tuy nhiên trong câu phát biểu trên vẫn cho thấy cụm từ "m nghiệm trùng nhau"
là cách nói quy ước cho trường hợp một nghiệm bội chứ không phải nó là định nghĩa cho khái niệm
nghiệm bội. Như vậy, khái niệm "hai nghiệm trùng nhau" là từ ngữ xuất hiện sau khái niệm "một
nghiệm kép" (cái bất biến ở đây là một nghiệm).
Ví dụ 4. Xét đa thức
2
( ) ( 1)( 3 2)p x x x x= − − +
Ta có thể viết:
2
( ) ( 1) ( 2)p x x x= − −
để thấy được tính chất nghiệm của đa thức, và phương
trình
2
( 1)( 3 2) 0x x x− − + =
(3)
có tập nghiệm
{1, 2}S=
. Như vậy phương trình (5) có hai nghiệm trong đó có số 1 là nghiệm kép và
số 2 là nghiệm đơn.
Bàn luận:
Căn cứ chứng cứ khoa học như trên thì:
1. Phương trình (1) là “có hai nghiệm” hay nói “có hai nghiệm phân biệt” là như nhau. Việc nói
“có hai nghiệm phân biệt” chỉ có ý nhấn mạnh thêm.
2. Phương trình (2) là "có một nghiệm", và nói "có một nghiệm kép" là để nhấn mạnh về tính
chất nghiệm được đề cập ở Định nghĩa 2.
3. Tuy nhiên do không đủ lượng tri thức như trên để trình bày cho học sinh phổ thông, nên ở
phổ thông chỉ nói đến nghiệm kép ở phương trình bậc 2:
20 ( 0)ax bx c a+ + =
và nó chỉ tồn tại khi
và chỉ khi
240b ac−=
. Người ta chỉ nói cụm từ "nghiệm kép" mà không định nghĩa khái niệm
nghiệm kép cũng như không giải thích cho học sinh thế nào là nghiệm kép? nếu cố gắng giải thích
thì dễ phạm phải rắc rối.
4. Chúng ta dùng các từ như là "một", "hai", "ba", ... là để chỉ số lượng xác định số phần tử
của một tập hợp.
5. Khi muốn chỉ một số lượng không xác định phần tử của tập hợp (có thể là một và cũng có
thể là hai, ...) thì ta dùng từ chỉ số lượng không xác định như "các", "những". chẳng hạn như:
351
Giả sử gọi S là tập nghiệm của phương trình
20 ( 0)ax bx c a+ + =
(4)
(i) Nếu
12
,x x S
và có đòi hỏi điều kiện
12
xx
thì chúng ta có thể phát biểu rằng: “
12
,xx
là
hai nghiệm của phương trình (4)” hoặc phát biểu nhấn mạnh: “
12
,xx
là hai nghiệm phân biệt của
phương trình (4)”. Đây là cách phát biểu sách giáo khoa thường dùng nhất. (Ở trường hợp này thì
điều kiện cần và đủ để tồn tại
12
,xx
là
240b ac−
.
(ii) Nếu
12
,x x S
và không đòi hỏi điều kiện
12
xx
(nghĩa là
12
xx=
) thì chúng ta có thể
phát biểu rằng: “
12
,xx
là các nghiệm của phương trình (6)” (Ở trường hợp này thì điều kiện cần và
đủ để tồn tại
12
,xx
là
240b ac−
.
Chẳng hạn như: Cho phương trình
220x x m− + =
. Tìm m để phương trình có các nghiệm
12
,xx
thỏa
1 2 1 2
2x x x x+=
(5)
Ở đây ta không quan tâm lời giải, ta chỉ xem
1m=
(lúc này tập hợp nghiệm của phương trình
đã cho là
thì có gì mâu thuẩn hay không?
12
,xx
là các nghiệm của phương trình đã cho nghĩa là
12
;x S x S
. Do đó
12
1, 1xx==
và
(5) đúng. Vậy không có mâu thuẩn.
Một minh chứng sau đây cho thấy rằng, ở chương trình toán 9, SGK cũng không có sự phân
biệt giữa hai cụm từ nói trên. Ta xét định lý Vi-et được phát biểu ở [3], trang 51, SGK lớp 9, như sau:
Nếu
12
,xx
là hai nghiệm của phương trình
20 ( 0)ax bx c a+ + =
thì
12
12 .
b
xx a
c
xx a
+ = −
=
Nếu chúng ta cho rằng cụm từ "hai nghiệm" nói trong phát biểu trên có bao hàm trường hợp
12
xx=
thì phát biểu trên là không đúng, chẳng hạn ta xét phương trình
23 2 0xx− + =
(6)
Tập nghiệm của phương trình (6) là
{1, 2}S=
. Nếu ta chọn
12
1; 1xx==
thì
12
b
xx a
+ −
.
Nếu chúng ta muốn phát biểu Định lý Vi-ét một cách tổng quát hơn thì nên chọn cách phát biểu
như gợi ý dưới đây:
Định lý Vi-ét (Một phát biểu mở rộng)
Nếu
12
,xx
là hai nghiệm hoặc cùng là nghiệm kép của phương trình
20 ( 0)ax bx c a+ + =
thì
352
11
12
12 .
b
xx a
c
xx a
+ = −
=
Tóm lại:
1. Nói đến số lượng nghiệm tức là nói đến định lượng về tập hợp nghiệm.
2. Nói đến nghiệm kép là nói đến định tính (tức là nói về tính chất) của nghiệm.
3. Không có sự phân biệt giữa cụm từ "hai nghiệm" và cụm từ "hai nghiệm phân biệt".
4. Không nên sử dụng quy ước "nghiệm kép" là "hai nghiệm trùng nhau". Ở bậc học phổ thông,
chúng ta không giải thích cho học sinh thế nào là nghiệm kép.
5. Để tránh nhầm lẫn, thì SGK thường dùng cụm từ "hai nghiệm phân biệt" là để nhấn mạnh,
về bản chất, cụm từ này và cụm từ “hai nghiệm” là như nhau.
6. Sử dụng danh từ chỉ số lượng không xác định "các", "những" thay cho từ "hai", "ba", ....
những lúc thích hợp. Chảng hạn như:
(i) Cho phương trình
220x x m− + =
. Tìm m để phương trình có nghiệm.
(ii) Cho phương trình
220x x m− + =
. Tìm m để phương trình có các nghiệm
12
,xx
thỏa mãn
1 2 1 2
2.x x x x+=
Ta hiểu yêu cầu (ii) như sau: Tìm m để tập hợp nghiệm của phương trình đã cho
12
{ , }xx
và
thỏa
1 2 1 2
2.x x x x+=
3. KẾT LUẬN
Vấn đề thay đổi một quan điểm dạy học, muốn thành công cần phải được sự ủng hộ của lực
lượng giáo viên nhưng cũng không thể thiếu của các nhà lãnh đạo giáo dục, những nhà chuyên môn
uy tín và phải thực hiện đồng bộ ở các lớp các bậc học. Bài viết đóng góp một vài quan điểm liên
quan những sai lầm thường mắc phải trong dạy học toán làm nguồn tài liệu cho sinh viên ngành sư
phạm toán học và giáo viên trung học cơ sở.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Trần Tráng (2005), Tôpô đại cương, Nhà xuất bản Giáo dục.
2. Hoàng Xuân Sính (1977), Đại số đại cương, Nhà xuất bản Giáo dục.
3. Phan Đức Chính (Chủ biên) (2014), Toán 9, tập 2, Nhà xuất bản Giáo dục.