Chương 1 TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC THỜI GIAN

Chia sẻ: BA AB | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:38

Thêm vào BST

Báo xấu

197
lượt xem 32
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tín hiệu là sự trình bày thông tin dưới dạng dữ liệu, âm thanh, hình ảnh, video….Có nhiều cách để phân loại tín hiệu nhưng cách ta chia tín hiệu thành dạng tương tự (liên tục theo thời gian) hoặc số (rời rạc thời gian) . Xử lý tín hiệu là sử dụng mạch và hệ thống (gồm cả phần mềm và phần cứng) để tác động lên đầu vào và nhận tín hiệu ngõ ra theo cách mà chúng ta mong muốn. Hệ thống số có rất nhiều điểm thuận lợi hơn so với hệ thống liên tục chẳng...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chương 1 TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC THỜI GIAN

1 Chương 1 TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC THỜI GIAN Tín hiệu là sự trình bày thông tin dưới dạng dữ liệu, âm thanh, hình ảnh, video….Có nhiều cách để phân loại tín hiệu nhưng cách ta chia tín hiệu thành dạng tương tự (liên tục theo thời gian) hoặc số (r ời rạc thời gian) . Xử lý tín hiệu là sử dụng mạch và hệ thống (gồm cả phần mềm và phần cứng) để tác động lên đầu vào và nhận tín hiệu ngõ ra theo cách mà chúng ta mong muốn. Hệ thống số có rất nhiều điểm thuận lợi hơn so với hệ thống liên tục chẳng hạn không có nhiễu, dễ cất dữ và truyền đi. Để chuyển một tín hiệu liên tục sang dạng số, ta phải lấy mẫu tín hiệu, lượng tử và mã hóa giá trị sang dạng nhị phân. Tín hiệu lấy mẫu gọi là tín hiệu rời rạc thời gian. Tuy nhiên, để sử lý tín hiệu trong hệ thống số (chẳng hạn như máy tính), có thể thực hiện được tất cả ba bước trên. Thông thường hai bước cuối, lượng tử và mã hóa nhị phân được hiểu ngầm, vì vậy cụm từ rời rạc thời gian và số tương đương và hoán đổi cho nhau. Bên cạnh tín hiệu mà ta mong muốn, ở đây cũng có những thành phần không được hoan nghênh như nhiễu, can nhiễu …..những thành phần này chúng ta muốn loại bỏ hoặc tối thiểu hóa. Hệ thống có thể là mạch logic đơn giản, những chương trình đơn giản, hoặc những cấu trúc phức tạp bao gồm cả phần cứng và phần mềm như máy tính. Chúng ta sẽ thảo luận những loại hệ thống số khác nhau. Ở đây giả sử hệ thống là tuyến tính và bất biến đổi theo thời gian . Một hệ thống mẫu thường thấy là những bộ lọc. 1.1 TÍN HIỆU LIÊN TỤC THỜI GIAN CONTINUOUS – TIME SIGNALS Là một tín hiệu có sự biến đổi biên độ theo thời gian. Biên độ có thể là hiệu điện thế, dòng, công suất… Tuy nhiên trong mạch và hệ thống, biên độ thường được trình bày dưới dạng hiệu điên thế. Tín hiệu liên tục theo thời gian (hay tín hiệu ana log) có biên độ biến đổi khác nhau theo thời gian. Chúng thường được tạo ra bởi mạch điện tử, những nguồn tự nhiên như nhiệt, âm thanh, video…và được chuyển thành tín hiệu điện tử bằng những đầu dò và bộ chuyển đổi. Tín hiệu được minh họa bằng dạng sóng đ ể dễ dàng quan sát. 1.1.1 Trình bày toán học của tín hiệu Thay vì mô tả tín hiệu bằng từ ngữ hoặc dạng sóng, cách cụ thể và chính xác hơn là diễn tả dưới dạng toán học. Sự trình bày toán học của tín hiệu trong miền thời gian và miền biến đổi thì cần thiết cho sự phân tích , thiêt kế mạch và hệ thống. Một ví dụ đơn giản ở hình 1.1 không thể giải quyết bằng ngôn ngữ miêu tả hoặc mạch. Maïch Circuit IVaøo Ra nput Output R 560Ω C ? 1Vpp – - kHz 1Vññ 11kHz 0,1F 0.1F Hình.1.1:Ngõ rai tín hiệuphaân tích Hình1.9: Baø toaùn là gì?
2 Tín hiệu sin Tín hiệu Sin hoặc sóng sin là tín hiệu tương tự phổ biến nhất. (Hình 1.2). Nó nhẵn, dễ tạo, có nhiều thuộc tính và ứng dụng. Diễn tả toán học được cho bởi. x(t) x(t) = Acos( Ω t + o) (1.1) T A Acos0 0 t –A Hình.1.2: Tín hiệu sin Ở đây A là giá trị đỉnh, Ω là tần số gốc (radians/s), t là thời gian (sec), Φo là pha ban đầu (radians) là phase khi t = 0, Ω = 2F với F là tần số (Hz), T = 1 / F = 2/Ω là chu kỳ (sec). Sự diễn tả bên trên chứa tất cả những đối số cần thiết: biên độ (đỉnh, rms, trung bình), và sự tuần hoàn (chu kỳ, tần số). Ngược lại, dạng sóng, ngoại trừ giá trị hằng số thì không có tín h cô động. Ví dụ: Cho sóng vuông (hình 1.3) biểu thức toán học gồm một phần cho biên độ, một phần cho sự tuần hoàn. T  t 0 x(t) = –A , (1.2) 2 T 0t  +A , 2 x(t) = x(t  nT) , n = 1, 2, 3 … Sóng Sin và vuông là xác định. Với những tín hiệu ngẫu nhiên, nhìn chung ta không thể trình bày dạng toán học của chúng. Nhiễu điện và can nhiễu là những ví dụ của tín hiệu ngẫu nhiên. x(t) A 0 –T/2 T/2 T 2T t –A Hình.1.3: Sóng vuông đối xứng 1.1.2 Một số tín hiệu đặc biệt Ở đây có hai tín hiệu thường được sử dụng trong phân tích mạch và xử lý tín hiệu. (a) Xung đơn vị Xung đơn vị (Hàm delta Dirac) là hình thức cải tiến từ một xung chữ nhật đối xứng với độ rộng xung  và biên độ 1 /  khi  → 0 (Hình.1.4). Biểu diễn toán học (t) =  , t=0
3 t0 0,  ( t )dt  =1 (1.3)  Theo định nghĩa này, (–t) = (t) (1.4) 1 (t) (t-t0) A(t)   t 0  0 t 0 t t0 0 t  2 2 (a) ( b) ( c) (d) Hình.1.4: Xung đơn vị (t ) Xung có biên độ A thay vì 1ta viết A(t) (Hình.1.4c). Nếu xung đơn vị chậm đi to, ta có (t – to) (Hình.1.4d), thì: (t – tO) =  , t = tO (1.5) t  tO 0,   (t  tO )dt t1 (t  tO )dt = 1, t2 t1 < tO < t2 Một tín hiệu x(t) khi nhân với xung đợn vị trễ thời điểm to (t  t 0 ) có giá trị x(to) tại to: x(t)(t – to) = x(to) (1.6) (b) Bậc đơn vị: Hình 1.5 là bậc đơn vị. Tín hiệu tăng đột ngột từ 0 lên 1 tại thời điểm t=0, sau đó duy trì không đổi. Hoạt động giống với sự đóng mở của một công tắc điện tử. Diễn tả công thức toán học: u(t) = 0 , t
4 1.1.3 Tín hiệu phức Đại lượng vật lý tự nhiên, bao gồm tín hiệu là những giá trị thực. Tuy nhiên thỉnh thoảng tín hạng ảo j =  1 được thêm vào để tạo sự thuận tiện về mặt toán học, chẳng hạn như tính toán sự khác nhau về phase của hiệu điện thế và dòng trong mạch điện AC. Sau đây là một tín hiệu phức: x(t) = 5cos  t – j5sin  t Một tín hiệu phức bao gồm phần thực và phần ảo. x(t) = x R (t) + jx I (t) (1.9) Trong hệ tọa độ cực, một tín hiệu phức có thể diễn tả gồm thành phần biên độ và pha (Hình.1.6) x(t) = x R (t) + jx I (t) = x(t ) e j (t ) (1.10) Ảo x(t) x I (t) x(t ) (t) x (t)) 0 (t Thực R Hình.1.6: Tín hiệu phức và tọa độ cực Ký hiệu độ lớn x(t ) và phase Φ(t ) hoặc argx(t) hoặc  x(t). Ta có: x(t )  x 2 ( t )  x 2 ( t ) (1.11a) R I x I (t ) Φ(t )  tan1 (1.11b) x R (t ) Chú ý độ lớn là giá trị tuyệt đối, trong khi biên độ là giá trị có dấu, nhưng ta cũng không cần chú ý tới sự khác nhau của hai thành phần này Ví dụ 1.1.1 Cho một tín hiệu phức . Tìm phần thực, phần ảo, độ lớn và phase. Giải: – Phần thực: x R (t) = 5cos  t – Phần ảo: x I (t) = –5cos  t  1/ 2 – Độ lớn: x(t )  ( 5 cosΩ t ) 2  (5 cosΩ t ) 2  5 2 cosΩ t  5 cosΩ t – Phase: Φ(t )  tan1  tan1 (1) = –450 Không phụ thuộc t 5 cosΩ t Theo sự diễn tả này ta có thể xem một tín hiệu phức như một vector và viết x(t) Ảo x(t) xI(t) xR(t) = x*R(t) (t) 0 - (t) Thực x*I(t) x*(t)
5 Hình.1.7: Tín hiệu phức x(t) và liên hiệp phức x*(t) Hai đại lượng phức có cùng phần thực nhưng đối nhau phần ảo là liên hiệp phức của nhau (Hình 1.7). Vì vậy, với một tín hiệu phức x(t), thì liên hiệp phức của nó là công thức (1.12), x*(t) = xR(t) – jx(t) = x(t ) e  j (t ) (1.12) 1.1.4 Tín hiệu mũ phức Công thức (1.1) là một tín hiệu sin thực. Mũ phức, hay Sin phức thì phổ biến hơn. Biểu diễn chung: x(t )  Ae j (t 0 ) (1.13) Phasor là trình bày vector của tín hiệu (Hình.1.8). Nó tuần hoàn với chu kỳ 2 radians. [] Ảo  t xI(t) x(t) t (t=0)  A 0 0 xR(t) Thực Hình.1.8: Trình bày Phasor dạng mũ Từ một mũ phức, phần sin thực được dẫn xuất bởi hai cách. Đầu tiên lấy phần thực x R (t) = Re[Acos(  t + o) + jAsin(  t + o)] = Acos(  t + o) (1.14) Ảo  x(t) 2xR(t) t A  0 - 0 Thực -t x*(t) -
6 Hình.1.9: Cộng phasor x(t) vào liên hiệp thức x* (t) để hình thành phần thực 2 x R (t ) Đây là hình chiếu của phasor lên trục thực. Cách thức hai là sử dụng hai phasors, x(t) và liên hiệp phức của nó x*(t) (Hình. 1.9), sau đó lấy trung bình.   1 x(t )  x * (t ) x R (t) = 2   1 Ae j Ot O   Ae  j Ot O  = (1.15) 2 Chú ý khi hai phasors quay theo hai hướng đối nghich tại tần số gốc Ω và   , tổng kết quả bằng hai lần sin thực. 1.2 NHIỄU Những sự biến thiên ngẫu nhiên chồng lên tín hiệu biểu diễn thông tin ngoài ý muốn của ta được gọi chung là nhiễu. Trong thiết bị điên tử và mạch, nhiễu phát sinh do sự chuyển động của các electrons (tốc độ không đồng nhất, sự va chạm)….những nhiễu này gọi là nhiễu nhiệt. Những thiết bị điện tử hoạt động dựa trên nhiễu nhiệt cũng phát sinh ra nhiễu. Một số hiện tượng như sẫm chớp, sự đóng mở của công tắc điện tử cũng gây ra xung nhiễu (vì nổ phát sinh biên độ cao). Mặt trời cũng phát sinh nhiễu nhiêt. Nhiễu có thể là nhiễu nội, ngoại hoặc can nhiễu. Một nhiễu đặc biệt, hay can nhiễu, mà chúng ta nên biết là sóng vô tuyến 50Hz/60Hz từ công suất dây điện. Nhiễu này đi vào trong cơ thể chúng ta và mạch điện bằng sóng điện từ trường. Công suất cung cấp cho mạch điện là từ nguồn can nhiễu 50Hz/60Hz. Dựa vào đặc điểm tần số, nhiễu được phân biệt thành nhiễu trắng và nhiễu hồng….Nhiễu trắng tạo sự thuận tiện đối với mô hình cũng như trong tần số vì nó có mật độ phổ công suất S(F) không thay đổi theo tần số F. Hình 1.10 chỉ S(F) có giá trị cố định No/2. Khi nhiễu trắng xuyên qua lọc, nhiễu ngõ ra sẽ không còn trắng vì đặc điểm tần số của lọc. S(F) N0/2 F(Hz) 0 Hình.1.10: Mật độ phổ công suất của nhiễu trắng. 1.2.1 Hàm mật độ phổ và hàm phân bố tích lũy Ở trên là sự phụ thuộc của nhiễu vào tần số. Ở đây ta xét những khía cạnh quan trọng khác của nhiễu. Đầu tiên, nhiễu được mô hình hóa như một biến thiên ngẫu nhiên, chú thích là x. Xác suất sự xuất hiện nhiễu tại những biên độ khác nhau là hàm mật độ xác suất (PDF), hoặc xác suất, chú thích là p(x). Hàm phân bố xác suất, hoặc hàm phân bố tích lũy (CDF), chú thích P(x) định nghĩa như sau: x P(x)   p(x)dx (1.16)  Hai đặc tính cơ bản của biến ngẫu nhiên là trung bình, chú thích m (hoặc  ) , là thành phần momen đầu tiên tại gốc, và phương sai, momen thứ hai, chú ý  2 ,
7   m  E[x]  (1.17) xp(x)dx    σ 2  E[(x  m)2 ]  (x  m)2 p(x)dx (1.18)  Với E là độ lệch chuẩn (hoặc giá trị mong muốn). Bình phương phương sai gọi là độ lệch chuẩn, chú thích  . Trong phân bố đồng nhất, giá trị của x nằm trong dải: 1 p(x)  , axb (1.19) ba PDF và CDF chỉ trong hình 1.11. Trung bình và phương sai tương ứng, p(x) P(x) 1 1 ba 1 2 a m b x a m b x 0 0 Hình.1.11: Phân bố đ ồ ng nhấ t có trung bình m ab m (1.20) 2 (b  a) 2 2  (1.21) 12 1.2.1 Phân bố Gauss. Thực tế, rất nhiều biến đổi ngẫu nhiên có phân bố Gauss (hay phân bố chuẩn). PDF và CDF của nhiễu Gauss trắng tương ứng: 1 p x   e x 2 /2 σ 2 (1.22) 2πσ Fx    px dx x (1.23)   2 là phương sai (  là độ lệch chuẩn). Phân bố có hìnnh dạng của một quả chuông úp (hình 1.12). Xác suất đỉnh (tại x = 0) là p(x) P(x) pP 1 1.0 2  1 1 0,5 2  e 0 - x  x 0 Hình.1.12:Phân bố Gauss có trung bình không và phương sai  2
8 1 1 e 0 / 2  2 pP  (1.24) 2  2  Tại khoảng cách x   xác suất là 1 1 1 1 e  / 2  2 2 p   0,606 (1.25) . 2  e 2  2  Phương sai  càng nhỏ thì chuông càng hẹp, nghĩa là, phân bố được trung tâm h óa. Khi hiệu điện thế DC m bị gián đoạn bởi nhiễu, phân bố xác suất là phân bố gaus s của nhiễu nhưng trung bình được dịch đến một trung bình mới (Hình.1.13). Trung bình m có thể âm hoặc dương. Phân bố xác xuất trở thành. 1 p x   e  x  m  2 /2 σ2 (1.26) 2 πσ p(x) pP p x m + 0 m- m Hình.1.13: Phân bố Gauss có trung bình dương 1.3 LẤY MẪU TÍN HIỆU Tín hiệu tương tự, nói chung, liên tục theo thời gian. Trong xử lý tín hiệu số, chúng ta không sử dụng tín hiệu tương tự mà thay bằng biên độ của nó mà được lấy mẫu tại những khoảng thời gian lặp lại, những biên độ này được gọi là mẫu. Vấn đề ta phải lấy mẫu tín hiệu sao cho những mẫu này trình bày đúng tín hiệu nghĩa là từ những mẫu ta có thể tái tạo lại gần đúng tín hiệu tương tự ban đầu. 1.3.1 Mẫu của tín hiệu liên tục thời gian Lấy mẫu một tín thiệu liên tục thời gian là chuyển nó vào dạng rời rạc thời gian để có thể xử lý trong hệ thống số. Thực sự, sau khi lấy mẫu còn hai quá trình xử lý khác là lượng tử và mã hóa binary. Nhưng thực tế, bộ chuyển đổi tương tự sang số (ADC or A/D) đã thực hiện cả ba bước trên. Tín hiệu tương tự x(t) Mẫu x(nT) 4T 5T t 0 T 2T 3T 6T Hình.1.14: Mẫu tín hiệu tại khoảng lấy mẫu (chu kỳ) T Hình 1.14 diễn tả quá trình lấy mẫu tín hiệu tại khoảng lấy mẫu t=nT, với n là số nguyên, n = 0, 1, 2,.., -1, -2,…. Đây là quá trình lấy mẫu đồng nhất mà ta sử dụng thường xuyên, thực tế hiếm khi
9 đề cập tới lấy mẫu không đồng nhất. Để thuậ n tiện chúng ta ký hiệu mẫu tín hiệu x(t) là x(nT ) hoặc ˆ x ( n) . Cách lấy mẫu tín hiệu? Nhìn hình 1.15. Đỉnh là tín hiệu x(t), giữa là tín hiệu lấy mẫu s(t), đây là những xung hẹp t có biên độ bằng 1. Nhân hai tín hiệu với nhau ta có được những giá trị tức thời của x(t) hay còn gọi là những mẫu x(nT). Vì vậy lấy mẫu thực tế là nhân tín hiệu tương tự x(t) với tín hiệu lấy mẫu (hay hàm lấy mẫu) s(t): x(t )  x(nT )  x(t )s(t ) (1.27) x(t) 0 t (a) Tín hiệu tương tự s( t ) t 1 0 t 2(T ) 6T 8T 4T (b) Tín hiệu lấy mẫu x(nT ) ˆ x ( n) 6T t 0 2T 4T 8T (c) Mẫu (tín hiệu rời rạc thời gian) Hình.1.15: Lấy mẫu bằng xung hẹp (t ) Hình 1.16a minh họa quá trình xử lý, hình 1.16b chỉ một công tắc điện (hình 1.15b) như là cách tiến hành lấy mẫu. Khi công tắc đóng trong thời gian ngắn, tín hiệu cho qua, mở không có tín hiệu xuất hiện. x(t) x(t )  x(t )s(t ) ˆ x ( a) s(t) x(t) x(nT ) ( b) s(t) Hình 1.16: Nguyên tắc lấy mẫu (a) Nhân (b) Công tắc Khoảng thời gian T được gọi là khoảng lấy mẫu hoặc chu kỳ lấy mẫu, f s  1 / T là tần số lấy mẫu (Hz or samples/sec) hoặc tốc độ lấy mẫu. Mẫu được viết như x(nT) nhưng T thường được lấy bằng 1, vì vậy mẫu được ký hiệu chung là x(n). n là chỉ số hoặc mẫu.
10 Nhìn hình 1.14 và 1.16 ta có thể hỏi tốc độ lấy mẫu nào là phù hợp nghĩa là tốc độ lấy mẫu nên quá xa, quá gần hoặc ở giữa. Đây là một câu hỏi lớn và được trả lời như sau. Ví dụ lấy mẫu một sóng sin x(t) có chu kỳ Tx và tần số Fx = 1/Tx tại tốc độ lấy mẫu f s (hình 1.17). Hình 1.17 thể hiện kết quả cùng một sóng sin nhưng khác tần số lấy mẫu f s . Trong trường hợp một fs = 8Fx,, mẫu gần và trình bày tốt tín hiệu (từ mẫu chúng ta có thể tái tạo lại tín hiệu). Trường hợp hai fs = 4Fx, những mẫu này vẫn trình bày tín hiệu (tưởng tượng chúng ta nối lại thành công những giá trị mẫu để lấy lại sóng tam giác khi xuyên qua một lọc tương tự thông thấp để làm trơn ngõ ra ). Trường hợp cuối fs = 2Fx, tốc độ lấy mẫu bằng hai lần tần số tín hiệu. Đây là trường hợp tranh cãi: phu thuộc vào những điểm lấy mẫu sóng có thể hoặc không trình bày lại được tín hiệu. 0 Tx Tx Tx 0 0 (b) fs= 4Fx (a) fs= 8Fx (c) fs= 2Fx Hình.1.17: Lấy mẫu sóng sin có tần số Fx  1 / Tx tại những tốc độ lấy mẫu khác nhau f s 1.3.2 Định lý lấy mẫu Chúng ta xét một tín hiệu liên tục thời gia n x(t) trình bày thông tin chẳng hạn như âm thanh. Phổ tần ˆ số | X ( F ) | được giả sử như trong hình 1.18a, FM là tần số lớn nhất. X(F) (a) F -FM 0 FM F X F  ˆ  -fs/2 fs/2 (b) -2fs -fs -FM 0 FM fs-FM fs fs+FM 2fs Khoảng Nyquist X F  ˆ   (c) -fs -fs/2 0 fs/2 fs 2fs F -2fs X F  ˆ  (d)  fs F -2fs -fs 2fs 0 -fs/2 fs/2
11 Hình.1.18: Phổ tần số hai bên (a) Tín hiệu tương tự, (b) lấy mẫu tín hiệu f s  FM , (c) Lấy mẫu tín hiệu f s  2FM , (d) Lấy mẫu tín hiệu f s  2FM Tín hiệu được lấy mẫu bằng một xung hẹp tuần tự biên độ 1 như trên, chuỗi F ourier (xem phần 3.1) của hàm lấy mẫu là t t  st    cos 2mf t 2 (1.28) s Tx Tx m 1 Tx là chu kỳ cơ bản của tín hiệu x(t ) . Vì vậy mẫu được cho bởi t t  xt   xt st   xt   2  xt cos 2mf t ˆ (1.29) s Tx Tx m 1  Điều này cho thấy phổ tần số X ( F ) của tín hiệu được lấy mẫu bao gồm phổ tần số của tín hiệu tương tự (với một thừa số nhân t/Tx) và những họa tần 2fs, 3fs… Phổ này cũng có thể lấy được bằng cách biến đổi Fourier (xem phần 3.2) thay vì chuỗi Fourier. Trong hình 1.18b giải p hổ không trùng lắp vì vậy chúng ta có thể phục hồi tín hiệu tương tự bằng một lọc thông thấp lọc giải trung tâm, hoặc lọc thông dải lọc những dải băng khác. Tất cả những giải tấn số chứa cùng thông tin nhưng khác tần số. Hình 1.18d chúng ta không thể phục hồi tín hiệu tương tự. Vì vậy trường hợp hạn giới hạn là hình 1.18c. Từ sự quan sát này, định lý lấy mẫu được phát biểu như sau: Để những mẫu trình bày đúng tín hiệu tƣơng tự ban đầu, tần số lấy mẫu phải lớn hơn hai lần thành phần tần số lớn nhất của tí n hiệu tƣơng tự: fs > 2FM (1.30) Tần số giới hạn 2FM được gọi là tốc độ Nyquist, và khoảng tần số trung tâm [-fs/2, fs/2] gọi là khoản Nyquist. Ví dụ nếu một sóng có tần số cơ bản 1 kHz và ọa tần thứ hai 2kHz, sau đó tốc độ lấy mẫu phải l ớn hơn 2 x 2 kHz = 4 kHz, hay lớn hơn 5 kHz. Một ví dụ khác là âm thanh trong h ệ thống điện thoại. Âm thanh bị hạn chế bởi một lọc thông cao tương tự FM = 3.4 kHz, sau đó tần số lấy mẫu phải lớn hơn 2 x 3.4 = 6.8 kHz, hay lớn hơn 8 kHz . Trường hợp trong hình1.18d, đây là hiện tượng aliasing sẽ được thảo luận kế tiếp. 1.3.3 Aliasing Ta muốn biết việc gì xảy ra khi tín hiệu được lấy mẫu dưới tốc độ Nyquist., hay định lý lấy mẫu không thỏa mãn. Nhìn hình 1.19. Tín hiệu tần số thấp x1(t) được lấy mẫu 4 lần tại S1, S2, S3 và S4 trong một chu kỳ tín hiệu, vì vậy fs = 4Fx1. Từ những mẫu chúng ta có thể phục hồi lại x1(t). Cho tín hiệu tần số cao x2(t), ở đây cũng được lấy mẫu 4 lần S1, S2, S3 và S4 trong 9 chu kỳ của tín hiệu này. Vì vậy tần số lấy mẫu (4/9) Fx 2 , lấy mẫu dưới tốc độ Nyquist. Từ những điểm mẫu của x2(t) ta sẽ phục hồi x1(t) mà không phải x2(t). Vì vậy tín hiệu tần số cao khi lấy mẫu dưới ngưỡng sẽ được phục hồi như tín hiệu tần số thấp. Hiện tượng này được gọi là aliasing, và tần số thấp được phục hồi lại được gọi là alias của tín hiệu tần số cao ban đầu. x1(t) x2 (t) . S2 . .S . S1 5 S3 t . S4
12 Hình .1.19:Tín hiệu tần số thấp x1 (t ) và tín hiệu tần số cao x 2 (t ) được lấy mẫu tại cùng những điểm S1 , S 2 , S 3 , S 4 , S 5 Để tránh aliasing, ở đây có hai cách giải quyết: Một là nâng tần số lấy mẫu để thỏa định lý lấy mẫu, cách khác là lọc bỏ thành phần tần số cao không cần th iết từ tín hiệu liên tục thời gian. Chúng ta loại bỏ tần số tín hiệu bằng sự ảnh hưởng của một lọc thông thấp được gọi là tiền lọc chống aliasing, để giữ tần số cao nhất bằng hoặc ít hơn một nửa cường độ tốc độ lấy mẫu. Nếu lọc không hoàn hảo, chúng ta xem như thừa nhận. Ví dụ trong xử lý âm thanh, nếu lọc thông thấp cho phép những tần số trên 3,4 kHz đi qua dù biên độ nhỏ, tần số lấy mẫu phải 8kHz hoặc cao hơn. Hiện tượng aliasing có thể biểu diễn toán học. Xem một tín hiệu mũ phức có tần số F được lấy mẫu tại khoảng thời gian T, mẫu tín hiệu x(nT): j 2FnT x(t )  e j 2Ft  x(nT )  e Bây giờ xem một tín hiệu khác F  mfs , m = 0, 1, 2 … , mà được lấy mẫu để có xm(nT): xm (t )  e j 2( F  mf s )  xm (nT )  e j 2( F  mf s ) n T vì e j 2mf s nT  e j 2mn  1 fsT = 1 and do đó xm nT   e j 2  F mf s   e j 2fnT e j 2mFs nT  e j 2FnT  xnT  (1.31) Kết quả cho thấy hai tín hiệu xm(t) và x(t) tại tần số khác nhau có cùng tốc độ lấy mẫu. khi phục hồi tín hiệu từ những mẫu này, những tín hiệu thuộc khoảng Nyquist [-fs/2, fs/2] (Hình1.18b) sẽ được phục hồi, ngược lại những tín hiệu có tần số bên ngoài khoảng Nyquis có thể bị alise trong khoảng này. Tóm lại, với một tín hiệu tương tự có tần số F được lấy mẫu tại tốc độ fs , đầu tiên chúng ta phải cộng hoặc trừ tần số như sau: f0 = F  mfs , m= 0, 1, 2, . . . (1.32) và sau đó tìm tần số nằm trong khoảng Nyquist, đây là những tần số được phục hồi ví dụ 1.3.1 Một tín hiệu có tần số 50Hz được lấy mẫu 80Hz. Tần số phục hồi là bao nhiêu? Lặp lạ khi được lấy mẫu 120Hz. Giải Với F = 50 Hz, fs = 80 Hz, Tín hiệu được lấy mẫu dưới ngưỡng (không thỏa định lý lấy mẫu). Khoảng Nyquist [-40 Hz, 40 Hz]. Mẫu không chỉ có tần số F = 50 Hz mà còn gồm những tần số F  mfs = 100  m80, m = 0, 1, 2…, đó là những tần số: fo = 50, 50  80, 50  160, 50  240 … = 50, 130, -30, 210, -110, 290, -190 … Chỉ tần số -30 Hz nằm trong khoảng Nyquist, vì vậy tín hiệu phục hồi sẽ là -30 Hz (30Hz và đảo phase ). Tín hiệu này là alias của tín hiệu gốc 50Hz. Chú ý rằng 30Hz là sự khác nhau 80 Hz – 50 Hz. Bây giờ, tần số lấy mẫu 120 Hz thỏa mãn định lý lấy mẫu, vì vậy tần số gốc 50Hz sẽ được phục hồi. Không có những tần số khác fo = 50  m120 = 50, 170, -70, 290, -190, … nằm trong khoảng Nyquist [-60 hZ, 60 Hz], ngoại trừ tần số gốc 50 Hz.
13 Ví dụ 1.3.2 Một hệ thống DSP sử dụng tần số lấy mẫu fs = 20 kHz để xử lý tín hiệu audio có tần số giới hạn 10 kHz, nhưng lọc thông thấp cho phép tần số lên đến 30Hz đi qua dù biên độ nhỏ. Tín hiệu nào chúng ta lấy lại từ những mẫu. Giải Từ tốc độ lấy mẫu fs = 20 kHz, khoảng Nyquist [-10kHz, 10kHz]. Vì vậy những tần số audio 0 – 10kHz sẽ được phục hồi. Những tần số audio từ 10 – 20 kHz là alias trong giải tần số 0–10 kHz. Kết quả là sự méo dạng gây ra bởi sự chồng chập của 3 dải tần số. Chúng ta kết thúc phần này với giản đồ khối của một hệ thống DSP nói chung hình 1.20. Tín hiệu số ngõ ra y(n) từ đơn vị DSP được chuyển từ số sang tương tự (DAC hoặc D/A) trở thành tín hiệu tương tự thô trước khi qua một lọc thông thấp hay hậu lọc. Tín hiệu tương tự tái tạo cuối cùng là x0 (t ) có mẫu như tín hiệu vào x(t) hoặc khác, phụ thuộc vào sự xử lý của khối DSP và chất lượng của những khối khác. Ví dụ 1.3.3 Xét tín hiệu x(t) = 4 + 3cost + 2cos2t + cos3t (t: ms) (a) Tìm tần số Nyquist (b) Nếu tín hiệu được lấy mẫu tại tần số bằng một nửa lần tần số Nyquist frequency, tìm tín hiệu cuối cùng x0(t) là alias của x(t). Giải (a) Vì đơn vị thời gian là ms, tín hiệu có 4 tần số F1 = 0Hz, F2 = 0,5kHz, F3 = 1kHz, F4 = 1,5kHz Tần số cao nhất fmax = f4 = 1.5kHz, tốc độ Nyquist 2x1.5kHz = 3kHz. Tín hiệu được lấy mẫu tại tốc độ lơn hơn 3kHz sẽ không có biệt danh. (b) Khi tín hiệu được lấy mẫu tại 1.5kHz hiện tượng alias sẽ xuất hiện. Bây giờ khoảng Nyquist [-0.75, 0.75)kHz. Hai tần số f1 và f2 nằm trong khoảng này thì không bị biệt danh, ngược lại hai tần số f3 và f4 nằm ngoài khoảng Nyquist thì xuất hiện hiện tượng biệt danh: F30 = F3  mFs = 1mod(1,5) = 1 - 1,5 = - 0,5kHz F40 = F4  mFs = 1,5mod(1,5) = 1,5 - 1,5 = 0kHz Tín hiệu được phục hồi x0(t) có những tần số f10, f20, f30 and f40. Vì vậy tín hiệu tương tự được phục hồi lại có dạng x(t) = 4cos2F1t + 3cos2F2t + 2cos2F30t + cos2F40t = 4 + 3cost + 2cos(-t) + cos0 = 5 + 5cost 10 x(t) x 0(t) 0 t T 2T 3T 4T 5T 6T 7T 8T 9T Hình. 1. 20: Ví dụ 1.3.3 (tín hiệ u cho x(t) và tín hiệ u phụ c hồ i x0(t))
14 Tín hiệu x(t) và x0(t) vẽ trong hình. 1.20. x0(t) nằm bên trọng khoảng Nyquist, nghĩa là nó chứa những thành phần tần số thấp và trơn hơn. Phổ của x(t) và những thành phần phổ trích ra cũng nằm trong khoảng Nyquist (Hình. 1.21). Như đề cập ở trước, một tiền lọc tương tự thông thấp được sử dụng để loại bỏ những tần số vào không cần thiết để tần số lấy mẫu không quá cao. Khi lọc không phải là lọc lý tưởng nó sẽ khó để loại bỏ những thuộc tính alias. Ví dụ 1.3.4 Một tín hiệu audio gồm những thành phần (t) = 2Acos10t + 2Bcos30t + 2Ccos50t + 2Dcos60t + 2Ecos90t + 2Fcos125t (t: ms) Tín hiệu đi qua một tiền lọc tương tự H(f) và sau đó được lấy mẫu tại tốc độ 40kHz, cuối cùng được phục hồi bằng một lọc tương tự lý tưởng –fs/2, fs/2 (Hình. 1.21a) xâ(t) Tieàn loïc Laáy maãu Khoâi phuïc xa(t) x(t) x0(t) x(nT) H(f) 40kHz lyù töôûng Tín hieäu Tín hieäu Tín hieäu Tín hieäu töông töï soá töông töï töông töï sau loïc (caùc maãu) taùi laäp vaøo Hình 1. 21a: Ví dụ 1.3.4 (Mộ t hệ thố ng ayudio DSP) Tìm tín hiệu tương tự được phục hồi x0(t) với những điều kiện như sau: (a) Không có tiền lọc, nghĩa là H(f) = 1 tại tất cả tần số (b) Khi H(f) là một lọc thông thấp lý tưởng có tần số cắt tại 20kHz. (c) Khi H(f) là lọc thực tế có những đặc tính cho như trong hình 1.21b, nó bằng từ O0t0 20Hz và sau đó dốc 60dB/octave. Bỏ qua hiệu ứng pha Giải Tín hiệu audio có những thành phần FA = 5kHz, FB = 15kHz, FC = 25kHz, FD = 30kHz, FE = 45kHz, FF = 62,5kHz Vì chỉ những thành phần FA a nd FB là tín hiệu, vì vậy tín hiệu được cho có dạng x0(t) = x01(t) = 2Acos10t + 2Bcos30t Ta thay cosin bằng thành phần phức và lấy biến đổi Fourier. Thành phần thứ nhất là 2 A cos 2FAt  Ae 2jFAt  Ae 2jFAt  A F  FA   A F  FA  (1.34) H(f) 1 -30dB/octave -30dB -60dB/octave -60dB lyù töôûng f 0 20 40 60 kHz HÌnh 1.21b: Tiế p ví dụ 1.3.4c (phổ củ a x(n))
15 Lặp lại quá trình lấy mẫu với phổ là tích dƣơng và âm của fs. Những thành phần C, D, E, F nằm bên ngoài khoảng Nyquist [-20, 20]kHz là những tần số alias FC=25  = FC - Fs = 25 - 40 = - 15kHz  = FD - Fs = 30 - 40 FD=30 = - 10kHz  = FE - Fs = 45 - 40 FE=45 = 5kHz FF=62,5  = FF – 2Fs= 62,5 - 2x40 = - 17,5kHz (a) Khi ở đây không có tiền lọc, tín hiệu ra x(t) giống tín hiệu vào x a(t). Hậu lọc phục hồi những thành phần tần số nằm trong khoảng Nyquist [-20kHz, 20kHz) và tín hiệu bị alias trong khoảng này: x0(t) = 2Acos10t + 2Bcos30t + 2Ccos(-215t) + 2Dcos(-210t) + 2Ecos25t + 2Fcos(-217,5t) = 2(A+E)cos10t + 2(B+C)cos30t + 2Dcos20t + 2Fcos35t (1.35) Tín hiệu audio bao gồm tín hiệu gốc 5 và 15kHz với hai tần số alias10 và 17.5kHz. Vì vậy tín hiệu audio ngõ ra x0(t) khác với tín hiệu vào xa(t). (b) Khi sử dụng lọc thông thấp lý tưởng với tần số cắt f2/2 = 20 kHz tín hiệu x(t) cũng như tín hiệu x01(t) chứa những tần số fA và fB như trước, tất cả những tần số khác được loại bỏ. Vì vậy, ở đây không có alias. (c) Khi sử dụng lọc thực tế như hình 1.21b, thành phần tín hiệu ngõ ra của lọc được thay bằng biên độ và pha. Ví dụ, thành phần fA sẽ là 2 A cos 2FAt H  2 A H FA  cos2FAt  FA   Bở qua sự thay đổi pha, ngõ ra x(t) = 2AH(FA)cos10t + 2BH(FB)cos30t + 2CH(FC)cos50t + 2DH(FD)cos60t + 2EH(FE)cos90t + 2FH(FF)cos125t Vì thành phần fA và fB nằm trong vùng nơi đáp ứng lọc là 1 (0 dB) vì vậy H(fA)=H(fB)= 1 (-19.3dB)  Y(f)  (-35.1dB) B A A B DC CD (-70.1dB) E E (-98.6dB) F F f -70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50 60 70 kHz khoaûng Nyquist Ví dụ 1.21d: Tiế p ví dụ 1.34d continued (phổ ngõ ra vớ i lọ c thự c tế ). Ta biết rằng n octave được định nghĩa như sau F  F2 n  log 2  2   2n or (1.36) F   1 F1 Số octave từ tần số cắt fa/2 là FC 25  log 2  0.322 octave log 2 Fs 2 20 Vì vậy sự giảm tại FC là 60dB/octave x 0.322 octave = 19.3dB
16 Ngược lại, sự giảm AdB tại tần số F tương ứng với tần số cắt fs/2 H F  H F   10  A 20 AdB  20 log 10 hay (1.37) H  f s 2 H  f s 2 Với H(fs/2)= 1 = 0dB. Vì vậy, đáp ứng biên độ tại fC là H FC   10 19,3 20  1 9 Giống như vậy cho việc tính những đáp ứng biên độ khác. Kết quả: H FD   10 35,1 20  1 57 H FE   10 70,1 20  1 3234 H FF   10 98,6 20  1 85114 Vì vậy ngõ ra x(t) của lọc là 2C 2D x(t) = 2Acos10t + 2Bcos60t + cos50t + cos60t 9 57 2E 2F cos90t + cos125t + 3234 85114 Vì những thành phần tần số bên ngoài khoảng Nyquist bị suy giảm, nên tín hiệu biệt danh cũng giảm. Vì vậy tín hiệu phục hổi là E C   x0(t) = 2  A   cos10t + 2  B   cos30t 3234  9   2F 2D cos20t + cos35t + (1.38) 85114 57 Đáp ứng tần số biên độ của lọc thực chỉ trong hình 1.22. Tần số dừng f sb và độ suy giảm AC giống như khi biệt danh cũng ở mức cho phép. Tần số lấy mẫu được chọn như sau: fs = ft + fch (1.39) Vì vậy tần số Nyquist fs/2 nằm giữa vùng chuyển tiếp. Sự suy giảm tại tần số f so với tần số tham chiếu f0 là H f  A f dB  20 log 10 (1.40) H  f0  Đáp ứng của lọc thông thấp tại tần số f lớn hơn tần số cắt H F   a 1 F lôùn (1.41) FN Với a là hằng số phụ thuộc loại lọc và N là bậc lọc. Sự suy giảm tại tần số cao, a cho bằng 1.
17  H(F)  Tieàn loïc lyù töôûng Vuøng chuyeån tieáp Ac F -F b fs/2 -f pb - fpb fs/2 fsb 0 s daûi daûi daûi thoâng chaän chaän Hình 2.12 : Tieàn loïc choáng bieät danh thoâng thaáp thöïc teá A f dB  20 log 10 N  20 N log 10 F 1 f lôùn (1.42) f Với một lọc thực tế có đáp ứng tần số H(F) phổ ngõ ra là X(f) = H(F)Xa(F) (1.43a) Với Xa(f) là phổ của tín hiệu vào tương tự. Độ suy giảm dB được cho bởi AX(f) = A(f) + AXa(f) (1.43b) Với AX(f) = -20log10 Xf  / Xf 0  , và AXa(f) = -20log10 X a f  / Xf 0  . Khi tín hiệu x(t) được lấy mẫu, phổ của X(f) được lặp lại tại những khoảng lấy mẫu và sự suy giảm AX(f) quyết định sự trùng lắp của phổ được lặp lại, nghĩa là cấp độ của sự biệt danh. Tiền lọc được chọn để sự suy giảm Ax(f) với sự suy giảm Axa(f) của phổ đầu vào đủ cao để giảm alias. Ví dụ 1.3.5 Một tín hiệu audio có đáp ứng biên độ bằng phẳng với những tần số lên đến 4kHz và sau đó giảm 15dB/octave. Tần số lấy mẫu 12kHz. (a) Nếu không sử dụng tiền lọc, tính hiện tượng alias trong tín hiệu mong muốn ở tần số 1 đến 4 kHz. (b) Sử dụng một tiền lọc để giảm những thành phần biệt danh trong tín hiệu audio ở dải tần số hơn. Giải (a) Vì sự lấy mẫu, dải tần số trung tâm của X(F) lặp lại sau mỗi tần số lấy mẫu f s = 12 kHz (Hình. 1.23). Vì tính chất đối xứng của dải phổ nên phầ n cắt cụt bằng nhau và sự suy giảm a và b tại tần số 4 và 8 kHz bằng nhau và bằng a = b = 15dB. Những tần số trong vùng cắt cụt bị suy giảm 15dB hoặc lớn hơn. Vì vậy sự suy giảm không đủ tốt daûi phoå giöõa X(f) laëp laïi thöù -1 -15dB/octave laëp laïi thöù +1 0dB -15dB a b F (KHz) -16 -12 -8 -4 0 4 8 12 16 khoaûng taàn soá giöõa Hình. 1.23 : Ví dụ 1.3.5
18 (b) Nếu một tiền lọc được sử dụng với tần số dải qua F pf = 4 kHz, thì tần số dải dừng là Fsp = fa – Fpb = 12 – 4 = 8 kHz. Sự suy giảm tại tần số này với chình tín hiệu là 15dB. Tại tần số này sự suy giảm của lọc là Asf (dB). Vì a = b và với sự yêu cầu a = 50dB, thì b = 15 + Asb = x  50 (dB) Asb  50 - 15 = 35dB Vì vậy tiền lọc có đáp ứng phẳng lên đến 4kHz, và bắt đầu dừng tại 8kHz Ví dụ 1.3.6 Một tín hiệu tương tự có phổ phẳng lên đến tần số F M, sau đó phổ bị phân huỷ đi α dB/octave. Tiền lọc tự biệt danh có đáp ứng phẳng cũng lên đến tân số F M sau đó đáp ứng giảm β dB/octave. Với yêu cầu bên trong dải tần số lên đến 4 kHz những thành phần bị biệt danh phải giảm hơn A dB. Tìm tần số lấy mẫu nhỏ nhất. Giải Tần số cắt dải qua là Fpb = FM và tần số bắt đầu dải dừng tại f sb = fs – fM. T. Trên tần số fM sự suy giảm tại một tần số chắc chắn F là tổng của sự suy giảm tín hiệu và sự suy giảm của tiền lọc. (1.44) daûi phoå giöõa X(f) laëp laïi thöù -1 -15dB/octave laëp laïi thöù +1 0dB -15dB a b F -4 0 4 fs -fs -FM FM khoaûng taàn soá giöõa Hình. 1.24 : Ví dụ 1.3.6 Sự suy giảm là (α + β) dB/octave. Vì sự đối xứng chẵn của phổ ta có a = Ax(Fsb) = Ax(fs - FM) Vì sự yêu cầu a ≥ A dẫn đến Ax(fs - FM) ≥ A Thay vào (1.44) ta có ≥A Tần số lấy mẫu nhỏ nhất là fs = FM + 2A/(α + β)FM Nếu sự suy giảm α và β được cho ở dạng dB/decode thay vì dB/octave thì log10 được sử dụng thay vì log2 và kết quả sẽ là fs = FM + 10A/(α + β)FM
19 Ví dụ trên chỉ rằng để loại đi tiền lọc can nhiễu biệt danh tần số lấy mẫu phải lớn hơn tóc độ Nyquist (ít nhất một vài lần), lọc thích hợp là một lọc bậc 4. Nếu tần số lấy mẫu gần với tốc độ Nyquist ta phải sử dụng một lọc bậc 10 . Ta kết thúc phần này bằng một giản đồ khối của một hệ thống DSP hoàn hảo hình.1.20). Tín hiệu số ngõ ra y(n) từ đơn vị DSP được chuyển đổi bằng bộ chuyển đổi (DAC or D/A) trở lại thành tín hiệu tương tự sau khi qua một hậu lọc thông thấp. Tín hiệu tương tự phục hổi lại sa u cùng x0 (t ) giống với tín hiệu ngõ ra x(t) hoặc khác phụ thuộc vào sự xử lý của khối DSP và chất lượng của những khối khác. x(t) Antialiasing Analog signal prefilter (lowpass) Digital Digital Signal ADC signal in out DSP DAC Sampling Quantization x(n) y(n) Coding Postfilter Recovered analog signal (lowpass) Hình .1.25 Sơ đồ khối của DSP tổng quát x 0 (t) (t) 1.4 TÍN HIỆU RỜI RẠC THỜI GIAN Như đã phát biểu, mẫu của tín hiệu liên tục thời gian hì nh thành tín hiệu rời rạc thời gian tương ứng. Những mẫu này đã được lượng tử và mã hóa nhị phân để trở thành tín hiệu số thật sự. Tuy nhiên hai quá trình cuối, lượng tử và mã hóa nhị phân có thể được hiểu, vì vậy khi nói rời rạc thời gian hay số chúng ta hiểu giống nhau. x(n) 3 3 2 2 1 1 1 ... .. -3 3 1 . n -4 -2 -1 0 2 4 5 -2 -2 -1 (a) Thời gian vô hạn 3 x(n) 2 2 2 0 0 -2 -1 0 0 0 1 3 4 5 n -4 -3 -1 -1 -2 (b) Thời gian hữu hạn Hình.1.21: Tín hiệu rời rạc thòi gian
20 Hình 1.26 là một ví dụ. Biên độ của những mẫu x(n) có giá trị bất kỳ: dương, âm, không, hoặc không xác định, thực hoặc phức (thường cho là phức). Tín hiệu có thể là vô hạn, tồn tại ở mọi thời gian, hữu hạn, tồn tại trong một khoảng thời gian ngắn, thường lấy xung quanh gốc. Để thuận tiện, chúng ta có thể viết hai tín hiệu ở hình 1.21 như dạng tương ứng sau: x(n) = [ ... 1, -2, 2, 3, 1, -1, 2, -2, 1, 3 ... ] x(n) = [ -2, -1, 2, 2, -1, 3 ] Hình thức này, tín hiệu rời rạc thời gian gọi là chuỗi (hoặc chuỗi rời rạc thời gian). Chú ý rằng chúng ta phải có mẫu đặc biệt tại gốc, ví dụ viết nét đậm, gạch dưới hoặc kèm theo một mũi tên. 1.4.1 Tín hiệu rời rạc thời gian cơ bản Chúng ta có những tín hiệu rời rạc thời gian cơ bản, giống với trường hợp liên tục thời gian (xem phần 1.1.2). (a) Mẫu đơn vị Mẫu đơn vị hay gọi là xung đơn vị là tín hiệu có biên độ bằng 1 tại gốc và 0 tại nơi khác hình 1.22a (n) = 1 , n=0 (1.45) n0 0, Chú ý rằng tín hiệu rời rạc thời gian không phải những phiên bản được lấy mẫu của bản sao tương tự (xem phần 1.1.2) nhưng (n)  (n) (1.4). x(n) = (n) 1 (a) Mẫu đơn vị -2 -1 0 1 2 3 n x(n) = u(n) (b) Bậc đơn vị 1 ... n -2 -1 0 1 2 3 x(n) = r(n) 1 (c) Dốc đơn vị ... n -2 -1 0 1 2 3 Hình.1.27: Ba tín hiệu cơ bản (b) Bậc đơn vị Bậc đơn vị được định nghĩa như sau (Hình.1.27b) n0 u(n) = 1 , (1.46)