Bài giảng Toán kỹ thuật: Chương 2 - Tích phân và biến đổi Fourier

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:35

Thêm vào BST

Báo xấu

1
lượt xem 0
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng "Toán kỹ thuật" Chương 2 - Tích phân và biến đổi Fourier, được biên soạn gồm các nội dung chính sau: Tích phân Fourier; Phép biến đổi Fourier. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Toán kỹ thuật: Chương 2 - Tích phân và biến đổi Fourier

Chương 2: Tích phân và biến đổi Fourier 2.1 Tích phân Fourier. 2.2 Phép biến đổi Fourier. Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 69
2.1 Tích phân Fourier  Chuổi Fourier: dùng phân tích các tác động là tín hiệu tuần hoàn lên các mạch điện và hệ thống.  Tích phân Fourier: dùng phân tích các tác động là tín hiệu không tuần hoàn lên các mạch điện và hệ thống. Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 70
2.1.1 Tích phân Fourier mũ phức: Xét họ hàm tuần hoàn fT(t), chu kỳ T mà định nghĩa trong khoảng (-T/2, T/2) là :  0  T/2  t  1  f T (t)  1 1  t  1 (2.1) 0 1  t  T/2  2π (2.2) Đặt: ω  T 2 nπ (2.3) Và: ω n  nω  T Thì chuổi Fourier côsin của fT(t) là:  2 sin (ω n ) f T (t)      π  n 1 n co s  n t  ω (2.4) Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 71
2.1.1 Tích phân Fourier mũ phức: (tiếp theo) Nếu định nghĩa Hàm biên độ A() là: 2 π ω0 A(ω)   2 (2.5) sin  π   ω0  2 sin (ω n ) Thì: f T (t)      π  n 1 n co s  n t  ω (2.6)  f T (t)       A (ω n 1 n ) co s  n t  ω (2.7) Khi T   thì vế trái của (2.6) có giới hạn là xung cô lập: 0 |t|  1 f(t)   (2.8) 1 |t|  1 Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 72
2.1.1 Tích phân Fourier mũ phức: (tiếp theo) Mặt khác vế phải của (2.7) có giới hạn là: 2  sin  cos  t d (2.9) π  0     A(ω)cosωtdω (2.10) 0 Vậy ta có thể tiên đoán rằng :  2  sin  cos  t  0 |t|  1  A(ω)cosωtdω  π   d   (2.11) 0 0 1 |t|  1 Chứng minh tương tự ta được : Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 73
Định lý 2.1: Nếu f(t) thỏa điều kiện Dirichlet trên mọi khoảng hữu hạn, và nếu :  |f(t)|dt hội tụ thì:    1  f(t)e  iωt dt  e i t dω  1  f(t + )  f(t  )    2π     2   (2.12) Nếu định nghĩa hàm C() bởi: 1   iωt C(ω)  f(t)e dt (2.13) 2π   Thì f(t) được biểu diễn bởi tích phân Fourier mũ phức::  i t f(t)   C(ω)e dω (2.14)  Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 74
2.1.2 Tích phân Fourier dạng chuẩn: Nếu định nghĩa các hàm hệ số A() và B() bởi:  1 A(ω)   f(t) cos(ωt)dt (2.15)    1 B (ω )   f(t) sin(ω t )dt (2.16)   Thì f(t) được biểu diễn bởi tích phân Fourier dạng chuẩn:  f(t)   [A(ω)cos(t )  B(ω)sin(t )]d (2.17) 0 Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 75
2.1.3 Tích phân Fourier côsin và sin: a) Nếu f(t) chẵn , ta có :  2 A(ω)   f(t) cos(ωt)dt (2.18)  0 Thì f(t) được biểu diễn bởi tích phân Fourier côsin:  f(t)   [A(ω)cos(t )]d (2.19) 0 b) Nếu f(t) lẻ, ta có :  2 B(ω)   f(t) sin(ωt)dt (2.20)  0 Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 76
2.1.3 Tích phân Fourier côsin và sin: (tiếp theo) Và f(t) được biểu diễn bởi tích phân Fourier sin:  f(t)   [B(ω)sin(ωt)]d (2.21) 0  Định lý 2.2: Nếu hàm f(t)  0 khi t < 0 thì vế phải của (2.19) và (2.21) lần lượt bằng hai lần số hạng thứ nhất và thứ hai trong tích phân Fourier dạng chuẩn (2.17) của f(t). Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 77
2.1.4 Tốc độ tiến về 0 của các hàm A() & B(): Khi   , ta có một định lý về tốc độ tiến về 0 của các hàm hệ số A() và B() trong tích phân Fourier tương tự như Định lý 1.4 về tố độ tiến về 0 của các hệ số an và bn trong chuổi Fourier khi n  . Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 78
2.1.5 Ứng dụng tích phân Fourier :  Ta đề cập ứng dụng để tích tích phân suy rộng.  Xét xung cô lập f(t) cho bởi (2.8): 0 |t|  1 f(t)   (2.22) 1 |t|  1 Vì f(t) chẵn nên hàm hệ số A() của nó cho bởi (2.18): 1 2 2 sin  A(ω)  (2.23) π  cos(ωt )dt  0 π  Và f(t) được biểu diễn bởi tích phân Fourier côsin (2.19):  2 sin  cos t f(t)   d (2.24) 0  Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 79
2.1.5 Ứng dụng tích phân Fourier : (tiếp theo)  Áp dụng Định lý 2.1 ta được :  1 |t|  1 2 sin  cos t  (2.25)   d  1/2 |t|  1 0 0 |t|  1   Cho t = 0, ta có :  sin     d  2 0 (2.26) Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 80
2.1.5 Ứng dụng tích phân Fourier : (tiếp theo)  Nếu định nghĩa hàm tích phân sin, ký hiệu Si, bởi : x sin  Si(x)   d (2.27) 0   Ta có : Si() = /2. (2.28)  Cho t = 1, ta được:  sin  cos     d  4 0 (2.29) Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 81
 VD2.1.1: Tích phân Fourier Biểu diễn hàm f(t) dưới dạng tích phân t (   t   ) Fourier? f(t)   0 (  | t | ) Giải   2 2  f(t) là hàm lẻ: B(ω)   f(t) sin(ωt) dt    t.sin(ωt) dt  0 0   2  sin( ωπ )  cos(  )  π  ω2    Biểu diễn f(t) dùng tích phân Fourier:  2sin(ωπ) 2  (/(tt)) 2 f(t)     πω2  cos( ) sin(ωt)d   / 2 (t  )   t  0 0 ( |t|  ) Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 82
 VD2.1.2: Tích phân Fourier côsin Biểu diễn hàm f(t) dưới dạng tích phân 1 (0  t 1) Fourier côsin ? f(t)   0 (1 t ) Giải  1 2 2  Xác định: A(ω)   f(t) cos(ωt) dt    cos(ωt) dt  0 0 2 sin( ω )  πω  Biểu diễn f(t) dùng tích phân Fourier côsin:   2sin(ω)  cos(ωt)d f(t)    πω  0 Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 83
2.2 Phép biến đổi Fourier 2.2.1. Cặp biến đổi Fourier phức: Xét cặp tích phân phức (2.13) và (2.14), đặt: F() = 2.C() (2.30) Ta có cặp biến đổi Fourier phức mới:  F(ω)   f(t).eiωt dt (2.31)   1 iωt f(t)   F(ω).e d (2.32) 2  Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 84
 Định nghĩa 2.1: Gọi f(t) là hàm thỏa mãn điều kiện Dirichlet trên mọi khoảng hữu hạn và :  |f(t)|dt : hội tụ.   Phép biến đổi Fourier là hàm  có miền xác định là tập hợp các hàm f(t) và miền giá trị là tập hợp các hàm F() xác định bởi:  F(ω)  {f(t)}   f(t).eiωt dt (2.33)  Hàm F() = biến đổi Fourier của f(t): F() = [f(t)] (2.34) Và f(t) = biến đổi Fourier ngược: f(t) = –1[F()] (2.35)  Cặp hàm f(t) và F() = Cặp biến đổi Fourier phức. Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 85
2.2.2 Cặp biến đổi Fourier côsin và sin: 1. Nếu f(t) chẵn thì từ cặp tích phân Fourier côsin (2.18) & (2.19) ta có cặp Biến đổi Fourier côsin :  FC (ω)   f(t).cos(t )dt (2.36)   2 f(t)   FC (ω).cos(t)d (2.37)   Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 86
2. Nếu f(t) là lẻ : Thì từ cặp tích phân Fourier sin (2.20) & (2.21) ta có cặp Biến đổi Fourier sin :  FS (ω)   f(t).sin(t )dt (2.38)   2 f(t)   FS (ω).sin(t)d (2.39)   Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 87
 Kết luận:  Nếu ký hiệu phép Biến đổi Fourier côsin là C, ta viết : FC() = C[f(t)]; f(t) = C–1[FC( )] (2.40)  Nếu ký hiệu phép Biến đổi Fourier sin là S, ta viết : FS() = S[f(t)]; f(t) = S–1[FS( )] (2.41) Trong đó: FC() = Biến đổi Fourier côsin của f(t). f(t) = Biến đổi Fourier côsin ngược của FC(). FS() = Biến đổi Fourier sin của f(t). f(t) = Biến đổi Fourier sin ngược của FS(). Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 88