Bài giảng Toán kỹ thuật: Chương 8 - Tích phân phức

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:22

Thêm vào BST

Báo xấu

1
lượt xem 0
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng "Toán kỹ thuật" Chương 8 - Tích phân phức, cung cấp cho sinh viên những kiến thức như: Tích phân đường phức; Tích phân đường thực không phụ thuộc đường đi; Định lý Cauchy và các hệ quả; Công thức tích phân Cauchy và các hệ quả; Công thức tích phân Poisson. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Toán kỹ thuật: Chương 8 - Tích phân phức

Chương 8: Tích phân phức 8.1 Tích phân đường phức. 8.2 Tích phân đường thực không phụ thuộc đường đi. 8.3 Định lý Cauchy và các hệ quả. 8.4 Công thức tích phân Cauchy và các hệ quả. 8.5 Công thức tích phân Poisson. Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 213
8.1 Tích phân đường phức: 1. Định nghĩa: ° A, B = hai điểm trong miền D ° C  AB  Cung trơn từng đoạn  D ° z k   1sự phân chia C ° zk  zk  zk 1 = dây cung ° sk  z k 1zk = cung °  k   k  ik  ñieåm treân sk H8.1 ° f(z) = hàm liên tục trong D Tích phân đường phức của f(z) dọc theo C, từ A đến B, là: n  f (z)dz  nli k1 f ( k )zk m  (8.1) C Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 214
8.1 Tích phân đường phức: (tiếp theo) Nếu A  B, C là Đường kín, ta có Tích phân chu tuyến:  C f (z)dz (8.2) 2. Định lý: (Về chặn trên của tích phân đường phức) ° f(z) LT trên C; f (z)  M, z  C L là chiều dài của C: ; C f (z)dz  ML (8.3) 3. Cách tính tích phân đường phức: ° C cho bởi PT Thông số z(t) = x(t) + iy(t); to  t  t1 t1 (8.4)  C f(z)dz   t 0 f z(t) z '(t)dt   ° f (z)  u(x,y)  iv(x,y)  C f (z)dz   C udx  vdy  i  C vdx  udy (8.5) Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 215
4. Tính chất của tích phân đường phức: z1 z0 ● z f (z)dz    f (z)dz (8.6) 0 z1 z1 z1 ● z kf (z)dz  k  f (z)dz (8.7) 0 z0 z1 z1 z1 ● z  f (z)  g(z) dz   f (z)dz   g(z)dz   (8.8) 0 z0 z0 z1 z2 z1 ● z f (z)dz   f (z)dz   f (z)dz (8.9) 0 z0 z2 Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 216
5. Ví dụ quan trọng: (H 8.2) C = vòng tròn C (zo,r) H8.2 dz 2i (n  0) C n 1  (8.10) (z  z0 ) 0 (n  0) Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 217
 VD 8.1.1: Tính tích phân phức Tính:  zdz C nếu C cho bởiphương trình thông số : [x = 3t; y = t2; – 1  t  4 ] 2 Ta có: z  3t  it  z'  3  i2t; 2 2 z  3t  it  f (z)  z  3t  it Áp dụng công thức: 4 4 2 3 2  zdz   C 1 (3t  it )(3  i2t)dt   [(2t  9t)  i3t ]dt 1 4 t 4 9t 2 34  zdz  C 2 1 it 1  195  65i Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 218
 VD 8.1.2: Tính tích phân phức Tính:  zdz C nếu C là nửa đường tròn. (C) -1 0 1 it  C cho bởi phương trình thông số: z e ;  t 0  z'  ieit ; f (z)  z  eit 0  it it  Thế vào công thức:  zdz   (e )(ie )dt    i C   zdz  i C Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 219
8.2 Tích phân đường thực không phụ thuộc đường đi: 1. Định lý: H8.3  D là Miền đơn liên hoặc Đa liên có biên C trơn từng đoạn (H8.3) :  P(x, y), Q(x, y), P/y, Q/x liên tục trong D  Q P  C Pdx  Qdy      dxdy (8.11) D x y   Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 220
2. Nguyên hàm của dạng vi phân: Nếu trong D, Tích Phân đường thực không phụ thuộc đường đi, thì hàm: (x,y) (x,y)   P( , )d  Q( , )d (8.12) (x 0 ,y0 ) là Nguyên hàm của dạng vi phân Pdx + Qdy; tức là:    P(x,y) vaø  Q(x,y) (8.13) x y Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 221
3. Điều kiện: Để Tích Phân đường thực không phụ thuộc đường đi, ta cần phải có : (x,y)  (x ,y P( , )d  Q( , )d : không phụ thuộc đường đi 0 0) Q P Tức là:   taïi (x,y)  D (ñôn lieân) (8.14) x y Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 222
8.3 Định lý Cauchy và các hệ quả: H8.4 H8.5 1. Định lý Cauchy:  D là Miền đơn liên (H8.4) hoặc Đa liên (H8.5) có biên C trơn từng đoạn.  f(z) giải tích và f '(z) liên tục trong D thì:  C f(z)dz  0 (8.15) Với  = Điểm bất thường của f(z). Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 223
2. Nguyên lý biến dạng chu tuyến:  Nếu C1 có thể biến dạng liên tục thành C2 (H8.5) mà không vượt qua bất kỳ điểm bất thường nào của f(z) thì: C f (z)dz  C f (z)dz (8.16) 1 2 3. Tích phân đường phức không phụ thuộc đường đi: ° D = miền đơn liên (H8.6) ° f(z) giải tích trong D ° 1 và 2 nối z0 với z z z z f( )d  z f( )d 0 0 (8.17) H8.6 (doïc theo 1 ) (doïc theo  2 ) Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 224
4. Nguyên hàm của hàm giải tích: ° D = miền đơn liên (H8.6) ° f(z) giải tích trong D (z) giải tích trong D z và '(z) = f(z) °  (z)  z f ( )d; z  D (8.18) 0 ° (z) = Nguyên hàm của f(z). Tập tất cả NH của f(z) là: F(z) = (z) + C; C = hằng số phức (8.19) 5. Công thức Newton-Leibnits : ° D = Miền đơn liên (H8.7) ° f(z) giải tích trong D H8.7 ° F(z) là 1 nguyên hàm của f(z) z1 z f (z)dz  F(z1 )  F(z0 ) (8.20) 0 Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 225
6. Cách tìm hàm điều hòa liên hợp của u(x,y): ° u(x,y) là Hàm điều hòa trong D. u  u xx  u yy  0 (x,y)  D (8.21) ° HĐHLH v(x,y) của u(x,y) trong D là: (x,y) v(x,y)   u ydx  u x dy (8.22) H8.8 (x 0 ,y0 )  HĐHLH u(x, y) là phần thực của Hàm giải tích: f(z) = u(x,y) + iv(x,y) trong D  Nếu cho 1 họ đường cong CC: u(x, y) = c phụ thuộc thông số c, thì ta tìm được Họ Quĩ Đạo Trực Giao k: v(x,y) = k của họ CC. Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 226
 VD 8.3.1: Tính tích phân phức Cho hàm phức f(z) = z2. Tính: a) I1   f (z)dz |z| 1 1i b) I2   f (z)dz  ? 0 a) Ta có : f(z) giải tích với mọi z trong miền |z| = 1 nên : I1   f (z)dz  0 |z| 1 b) Ta xác định được một nguyên hàm của f(z) là : F(z) = z3/3nên : 1 i 1 i 2 z3 (1i)3 2 2 I 2   z dz  3  3   i 3 3 0 0 2 2 I2    i 3 3 Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 227
8.4 Công thức tích phân Cauchy và các hệ quả: 1. Công thức tích phân Cauchy: ° D = miền đơn liên có biên C (H8.9). ° f(z) giải tích trong D và z0  D. 1 f (z) f (z 0 )   dz (8.23) 2i C z  z0 H8.9 2. Áp dụng để tính Tích Phân Chu Tuyến: Nếu (z) có dạng f(z)/(z – z0) trong đó f(z) giải tích trong D và z0  D thì :  C (z)dz  2if (z0 ) (8.24) Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 228
3. Đạo hàm cấp n của hàm giải tích: Nếu D là miền đơn liên có biên C; f(z) giải tích trong D ; và nếu z0  D thì f(z) có Đạo hàm mọi cấp trong D và: (n) n! f (z) f (z0 )  C (z  z )n1 dz (8.25) 2i 0 4. Áp dụng để tính Tích Phân Chu Tuyến: Nếu (z) có dạng f(z)/(z – z0)n+1 trong đó f(z) giải tích trong D và z0  D thì f (n) (z0 )  C (z)dz  2i n! (8.26) 5. Định lý Morera: Nếu f(z) liên tục trong một miền D và nếu  C f (z)dz  0 với mọi đường kín đơn C trong D thì f(z) giải tích trong D. Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 229
6. Bất đẳng thức Cauchy: Nếu f(z) GT trong D(z0 ,r) (H8.10) và nếu M là GTLN của |f(z)| trên C(z0,r) thì : n!M |f ( n ) (z 0 )|  n (n  0, 1, 2...) (8.27) r H8.10 |f (z0 )|  M, z0  D(z0 ,r) (8.28) 7. Định lý Môđun cực đại: ° D = miền kín có biên C (H8.11). ° f(z) GT trong D và khác Hàm hằng. |f(z)| không thể đạt cực đại tại z0D.  GTLN của |f(z)| xảy ra trên C. H8.11 8. Định lý Môđun cực tiểu: tương tự như trên, với ĐK f(z) ≠ 0. Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 230
 VD 8.4.1: Tính tích phân phức z Tính:  2 C (4  z )(z i / 2) dz với C = đường tròn đơn vị hướng theo chiều dương. z  Ta đặt: f (z)  4 z 2  Có f(z) = giải tích bên trong C (z = ±2 nằm bên ngoài đường tròn).  a = i/2 là 1 điểm bên trong C. Dùng công thức tích phân Cauchy (8.24).  f (z) C (z i / 2) dz  2i.f (i / 2)  2i  i/2 4(i / 2) 2  4 17 Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 231
 VD 8.4.2: Tính tích phân phức ez Tính:  C (z 1)2 dz với C = đường tròn |z – 1| = 3̣ hướng theo chiều dương.  Ta đặt: f(z) = ez.  Có f(z) = giải tích bên trong C.  a = – 1 là 1 điểm bên trong C. Dùng công thức tích phân Cauchy (8.26). f (z) f '( 1) e 1 2 i  2 dz  2i 1!  2i 1!  e C (z 1) Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 232