Bài giảng Toán kỹ thuật: Chương 10 - Lý thuyết thặng dư

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:15

Thêm vào BST

Báo xấu

6
lượt xem 1
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng "Toán kỹ thuật" Chương 10 - Lý thuyết thặng dư, được biên soạn gồm các nội dung chính sau: Phân loại các điểm bất thường; Thặng dư; Định lý thặng dư; Thặng dư tại cực; Zero cấp m; Quan hệ giữa zero cấp m và cực cấp m; Cực đơn của P(z)/Q(z). Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Toán kỹ thuật: Chương 10 - Lý thuyết thặng dư

Chương 10: Lý thuyết thặng dư 10.1 Phân loại các điểm bất thường. 10.2 Thặng dư. 10.3 Định lý thặng dư. 10.4 Thặng dư tại cực. 10.5 Zero cấp m. 10.6 Quan hệ giữa zero cấp m và cực cấp m. 10.7 Cực đơn của P(z)/Q(z). Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 268
10.1 Phân loại các điểm bất thường: 1. Điểm bất thường cô lập (H10.1):  z1, z2, … = Điểm bất thường của f(z).  Nếu có D(z1, r) sao cho trong D không có Điểm bất thường nào khác thì z1 là Điểm bất thường cô lập của H10.1 f(z).  f(z) được khai triển thành chuổi Laurent quanh a = z1. am a1 f(z)       ao  a1(z  a)   an(z  a)n  (10.1) (z  a)m z a (10.1) có giá trị trong Đĩa hở vô tâm D'(a, R2) với R2 = |z – a| là Khoảng cách từ a đến Điểm bất thường gần a nhất. Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 269
2. Cực cấp m (bậc m):  a = cực của f(z) nếu (10.1) chỉ chứa 1 số hữu hạn Lũy thừa âm.  a = cực cấp m của f(z) nếu m là Lũy thừa âm cao nhất .  Phần chính của f(z) quanh cực a cấp m : a m a 1 a 2 g(z)  m    2  (10.2) (z  a) (z  a) za 3. Điểm bất thường chủ yếu: a là Điểm bất thường chủ yếu của f(z) nếu (10.1) chứa vô số Lũy thừa âm. 4. Điểm bất thường khử (bỏ) được: a là Điểm bất thường khử được của f(z) nếu (10.1) không chứa Lũy thừa âm. Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 270
 VD 10.1.1: Phân loại điểm bất thường Chỉ ra các điểm bất thường và cho biết loại của chúng : z2 2z3  z 1 sin(mz) 1cos z a) (z 1) 3 b) 2 (z  4) (z  j)(z 1 2 j) c) (z 2  2z  2) d) z a) z = -1 : cực bậc 3. b) z = 4: cực bậc 2; z = j và 1 – 2j : cực đơn. c) z = – 1 + j và – 1– j : cực đơn. d) z = 0 : điểm bất thường khử được . Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 271
10.2 Thặng dư: 1. Định nghĩa:  a = Điểm bất thường của f(z).  (10.1) là khai triển Laurent của f(z) trong cận D’(a, R2).  a–1 gọi là Thặng dư của f(z) tại Điểm bất thường a. a 1  Res f(z); a (10.3) 2. Tính Tích Phân Chu Tuyến Bằng Thặng Dư: ° a = Điểm bất thường của f(z) (H10.2). ° C =  D'(a, R2) đường kín đơn bao quanh a. ! Trong (9.31), lấy n = –1 rồi thay  bởi z: H10.2  C f(z)dz  2i Resf(z); a (10.4) Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 272
 VD 10.2.1: Xác định thặng dư 3 Dùng chuổi Laurent, xác định Res{f(z); 0} biết : f (z)  ze z  Khai triển f(z) quanh điểm z = 0. Dùng chuổi: 2 3 e 3/z 1     3 z 1 2! 3 z  1 3!  3 z  ... 3/z 1 32 1 33 f (z)  ze  z3 2! z  3! z 2  ...  Theo khái niệm thặng dư: 32 9 Re s{f ; 0}  a  1  2!  2 Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 273
10.3 Định lý thặng dư: ° C = Đường kín đơn (chu tuyến). ° z1,…, zn = n ĐBT của f(z) trong C. H10.3 n  C f (z)dz  2i k 1 Re s f (z); zk   (10.5) Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 274
 VD 10.3.1: Dùng định lý thặng dư 3 f (z)dz biết : f (z)  ze z Dùng định lý thặng dư, tính  |z|  4  Chỉ tồn tại điểm bất thường z = 0 bên trong |z| = 4. 32 9  Theo VD 10.2.1 ta đã tính được: Re s{f ; 0}  a 1   2! 2  Theo định lý thặng dư : n 9  |z|4 f (z)dz  2i1 Re s f (z); z k  2i 2  9i k Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 275
10.4 Thặng dư tại cực: 1. Nhận dạng cực cấp m: a là cực cấp (z) giaûi tích taïi a (z)  f(z)  ; m  (10.6) m của f(z) (z  a) (a)  0 2. Thặng dư tại cực cấp m: 1 dm1  (m1) (a) (10.7) Res{f(z); a}  lim m1 (z  a)m f(z)   (m  1)! (m  1)! za dz 3. Thặng dư tại cực đơn: a  cöïc ñôn  Res f(z);a  lim (z  a)f(z)  (a) (10.8) za Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 276
VD 10.4.1: Tính thặng dư tại cực Xác định thặng dư tại các cực của hàm f(z)  (z1)21(z3) i. z = 3 : cực đơn và ta dùng công thức: Res{f (z),3}  lim{(z  3)f (z)}  lim (z 1)2  1 1 4 z 3 z 3 ii. z = 1 : cực bậc 2 , ta dùng công thức: Res{f (z),1}  lim z 1  1 d 2 1 (2 1)! dz 2 1  (z 1)2 (z 1) 2 (z 3)   lim 1 z 1 (z 3) 2  1 4 Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 277
10.5 Zero cấp m: 1. Định nghĩa zero cấp m: Xét f(z) giải tích tại a. Điểm a là Zero cấp m của f(z) nếu: f(a)  f '(a)    f (m 1) (a)  0 vaø f (m) (a)  0 (10.9) 2. Nhận dạng zero cấp m: a là zero (z) giaûi tích taïi a m (10.10) cấp m  f(z)  (z  a) (z);  của f(z) (a)  0 (z 1) VD 10.5.1: Cho hàm phức: f (z)  (z2)(z3)2  Theo định nghĩa ta có z = 1: zero đơn của f(z). Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 278
10.6 Quan hệ giữa zero cấp m và cực cấp m:  Cho hàm f(z) = P(z)/Q(z), với P(z) và Q(z) giải tích tại a.  Nếu a là zero cấp m của Q(z) và P(a)  0 thì a là cực cấp m của hàm phức f(z). P(a)  0; Q(a) = … = Q(m–1)(a) = 0; Q(m)(a)  0 (10.11) VD 10.6.1: Xác định các cực và zero của hàm phức: (z 1) f (z)  z 4 (1i)z 2 i  Theo định nghĩa ta có z = 2: zero đơn của f(z).  Các cực của f(z) là nghiệm: z4 – (1+i)z2 + i = 0(z2–1)(z2–i) = 0 1 i  1 i z  1,  1, 2 , 2 là các cực đơn của f(z). Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 279
VD 10.6.2: Thặng dư tính tích phân phức Cho C = đường tròn tâm O, bán kính 3, hướng theo chiều dương. Tính: (5z  2)  dz = ? C z(z  2)  z = 0 & z = 2 : các cực đơn, nằm bên trong C. (5z  2)  Thặng dư tại z = 0 là: lim 1 z 0 (z  2) (5z  2)  Thặng dư tại z = 2 là: lim z 4 z2 (5z  2)  dz  2i.[1  4]  10i C z(z  2) Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 280
10.7 Cực đơn của f(z) = P(z)/Q(z): 1. Nhận dạng cực đơn: P(a)  0; Q(a) = 0; Q'(a)  0 (10.12) 2. Thặng dư tại cực đơn:  P(z)  P(a) Re s  ; a  (10.13)  Q(z)  Q '(a) Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 281
VD 10.7.1: Tính thặng dư tại cực đơn 1 Xác định thặng dư tại các cực của hàm f(z)  (z 4 1)  Ta thấy f(z) có 4 điểm cực đều là cực đơn: z = 1/4, 13/4 , 15/4 , 17/4 . Trong trường hợp này thặng dư tại các cực đơn xác định tiện lợi khi dùng công thức: P 1 1 0 Res{f (z),1 / 4}  Q'  4z3  4  3 / 4  0.25  135 P 1 1 0 Res{f (z),13 / 4}  Q'  4z3  49  / 4  0.25  45 P 1 1 0 Res{f (z),15 / 4}  Q'  4z 3  4 15  / 4  0.2545 P 1 1 Res{f (z),17  / 4}  Q'  4z3  4  21 / 4  0.251350 Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 282