Bài giảng Toán kỹ thuật: Chương 7 - Hàm giải tích

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:30

Thêm vào BST

Báo xấu

2
lượt xem 1
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng "Toán kỹ thuật" Chương 7 - Hàm giải tích, cung cấp cho sinh viên những kiến thức như: Định nghĩa hàm biến phức; Giới hạn và liên tục; Đạo hàm; Điều kiện Cauchy – Riemann; Các tính chất của hàm giải tích; Các hàm phức sơ cấp. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Toán kỹ thuật: Chương 7 - Hàm giải tích

Phần III: Hàm Phức và Ứng dụng
Nội dung phần III: Phần này gồm có 6 chương. Chương 7: Hàm giải tích. Chương 8: Tích phân phức. Chương 9: Chuổi hàm phức. Chương 10: Lý thuyết thặng dư. Chương 11: Ứng dụng lý thuyết thặng dư. Chương 12: Phép biến đổi bảo giác. Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 184
Chương 7: Hàm giải tích 7.1 Định nghĩa hàm biến phức 7.2 Giới hạn và liên tục. 7.3 Đạo hàm. 7.4 Điều kiện Cauchy – Riemann. 7.5 Các tính chất của hàm giải tích. 7.6 Các hàm phức sơ cấp. Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 185
7.1 Định nghĩa hàm biến phức: Gọi P là mặt phẳng z và P' là mặt phẳng w. Cho S  P. Hàm biến phức là một Ánh xạ f : S  P‘. u  u(x,y)  Cách cho hàm biến phức: w  f (z)   (7.1) v  v(x,y)  Và các cách cho khác:   (x,y) u  u(r, )   (r, ) ... °  °  °    (x,y) v  v(r, )   (r, )  Nếu A, C, D là Điểm, Đường, Miền trong P thì : f (A )  A', f (C)  C', f (D)  D' Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 186
VD 7.1.1: Hàm biến phức Tìm phần thực và phần ảo của hàm phức: f(z)  iz  z  1  i  Đặt z = x + jy, ta có: f(z)  i(x  iy)  (x  iy)  1  i  1  x  y  i(x  y  1)  Các thành phần : u(x,y)  1  x  y v(x,y)  x  y  1 Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 187
7.2 Giới hạn và liên tục: 1. Định nghĩa: Cho f : D  P' và z0  D. Số w0 gọi là Giới hạn của f(z) khi z tiến đến z0 nếu :  > 0,  > 0: z  D và 0 < |z – z0| <   |f(z) – w0| <   Ký hiệu: lim f (z)  w0 (7.2) z z0  f liên tục tại z0 nếu : lim f (z)  f(z0 ) (7.3) zz0  f liên tục trong D nếu f liên tục tại mọi z của D. Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 188
2. Định lý:  Tổng, Hiệu, Tích, Thương của 2 hàm liên tục thì cũng liên tục (mẫu  0).  Hàm hợp của 2 hàm liên tục cũng liên tục.  f(z) = u(x, y) + iv(x, y) liên tục  u(x, y) và v(x, y) liên tục.  f(z) liên tục tại z0 và f(z0)  0  D(z0,) trong đó f(z)  0.  f(z) liên tục trong D kín và bị chặn  M > 0: |f(z)|< M, zD. Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 189
7.3 Đạo hàm: 1. Định nghĩa: Đạo hàm của w = f(z) tại z0 là (H7.1) : dw f (z0  z)  f (z0 ) (z0 )  f '(z0 )  w'(z0 )  lim (7.4) dz z 0 z H 7.1a H 7.1b Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 190
2. Các tính chất của đạo hàm: ' ' (w1  w2 )'  w1  w2 ' ' (w1w2 )'  w1w2  w1w2 (7.5) ' ' '  w1  w2w1  w1w2   2  w2  w2  Hàm w  f (z)  z không khả vi tại bất cứ điểm nào. Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 191
3. Hàm giải tích:  f(z) Giải tích tại z0 nếu nó có Đạo hàm (Khả Vi) trong miền D(z0, ).  Nếu f(z) giải tích tại z0 thì z0 là Điểm Thường của f(z).  Nếu f(z) không khả vi tại z0 nhưng nếu có D'(z0, ) trong đó f(z) khả vi thì z0 là 1 Điểm bất thường cô lập của f(z).  f(z) Giải Tích trong D nếu nó giải tích tại mọi z của D. Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 192
 VD 7.3.1: Đạo hàm hàm phức Cho hàm phức f(z) = z2, tìm đạo hàm f’(z) dùng định nghĩa đạo hàm của hàm phức ? Ta có: 2 2 2 f (z  z)  f (z)  z  2zz  z  z Thế vào công thức tính đạo hàm: z 2  2zz  z 2  z 2 f '(z)  lim  lim (2z  z)  2z z 0 z z 0 Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 193
7.4 Điều kiện Cauchy – Riemann (CR): 1. Định lý: f(z) giải tích trong D  u, v, ux, uy, vx, vy Liên tục trong D và thỏa điều kiện Cauchy – Riemann. u x  v y (CR1) (7.6a) u y   v x (CR2) (7.6a) f '(z)  u x  iv x (7.7) ° f (z)  z không khả vi tại bất cứ điểm nào. 2 ° f (z)  z chỉ khả vi tại z0 = 0. ° f(z) = z2 khả vi tại mọi z, và f '(z)  2z x ° f (z)  e (cos y  i sin y) khả vi tại mọi z; và f '(z)  f (z) Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 194
2. Điều kiện CR và đạo hàm trong tọa độ cực:  Nếu f (z)  u(r,  )  iv(r, ) thì điều kiện CR là: 1 u r  v  (CR1) (7.8a) r 1 (7.8b) v r   u (CR2) r Và: f sin   i cos  f f '(z)   cos   i sin     (7.9) r r  Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 195
 VD 7.4.1: Điều kiện CR Chứng tỏ rằng hàm phức f(z) = z2 giải tích với mọi z (còn gọi là hàm nguyên (hàm toàn phần)) ?  Ta có:  Suy ra:  Nhận thấy ux = vy và vx = – uy với mọi x, y.  Kết luận : f(z) giải tích với mọi z. Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 196
7.5 Các tính chất của hàm giải tích: 1. Hàm điều hòa: Nếu f(z) giải tích trong D, và nếu u và v có các đạo hàm cấp hai liên tục trong D, thì u và v là hai Hàm điều hòa. u  u  u  0; v  v  v  0 xx yy xx yy (7.10)  v gọi là Hàm điều hòa liên hợp của u. 2. Quỹ đạo trực giao: Nếu f(z) giải tích trong D thì hai họ đường u(x,y)  c (Cc ) vaø v(x,y)  k ( k ) (7.11) là hai Họ Đường Trực Giao. 3. Chỉ chứa z: Nếu f(z) giải tích trong D và nếu thay x  (z  z)/ 2; y  (z  z)/ 2i thì f /  z  0 (f chỉ chứa z) ! (z, z) Gọi là Tọa độ liên hợp của điểm z. Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 197
VD 7.5.1: Tính chất hàm giải tích Chứng tỏ rằng u = cosh(x).sin(y) là hàm điều hòa ? Tìm hàm điều hòa liên hợp v(x, y) thỏa v(0,0) = 0 ? Biểu diễn f(z) theo z ? u 2u Kiểm lại:  sinh x.sin y  cosh x.sin y 2u  2u x x 2 x 2  y2  0 u  2u y  cosh x.cos y y 2   cosh x.sin y u Tìm v: x  sinh x.sin y  v v   sinh x.cos y  C(x) y v x   cosh x.cos y  C'(x)   u   cosh x.cos y y v   sinh x.cos y  C   sinh x.cos y Tìm f(z): f (x, y)  cosh x.sin y  isinh x.cos y f (x,0)  isinh x f (z)  isinh z Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 198
7.6 Các hàm phức sơ cấp: 7.6.1 Hàm mũ phức: 1. Định nghĩa: w  ez  ex (cos y  i si n y) (7.12) 2. Tính chất: ° ez giải tích khắp nơi và (ez )'  ez °   ex vaø   y z ° e  0, z ° ei   cos   i si n  ° ez1 ez2  ez1 z2 ; ez1 / ez2  ez1 z2 ; 1 / ez  e z ° (ez )n  enz (n  Z)  Có tính tuần hoàn: ez 2 i  ez (7.13) Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 199
7.6.2 Hàm lượng giác phức : 1. Định nghĩa: eiz  e iz eiz  e iz cosz  ;sin z  (7.14) 2. Tính chất: 2 2i ° cosz và sinz giải tích khắp nơi và (cosz)'  sinz; (sinz)'  cosz (7.15) ° cos2z  sin 2z  1 (7.16) ° cos(z1  z2 )  cosz1 cosz2  sinz1 sinz2 (7.17) ° sin(z1  z2 )  sinz1 cosz2  cosz1 sinz2 (7.18) ° cos iy  cosh y;sin iy  i sinh y (7.19) ° cos(x  iy)  cosx coshy  i sinx sinhy (7.20) ° sin(x  iy)  sinx coshy  i cosx sinhy (7.21) 3. Và: sin z cos z 1 1 tan z  ;cot z  ;sec z  ;cosecz  (7.22) cos z sin z cos z sin z Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 200
7.6.3 Hàm Hypebôn phức : 1. Định nghĩa: ez  e z ez  e  z cosh z  ,sinh z  (7.23) 2. Tính chất: 2 2 ° coshz và sinhz giải tích khắp nơi và (cosh z)'  sinh z; (sinh z)'  cosh z (7.24) ° cosh2 z  sinh 2 z  1 (7.25) ° cosh(z1  z2 )  cosh z1 cosh z2  sinh z1 sinh z2 (7.26) ° sinh(z1  z2 )  sinh z1 cosh z2  cosh z1 sinh z2 (7.27) ° coshiy  cosy; sinhiy  i siny (7.28) ° cosh(x  iy)  coshx cosy  isinhx siny (7.29) 3. Và: ° sinh(x  iy)  sinhx cosy  i coshx siny (7.30) sinhz coshz 1 1 tanhz  ;cothz  ;sechz  ;cosechz  (7.31) coshz sinhz coshz sinhz Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 201
7.6.4 Hàm Logarit phức : 1. Định nghĩa: Cho z ≠ 0,  ln z  w : e w  z (7.32) H 7.2 H 7.3 2. Cách tìm lnz: (H 7.2) và (H 7.3) B1. Tính uo  ln | z | lnr vaø vo  Argz   (    ) B2. Nhánh Chính: Lnz  ln o z  lnr  i (7.33) B3. Nhánh thứ n: lnn z  Lnz  i2n  lnr  i  i2n (7.34) Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 202