Bài giảng Toán kỹ thuật –Khoa Điện & Điện tử –ĐHBKTPHCM 134
Chương 5: Ứng dụng biến đổi Laplace vào PTVP
5.1 Phương trình vi phân (PTVP) cấp 1.
5.2 Phương trình vi phân cấp 2.
5.3 Hệ phương trình vi phân cấp 1.
5.4 Ứng dụng vào cơ học.
Bài giảng Toán kỹ thuật –Khoa Điện & Điện tử –ĐHBKTPHCM 135
5.1 Phương trình vi phân cấp 1:
a) Định nghĩa:
Xét PTVP cấp 1 tuyến tính, hệ số hằng, có vế hai, có điều kiện
đầu. (5.1a)
o
y(t) ay(t) f(t)
y(0) y
'
(5.1b)
Trong đó t là biến độc lập, y(t) là hàm ẩn miền t, f(t) là hàm vế
hai (kích thích), a và y0 là hằng số, y(0) là giá trị đầu của y(t).
Bài giảng Toán kỹ thuật –Khoa Điện & Điện tử –ĐHBKTPHCM 136
b) Các bước giải dùng biến đổi Laplace:
(s + a)Y(s) = y0+ F(s)
B1. Chuyển sang miền s.
B2. Giải trong miền s.
o
y
F(s)
Y(s)
s a s a
( ) ( ) ( )
c p
Y s Y s Y s
(5.2)
hay
Y(s) y Y (s) F(s)Y (s)
(5.3)
với
1
1
Y (s)
s a
(5.4)
Bài giảng Toán kỹ thuật –Khoa Điện & Điện tử –ĐHBKTPHCM 137
B3. Chuyển ngược về miền t:
c p
y(t) y (t) y (t)
(5.5)
o 1 1
y(t) y y (t) f(t) y (t)
hay (5.6)
at
p
y (t) f(t) e
t
at ax
o
e f(x)e dx
Và:
at
c o
y (t) y e
với(5.7)
t
p 1 o
1
f(x)
y (t) y (t) dx
y (x)
hay (5.8)
Bài giảng Toán kỹ thuật –Khoa Điện & Điện tử –ĐHBKTPHCM 138
c) So sánh với các bước giải trong miền t:
B1. Tìm nghiệm tổng quát yc(t) củaphương trình không vế hai và
có điều kiện đầu liên kết với (5.1a).
y(t) ay(t) 0
'
(5.9)
Đó là:
at
c 1 1 1
y (t) C e C y (t)
(5.10)
B2. Tìm một nghiệm riêng yp(t) củaphương trình có vế hai và
không có điều kiện đầu (5.1a).
B3. Suy ra nghiệm tổng quát y(t) củaphương trình có vế hai
(5.1a). y(t) = yc(t) + yp(t) (5.11)
y(t) = C1y1(t) + yp(t)
hay (5.12)