Bài giảng Toán kỹ thuật: Chương 5 - Ứng dụng biến đổi Laplace vào phương trình vi phân

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:18

Thêm vào BST

Báo xấu

1
lượt xem 0
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng "Toán kỹ thuật" Chương 5 - Ứng dụng biến đổi Laplace vào phương trình vi phân, cung cấp cho sinh viên những kiến thức như: Phương trình vi phân cấp 1; Phương trình vi phân cấp 2; Hệ phương trình vi phân cấp 1; Ứng dụng vào cơ học. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Toán kỹ thuật: Chương 5 - Ứng dụng biến đổi Laplace vào phương trình vi phân

Chương 5: Ứng dụng biến đổi Laplace vào PTVP 5.1 Phương trình vi phân (PTVP) cấp 1. 5.2 Phương trình vi phân cấp 2. 5.3 Hệ phương trình vi phân cấp 1. 5.4 Ứng dụng vào cơ học. Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 134
5.1 Phương trình vi phân cấp 1: a) Định nghĩa: Xét PTVP cấp 1 tuyến tính, hệ số hằng, có vế hai, có điều kiện đầu. y'(t)  ay(t)  f (t) (5.1a)  y(0)  y o (5.1b) Trong đó t là biến độc lập, y(t) là hàm ẩn miền t, f(t) là hàm vế hai (kích thích), a và y0 là hằng số, y(0) là giá trị đầu của y(t). Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 135
b) Các bước giải dùng biến đổi Laplace: B1. Chuyển sang miền s. (s + a)Y(s) = y0 + F(s) B2. Giải trong miền s. Y(s)  yo F(s)  sa sa Y ( s )  Yc ( s )  Y p ( s ) (5.2) hay Y(s)  y o Y1 (s)  F(s)Y1 (s) (5.3) 1 với Y1 (s)  (5.4) sa Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 136
B3. Chuyển ngược về miền t: y(t)  y c (t)  y p (t) (5.5) hay y(t)  y o y1 (t)  f (t)  y1 (t) (5.6)  at với y c (t)  y o e (5.7) Và: y p (t)  f(t)  eat at t e o f(x)eax dx hay t f (x) y p (t)  y1 (t) dx (5.8) o y1 (x) Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 137
c) So sánh với các bước giải trong miền t: B1. Tìm nghiệm tổng quát yc(t) của phương trình không vế hai và có điều kiện đầu liên kết với (5.1a). y'(t)  ay(t)  0 (5.9) Đó là: y c (t)  C1eat  C1y1 (t) (5.10) B2. Tìm một nghiệm riêng yp(t) của phương trình có vế hai và không có điều kiện đầu (5.1a). B3. Suy ra nghiệm tổng quát y(t) của phương trình có vế hai (5.1a). y(t) = yc(t) + yp(t) (5.11) hay y(t) = C1y1(t) + yp(t) (5.12) Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 138
B4. Xác định hệ số C1: Thế t = 0, ta có phương trình xác định hệ số C1. y(0)  y p (0) C1  (5.13) y1 (0)  Lưu ý:  yc(t) = gọi là Đáp ứng tự nhiên, ký hiệu yn(t).  yp(t) = gọi là Đáp ứng cưỡng bức, ký hiệu yf(t). Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 139
 VD 5.1.1: Giải PTVP bậc 1 Dùng biến đổi Laplace giải PTVP sau: y’ + 3y = 13sin(2t). Biết điều kiện biên : y(0) = 6 ? B1: Biến đổi Laplace: 26 sY ( s )  6  3Y ( s )  s2  4 B2: Giải trong miền s : 6 s 2  50 8 2 s 6 Y( s )  2 ( s  3)( s  4)  s 3  (s 2  4)  ( s 2  4) B3: Tìm biến đổi ngược: y(t)   1{Y( s )}  8e 3t  2 cos(2t )  3sin(2t ) Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 140
5.2 Phương trình vi phân cấp 2: a) Định nghĩa: Xét PTVP cấp 2 tuyến tính, hệ số hằng, có vế hai, có điều kiện đầu. ay"(t)  by'(t)  cy(t)  f(t)  (5.14a)  ' y(0)  y o ; y'(0)  y o  (5.14b) Trong đó t là biến độc lập, y(t) là hàm ẩn miền t, f(t) là hàm vế hai (kích thích), a, b, c, y0 và y’0 là hằng số, y(0) và y’(0) là giá trị đầu của y(t). Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 141
b) Các bước giải dùng biến đổi Laplace: B1. Chuyển sang miền s. (as2  bs  c)Y(s)  ay os  by o  ay 'o  F(s) B2. Giải trong miền s. As  B F(s) Y(s)   (5.15) as2  bs  c as2  bs  c hay Y(s) = Yc(s) + Yp(s) (5.16) B3. Chuyển ngược về miền t: y(t) = yc(t) + yp(t) (5.17) Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 142
c) Các dạng hàm của yc(t): As  B P(s) Ta có: Yc (s)  2  (5.18) as  bs  c Q(s) Các trường hợp nghiệm của Q(s) cho trong Bảng 5.1. Bảng 5.1 Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 143
d) Dạng của y(t): y(t)  y c (t)  y p (t) (5.19) Với: y c (t)  C1y1 (t)  C2 y2 (t)  yn (t) (5.20) Và: y p (t)  y f (t) (5.21) Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 144
 VD 5.2.1: Giải PTVP bậc 2 Dùng biến đổi Laplace giải PTVP sau: y’’ + y = t. Biết điều kiện biên : y(0) = 1, y’(0) = - 2 ? B1: Biến đổi Laplace: 2 1 s Y (s)  s  2  Y (s)  s2 B2: Giải trong miền s : 1 s2 1 s 3 Y( s )  2 s (s 2 1)  2 ( s 1)  s 2  (s 2 1)  ( s 2 1) B3: Tìm biến đổi ngược: y(t)   {Y( s )}  t  cos t  3 sin t 1 Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 145
5.3 Hệ phương trình vi phân cấp 1: a) Định nghĩa: Xét hệ PTVP cấp 1 tuyến tính, hệ số hằng, có vế hai, có điều kiện đầu. ' x1 (t)  a11x1 (t)  a12x 2 (t)  f1 (t) (5.22a)  '  x 2 (t)  a21x1 (t)  a22x 2 (t)  f2 (t) (5.22b) x (0)  x ; x (0)  x  1 10 2 20 (5.22c)  Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 146
b) Các bước giải dùng biến đổi Laplace: B1. Chuyển sang miền s. (s  a11 )X1 (s)  a12X2 (s)  x10  F1 (s)    a21X1 (s)  (s  a22 )X2 (s)  x 20  F2 (s) B2. Giải trong miền s. x10  F1 (s)  a12 s  a11 x10  F1 (s) x 20  F2 (s) s  a12 a21 x 20  F2 (s) X1 (s)  ; X2 (s)  s  a11  a12 s  a11  a12  a21 s  a22  a21 s  a22 X1(s) và X2(s) có dạng (5.15). B3. Chuyển ngược về miền t: x1(t) và x2(t) có dạng (5.17) Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 147
 VD 5.3.1: Giải Hệ PTVP bậc 1 x '  2x  3y  x(0)  8 Giải hệ:  Biết:   y '  y  2x  y(0)  3  sX  8  2 X  3Y B1: Biến đổi Laplace:   sY  3  Y  2 X 8 s 17 5 3 B2: Giải trong miền s : X  s 2 3 s  4  s 1  s4 3 s  22 5 2 Y  s 2 3 s  4  s 1  s 4 B3: Tìm biến đổi ngược: x(t)   1{X( s )}  5e  t  3e 4 t y(t)   {Y( s )}  5e  2 e 1 t 4t Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 148
5.4 Ứng dụng vào cơ học: a) Bài toán vật lý: H5.1 P là chất điểm có khối lượng m, hoành độ x(t), vận tốc v(t) và chịu tác động của 3 lực (H5.1) :  f1 = –kx (k > 0) là lực hướng tâm.  f2 = –v (  0) là lực ma sát (lực làm tắt dần).  f3 = f3(t) là ngoại lực, chỉ phụ thuộc thời gian. Vào lúc t = 0, P có hoành độ đầu xo và vận tốc đầu vo. Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 149
b) Mô hình toán:  m x "  x ' k x  f ( t ) (5.23a)   x ( 0 )  x 0 ; x '( 0 )  v 0 (5.23a) c) Đáp ứng tự nhiên: m x "  2 x '  2 x  0  (5.24a) n n n n  x n (0 )  x 0 ; v n (0 )  v 0  (5.24a)  k   và n  (5.25) 2m m Nghiệm miền s là: x os  v o  2 x o P (s ) X n (s )  2  (5.26) s  2s  2 n Q (s ) Gỉa sử n cho trước, ta biện luận theo  (mức độ ma sát) như Bảng 5.2. Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 150
 Bảng 5.2: Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 151