Giới thiệu tài liệu
Chương 12 của bài giảng Toán Kỹ thuật thuộc Khoa Điện & Điện tử - ĐHBKTPHCM tập trung vào phép biến đổi bảo giác, một công cụ quan trọng trong phân tích phức. Chương này bao gồm các khái niệm cơ bản về biểu diễn hình học của hàm biến phức, các phép biến đổi cơ bản như w = z^2, w = e^z, phép biến đổi Mobius, và ứng dụng của chúng trong việc biến đổi các miền hình học như nửa mặt phẳng thành đĩa đơn vị.
Đối tượng sử dụng
Sinh viên ngành Điện và Điện tử, cũng như các ngành kỹ thuật khác có liên quan, nhằm cung cấp kiến thức nền tảng về phép biến đổi bảo giác và ứng dụng của chúng trong giải quyết các bài toán kỹ thuật phức tạp.
Nội dung tóm tắt
Chương này bao gồm các nội dung chính sau:
1. **Biểu diễn hình học của hàm biến phức:** Trình bày cách biểu diễn và ánh xạ các điểm, đường, và miền từ mặt phẳng z sang mặt phẳng w thông qua một hàm phức.
2. **Phép biến đổi** w = z^2 và w = z^n: Nghiên cứu ảnh của các đường và miền khi áp dụng phép biến đổi lũy thừa, bao gồm khảo sát trong cả tọa độ vuông góc và tọa độ cực. Các ví dụ minh họa cách tìm ảnh của đoạn thẳng và đường thẳng qua phép biến đổi này.
3. **Phép biến đổi** w = e^z: Phân tích ảnh của các đường thẳng đứng và ngang khi áp dụng phép biến đổi hàm mũ, cùng với các ví dụ về việc tìm ảnh của hình chữ nhật.
4. **Phép biến đổi bảo giác:** Giới thiệu khái niệm điểm thường và điểm tới hạn của một hàm giải tích, đồng thời trình bày tính chất bảo toàn góc của phép biến đổi bảo giác và ảnh hưởng của điểm tới hạn đến góc giữa các đường cong.
5. **Phép biến đổi Mobius:** Định nghĩa phép biến đổi Mobius và phân tích các phép biến đổi sơ cấp như tịnh tiến, vị tự, và nghịch đảo. Chương này cũng chứng minh tính chất biến đường tròn thành đường tròn của phép biến đổi Mobius và cung cấp các ví dụ về việc tìm ảnh của đường tròn qua phép biến đổi này.
6. **Biến đổi nửa mặt phẳng trên thành đĩa đơn vị:** Trình bày cách sử dụng phép biến đổi Mobius để ánh xạ nửa mặt phẳng trên vào đĩa đơn vị, cùng với các phép biến đổi trung gian và ví dụ minh họa.
7. **Tìm phép biến đổi biến Δ thành Δ’:** Trình bày các bước biến đổi hình quạt vô hạn thành đĩa đơn vị và hình quạt hữu hạn thành nửa mặt phẳng, sử dụng phép biến đổi lũy thừa và phép biến đổi Mobius.
