Bài giảng Toán kỹ thuật: Chương 12 - Phép biến đổi bảo giác

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:34

Thêm vào BST

Báo xấu

2
lượt xem 1
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng "Toán kỹ thuật" Chương 12 - Phép biến đổi bảo giác, được biên soạn gồm các nội dung chính sau: Biểu diễn hình học của hàm biến phức; Phép biến đổi w = z2 và w = zn; Phép biến đổi w = ez; Phép biến đổi bảo giác; Phép biến đổi Mobius; Phép biến đổi Mobius biến (z1 , z2 , z3 ) thành (w1 , w2 , w3 );... Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Toán kỹ thuật: Chương 12 - Phép biến đổi bảo giác

Chương 12: Phép biến đổi bảo giác 12.1 Biểu diễn hình học của hàm biến phức. 12.2 Phép biến đổi w = z2 và w = zn. 12.3 Phép biến đổi w = ez . 12.4 Phép biến đổi bảo giác. 12.5 Phép biến đổi Mobius. 12.6 Phép biến đổi Mobius biến (z1, z2, z3) thành (w1, w2, w3). 12.7 Biến nửa mặt phẳng trên thành đĩa đơn vị. 12.8 Tìm phép biến đổi biến  thành ’. Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 299
12.1 Biểu diễn hình học của hàm biến phức   Mặt phẳng z (x, y, r, q, Q, z, z) Mặt phẳng w (u, v, r, f, F, w, w) H12.1(a) H12.1(b)  (Số phức z  Số phức w)  (Điểm z  Điểm w)  Điểm A  Điểm A'  Đường   Đường ' Chu tuyến C  Chu tuyến C'  Miền D  Miền D' Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 300
VD 12.1.1: Biểu diễn hình học của hàm phức Tìm ảnh của các điểm A(z = – 2 + i) và B(z = 3 + 4i) thông qua phép biến đổi w = 2iz + 3 ? Minh họa trên mặt phẳng phức ? Điểm A(z = -2 + i)  A’(w = 2i(-2 + i) + 3 = 1 – 4i ) Điểm B(z = 3 + 4i)  B’(w = 2i(3 + 4i) + 3 = – 5 + 6i ) Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 301
12.2 Phép biến đổi w = z2 1. Khảo sát trong Tọa Độ Vuông Góc (H12.2 và 12.3): w  z2  u  x 2  y2 ; v  2xy (12.1) H12.2(a) H12.2(b)  Họ Đường Tọa Độ Cc: x = c  Họ Parabôn C'c u  c 2  v 2 / 4c 2  Họ Đường Tọa Độ k: y = k  Họ Parabôn 'k : u  v2/4c2  c2 Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 302
1. Khảo sát trong Tọa Độ Vuông Góc (H12.2 và 12.3): (tiếp theo) H12.3(a) H12.3(b)  Họ Hypebôn Dc: x2 – y2 = c  Họ Đường Tọa Độ D'c : u  c  Họ Hypebôn k: 2xy = k  Họ Đường Tọa Độ 'k : v  k  C'c  'k vaø Dc   k , với mọi c và mọi k. Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 303
2. Khảo sát trong Tọa Độ cực (H12.4): H12.4(a) H12.4(b) w  z 2    r 2 vaø   2 (12.2) Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 304
2. Khảo sát trong Tọa Độ cực (H12.4): (t.theo) Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 305
VD 12.2.1: Phép biến đổi w = z2 Tìm ảnh của đoạn AB thông qua phép biến đổi w = z2 ? Đầu tiên ta tìm ảnh của biên: Điểm A(z = 2)  A’(w = 22 = 4) Điểm B(z = 2i)  B’(w = (2i)2 = – 4)  Tiếp theo: w = z2 → u = x2 – y2 ; v = 2xy  Từ: y = 2 – x → u = x2 – (2-x)2 = 4x – 4 ; v = 2x(2-x) = 4x -2x2 → x = (u+4)/4 → v = (u+4) – (u+4)2/8 → v = – u2/8 + 2 Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 306
VD 12.2.2: Phép biến đổi w = z2 Tìm ảnh của đường y = b thông qua phép biến đổi w = z2 ? Minh họa trên mặt phẳng phức ?  Thế z = x + ib vào w = z2 → u = x2 – b2 ; v = 2xb  Có: u + b2 = v2/4b2 → u = v2/(4b2) – b2  Ảnh của đường y = b là parabôn. Minh họa trên mặt phẳng phức: Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 307
12.3 Phép biến đổi w = ez H12.5(a) H12.5(b) w  ez    ex vaø   y (12.3) Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 308
12.3 Phép biến đổi w = ez (tiếp theo) Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 309
VD 12.3.1: Phép biến đổi w = ez Tìm ảnh của các đường thẳng x = a và y = b thông qua phép biến đổi w = ez ? Biểu diễn trên mặt phẳng phức ?  Thế z = a + iy vào w = ez :  u + iw = ea.eiy  |w| = ea : đường tròn bán kính ea .  Thế z = x + ib vào w = ez :  u + iw = ex.eib  arg(w) = b : tia, tạo góc b (rad) với trục thực.  Biểu diễn trên mp phức: Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 310
VD 12.3.2: Phép biến đổi w = ez Tìm ảnh của hình chữ nhật ABCD (0,5i, 1 + 0,5i, 1 + i, i) thông qua phép biến đổi w = ez ? Biểu diễn trên mặt phẳng phức ?  Theo tính chất phép biến đổi ez:  x = 0  ĐT |w| = e0 = 1. x=1 |w| = e1 = e.  y = 0,5  Tia arg(w) = 0,5.  y = 1  Tia arg(w) = 1.  Biểu diễn trên mặt phẳng phức: Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 311
12.4 Phép biến đổi bảo giác: 1. Điểm thường và Điểm tới hạn của f(z) Giải tích tại z0 (H12.6): f '(z0)  0: z0 là Điểm Thường của Phép biến đổi w = f(z). f '(z0) = 0: z0 là Điểm Tới Hạn của Phép biến đổi w = f(z). H12.6(a) H12.6(b) Nếu z0 là 1 Điểm Thường của f(z) thì  > 0 sao cho nếu D' là ảnh của Đĩa hở D (z0, ) thì sẽ có 1 Hàm Ngược Đơn Trị f –1: D'  D Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 312
2. Biến đổi của chiều dài, góc và diện tích vi phân: H12.7(a) H12.7(b) Tại 1 điểm thường z0 của phép biến đổi w = f(z), đặt: f '(z0 )  f '(z0 ) eiArgf '(z0 )  kei (k  0;      ) (12.4)    Chiều dài của Vectơ VP dz được nhân cho k: d = kdr.    Góc của Vectơ VP dz được cộng với :  =  + .  Diện tích của VP dS quanh z0 được nhân cho k2: dS’ = k2dS. Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 313
3. Tính chất bảo giác: Nếu f(z) G.tích và f '(z)  0 trong D thì P b.đổi w = f(z) Bảo Giác trong D (góc giữa hai đường được giữ nguyên Độ lớn và Chiều) H12.8(a) H12.8(b) dw1  f '(z0 )dz1 ; dw2  f '(z0 )dz2  1  1  ; 2  2   2  1  2  1   (12.5) 4. Trường hợp z0 là điểm tới hạn của f(z): Nếu z0 là 1 zero cấp n của f(z) thì góc giữa C1 và C2 được nhân n lần. Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 314
12.5 Phép biến đổi Mobius (song tt, psố tt): 1. Định nghĩa: Đó là họ Phép biến đổi az  b w  f (z)  (ad  bc  0) (12.6) cz  d 2. Ba phép biến đổi Mobius sơ cấp: w = T(z) = z + z0 (12.7) w = S(z) = z (12.8) 1 (12.9) w  I(z)  z  Phép biến đổi Mobiüs là Hàm Hợp của nhiều Phép biến đổi sơ cấp. Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 315
3. Phép biến đổi w = T(z) = z + z0 : (H12.9)  ° Số phức zo  Vectơ zo  ° Số phức z  Vectơ z   ° Số phức z + zo  Vectơ z  zo    H12.9 ° w  z  zo  w  z  zo (12.10)  Chồng mặt phẳng w lên mặt phẳng z và xem w = T(z) là một Phép biến đổi điểm trong mặt phẳng z.  Điểm z biến thành điểm w qua Phép Tịnh Tiến theo vectơ. T(z) biến Đường Thẳng thành Đường Thẳng; Vòng tròn thành Vòng tròn. Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 316
4. Phép biến đổi w = S(z) = µz : (H12.10) ° z  rei ;   kei ; w  ei !   kr;      (12.11) ° Điểm z có TĐC (r, ). ° Điểm w1 có TĐC (kr, ) . ° Điểm w có TĐC (kr,  + ). H12.10 ! H(O, k) R(O,  ) z  w1  w  Điểm w suy từ Điểm z bằng tích của Hai PBĐ Điểm: i. Phép vị tự H(O, k) biền Điểm z thành Điểm w1. ii. Phép Quay R(O, ) biến Điểm w1 thành Điểm w.  Điểm z biến thành Điểm w qua Phép Đồng Dạng S(O, k, ). Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 317
4. Phép biến đổi w = S(z) = µz : (tiếp theo)  S(z) biến Đường Thẳng thành Đường Thẳng; Vòng Tròn thành Vòng Tròn.  Chứng Minh: Gọi (z, z) là Tọa Độ Liên Hợp của điểm z; và A, B, D là 3 số phức thỏa điều kiện: BB  (A  A)(D  D) (12.12) Phương Trình tổng quát của 1 Vòng Tròn C trong MP z là: (A  A)zz  Bz  Bz  (D  D)  0 (12.13) và Phương Trình của đường biến đổi C’ của C là: (A  A)ww  (B )w  (B )w  (D  D)  0 (12.14) Có cùng dạng như C, nên C' là Vòng Tròn.  Nếu A  A thì “Vòng Tròn” trở thành Đường Thẳng. Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 318