Bài giảng Toán kỹ thuật: Chương 11 - Ứng dụng của thặng dư

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:16

Thêm vào BST

Báo xấu

3
lượt xem 1
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng "Toán kỹ thuật" Chương 11 - Ứng dụng của thặng dư, được biên soạn gồm các nội dung chính sau: Tính tích phân xác định hàm lượng giác; Tính tích phân suy rộng hàm hữu tỷ; Tìm biến đổi Fourier; Tìm biến đổi Laplace ngược. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Toán kỹ thuật: Chương 11 - Ứng dụng của thặng dư

Chương 11: Ứng dụng của thặng dư 11.1 Tính tích phân xác định hàm lượng giác. 11.2 Tính tích phân suy rộng hàm hữu tỷ. 11.3 Tìm biến đổi Fourier. 11.4 Tìm biến đổi Laplace ngược. Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 283
11.1 Tính tích phân xác định hàm lượng giác: Gọi F(cos, sin) là 1 Hàm hữu tỷ của (cos, sin) hữu hạn trên khoảng kín  = [0, 2] (H11.1a) 2 1. Định nghĩa: I F(cos ,sin )d (11.1) 0 H11.1(a) H11.1(b) Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 284
2. Cách tính tích phân xác định hàm lượng giác:  Đổi biến z  ei , ta có: 2 2 z 1 z 1 dz cos   ;sin   ;d  2z 2iz iz  Đồng thời, đường tích phân  biến thành Vòng Đơn Vị C : |z| = 1 (H11.1b)  z2  1 z2  1  dz  Đặt: F  ;   f (z)dz  2z 2iz  iz n I  C f (z)dz  2i k 1 Res f (z); z k  (|z k | 1)  (11.2) Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 285
3. Các bước để tính I : B1. Tính f(z) từ phần 2.; f(z) là Hàm Hữu Tỷ P(z)/Q(z). B2. Chọn các cực zk của f(z) có biên độ |zk| < 1 . B3. Tính Thặng Dư tại mỗi cực đó. B4. Tính tổng Thặng Dư rồi nhân cho 2i . Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 286
VD 11.1.1: Tính tích phân hàm lượng giác 2 d Dùng thặng dư, tính tích phân: I 24 8cos  0 dz z 2 1 Xác định f(z): d  iz & cos   2z d dz dz i dz 24 8cos   z 2 1  i[24z 4z2 4]  4 [z 2  6z 1]  f (z)dz iz[24  4 ] z Cực f(z) bên trong VTĐV: z1  3  2 2 i 1 i Tính thặng dư: Res{f (z);z1}  4 [2z1 6]   16 2 i  Cuối cùng: I  2i 16 2 8 2 Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 287
11.2 Tính tích phân suy rộng hàm hữu tỷ: Gọi f(x) = P(x)/Q(x) là 1 Hàm hữu tỷ sao cho bậc P  bậc Q + 2 và Q(x) không có nghiệm thực.  1. Định nghĩa: I f(x)dx (11.3)  2. Cách tính: Theo (H11.2) ° Gọi C = Biên của Nửa MP Trên. I  C f (z)dz n  2i  Res f (z);z k  (Im z k  0) k 1 H11.2 (11.4) Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 288
3. Các bước để tính I: B1. Chọn các cực zk của f(z) có Phần ảo Im(zk) > 0. B2. Tính Thặng Dư tại mỗi cực đó. B3. Tính Tổng Thặng Dư rồi nhân cho 2i .  (11.4) vẫn đúng nếu f(z) thỏa các Điều kiện sau: i. f(z) giải tích trong P : Im z  0, trừ ở một số hữu hạn cực zk không nằm trên trục thực Im(z) > 0. ii. zf(z) Hội tụ đều về zero khi z   trong P  . Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 289
VD 11.2.1: Tính tích phân hàm hữu tỷ  x2 Dùng thặng dư, tính tích phân: I 4 dx  1 x  Thỏa đk hội tụ. Các cực ở nửa trên mp phức: z 1  1  ; z 2  1 4 3 4 2 Tính thặng dư tại các cực: z1 Res{f ,z1 )  4z3  0.25  45o 1 z2 Res{f,z2 )  4z3  0.25135o 2 2 Cuối cùng: o o  I  2i[0.25  45  0.25  135 ]  2 Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 290
11.3 Tìm biến đổi Fourier: Gọi f(x) = hàm như trong 11.2.. 1. Định nghĩa: ° Biến đổi Fourier côsin của f(x) là:  C { f ( x)}  FC (a )   f ( x)cosaxdx (11.5)  ° Biến đổi Fourier sin của f(x) là:   S { f ( x)}  FS (a )   f ( x)sinaxdx (11.6)  2. Cách tính: n FC (a)  i FS (a)  2i  Res{eiaz f(z); zk } (Imz k  0) (11.7) k 1 Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 291
3. Các bước để tính FC(a) và FS(a): B1. Chọn các cực zk của f(z) có Phần ảo Im(zk) > 0. B2. Tính Thặng Dư của (z) = eiazf(z) tại mỗi cực đó. B3. Tính Tổng Thặng Dư rồi nhân cho 2i, ta có số phức A + iB . B4. Suy ra FC(a) = A và FS(a) = B .  Cực của f(z) và cực của (z) giống nhau vì hàm eiaz : i. Giải tích khắp nơi (không có cực). ii. Khác không khắp nơi (không có zero). Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 292
VD 11.3.1: Tính tích phân Fourier  cos x Dùng thặng dư, tính tích phân: I 2 dx  ( x 1)  Thỏa đk hội tụ. Các cực ở nửa trên mp phức: z1 = i. Tính thặng dư tại z1 của (z) = eiz.f(z) : ei ( i ) e 1 Re s{f (z), z 1}  2 (i )  2i  cos x e 1 Cuối cùng: I   x 2 1 dx  Re{2i  }     2i  e Dễ thấy:  sin x e 1 Is   dx  Im{2i  }  0  x 2 1   2i Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 293
11.4 Tìm biến đổi Laplace ngược: 1. Tích phân Laplace ngược: H11.3(a) H11.3(b) ° Biến đổi Laplace thuận của hàm f(t) của biến thực t là (H11.3a).   f(t)  F(s)   f(t)e  st dt (11.8) 0 ! Tích Phân Suy Rộng được lấy dọc theo tia 0 < t <  trong mặt phẳng t. Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 294
1. Tích phân Laplace ngược: (tiếp theo) ° Ngược lại, nếu F(s) là một Hàm biến phức có một số hữu hạn ĐBT s1, ... , sn thì BĐ Laplace Ngược của F(s) được cho bởi Tích Phân Laplace Ngược (H11.3b). a  i 1 1  {F(s)}  f(t)   F(s)e st ds (11.9) 2i a i ! Tích phân Đường Phức được lấy dọc theo Đường Thẳng Đứng  = a nằm về phía phải của tất cả các ĐBT s1, … , sn của hàm F(s). Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 295
2. Cách tìm Laplace ngược bằng thặng dư:  Giả sử Hàm biến phức F(s) thỏa các điều kiện sau: i. F(s) giải tích ngoại trừ tại n cực s1, s2, … , sn. ii. sF(s) bị chặn khi s   trong Nửa Mặt Phẳng Trái Re(s) =   0. n  1 F(s)  f(t)   Res F(s)e st ; sk  (11.10) k 1  Nếu F(s) là Hàm Hữu Tỷ P(s)/Q(s) với bậc P(s) < bậc Q(s) thì ta cần 3 Bước để tìm f(t). Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 296
 Ba bước tìm Laplace ngược bằng thặng dư: B1. Tìm các zero s1, s2, …, sn của Q(s). Đó chính là cực của F(s). B2. Tìm Res{F(s).est; sk} = fk(t). B3. Tính Tổng : n f (t)   fk (t) (11.11) k 1 ! fk(t) là Thành Phần thứ k của f(t); sở hữu bởi sk. Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 297
VD 11.4.1: Tính biến đổi Laplace ngược 1 Dùng thặng dư, tìm f(t) biết ảnh Laplace: F(s)  s2 4  Các cực của F(s): s1 = 2i ; s2 = – 2i . Tính thặng dư tại s1 và s2: st ei 2 t Residue{F(s)e , 2i}  4i st e j2 t Residue{F(s)e ,  2i}  4i n Cuối cùng: st e j2 t e j2 t sin(2t)  Res{F(s).e i 1 ,si }  4i  2 sin(2t)  {F(s)}  1 2 Bài giảng Toán kỹ thuật – Khoa Điện & Điện tử – ĐHBKTPHCM 298