Chương 6 THIẾT KẾ LỌC IIR

Chia sẻ: BA AB | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:42

Thêm vào BST

Báo xấu

500
lượt xem 38
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Một lọc IIR (đáp ứng xung lâu vô hạn) có đáp ứng xung tồn tại mãi mãi trong quá khứ, hiện tại và tương lai. Về mặt cấu trúc, một lọc IIR là một hệ thống đệ qui, ở đây có một số kết nối từ ngõ ra đến một điểm bên trong hệ thống để ngõ ra phụ thuộc vào ngõ vào và ngõ ra trước nó. Thật ra, lọc IIR có thể là đệ qui hoặc không đệ qui (phần 2.6.2), và một lọc đệ qui có thể là loại IIR hoặc FIR. Khi ta nói một lọc...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chương 6 THIẾT KẾ LỌC IIR

1 Chương 6 THIẾT KẾ LỌC IIR Một lọc IIR (đáp ứng xung lâu vô hạn) có đáp ứng xung tồn tại mãi mãi trong quá khứ, hiện tại và tương lai. Về mặt cấu trúc, một lọc IIR là một hệ thống đệ qui, ở đây có một số kết nối từ ngõ ra đến một điểm bên trong hệ thống để ngõ ra phụ thuộc vào ngõ vào và ngõ ra trước nó. Thật ra, lọc IIR có thể là đệ qui hoặc không đệ qui (phần 2.6.2), và một lọc đệ qui có thể là loại IIR hoặc FIR. Khi ta nói một lọc IIR hoặc lọc đệ qui thường có nghĩa như nhau. Phương trình tín hiệu vào r a của lọc IIR nhân quả (2.21) lặp lại ở đây: N M  a k y(n – k) + b x (n – k) y(n) = k k 1 k 0 Với ak , bk là những hệ số lọc. Theo lý thuyết, N, M có thể là vô hạn. Lọc IIR thì hiệu quả hơn lọc FIR trong độ nhạy, đó là một lọc II R với ít hệ số hơn có thể cho đáp ứng biên độ tần số bằng với một lọc FIR với nhiều hệ số hơn. Tuy nhiên lọc IIR có hai mặt nhược điểm.  Chúng có thể không ổn định nếu những hệ số của nó chọn không thích hợp.  Chúng có thể có pha không tuyến tính (phần 5.2) và vì vậy nó không phù hợp cho một số ứng dụng lọc. Xét pha tuyến tính ta nên biết rằng hàm truyền H(z) của lọc pha tuyến tính phải thỏa mãn sự liên hệ H(z) =  z–N H(z–1) Với z trình bày một sự trễ của N mẫu. Sự liên hệ này ngụ ý rằng ở đây có một cực ảo bên ngoài -N đường tròn đơn vị với mỗi cực bên trong, ngược lại điều kiện để lọc là ổn định và nhân quả là tất cả các cực của nó phải nằm bên trong đƣờng tròn đơn vị (phần 4.4.2). Điều này có nghĩa rằng lọc ổn định và nhân quả không thể có pha tuyến tính. Nếu không yêu cầu nhân quả, lọc IIR có thể có pha tuyến tính nhưng trong trường hợp này lọc FIR thì thuận lợi hơn Trong khi thiết kê lọc FIR không có lợi cho bất kỳ phương pháp thiết kế tương tự, thì lọc IIR là phù hợp từ mặt phẳng tương tự s đến mặt phẳng số z. Vì vậy, phương pháp thiết kế IIR thì giống như nguyên mẫu tương tự chẳng hạn: Butterworth, Chebyshev, hoặc lọc elliptic. Hai phương pháp thiết kế là xung bất biến và biến đổi đôi tuyến tính. Bên cạnh đó, IIR có thể được thiết k ế bằng phương pháp đặt cực không như lọc FIR (phần 4.8), hoặc cũng bằng phương pháp bình phương tối thiểu trong miền số., 6.1 Một tóm tắt ngắn về lọc Butterworth, Chebyshev và Elliptic. Với mục đích của việc thiết kế lọc số, sau đây là một tóm tắt ngắn v ề kiến thức lọc tương tự thông thấp là cần thiết. Đầu tiên, ta nhìn lại những thông số khác nhau của lọc số (hình 5.9, 5.10, 5.28). Những thông số này được áp dụng vào lọc tương tự và được ký hiệu lại như p, c, s . Đáp ứng biên độ có thể diễn tả ở dạng tuyến tính hoặc thang dB với | H a () | dB  20 log10 | H a () | . Ví dụ đáp ứng được chuẩn hóa biên độ là 1 tương ứng với 0 dB, 1 / 2 ứng với -3 dB. Ta gọi p là tần số cạnh dải qua, s là tần số cạnh dải dừng, c là tần số cắt (hoặc tần số -3 dB ). Độ gợn sóng dải qua  p , và độ gợn sóng dải dừng  s được liên hệ với sự suy giảm dải qua và dải dừng ở thang dB như (6.1) (6.2) 6.1.1 Lọc Butterworth Lọc Butterworth là lọc tương tự phổ biến nhất. Nó có độ bằng phẳng lớn nhất tại tần số ( = 0) và tăng đều trong dải qua và dải dừng. Nó không có độ gợn sóng, băng rộng chuyển tiếp thì ngắn (giữa dải qua và dải dừng) và đáp ứng pha không tuyến tính (Chebyshev và elliptic cũng có đáp ứng pha không tuyến tính). Hình 6.1 chỉ đáp ứng biên độ tần số được chuẩn hóa của lọc Butterworth . Bậc lọc cao hơn gần với đáp ứng lý tưởng.
2 Hình .6.1: Đáp ứng biên độ được chuẩn hóa của lọc Butterworth thông thấp filters Biểu thức tổng quát của hàm truyền với bậc N của lọc lọc Butterworth là 1 1  Ha(s) = (6.3)  (s p ai ) (s p a 1 )(s p a 2 )...(s p a N ) N i 1 Hàm có N cực và không có không. Với một lọc thông thấp có hai đối số lọc để thiết kế: Bậc N và tần số cắt (hoặc -3 dB) c . Bình phương biên độ hàm truyền là 1 H a (s)  2 (6.4) 1  s/jΩc  2N Bình phương của đáp ứng biên độ tần số có được bằng cách thay s bằng j, mà cho 1 H a ()  2 (6.5) 1  Ω/Ωc  2N Chú ý thành phần Ω/Ω c  trong tử để chắc chắn rằng 2N Những tác giả khác xem đáp ứng tần số H () thay vì bình phương H () 2 . Điều này đúng cho trường hợp của lọc Chebyshev . và elliptic sẽ được nói đến sau. Lọc Butterworth có độ phẳng lớn nhất vì đáp ứng biên độ của nó bằng không tại tần số (  0) . Vì lọc Butterworth không có độ gợn sóng, đối số được xem là và sự suy giảm. Những cực của đáp ứng bình phương hàm truyền được cho bởi 2N s  1+    s = (–1)1/2N jc =0  j  c  Ta diễn tả -1 và j như thành phần phức: –1 = ej(2i - 1) i = 1, 2, 3, … j = ej/2 Vì vậy, những cực là pai = c ej(2i + N - 1)/2N , i = 1, 2, 3, …, 2N (6.6a)
3 Chú ý rằng độ lớn của tất cả các cực là c và gốc pha là (6.6b) Kết quả này chỉ rằng cực được phân bố đều trên một đường tròn có tầm tại gốc và bán kính là tần số cắt c trong mặt phẳng s (hình. 6.2). Với lọc có bậc N = 5, số cực là 2N = 10. Cực đầu tiên (i= 1) là s - plane j pa1 pa10 pa2 pa9 c pa3 pa8  0 pa4 pa7 pa5 pa6 Hình. 6.2: Cực của | H a ( s) | 2 với N = 5. Cực của lọc Butterworth ổn định với bậc N = 5 có 5 trong nửa mặt phẳng. pa1 = c ej(2x1 + 5 - 1)/2x5 = c ej3/5 = c  108O Cực thứ hai (i = 2) là pa2 = c ej(2x2 + 5 - 1)/2x5 = c ej4/5 = c  144O Cực thứ 10 được tách ra bằng 360O/10 = 36O (Hình. 6.2). Để lọc ổn định ta chọn M cực nằm trong nửa mặt phẳng bên trái, như ví dụ trên là pa1 đến pa5 . Chú ý rằng những cực gồm thực (pa1) hoặc xuất hiện như đôi liên hiệp phức (pa1 và pa5; pa2 và pa4). Vì vậy, lọc Butterworth với bậc N có N cực trên mặt phẳng bên trái được cho bởi pai = c ej(2i + M - 1)/2M i = 1, 2, … N (6.7) Ví dụ, những cực của lọc bậc ba là pa1 = c ej2/3 = (–0,5 + j0,866)c pa2 = c ej = –1c pa3 = c ej4/3 = (–0,5 - j0,866)c Vì vậy, với tần số cắt  c  1 rad / s hàm truyền là 1 1  Ha(s) = s  0,5  j0,866s  1s  0,5  j0,866 3 2 s  2s  2s  1 Fc  1 / 2 Hz ) được gọi là lọc thông thấp chuẩn Một lọc thông thấp có tần số cắt  c  1 rad / s (or hóa hình 6.3 chỉ đáp ứng biên độ bình phương chuẩn hóa với tần số cạnh dải qua  p , tần số cạnh dải dừng  s , tần số cắt  c , bình phương độ gợn sóng (sự suy giảm) (1   p ) 2 và bình phương độ gợn sóng dải dừng (sự suy giảm)  s2 . Từ bình phương đáp ứng biên độ (6.5) ta có thể tìm bậc lọc N để những đặc tính được gặp nhau. Tạ cạnh dải qua ta có
4 1  (1   p ) 2 1  ( p /  c ) 2N or p 2M  1    1 (6.8a)   (1   p ) 2 c  | H a () | 2 1 (0 dB) (1   p ) 2 0.5(3 dB)  s2 0   p c s Hình 6.3: Bình phương đáp ứng biên độ của lọc Butterworth. Giống như vậy, tại cạnh dải dừng ta có 2  s  1    2 1 (6.8b)   s c    Từ hai biểu thức trước bậc lọc có được  1]/ δ12  1 1 log [ (1δ 2 p) N s 1 (6.9) Ω 2 log Ωps Ta lấy N như làm tròn đến một giá trị nguyên gần nhất. Vì vậy đảm bảo rằng dải qua và dải dừng sẽ quá ngưỡng (tốt hơn yêu cầu) Để phù hợp những ràng buộc dải qua một cách chính xác ta giải(6.9a) với tần số cắt được cho p c  (6.10)  1] 1 1 [ (1 2N 2 p) Trong trường hợp này rằng buộc dải dừng sẽ vượt quá và độ gợn sóng dải dừng  s sẽ nhỏ hơn. Tần số cắt được cho bởi kết quả trên sẽ lớn hơn giá trị thực có được từ đồ thì của đáp ứng tần số. Một cách thay thế, giả (6.9b) với tần số cắt  c để phù hợp chính xác ràng buộc dải dừng ngược lại điều kiện dải qua sẽ vượt quá. Kết quả này sẽ khác từ (6.11). Nếu ta muốn vượt quá cả điều kiện dải qua và dải dừng ta sẽ lấy tần số cắt như trung bình của hai tần số cắt được đề cập. Với những cực được chọn nằm ở nửa bên phải mặt phẳng lọc Butterworth sẽ ổn định. Hàm truyền của lọc thông thấp bậc N với tần số cắt là Hàm truyền lọc Butterworth có thể được thiết kế sử dụng (6.6) và (6.11a). Một cách khác ta sử dụng bẳng những hệ số được tính trước như sau. Chú ý là hàm truyền của lọc thông thấp bậc N được chuẩn hóa :
5 Những hệ số của đa tức mẫu với lọc bậc 5 được cho trong bảng 6.1 Bảng 6.1: Những hệ số mẫu của lọc Butterworth thông thấp được chuẩn hóa. N a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 1 1 1 0 0 0 0 0 2 1 1 0 0 0 0 3 1 2 2 1 0 0 0 4 1 2.613126 3.414214 2.613126 1 0 0 5 1 3.236068 5.236068 5.236068 3.236068 1 0 Bây giờ, Nếu thực tần số cắt 3-dB, hàm truyền có được bằng cách thay s vào công thức trên bằng s/ . Đây là sự biến đổi phổ, phần này sẽ được nói đến trong phần 6.4. Vì vậy hàm truyền lọc Butterworth thông thấp bậc N là Ví dụ, lọc thông thấp bậc 3 với tần số cắt (nghĩa là , Fc = 10Hz) hàm truyền là 6.1.2 Lọc Chebyshev Đáp ứng biên độ của lọc Chebyshev (cũng gọi là lọc Cauer) có một độ chuyển tiếp hẹp so với Butterworth có cùng bậc lọc, và nó gợn sóng (độ gợn sóng giống nhau từ đỉnh này sang đỉnh khac) trong cùng dải qua hoặc dải dừng (Chebyshev loại 2). Bình phương của hàm truyền và đáp ứng biên độ tần số của Chebyshev-1 bậc N là 1 2 H a (s)  (6.12) 1   C N s/jΩ c  C N s/jΩ c  * 2 1 2 H a ( Ω)  (6.13) 1   C 2 Ω/Ω c  2 N Với CN(x), x   /  c , là đa thức Chebyshev-1 của loại đầu tiên của bậc N,  c là tần số cắt  đối số độ gợn sóng. Hàm truyền của lọc Chebyshev bậc N cũng có N cực, nhưng không nằm trên đường trong mặt phẳng s như trong trường hợp của Butterworth nhưng nằm trên ellipse, Biểu thức của đa thức Chebyshev-1 có bậc không và cao hơn là CO (x) = 1 C1 (x) = x C2 (x) = 2x2 – 1 C3 (x) = 4x3 – 3x C4 (x) = 8x4 – 8x2 + 1 C5 (x) = 16x5 – 20x3 + 5x  CN (x) = 2xCN– 1(x) – CN – 2(x) (6.14) (6.14) là công thức đệ qui của đa thức. Hình 6.4 vẽ đáp ứng biên độ bình phương chuẩn hóa của lọc Chebyshev-1 của bậc lẻ. Như ta thấy, nó gợn sóng trong dải qua và đều trong dải dừng. Tại tần số bằng 0 (   0 ) biên độ chuẩn hóa là 1. Với lọc Chebyshev-1 có bậc chẵn giá trị này là 1 /(1   2 ) . Số độ gợn sóng bằng nhau với bậc
6 của lọc. Độ gợn sóng xuất hiện giữa mức cao 1 và mức thấp 1 /(1 2 ) . Khoảng cách giữa hai mức là bình phương dải thông độ gợn sóng đỉnh đến đỉnh (1   p ) 2 . Từ (6.13), tại cạnh dải qua đáp ứng là 1  (1   p ) 2 (6.15a) 1   c ( p /  c ) 2 2 N Và tại cạnh dải dừng đáp ứng là 1   s2 (6.15b) 1   c ( p /  c ) 2 2 N Khi ta dẫn ra hai biểu thức trên tần số cắt  c không hủy như trong trường hợp của lọc Butterworth. Để dễ dàng, thường lấy  c như  p . Với sự thay thế này (6.15a) đưa sự kết nối giữa đối số độ gợn sóng  và độ gợn sóng dải qua  p : H a () 2 1 (0 dB) 1 (1   p ) 2  1 2 Chebyshev filter 0,5 (–3 dB) Butterworth filter  s2 0  (rad/s)  R c  s Hình 6.4: Chebyshev loại 1 có bậc lẻ (trong trường hợp này N = 5). Với bậc chẵn, đáp ứng bắt đầu tại mức thấp 1 /(1  2 ) nhưng sau một vài dao động, sẽ đạt đến mức cao 1 trước khi rơi nhanh. 1  1 (6.16a) (1   p ) 2 Hoặc 1  (1   p ) 2 (6.16b) 1  2 Hoặc (6.15b) cho bậc lọc như 1  ) cosh 1 ( 1  s2 N (6.17) cosh 1 ( s /  p ) Với  và N tìm thấy ta có thể xử lý thiết kế và vẽ đáp ứng tần số . Hàm truyền của lọc Chebyshev-1 chỉ có cực nằm bên trái của một ellipse có tâm tại gốc, trục chính dọc theo trục ảo j, và trục ảo dọc theo trục thực  . Kích thức của ellipse phụ thuộc đối số độ gợn sóng. Độ gợn sóng càng nhỏ độ chuyển tiếp càng rộng. Với độ gợn sóng zero, lọc Chebyshev trở thành lọc Butterworth Lọc Chebyshev loại 2 (Chebyshev-2) hàm truyền có cả cực và không. Đáp ứng biên độ bắt đầu tại 1 và giảm đều trong dải qua, và gợn sóng trong dải dừng. Bình phươg đáp ứng biên độ được cho bởi biểu thức.
7 2 C 2 (Ω c Ω) | H a (Ω | 2  N (6.18) 1  C 2 (Ω s Ω) 2 N Hình 6.5 vẽ đáp ứng. Kết nói giữa hai đối số độ gợn sóng  và  s là | H a () | 2 1 (1   p ) 2 0.5 2  2 1 2 s   p c s 0 Hình 6.5: Bình phương đáp ứng biên độ của lọc thông thấp Chebyshev-2. s  (6.19a) 1   s2 Hoặc 2   s2 (6.19b) 1 2 6.1.3 Lọc Elliptic Lọc Chebyshev có một độ chuyển tiếp ngắn hơn lọc Butterworth vì nó cho phép độ gợn sóng trong cả dải qua và dải dừng (hình 6.6). và vì vậy có độ chuyển tiếp nhỏ nhất giữa các lọai lọc có cùng bậc lọc. Biểu thức của hàm truyền và đáp ứng tần số của lọc elliptic thì giống với lọc Chebyshev: 1 H a ()  2 1  U N  /  p  (6.20) 2 Với những đối số độ gợn sóng  có cùng nghĩa như trong trường hợp Chebyshev, và U N ( x) là hàm Jacobian elliptic function có bậc N. Thiết kế của lọc elliptic thì phức tạp hơn lọc Chebyshev. 6.1.4 Lọc Bessel Nó đáng giá để đề cập một ít về lọc Bessel. Hàm truyền của nó chỉ có cực như trong trường hợp của Butterworth và Chebyshev loại 1: 1 H a (s)  (6.21) B M (s) Với BM(s) là đa thức Bessel có bậc M. Lọc Bessel có độ chuyển tiếp dài hơn lọc Butterworth, nhưng ngược lại có đáp ứng pha tuyến tính trong dải qua. Tuy nhiên đặc tính pha thích hợp này sẽ bị hủy trong sự biến đổi đôi tuyến tính (phần 6.3). Bởi lý do này, lọc Besel không sử dụng cho thiết kế lọc số.
8 Ha( )2 1 1 (1   p ) 2  1  2 0.5  s2  0 p c  s c Hình 6.6: Lọc Elliptic với bậc lẻ (Trong trường hợp này N = 5).cVới bậc chẵn bắt đầu tại mức thấp 1 /(1   ) nhưng kết thúc tại mức 1 trước khi rơi nhanh. 2 6.2 PHƢƠNG PHÁP ĐÁP ỨNG XUNG BẤT BIẾN Lọc tương tự có một lịch sử phát triển và sử dụng khá lâu đời (hơn 50 năm). Đặc biệt, phương pháp lý thuyết và thiết kế của lọc tương tự được xây dựng khá tốt, điều này sẽ khai thác để thiết kế xấp xỉ của lọc IIR số. Ta xét phương pháp bất biến xung. 6.2.1 Chuyển từ mặt phẳng s sang mặt phẳng z Với hệ thống tuyến tính và tín hiệu tương tự, biến đổi Laplace là một công cụ toán học rất hiệu quả cho thiết kế và phân tích. Hàm tuyền Ha(s) của hệ thống tuyến tính và bất biến thời gian (LTI hoặc LSI) có cùng hình thức như hàm truyền H(z) của hệ thống DSP (4.28) N(s) G(s z a 1 )(s z a 2 )(s z a 3 )... Ha(s) = = (6.22) (s p a 1 )(s p a 2 )(s p a 3 )... D (s) Với s là biến phức. công thức lọc tương tự tổng quát là d k y(t) d k x(t) N M αk β k  y(t) = (6.23) dt k dx k k 1 k 0 Nó cũng rất giống với công thức lọc số tương ứng (6.1). Hàm truyền của lọc tương tự có thể diễn tả trong những thành phần của những hệ số như trường hợp của lọc số (công thức 4.13a). M β sk k k 0 Ha(s) = (6.24) N 1   αks k k 1 Tuy nhiên ở đây có một vài sự khác nhau quan trọng (hình 6.7). - Trong biến đổi Laplace, đáp ứng tần số H a () có được bằng cách thay s  j vào hàm truyền Ha(s), i.e Ha(s) dọc theo trục ảo j là đáp ứng tần số H a () , ngược lại trong biến đổi z đáp ứng tần số H ( ) là hàm truyền H(z) dọc theo vòng tròn đơn vị. Tần số tương tự  (đơn vị radian/s) khác nhau dọc theo một đường thẳng với những giá trị - từ 0 đến  , ngược lại tần số số  (đơn vị radian/sample) khác nhau xung quanh đường tròn với những giá trị từ 0 đến 2 (hoặc từ   to  ) và tuần hoàn; Để lọc tương tự ổn định (và nhân quả), những cực của Ha(s) phải nằm trong nửa mặt phẳng - bên trái cảu mặt phẳng s, ngược lại lọc số ổn định và nhân quả, những cực phải nằm bên trong đường tròn đơn vị
j 9 Imaginary z s-plane z-plane 0 0 Real z  Unit 0 Circle Hình. 6.7: Chuyển tổng quát từ mặt phẳng s sang mặt phẳng z Một cách toán học, chuyển từ mặt phẳng s sang mặt phẳng z là z = esT (6.25) Với T là chu kỳ lấy mẫu hoặc khoảng lấy mẫu (T = 1/fs, fs là tần số lấy mẫu). Thay s =  + j và z = rej ta có rej = eT ej T Vì vậy r = eT   T (6.26) Điều này có nghĩa   0 tương ứng với 0  r  1 , và   0 to r  1 , và   0 to r  1 . Vì vậy nửa mặt phẳng bên trái của s chuyển vào bên trong đường tròn đơn vị của mặt phẳng z (và nửa mặt phẳng bên phải sang bên ngoài) và trục j thành đường kính của đường tròn đơn vị như nói ở trên (hình 6.8). Vấn đề là sự chuyển cuối cùng không phải một sang một bởi vị sự biến đổi   T nghĩa là khoảng   / T     / T được chuyển thành khoảng       , và khoảng –(2k – 1)/T    (2k – 1)/T , với k nguyên, và cũng chuyển cùng khoảng       . Điều này là kết quả của lấy mẫu tín hiệu. Dải 2 / T của nửa mặt phẳng bên trái s được chuyển vào bên trong đường tròn đơn vị, kết quả những dải giống nhau thì cũng được chuyển vào bên trong. j /T Imaginary z s-plane z-plane T 0 0  Real z Unit circle –/T Hình. 6.8: Chuyển từ mặt phẳng s sang mặt phẳng z thì không phải một sang một 6.2.2 Phƣơng pháp thiết kế
10 Nhìn vào hình.6.9. Từ đáp ứng biên độ tần số được yêu cầu | H ( ) | trong khoảng 0     , ta xét đáp ứng biên độ tần số của một lọc tương tự H a () có cùng hình dạng (nhưng mở rộng đến  ). Kế đến, từ H a () ta tìm đáp ứng xung tương tự ha(t), ví dụ bằng cách lấy biến đổi Laplace ngược của Ha(s). Sau đó ta lấy mẫu ha(t) để có đáp ứng xung h(n) của lọc IIR được thiết kế. Ha(  ha(t) Analog filter ) (a (b) 2 )  0 /T2 /T1 0 t 1 3 H( ) h(n) Digital filter (c) (d) 4  0 2 /2 n  0 T1 Digital filter h(n) H( ) (e) (f) 4 3  0 2 0 n T2 Hình. 6.9: Đáp ứng xung và tần số của tương tự tương ứng với lọc số tại hai chu kỳ   lọc lấy mẫu khác nhau T1 và T2 . Lấy mẫu phải thỏa định lý lấy mẫu (phần 1.3.2) nhưng vấn đề là đáp ứng tần số tương tự tồn tại đến vô cực và vì vậy, ta không thể thỏa định lý lấy mẫu, và xuất hiện biệt danh, kết quả làm tăng một phần tần số cao của lọc số. Vì lý do này, phương pháp bất biến xung chỉ phù hợp với lọc thông thấp. Một điểm khác là tìm biến đổi Laplace ngược thì không thuận tiện. Vì vậy ta phải phát triển một phương pháp thiết kế, ta có thể đi từ hàm truyền tương tự Ha(s) trực tiếp đến hà truyền lọc số H(z). Bắt đầu từ hàm truyền tương tự Ha(s) công thức (6.3) và giả sử nó là một hàm tỉ số phù hợp, tất cả các cực là thực và đơn để nó có thể khai triển thành nhữ ng phân số thành phần với hình thức. Gi G1 G2 +… +… Ha(s) = + (6.27) s p a i s p a 1 s p a 2 Vì vậy ta phải phân giải lọc tương tự bậc cao thành một vài lọc bậc một trong dạng song song (hình 6.10). Xét một lục như sau: Gi Hai(s) = (6.28) s  p ai Đáp ứng xung, i.e. biến đổi ngược Laplace của Hai(s), là = G i e pai t t  0 hai(t) (6.29) 0, t< 0 Chú ý rằng cực pai phải âm,i.e. nằm trong nửa mặt phẳng bên trái, để lọc ổn định. Đáp ứng xung nhân quả của lọc IIR tương ứng là
11 hi(n) = hai(nT) = G i e pai n T ; n0 (6.30) 0, n
12 Ví dụ 6.2.1 Lọc tương tự bậc một có hàm truyền. 1 Ha(s) = 1  sτ Với  là hằng số thời gian (Với mạch RC ,   RC). Với   1s , (a). Vẽ đáp ứng xung và tần số của lọc tương tự được cho (b). Thiết kế lọc số tương ứng với chu kỳ T = 0.5s (c). Lặp lại câu hỏi (b) với T = 0.05s Giải (a) Với   1s , hàm truyền là 1 Ha(z) = 1 s Có một cực tại pa = -1. Đáp ứng tần số có được bằng cách thay s  j : 1 Ha() = 1  j 1 H a () = 1  2 Tần số cắt là  c  1 rad / s . Lấy biến đổi Laplace ngược ta có đáp ứng xung: ha(t) = e–t t0 =0 t
13 | H ( ) | | H ( ) | (d) Lọc số tƣơng ứng với T = 0.05s Hình 6.12: Ví dụ 6.2.1 1 z 1 H(z) = = = 1 pa T 1 z  0.6065 1  0.6065 z 1 e z Và đáp ứng tần số H() = H(z) z e j  = 1 1 = (1  0.6065 cos  )  j 0.6065 sin   j 1  0.6065 e Biên độ là 1 0.855 H() = (1  0.6065 cos  )  = 1  0.8868 cos   1 / 2  (0.6065 sin  ) 2 1/ 2 2 Đáp ứng chuẩn hóa được vẽ trong hình .6.12c. Tần số cắt tương tự  c  1 rad / s tương tự với tần số số    cT  1 0.5  0.5 rad / sample . Tại đáp ứng tần số này có giá trị 1 / 2 như mong muốn (c) Với chu kỳ lấy mẫu T  0.05s ta có, e pa T = e–1 x 0.05 = 0.9512 1 1 H(z) = = p a T 1 1  0.9512 z 1 1e z 1 H () = H(z) ze jΩ = 1  0.9512 e  jΩ 0.7246 H()  1  0.9987 cos Ω 1 / 2
14 Kết quả chỉ trong hình 6.12d. Bây giờ tần số cắt tương tự  c  1 rad / s tương ứng với số    cT  1 0.05  0.05 rad / sample . Chú rằng tại khoảng lấy mẫu ngắn hơn (tần số lấy mẫu dài hơn) đáp ứng tần số số gần với một lọc tương tự. Tại tần số lấy mẫu thấp hơn hiện tượng biệt danh sẽ xảy ra, kết quả trong sự giảm thấp hơn của đáp ứng tần số và độ rộng băng thông  . Với một tần số cắt tương tự cao hơn, kết quả trên sẽ áp dung nếu khoảng lấy mẫu được tỉ lệ xuống thích hợp. Ví dụ với tần số cắt tương tự 1000 rad/s, ta sẽ sử dụng khoảng lấy mẫu 10 3  0.05  5.10 5 s . Ví dụ 6.2.2 Lọc Butterworth tương tự bậc ba với tần số cắt  c  10 rad / s có ba cực tại pa1 = 10  180O = –10 pa2 = 10  120O = –5 + j8.66 pa3 = 10  240O = –5 – j8.66 (a) Thiết kế lọc IIR với chu kỳ lấy mẫ u T = 0.05s (b) Lặp lại với T = 0.1s Giải Tất cả các cực của lọc Butterworth nằm trên nửa đường tròn bên trái có tâm tại gốc và bán kính là tần số cắt (Hình. 6.13a). Hàm truyền là 1 Ha(s) = (s 10)(s 5  j8.66)(s 5  j8.66) Mà được khai triển thành G3 G2 G1 Ha(s) = + + s  10 s  5  j 8.66 s  5  j 8.66 Cho bằng nhau hai phương trình của Ha(s) và giải với thừa số độ lợi ta có G1 = 0.01 G2 = 0.00577210O G3 = 0.00577150O (a) Với chu kỳ lấy mẫu T = 0.05s, những cực là P1 = e pa 1T = e–10(0.05) = e–0.5 = 0.6065 p a 2T = e(–5 + j8.66)(0.05) = e–0.25 ej0.433 = 0.778824.8O P2 = e = e(–5 – j8.66)(0.05) = e–0.25 e–j0.433 = 0.7788–24.8O p a 3T P3 = e
15 Imaginary Real (a) (b) Hình.6.13:Ví dụ 6.2.2(những cực trong mặt phẳng s và mặt phẳn z) Hàm truyền của lọc là 0.00577210 O 0.00577150 O 0.01 H(z) = + + z  0.6065 z  0.7788 24.8 O z  0.7788  24.8 O Hai thành phần cuối khi kết nối lại sẽ có kết quả là một lọc bậc hai. Vì vậy lọc số bao gồm mọt lọc bậc một ở dạng song song thành một lọc bậc hai. Để tính phương trình tín hiệu và đáp ứng tần số, ta phải đặt hàm truyền thà nh dạng chuỗi. Kết quả là 0.0008701 z 0.0006365 H(z) = z  2.020 z 2  1.464 z 0.3678 3 Hình. 6.13b vẽ cực-không. Hình. 6.14b cho đáp ứng biên độ | H ( ) | (b) Khoảng lấy mẫu bây giờ T = 0.1s, i.e. tốc độ lấy mẫu bằng nửa giá trị trước, biệt danh xuất hiện. Cực z là z1 = e pa 1T = e–10(0.1) = 0.36790O z2 = e pa 2T = e(–5 + j8.66)(0,1) = 0.606049.6O z3 = e pa 2T = e(–5 – j8.66)(0,1) = 0.6060–49.6O Hàm truyền là 0.00577210 0 0.00577150 0 0.01 H(z) = + + z  0.3679 z  0.606049.6 0 z  0.6060  49.6 0 0.002411 z 0.001248 =3 z  1.153 z 2  0.6561 z 0.1351
16 Hình.6.14: Ví dụ 6.2.2 (Đáp ứng tần số) Đáp ứng biên độ được vẽ trong hình. 6.14c. Vì vậy biệt danh có đáp ứng giảm dần và băng thông gấp đôi. Từ hàm truyền ta có thể có phương trình tín hiệu bằng cách sử dụng cùng phương pháp như ví dụ trước, hoặc bằng cách viết hàm truyền như hàm của z-1 và so sánh với biểu thức tổng quát (4.13a) để lấy những hệ số lọc 6.2.3 Trƣờng hợp cực phức và cực kép Như ta giả sử hàm truyền H(s) được khai triển thành những thành phần có cực thực đơn. Cũng như vậy ta có thể giải quyết trường hợp cực phức và cực kép. Bảng 6.2 liệt kê sự biến đổi cho những trường hợp này. Thật sự ta có thể tính trực tiếp bằng cách khai triển H(s) thay vì sử dụng bảng. Bảng 6.2: Biến đổi xung bất biến Cực tự nhiên H(s) H(z) where Tách biệt Liên hiệp phức Kép Cực lặp lại ba lần
17 Ví dụ 6.2.3 Cho hàm truyền tương tự Tìm hàm truyền số H(z) với khoảng lấy mẫu T = 0.5s. Giải Khai triển từng phần ta có kết quả Chú ý Vì vậy , Ta cũng có cực p = 2, q = 1, T = 0.5, và . Thay những giá trị này với những công thức ứng với H(z) trong bảng 6.1, hàm truyền số là Ví dụ 6.2.4 Lọc tương tự thông qua có hàm truyền s 0.1 Ha(s) = (s 0.1) 2  9 Vẽ đáp ứng tần số của lọc số tương ứng với khoảng lấy mẫu T = 0.1s và T = 0.5s. Giải Hàm truyền Ha(s) có không tại s = 0.1 và đôi cực liên hiệp phức tại s = –0.1 j3. Để tìm hàm truyền số ta khai triển Ha(s) như 0.5 0.5  Ha(s) = s (0.1  j 3) s (0.1  j 3) Hàm truyền số là 0.5 0.5  H(z) =  j 3 T 1 0.1T j 3 T 1 1 e e z 1 e e z 0.1T
18 1  e 0.1T (cos 3 T) z 1 = 1  2 e 0.1T (cos 3 T) z 1  e 0.2T z 1 | H ( ) | T = 0.1s T = 0.5s Hình6.15: ví dụ 6.2.4 Từ đây ta có thể dẫn ra biểu thức của H(), sau đó |H()| mà chỉ trong hình.6.15 với T = 0.1s và T = 0.5s. Chú ý rằng khoảng lấy mẫu có ảnh hưởng lớn vào đáp ứng tần số của lọc số 6.3 PHƢƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI ĐÔI TUYẾN TÍNH Phương pháp thiết kế đáp ứng xung bất biến là một ý tưởng tốt nhưng không hiệu quả vì vấn đề biệt danh. Trong phần này ta sẽ xét phương pháp biến đổi đôi tuyến tính mà trục tần số ảo j của mặt phẳng s được chuyển vào đường tròn đơn vị trong mặt phẳng z, và nửa mặt phẳng trái của s được chuyển vào bên trong đường tròn đơn vị (hình 6.7 và hình 6.17). Quan trọng hơn, vì tất cả phương pháp thiết kế tương tự dẫn đến lọc tương tự ổn định, chẳng hạn một sự biến đổi sẽ có kết quả lọc số ổn định và nhân quả. 6.3.1 Chuyển từ s sang z Ý tưởng chính là xấp xỉ phương trình bậc nhất của lọc tương tự thành phương trình của lọc số. Bắt đầu với hàm truyền của lọc tương tự thông thấp bậc nhất. b H a (s)  (6.34) s a Phương trình tương ứng là y’(t) + ay(t) = bx(t) (6.35a) Với y’(t) được viết từ vi phân dy(t)/dt. y(t) thay bằng tích phân của y’(t) với điều kiện đầu: t t y'() d τ  y(t0 ) y(t) = (6.35b) 0 Bây giờ, luật hình thang của tích phân được sử dụng tại t = nT và t0 = nT – T, với T là khoảng lấy mẫu, để lấy xấp xỉ y'(nT)  y'(nT T)  y(nT T) T y(nT) = (6.35c) 2 Mặt khác, phương trình (6.35a) với t = nT trở thành y’(nT) = –ay(nT) + bx(nT) (6.32d)
19 Thay vào (6.35c), và, như thông thường, viết y(n) và x(n) cho y(nT) và x(nT), phương trình mong muốn của lọc số là (x(n)  x(n 1) aT aT bT (1  ) y(n)  (1  ) y(n 1)  (6.35e) 2 2 2 Lấy công thức xử lý biến đổi z: aT aT bT ) Y(z)  (1  ) z 1Y(z)  (1  z 1 ) X(z) (1  2 2 2 Vì vậy hàm biến đổi của lọc số là (bT/ 2)(1  z 1 ) Y(z) H(z)   X(z) 1  aT/ 2  (1  aT/ 2) z 1 Hoặc b H(z)  (6.36) 2 1  z 1 a T 1  z 1 So sánh kết quả với công thức (6.34), ta có chuyển đổi từ z sang s như sau: 2 1  z 1 2 z  1 s  (6.37) T 1  z 1 T z  1 Chuyển ngược từ s sang z là 2  sT z (6.38) 2  sT Tóm lại, biến đổi từ hàm truyền tương tự sang hàm truyền số tương ứng được tiến hành bằng H(z)  Ha (s)s 2 1 z 1 (6.39) T 1 z 1 Đây là sự biến đổi đôi tuyến tính vì lý do cả tử và mẫu của sự liên hệ chuyển đổi ( 6.37) là hàm tuyến tính của z-1 hoặc z. Ta chỉ xét sự chuyển của lọc bậc một (6.34), nhưng nó có thể chỉ ra sự liên hệ chuyển (6.37) cũng áp dụng với lọc bậc cao hơn. Ví dụ 6.3.1 Tìm hàm truyền của lọc IIR số từ một lọc Butterworth điển hình bậc hai sử dụng biến đổi đôi tuyến tính. Tần số cắt tương tự là 3 kHz và tần số lấy mẫu là 30 kHz. Giải Hàm truyền của lọc Butterworth bậc hai có tần số cắt  c là 2 ωC H a (s)  s 2  2ω C s  ω C 2 Bây giờ thay bằng sự chuyển đổi (6.37) để có hàm truyền số 2 ωC H(z) = 2 2 1 2 1  z 1  2  1  z  2   2ω C   ωC    T  1  z  T 1  z 1 1  Với c = 2 x 3000 = 6000 rad/s và T = 1/30000 s, sau đó 6000 π π cT =  30000 5
20 Nhân tử và mẫu của H ( z ) với T 2 và sau đó dùng một số thao tác biến đổi ta có 0,063964  0,127929 z 1  0,063964 z 2  H(z) = 1  1,168261 z 1  0,424118 z 2 Ví dụ 6.3.2 Lọc Butterworth bậc ba có tần số cắt 10 rad/s được biến đổi đôi tuyến tính thành lọc đ ệ qui số tương ứng với tần số lấy mẫu 100 mẫu/s. Tìm hàm truyền số. Giải Lọc Butterworth tương tự bậc ba đã được đề cập trong ví dụ (6.2.2). Ba cực của nó là pa1 = 10  180O = –10 pa2 = 10  120O = –5 + j8.66 pa3 = 10  240O = –5 – j8.66 Từ điều này, hàm truyền tương tự có thể tìm thấy là 1 H a (s)  3 2 s  20s  200s  1000 Sự liên hệ chuyển đổi (6.36) cho 1 H(z)  3 2  2 1  z 1  2 1  z 1  2 1  z 1      20   200   1000   T 1  z 1   T 1  z 1   T 1  z 1        Thay T = 0.01s và làm những sự tính toán cần thiết kết quả trong 10 -6 (1  3z 1  3z 2  z 3 ) H(z)  2.221  6.177z 1  5.783z 2  1.819z 3 0.4502  1.350 z 1  1.350 z 2  0.4502 z 3  10 6  1 - 2.781z 1  2.603 z 2  0.819 z 3 Ví dụ 6.3.3 Lọc tương tự có hàm truyền s 0,1 Ha(s) = (s 0,1) 2  16 Thiết kế lọc số có tần số cộng hưởng F0  50Hz . Tần số lấy mẫu là 200 Hz . Giải Tần số tuyến tính F0  50 Hz được chuyển đổi đến tần số radian như 2F0 2  50  0    rad / sample fs 200 2 Hàm truyền tương tự có không tại s = -0.1, và những cực được cho bởi (s + 0.1)2 + 16 = 0  s = –0.1  j4 Vì vậy tần số cộng hưởng của lọc tương tự là O = 4 rad/s mà được chuyển thành tần số số O = /2 bằng cách chọn khoảng lấy mẫu thích hợp T: 2π 1 4 tg  T  T4 2