Chương 7 THỰC HIỆN LỌC VÀ NHỮNG HIỆU ỨNG CHIỀU DÀI TỪ HỮU HẠN

Chia sẻ: BA AB | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:53

Thêm vào BST

Báo xấu

88
lượt xem 9
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Thực hiện, cấu trúc, của một lọc số là trình bày phương trình tín hiệu vào ra, hoặc hàm truyền, bằng giảng đồ (hoặc đồ thị tín hiệu) (phần 1.6.2), sử dụng ba khối cơ bản, cộng, nhân, và đơn vị trễ. Nhưng để có một lọc đang làm việc, ta phải thiết kế mạch logic (phần cứng) hoặc xử lý phần mềm. Những cách thực hiện khác nhau trong chương này sẽ trình bày cho cả lọc FIR và IIR. Mặc khác, hiện thực phần cứng hoặc phần mềm của một lọc từ cấu trúc của nó không thể...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chương 7 THỰC HIỆN LỌC VÀ NHỮNG HIỆU ỨNG CHIỀU DÀI TỪ HỮU HẠN

1 Chương 7 THỰC HIỆN LỌC VÀ NHỮNG HIỆU ỨNG CHIỀU DÀI TỪ HỮU HẠN. Thực hiện, cấu trúc, của một lọc số là trình bày phương trình tín hiệu vào ra, hoặc hàm truyền, bằng giảng đồ (hoặc đồ thị tín hiệu) (phần 1.6.2), sử dụng ba khối cơ bản, cộng, nhân, và đơn vị trễ. Nhưng để có một lọc đang làm việc, ta phải thiết kế mạch logic (phần cứng) hoặc xử lý phầ n mềm. Những cách thực hiện khác nhau trong chương này s ẽ trình bày cho cả lọc FIR và IIR. Mặc khác, hiện thực phần cứng hoặc phần mềm của một lọc từ cấu trúc của nó không thể chính xác, vì một vài nguồn của lỗi, như lượng tử đầu vào, cắt cụt hoặc làm tròn những hệ số lọc. Vì vậy, phần hai của chương này thảo luậ n những hiệu ứng độ dài từ hữu hạn. 7.1 TIẾN HÀNH LỌC FIR Lọc FIR nhân quả có bậc M có phương trình (công thức 5.2) và hàm truyền (5.4a) tương ứng. M y ( n)   h( k ) x ( n  k ) (7.1) k 0  h(0) x(n)  h(1) x(n  1)  h(2) x(n  2)  ...  h( M ) x(n  M ) và Y ( z)  h(0)  h(1) z 1  h(2) z 2  ...  h( M ) z  M H ( z)  (7.2) X ( z) Với những hệ số h(n) là đáp ứng xung của lọc. Chú ý rằng một lọc có bậc M có M+1 hệ số. Ở đây có một vài hình thức khác nhau của sự thực hiện lọc FIR được nói đến như sau 7.1.1 Hình thứ c trực tiếp Quan sát công thức trên ta vẽ giả n đồ của lọc FIR bậc ba như hình 7.1 được gọi là sự thực hiện hình theo thức trực tiếp. Hình 7.2 chỉ một hình thức với lọc bậc M có M bộ cộng, và M đơn vị trễ. Vì một sự nhân tốn nhiều thời gian hơn một bộ cộng, lý tưởng là giả m số nhân càng nhiều càng tốt, nhưng sự giả m bộ cộng cũng hữu ích. h(0) + x ( n) y ( n) z 1 h(1) z 1 h(2) z 1 h(3) Hình. 7.1:Cấu trúc của lọc FIR bậc ba
2 … z 1 z 1 z 1 x ( n) h(M  1) h(1) h(2) h( M ) h(0) … + + + + y ( n) Hình. 7.2: Tapped-đường trễ (đường chuyển)lọc FIR bậc M Theo lý thuyết chuyển vị, hay định lý đảo ngược, ta có thể di chuyển đơn vị trễ ở đường trên hình 7.2 xuỗng đường dưới và đảo bậc của những nhánh hệ số như hình 7.3, mà không ảnh hưởng đến sự quan hệ vào-ra. … x ( n) h(M  1) h(2) h(1) h(0) h( M ) … + + + + z 1 z 1 z 1 y ( n) Hình. 7.3: Thay đường tapped trễ (đường chuyển tiếp) lọc FIR bậc M. 7.1.2 Cấu trúc pha tuyến tính Như thảo luận trong chương 6, hầu hết lọc FIR được thiết kế để có pha tuyến tính (bao gồm pha tuyến tính t ổng quát), và ở đây có 4 loại được chú thích như FIR-1 đến FIR-4 (hình 5.5) phụ thuộc bậc lọc M là chẵn hay lẻ và những hệ số lọc (đáp ứng xung) h(n) là đối xứng hoặc phi đối xứng. Đầu tiên, xét trường hợp FIR-1, với M chẵn, h(n) đối xứng với hệ số giữa h(M/2), nghĩa là h(n)  h(M  n) . Công thức lọc là y (n)  h(0) x(n)  h(1) x(n  1)  ...  h( M  1) x(n  M  1)  h( M ) x(n  M )  h(0) x(n)  h(1) x(n  1)  ...  h(1) x(n  M  1)  h(0) x(n  M )  h(0)[ x(n)  x(n  M )]  h(1)[ x(n  1)  x(n  M  1)]  ... (7.3) M M M  h(  1)[ x(n   1)  x(h   1)] 2 2 2 Vì vậy nhóm từng đôi với những hệ số bằng nhau, từ thành phần giữa h(M/2) x(n – M/2), số phép nhân giả m đi một nửa (Hình. 7.4). Với FIR-2, M là lẻ, M + 1 là chẵn, những hệ số đối xứng, h(n) = h(M – n), và đối xứng là M/2. Công thức lọc y (n)  h(0) x(n)  h(1) x(n  1)  ...  h( M  1) x(n  M  1)  h( M ) x(n  M )  h(0) x(n)  h(1) x(n  1)  ...  h(1) x(n  M  1)  h(0) x(n  M ) (7.4)  h(0)[ x(n)  x(n  M )  h(1)[ x(n  1)  x(n  M  1)]  h( M21 )[ x(n  )  x(n  M 1 M 1 )] 2 2
3 …… z 1 z 1 z 1 x ( n) + + + …… z 1 z 1 z 1 M M  1) h( ) h( h(0) h(1) 2 2 …… + + + y ( n) Hình. 7.4: Dạng tực tiếp cho FIR -1 Cấu trúc được chỉ trong hình 7.5. …… z 1 z 1 z 1 x ( n) + + + + + z 1 z 1 z 1 z 1 M 1 M 3 h(0) h( ) h(1) h(2) h( ) 2 2 …… + + + + y ( n) Hình. 7.5: Dạng trực tiếp với FIR-2 Ta có thể xử lý giống như thế cho FIR-3 và FIR-4. Lọc FIR có thể có dạng khác gọi là dạng lưới mà sẽ nói kèm với lọc IIR trong phần 7.4. 7.2 THỰC HIỆN LỌC IIR: DẠNG TRỰC TIẾP VÀ DẠNG CHUYỂN VỊ Phương trình tín hiệu của lọc IIR nhân quả là N M y (n)   a k y (n  k )   bk x(n  k ) (7.5) k 1 k 0 Với bk là những hệ số lọc của phần trước (không đệ qui), và ak là những hệ số của phần hồi tiếp (đ ệ qui). Chú ý rằng một số tác giả viết phương trình như N M  ak y(n  k )   bk x(n  k ) (7.6) k 0 k 0 Theo cách này những hệ số ak , trừ a0, có dấu ngược với dấu của ak trong(7.4). Ta đánh dấu dạng (7.7) từ hàm truyền là (4.13a) M b z k b0  b1 z 1  b2 z  2  ...  bM z  M k X ( z) H ( z)   k 0  1  a1 z 1  a 2 z  2  ...  a N z  N N 1   a k z k Y ( z) k 1 N ( z) (7.7)  D( z ) Hàm truyền là nghịch đảo và chú thích đa thức tử và mẫu như N(z) và D(z)
4 Như ví dụ, xét một lọc IIR bậc hai có những hệ số đệ qui a1 và a2 , và ba hệ số không đệ qui b0 , b1 và b3 , thì y(n)  a1 y(n  1)  a2 y(n  2)  b0 x(n)  b1 x(n  1)  b2 x(n  2) (7.8) và b0  b1 z 1  b2 z 2 H ( z)  (7.9) 1  a1 z 1  a 2 z  2 7.2.1 Dạng trực tiếp I Dạng trực tiếp(hoặc dạng trực tiếp I) là giản đồ trực tiếp trình bày công thức truyền (7.7). Ví dụ với lọc (7.8) thực hiện dạng trực tiếp là hình 7.6. Chú ý rằng ta có thể tách tổng thành hai t ổng nối tiếp, một cho phần vào và một cho phầ n ra (xem hình 7.8a). b0 + x ( n) y ( n) z 1 z 1 a1 b1 z 1 z 1 a2 b2 Hình 7.6: Dạng trực tiếp I của lọc IIR bậc hai (7.9) Ví dụ 7.2.1 Tìm cấu trúc thực tế của lọc IIR có hàm truyền 3  4 z 1  5 z 3 H ( z)  1  0.3z 1  0.5 z 2  0.4 z 4 Giải Ta có thể vẽ cấu trúc bằng sự quan sát. Kết quả trong hình 7.7. Phương trình có thể dễ dàng tìm thấy là y(n)  0.3 y(n  1)  0.5 y(n  2)  0.4 y(n  4)  3x(n)  4 x(n  1)  5x(n  3) 7.2.2 Dạng trực tiếp II (hoặc dạng chính tắc) Hàm truyền (7.7) có thể được viết như N ( z) 1 1 H ( z)   N ( z)  N ( z) (7.10) D( z ) D( z ) D( z )
5 3 + y ( n) x ( n) z 1 z 1 -4 -0.3 z 1 z 1 0.5 z 1 z 1 -5 z 1 0.4 Hình. 7.7: Ví dụ 7.2.1 Nghĩa rằng bậc của lọc vào N(z) và lọc ra 1 D( z ) của cấu trúc như hình 7.6 có thể hoán đổi mà không thay đổi sự quan hệ vào-ra (phương trình vào ra) để có cấu trúc khác. Xét lần nữa lọc bậc hai (7.8). Dạng trực tiếp với cấu trúc I như hình 7.8a (vẽ lại hình 7.6) với ngõ ra của tầng 1 N(z) đưa đến tầng ngõ ra 1/D(z). Trong hình 7.8b bậc của hai tầng được đảo ngược, bây giờ tầng vào là 1/D(z) và tầng ra là N(z). Lấy chú thích tín hiệu trực tiếp là by v(n) thì ta thấy rằng nó bị trễ cùng số mẫu với hai đơn vị trễ của hai lọc. Hoặc cách nói khác, hai tập trễ có cùng nội dung, vì vậy ta có thể kết nối thành một tập duy nhất để có cấu trúc hình 7.8c mà là dạng trực tiếp II, cũng gọi là dạng chính tắc với số đơn vị trễ ít hơn. Ta có thể kiểm tra cấu trúc bằng cách viết phương trình cho v(n) và y(n): v(n)  x(n)  a1v(n  1)  a2 v(n  2) y(n)  b0 v(n)  b1v(n  1)  b2 v(n  2) Mà trong miền z là V ( z )  X ( z)  a1 z 1V ( z )  a2 z 2V ( z) Y ( z)  b0V ( z)  b1 z 1V ( z)  b2 z 2V ( z ) Giải phương trình với V(z) và Y(z) ta có 1 1 V ( z)  X ( z)  X ( z) 1 2 1  a1 z  a 2 z D( z ) Y ( z )  (b0  b1 z 1  b2 z 2 )V ( z )  N ( z )V ( z ) 1  N ( z) X ( z) D( z )
6 b0 + + x ( n) y ( n) z 1 z 1 a1 b1 z 1 z 1 a2 b2 N(z) 1/D(z) (a) Dạng trực tiếp I v(n) b0 v ( n) + + x ( n) y ( n) z 1 z 1 a1 b1 z 1 z 1 1/D(z) N(z) a2 b2 (b) Bậc đảo dạng trực tiếp I b0 + + x ( n) y ( n) z 1 b1 a1 b2 z 1 a2
7 (c) Dạng trực tiếp II Hình 7.8: Sự tiến hành dạng trực tiếp I đến dạng trực tiếp II (dạng chính tắc) của lọc IIR bậc hai. Vì vậy, hàm truyền là X ( z) N ( z) H ( z)   Y ( z ) D( z ) Như mong muốn, nghĩa là, dạng trực tiếp II trình bày cùng một lọc như dạ ng trực tiếp I. Ví dụ 7.2.2 Cho dạng trực tiếp II cấu trúc thực tế của lọc trong ví dụ 7.2.1 Giải 3 v(n) + + x ( n) y ( n) z 1 -0.3 -4 z 1 0.5 z 1 5 z 1 0.4 Hình. 7.9: Ví dụ 7.2.2 Cấu trúc được cho trong hình 7.9. 7.2.3 Cấu trúc chuyển vị Như đề cập trong phầ n 7.1.1, lý thuyết của giản đồ tín hiệu ở đây là lý thuyết chuyển vị, cũng được gọi là lý thuyết đả o ngược, mà phát biểu rằng sự liên hệ vào ra của hệ thống duy trùy không đ ổi khi ta đảo hướng của tất cả các nhánh, hóa vị vào và ra, và đổi điểm nguồn vào điểm bên trong và ngược lại. Lý thuyết này dẫn đến cấu trúc chuyển vị mà có thể hữu ích hơn cấu trúc thông thường. Vì vậy ta có chuyển vị trực tiếp.
8 b0 + x ( n) z 1 z 1 a1 b1 z 1 z 1 a2 b2 Hình. 7.10: Chuyển vị trực tiếp dạng II (cải tiến từ hình 7.6) Dạng I và dạng chuyển vị trực tiếp II. Ví dụ, cấu trúc của hình 7.6 chuyển thành hình 7.10, và cấu trúc hình 7.8c trở thành hình 7.11. b0 + + x ( n) y ( n) z 1 b1 a1 z 1 a2 b2 Hình. 7.11: Chuyển vị trực tiếp dạng II (cải tiến từ hình 7.8c) 7.3 THỰC HIỆN LỌC IIR: CẤU TRÚC TẦNG VÀ SONG SONG Lọc IIR bậc cao có thể được phân tích dẫn đến dạ ng tầng, hoặc mở rộng thành phân tích thành phần đ ể thành dạng song song. 7.3.1 Cấu trúc tâng Nhìn chung lọc IIR nhân quả (7.5) có hàm truyền (7.7) và phương trình y(n)  a1 y(n  1)  a2 y(n  2)  ...  aN y (n  M ) (7.11)  b0 x(n)  b1 x(n  1)  ...  bN x(n  N ) Bất kỳ hàm truyền nào cũng có thể phân tích thành thừa số bậc 2 với những hệ số lọc thực nếu nó có hệ số thực. bi 0  bi1 z 1  bi 2 z 2 N 1 N 1 H ( z )  G  G H i ( z ) (7.12) 1  ai 2 z  2 i  0 1  a i1 z i 0 G là một thừa số độ lợi. Lọc được chú thích như H 0 ( z ), H 1 ( z ) …Lọc bậc hai bao gồm một lọc bậc một khi những hệ số bi 2 và a i 2 bằng không. Nhìn chung, hàm truyền có thể phân tích thành lọc bậc một (cả tử và mẫu là bậc một) với những hệ số phức. Nếu đáp ứng xung hệ thống h(n) là thực, căn của H(z) sẽ xuất hiện trong đôi liên hiệp phức, và thừa số liên hiệp phức có thể kết nối để hình thành thừa số bậc hai với những hệ số thực như bên trên.
9 Phân tích thừa số dẫn đến dạng tầng, với ngõ ra của tầng một là ngõ vào của tầng hai và tiếp tục như vậy. Phương trình của lọc gốc có được bằng cách tìm phương trình của mỗi tầng và lấy ngõ ra của tang một như ngõ ra của tầng hai… Ví dụ 7.3.1 Tìm dạng trực tiếp II và cấu trúc dạng tầng của lọc bậc 4 có hàm truyền 9  4 z 2  4 z 4 H ( z)  1  0.8 z 2  0.25 z 4 Giải Cấu trúc dạng trực tiếp II (dạng chính tắc) là một sự thực hiện trực tiếp của hàm truyền với sự giả m số đơn vị trễ (hình 7.12a). Để có dạng tầng, ta phải phân tích đa thức tử và mẫu, kết quả như sau: 3  4 z 1  2 z 2 3  4 z 1  2 z 2 H ( z)   1  0.4 z 1  0.5 z 2 1  0.4 z 1  0.5 z 2 wn + + y(n) x(n) w0 9 z-1 w1 z-1 w2 -0.84 -4 z-1 w3 z-1 w4 4 -0.25 (a) y(n) x1(n) w0(n) w0(n) x(n) + + + + w00 3 3 w10 z-1 z-1 w01 w11 -4 0.4 -4 0.4 -1 -1 z z w02 (b) w12 2 -0.5 -0.5 2 Hình. 7. 12: Ví dụ 7.3.1. (a): Dạng trực tiếp II, (b):Dạng tầng
10 Vì vậy cấu trúc tầng bao gồm hai lọc bậc hai (hình 7.12b). Chú ý với hai thừa số một trong tử và một trong mẫu, ta có thể sắp xếp để có bốn lọc bậc hai khác nhau, và vì vậy ở đây có bốn cấu trúc tầng mà có hiệu ứng độ dài từ khác nhau, ảnh hưởng sự chính xác của hệ thống khác nhau. Lý do là một tầng sẽ cho một lỗi chắc chắ n mà được truyền đến tầng tiếp theo. Ví dụ 7.3.2 Tìm dạng cấu trúc tầng của lọc bậc 4 2 z ( z 3  1) H ( z)  [( z  0.3) 2  0.16]( z  0.8)( z  0.7) Giải Phân tích thừa số có kết quả như 1  z 1  z 2 1  z 1 H ( z)  2  1  0.6 z 1  0.25 z 2 1  0.1z 1  0.56 z 2 2 + + + + x ( n) y ( n) z 1 z 1  0.6 -1 0.1 z 1 z 1 -0.25 0.56 Fig. 7.13: Ví dụ 7.3.2 Hình. 7.13 Chỉ cấu trúc tầng. Phân tích của hàm truyền Vấn đề của sự biến đổi một lọc bậc cao thành dạng tầng của lọc bậc một và bậc hai là quá trình xử lý của sự phân tích thừa số tử và mẫu của hàm truyền. Với đa thức mâu D(z) có bậc N ta xử lý để tìm căn bậc hai của nó (giống như tìm cực của hệ thống). D( z )  1  a1 z 1  a 2 z 2  ...  a M z  N (7.13)  (1  p1 z 1 )(1  p 2 z 1 )...(1  p N z 1 ) Nếu căn bậc hai là thực, ta có thể để D(z) thành hình thức trên hoặc kết nối đôi thừa số thành hàm bậc hai với những hệ số thực. Ví dụ với p1, p2 thực, ta có (1  p1 z 1 )(1  p2 z 1 )  (1  ( p1  p2 ) z 1  p1 p2 z 2 ) Nếu căn là phức, chúng sẽ xuất hiện như đôi liên hiệp phức. Ví dụ, với p1, p2 liên hiệp phức là p 2  p1 , và * (1  p1 z 1 )(1  p1 z 1 )  1  ( p1  p 2 ) z 1  p1 p 2 z 2 * * * (7.14a)  1  2 Re( p1 ) z 1  | p1 | 2 z 2 j Kết quả có thể viết trong trục tọa độ cực với p1  r1e 1 , như (1  p1 z 1 )(1  p1 z 1 )  1  2ri (cos 1 ) z 1  r12 z 2 * (7.14b) Phân tích thừa số của đa thức mẫu N(z) sẽ xuất hiện giống nhau. Thật ra, tìm căn yêu cầu giả i phương trình bậc cao, ta phải nhờ tới một phần mềm toán học như Matlab chẳng hạn Ví dụ 7.3.3
11 Tìm cấu trúc tầng cho lọc sau 1  1.5 z 1  0.48 z 2  0.33z 3  0.9376 z 4  0.5328 z 5 H ( z)  1  2.2 z 1  1.77 z 2  0.52 z 3 Giải Sử dụng Matlab, ta có thể tìm căn của mẫu và tử như sau: z  0.9,  0.5  j 0.7, 0.8  j 0.4 p  0.8,  0.7  j 0.4 Vì vậy tử số bao gồm ba thừa số: (10.8 z 1 ) [1 - (-0.5  j0.7)z -1 ][1 - (-0.5 - j0.7)z -1 ]  (1  z -1  0.7z -2 ) [1  (0.8  j 0.4) z 1 ][1  (0.8  j 0.4) z 1 ]  (1  1.6 z 1  0.8z 2 ) Và mẫu gồm hai thừa số (1  0.8z 1 ) [1  (0.7  j 0.4) z 1 ][1  (0.7  j 0.4) z 1 ]  (1  1.4 z 1  0.65z 2 ) Với những thừa số trên, một cấu trúc tầng có thể là 1  0.9 z 1 1  z 1  0.74 z 2  (1  1.6 z 1  0.8 z 2 ) H ( z)   1 1 2 1  0.8 z 1  1.4 z  0.65 z Trong hình thức này, hệ thống là một tầng của lọc bậc một, một lọc bậc hai và một lọc FIR bậc hai. Ta có thể có sự kết hợp khác của những thừa số để có cấu trúc tầng khác. Ví dụ 7.3.4 Xét một lọc comb đỉnh (phần 4.7.3) 1  z 8 H ( z)  1  0.0625 z 8 Tìm sự thực hiện tầng của nó Giải Đầu tiên, ta tìm nghiệm của tử bằng cách đặt nó bằng không 1  z 8  0 Hoặc z 8  1  e j  e j e j 2nk  e j ( 2k 1) Với e j 2 nk , với k là một số nguyên, bằng 1. Vì vậy, 8 nghiệm là z k  e j ( 2 k 1) / 8 , k  0,1,...,7 Hình. 7.14 cho giả n đồ cực không và đáp ứng biên độ của lọc. Những cực được nhóm thành b ốn đôi liên hiệp phức như sau: p2 Tần số cực = 2k/8 z1 z2 p1 p3 Tần số không = (2k+1)/8 H( ) z0 z3 p4 p0 z4 z7 p5 p7 Unit z5 z6 p6 0 /8 2/8 3/8 4/8 5/8 6/8 7/8  circle Hình. 7.14: Ví dụ 7.3.4 (Vẽ cực-không và đáp ứng biên độ)
12 (1  z 0 z 1 )(1  z 7 z 1 )  1  2(cos  ) z 1  z 2  1  1.8478 z 1  z 2 8 (1  z1 z 1 )(1  z 6 z 1 )  1  2(cos 38 ) z 1  z  2  1  0.7654 z 1  z  2  (1  z 2 z 1 )(1  z 5 z 1 )  1  2(cos 58 ) z 1  z  2  1  0.7654 z 1  z  2  (1  z 3 z 1 )(1  z 4 z 1 )  1  2(cos 78 ) z 1  z 2  1  1.8478 z 1  z  2 Giống như thế, nghiệm của mẫu được cho bởi 1  0.0625z 8  0 Hoặc z 8  0.0625  0.0625e j 2k  0.54 e j 2k Vì vậy, 8 nghiệm là pk  0.5e j 2k / 8 , k  0,1,...,7 Hai cực thực p0 và p4 được kết hợp thành thừa số bậc hai: (1  p0 z 1 )(1  p4 z 1 )  (1  0.5z 1 )(1  0.5z 1 )  1  0.5z 2 6 nghiệm phức còn lại được kết hợp thành 3 đôi liên hiệp phức (p1, p7), (p2, p6), và (p3, p5) để hình thành đôi bậc hai như sau. (1  p1 z 1 )(1  p7 z 1 )  1  2 (cos 28 ) z 1  0.5 z 2  1  z 1  0.5 z 2 (1  p 2 z 1 )(1  p6 z 1 )  1  2 (cos 48 ) z 1  0.5 z 2  1  0.5 z 2 (1  p3 z 1 )(1  p5 z 1 )  1  2 (cos 68 ) z 1  0.5 z 2  1  z 1  0.5 z 2 Khi phân tích thừa số đã hoàn thành, ta có nhiều sự kết nối của tử bậc hai và mẫu bậc hai. Sự kết hợp là 1  1.8478 z 1 1  0.7654 z 1  z 2 1  0.7654 z 1  z 2 1  1.8478 z 1  z 2 H ( z)     1  0.5 z 2 1  z 1  0.5 z 2 1  0.5 z 2 1  z 1  0.5 z 2 Vì vậy, lọc comb đỉnh thể hiện bằng dạng tầng của lọc IIR bậc 4 như sau 7.3.2 Cấu trúc song song Thay vì phân tích thừa số hàm truyền để có cấu trúc dạng tầng, ta có thể khai triển nó thành phân s ố từng phầ n để có cấu trúc dạng song song. Vấn đề khai triển phân số từng phần đã khảo xác kỹ trong phần 4.6 Khai triển là M M  bk z k  (1   z 1 ) k H ( z)  G k 0 k 1 (7.17) N N 1   ak z  (1   k 1 z) k k 1 k 1 Nếu M  N và nghiệm  k là phân biệt, hàm truyền có thể khai triển như là tổng của M thừa số bậc một M Ak H ( z)   (7.18) 1   k z 1 k 1 Với thừa số độ lợi Ak và nghiệm  k nhìn chung là phức. Kết quả trên chỉ rằng lọc bậc cao có thể tín hành bằng M lọc bậc một song song. Trong hầu hết các trường hợp đáp ứng xung h(n) là thực, thì cực của H(z) xuất hiện trong đôi liên hiệp phức, mà dẫn đến hệ thống bậc hai với những hệ số thực. b0 k  b1k z 1 M H ( z)   (7.19) 1  a1k z 1  a 2 k z  2 k
13 Nếu N  M , khai triển phân s ố từng phần sẽ chứa một lọc FIR mà được đặt song song với lọc IIR bậc hai. Khi N = M, ở đây sẽ tồn tại một hằng số trong khai triển, đó là bM / a N . Bậc của lọc song song thì không quan trọng Cấu trúc song song không phổ biến như cấu trúc tầng vì sự nhạy của không với sự lượng tử hệ số và một số lý do khác. Ví dụ 7.3.5 Tìm cấu trúc song song của lọc Butterworth bậc ba 0.1432(1  3z 1  3z 2  z 3 ) H ( z)  1  0.1801z 1  0.3419 z 2  0.0165 z 3 Giải Kết quả của khai triển phân số từng phần là 1.2916  0.08407 z 1 10.1764 H ( z )  8.7107   1  0.049 z 1 1  0.131z 1  0.3355 z 2 -8.6788 10.1764 b0 + x ( n) z 1 -0.0490 1.296 + + + y ( n) z 1 -0.1310 -0.0841 z 1 0.3355 Hình.7.15: Ví dụ 7.3.5 Cấu trúc được diễn tả trong hình. 7.15. 7.4 CẤU TRÚC LƢỚI Một dạng không trực tiếp khác là dạ ng mắc lưới mà có nhiều ưu điểm trong những ứng dụng như xử lý giọng nói, xử lý đa phân giải, và lọc thích nghi. Một số ưu điểm chính như sau: - Lọc mắc lưới ít nhạy với hiệu ứng lượng tử hơn dạ ng trực tiếp - Lọc mắc lưới có thuộc tính điều chỉnh, nghĩa là bổ sung nhiều tầng sẽ tăng bậc lọc hơn là việc thiết kế lại. - Trong dự đoán tuyến tính, cấu trúc mắc lưới cho dự đoán lỗi tới trước và lỗi hồi tiếp một cách tức thì 7.4.1 Cấu trúc lọc FIR mắc lƣới Viết hàm truyền của lọc bậc M như
14 A( z)  a(0)  a(1) z 1  a(2) z 2  ...  a(M  1) z ( M 1)  a(M ) z  M (7.20) Với a(0) lấy bằng 1 (a(0) = 1), vì vậy M A( z )  1   a(i )z i (7.21) i 1 Chú ý rằng ta sử dụng chú thích khác so với thông thường (so với 7.2). Trong cách này lọc bậc nhất là y(n)  x(n)  a1 (1) x(n  1) (7.22a) A1 ( z )  1  a1 (1) z 1 (7.22b) Với miêu tả 1 chú thích bậc nhất. Cấu trúc mắc lưới đơn của lọc bậc nhất được chỉ trong hình 7.16 có hai vào và hai ra với ngõ ra bên trên y(n). K1 được gọi là hệ số phả n xạ. Ngõ và o là f 0 ( n) + f1 (n)  y(n) K1 x ( n) K1 + z 1 g 1 ( n) g 0 ( n) Hình. 7. 16a: Mắc lưới bậc nhất f 0 (n)  g 0 (n)  x(n) (7.23) Và ngõ ra f1 (n)  f 0 (n)  K1 g 0 (n  1) (7.24a) g1 (n)  K1 f 0 (n)  g 0 (n  1) (7.24b) Từ công thức, ta có thể dễ dàng thấy rằng f1 (n) là ngõ ra y(n) khi K1  a1 (1) . Với lọc bậc hai A2 ( z )  1  a2 (1) z 1  a2 (2) z 2 y(n)  x(n)  b2 (1) x(n  1)  b2 (2) x(n  2) (7.25) Với chú thích 2 cho lọc bậc hai. Cấu trúc mắc lưới (hình 7.17) là một tầng của hai mắ c lưới đơn. Ngõ ra y(n) là y(n)  f 2 (n)  x(n)  K1 x(n  1)  K1 K 2 x(n  1)  K 2 x(n  2) (7.26) f 2 (n)  y(n) + + x ( n) K2 K1 K1 K2 + + z 1 z 1 g 2 ( n) Hình. 7.16b: Mắc lưới FIR bậc hai So sánh cái này với phương trình (7.25), ta có K 2  a2 (2) ,
15 a 2 (1) K1  (7.27) 1  a 2 (2) Với lọc FIR bậc M cấu trúc tổng quát là một tầng gồm M tầng đơn, như trước, kênh trên là ngõ ra của tín hiệu y(n). Tầng mắc lưới hoán đổi (tầng thứ k) chỉ trong hình 7.18. Nó có hai mạ ng lưới cổng với hai đầu vào f k 1 (n) và g k 1 (n) , và hai ngõ ra f k (n) và g k (n) liên hệ với hai ngõ vào thông qua h ệ số phản xạ Kk trong dạng của đôi phương trình khác nhau. f k (n)  f k 1 (n)  K k g k 1 (n  1) (7.28a) g k (n)  g k 1 (n)  K k f k 1 (n) (7.28b) + f k 1 (n) f k ( n) K1 K2 + z 1 g k 1 (n) g k ( n) Hình. 7. 17: Một tầng FIR lọc mắc lưới hoán đổi Một lọc bậc M có những tầng với cùng cấu trúc nhưng hệ số phản xạ K khác nhau. Tần thứ nhất có đầu vào chung x(n), nghĩa là f 0 (n)  g 0 (n)  x(n) , tầng cuối cho ngõ ra y(n) ở nhánh trên như nói ở trước (Hình. 7.18). f 1 ( n) f M 1 (n) f 2 ( n) f 2 ( n) f 0 ( n) … + + + y ( n) K M 1 K2 K1 x ( n) K2 K M 1 K1 … + + + z 1 z 1 z 1 g 2 ( n) g 0 ( n) g 1 ( n) g M 1 (n) g 2 ( n) Hình. 7.18: Mắc lưới FIR bậc M Tìm nhữ ng hệ số phản xạ Vấn đề then chốt là tìm những hệ số phản xạ K trong những thành phần của đối số lọc. Đầu tiên ta viết hàm truyền của lọc FIR bậc M như (7.20) và (7.21). Một thuật toán để tìm cấu trúc như sau Với AkM ( z ) hàm truyền liên quan đầu vào x(n) đến ngõ ra f k (n) của tầng hoán đổi Fk ( z )  Ak ( z ) X ( z ) (7.29) Công thức Ak ( z ) là Ak ( z )  Ak 1 ( z )  K k z  k Ak 1 ( z 1 ) (7.30)
16 Mà được gọi là step-up recursion. Đệ qui với giá trị đầu A0 ( z )  1 . Công thức đệ qui này cũng đ ịnh nghĩa một sự liên hệ hiện hành của những hệ số a k (i ) với Ak ( z ) : a k (i)  a k 1 (i)  K k a k 1 (k  i), i  1,2,..., k  1 (7.31) a k (k )  K k Mà có thể viết trong dạng matran 1 1  0  a (1)  a (k )  a (k  1) k   k 1   k 1       Kk    (7.32)      a k (k  1) a k 1 (k  1) a k 1 (1)  a k (k )   0  1       Ví dụ 7.4.1 Một lọc mắc lưới FIR bậc hai có những hệ số phản xạ K1  1 2 , K 2  1 4 . Tìm hàm hệ thống liên hệ x(n) với f 2 (n) . Giải Hàm truyền liên hệ x(n) với f1 (n) là A1 ( z )  A0 ( z )  K1 z 1 A0 ( z 1 )  1  1 z 1 2 Và hàm truyền bậc hai liên hệ x(n) với f2(n) là A2 ( z )  A1 ( z )  K 2 z 2 A1 ( z 1 )  (1  1 z 1 )  1 z  2 (1  1 z ) 2 4 2  1  8 z 1  1 z 2 5 4 Công thức (7.32) là thuật toán để tìm hàm truyền AM ( z ) khi hệ số phản xạ K1, K2,…,KM-1 cho trước. Ngược lại, khi hàm truyền AM(z) cho trước ta sẽ tìm những hệ số phản xạ Kk sử dụng step- down đệ qui như sau:   1 Ak ( z )  K k z k Ak ( z 1 ) , k  M  1, M  2,..., 1 (7.33) Ak 1 ( z )  1 Kk 2 Những thành phần của những hệ số ak(i), sự đệ qui là ak (i)  K k ak (k  i) , i  1,2,..., k  2 1 a k 1 (i)  1  K k2 (7.34) a k 1 (k  1)  K k 1 Những hệ số phản xạ được tìm thấ y từ đa thức Ak(z) bằng cách đặt Kk = ak(k). Ví dụ 7.4.2 Hàm truyền bậc hai là A2 ( z )  1  1 z 2 . Tìm những hệ số phản xạ. 2 Giải Lấy tập 1 K 2  a 2 (2)   2 A1(z) được tìm thấy bằng cách sử dụng đệ quy bước-xuống:
17   1 A2 ( z )  K 2 z  2 A2 ( z 1 ) A1 ( z )  1 K2 2 1     z 2  1 z 2 1  1 z 2  4 1 3 2 2 2 1 1 Với a1 (1)  0 thì K1  0 . Vì vậ y, những hệ số phả n xạ là K1  0, K 2   2 Ta xét chỉ hàm truyền liên hệ giữa vào x(n) với ra f M 1 (n) . Một tập giống của sự liên hệ tồn tại trước đầu vào x(n) và ra gM(n) (Hình. 7. 19). Lấy GM ( z )  AMR1 ( z ) X ( z ) () (7.35) Sự liên hệ giữa hàm hệ thống AM ( z ) và AMR ) ( z ) là ( AMR ) ( z )  z  M AM ( z 1 ) ( (7.36) AMR ) ( z ) là AM ( z ) với trật tự những hệ số đảo ngược ( AMR ) ( z)  a(M )  a(M  1) z 1  ...  a(1) z ( M 1)  a(0) z  M ( (7.37) Vì vậy, FM ( z ) và g M (n) thì liên hệ bằng lọc qua tất cả (phần 7.5.1) FM ( z )  H all ( z )GM ( z ) (7.38) Với z  M AM ( z 1 ) H all ( z )  (7.39) AM ( z ) Một thuộc tính của lọc mắc lưới là nghiệm của AM ( z ) sẽ ở bên trong đường tròn đơn vị nếu và chỉ nếu những hệ số phả n xạ được bao bởi biên độ 1: | K k |  1, k  1,2,..., M (7.40) Một lọc nhân quả với hàm truyền hữu tỉ B( z ) H ( z)  A( z ) Là ổn định khi và chỉ khi những hệ số phản xạ liên hệ với A( z ) được bao trong biên độ 1. Chú ý rằng ta chú thích hàm hữu tỉ H(z) như B( z ) / A( z ) , thay vì N ( z ) / D( z ) như thông thường, để kiểm chứng với những tác giả khác. 7.4.2 Cấu trúc mắc lƣới lọc IIR Cấu trúc mắc lưới cho một lọc IIR bao gồm một cấu trúc mắc lưới cho tất cả cực và phầ n gồm những bộ nhân và bộ cộng để thực hiện lọc IIR cho không. Xét một lọc gồm tất cả cực 1 1 H ( z)   (7.41) N 1   a(i ) z A( z ) i i 1 Cấu trúc của H ( z )  1 A( z ) thì giống với A( z ) ngoại trừ ngõ ra và vào hoán đổi cho nhau, nghĩa là, f M (n) là ngõ vào và f 0 (n) là ngõ ra. Hình. 7.20 là một tầng hoán đổi
18 + f k ( n) f k 1 (n)  Kk Kk + g k ( n) z 1 g k 1 (n) Hình 7. 19: Tầng hóan đổi của một mắc lưới tất cả cực Với một ngõ vào cho trước f N (n)  x(n) ta sẽ tìm f N 1 (n), f N 2 (n),..., f 0 (n) . Sự liên hệ vào ra với tầng hoán đổi thứ k là f k 1 (n)  f k (n)  K k g k 1 (n  1) g k (n)  g k 1 (n)  K k f k (n) Với lọc tất cả cực, ta cần tính công thức trước (trong bậc đảo so sánh với bậc của lọc FIR). Với lọc tất cả cực bậc M, ở đó sẽ có M tầng (hình 7.20) cho ngõ ra được gọi là v(n) (thay vì của y(n) mà được đảo cho ngõ ra của lọc IIR như thấy ngắn hơn). f M 1 (n) f 1 ( n) f 0 ( n) f M ( n) … + + + x ( n) v ( n)  K1  KM  K2 KM K1 K2 z 1 g … (n) + + + z 1 z 1 g M ( n) g 1 ( n) M 1 Hình. 7.20: Mắc lưới tất cả cực bậc M Bây giờ xét đa thức lọc IIR cực –không với ngõ vào x(n) và ngõ ra y(n)(so sánh với (7.17)) M b z k k B( z ) 1 H ( z)  k 0    B( z ) (7.42) M 1   ak z A( z ) A( z ) k k 1 Với M  N , hàm truyền được tổng hợp thành tầng của mắc lưới tất cả các cực1 A( z ) và một phần lọc FIR B( z ) như trong hình 7. 22. Phần FIR B( z ) là đường tapped-delay với những hệ số  k . Cấu trúc mắc lưới của lọc IIR được minh họa trong hình 7. 22 với trường hợp M = N. Đây được gọi là cấu trúc thang mắc lưới. Nó có thể chỉ rằng những hệ số mắc lưới  k liên hệ với lọc FIR f M ( n) 1 f 0 ( n) x ( n) A( z ) B( z ) v ( n) g M ( n) All-pole FIR Hình. 7.21: Tầng của mắc lưới tất cả cực với phần FIR
19 f M ( n) f M 1 (n) f 0 ( n) f 1 ( n) … + + + v ( n) x ( n)  K2  K1  KM KM K2 K1 g M 1 (n) g M ( n) g 1 ( n) … + + + z 1 z 1 z 1  M 1 2 M 1 0 … + + + + y(n) Hình. 7.22: Cấu trúc thang mắc lưới của lọc IIR Những hệ số bk bằng công thức đệ qui M   a (i  k ) ,  k  bk  k  M  1, M  2,..., 0 (7.43) i i i  k 1 Sự đệ qui này khởi tạo với  M  bM . Ngõ ra của lọc IIR sẽ là M y ( n)    k g k ( n) (7.44) k 0 Ví dụ 7.4.3 Một lọc Butterworth thông thấp bậc ba có hàm truyền 0.129  0.3867 z 1  0.3869 z 2  0.129 z 3 H ( z)  1  0.2971z 1  0.3564 z 2  0.0276 z 3 Tìm cấu trúc mắc lưới. Giải Theo chú thích của ta, A( z )  1  0.2971z 1  0.3564 z 2  0.0276 z 3 B( z )  0.129  0.3867 z 1  0.3869 z 2  0.129 z 3 Những hệ số mắc lưới cho A( z ) được tìm thấ y là a 3 (3)  K 3  0.0276 a 3 (2)  0.3564 a 3 (1)  0.2971 a 2 (2)  K 2  0.3485 a 2 (1)  0.2875 a1 (1)  K 1  0.2132 Bây giờ ta sử dụng đệ qui (7.43) để tìm những hệ số FIR. Kết quả là  3  b3  0.129  2  b2   3 a3 (1)  0.4252 1  b1   2 a 2 (1)   3 a3 (2)  0.4630  0  b0  1 a1 (1)   2 a 2 (2)   3 a3 (3)  0.0831 Từ kết quả trên ta có cấu trúc mắc lưới của lọc IIR Butterworth. 7.5 PHÂN TÍCH KHÔNG GIAN-TRẠNG THÁI [Trích từ Tamal Bose, 2004] Phân tích không gian-trạng thái cho phép tính ngõ ra hệ thống và những trạng thái nội tại những nơi khác nhau bên trong hệ thống. Trong mạch liên tục thời gian, sự thay đổi trạng thái được định nghĩa như dòng hoặc thế tại những phần tử tích trữ năng lượng như điện dung và cuộn dây. Trong hệ thống
20 rời rạc thời gian, sự thay đổi trạng thái được định nghĩa như ngõ ra của phần tử trễ (gọi là thanh ghi tr ễ hoạc bộ đệm trễ). 7.5.1 Phƣơng trình trạng thái không gian Mô hình trạng thái không gian của một hệ thống một vào-một ra bậc N được miêu tả bằng hai công thứa trạng thái-không gian: v(n  1)  Av(n)  Bv(n) (7.45a) y(n)  Cv(n)  Dx(n) (7.45b) Với v(n)  v1 (n)v2 (n)...vn (n) là vector trạng thái với v1(n), v2(n)…là những biến trạng thái, được gọi là trạng thái nội, x(n) là ngõ vào, y(n) ngõ ra, A là một matran NxN, B là một vector Nx1, C là một vector 1xN, và D là tỉ lệ. Công thức đầu tiên là công thức trạng thái, và công thức thứ hai là công thức ngõ ra. Những công thức này được trích ra từ giản đồ thực hiện của lọc như miêu tả ở phân trước, vì phụ thuộc vào dạng của sự thực hiện Xét một lọc IIR bậc hai với phương trình y(n)  a1 y(n  1)  a 2 y(n  2)  b0 x(n)  b1 x(n  1)  b2 x(n  2) Thực hiện dạng chính tắc (dạng trực tiếp II) được cho trong hình 7.24. Đầu tiên ta chú thích những biến trạng thái tại hai ngõ ra trễ một đơn vị như v2(n) và v1(n). b0 x(n) y(n) + + Z-1 v1(n) a2 a1 b1 Z-1 v2(n) b2 Hình. 7. 23: Dạng chính tắc (dạng trực tiếp II) của lọc IIR bậi hai Kế đến, bằng cách xét sự thực hiện, ta có thể viết những công thức như sau v2 (n  1)  v1 (n) v1 (n  1)  a1v1 (n)  a 2 v2 (n)  x(n) y(n)  (b1  b0 a1 )v1 (n)  (b2  b0 a 2 )v2 (n)  b0 x(n) Công thức ngõ ra và trạng thái trên thường được viết trong dạng ma trận v 2 (n  1)  0 1   v1 (n)  0  v (n  1)   a a  v (n)  1 x(n) (7.46a)   1  1 2  2  v ( n)  y (n)  b1 b0 a1 b2  b0 a 2   1   b0 x(n) (7.46b) v 2 (n) Với sự thực hiện khác nhau của cung những thành phần lọc của matran trong cong thức không gian trạng thái sẽ khác nhau. Vì vậy, mô hình không gian-trạng thái được chú thích bởi A, B, C, D trình bày cấu trúc của lọc. Vì vậy sự thực hiện khác nhau của cùng lọc trình bày cùng công thức khác nhau, tất cả những mô hình trạng thái không gian với cấu trúc khác nhau của cùng lọc thì bằng nhau. 7.5.2 Giải phƣơng trình không gian-trạng thái Biến đổi z được sử dụng để giả i phương trình không gian trạng thái. Lấy biến đổi z một bên của công thức trạng thái (7.45a): zV(z)  zv(0)  AV( z)  BX ( z) Mà cho V( z)  ( zI  A) 1 BX ( z)  ( zI  A) 1 zv(0) (7.47)