1 < a < x2
ứ
Ví d ụ Cho (a+c)(a+b+c)<0. Ch ng minh:
(bc)2>4a(a+b+c)
ờ ả
L i gi
i:
ế
ế
N u a=0 thì t
ừ ả
gi
thi
t ta có c(b+c)<0
(1)
ổ ớ T 4.vip.pro.friendly – l p 10 Toán 54
̀ ề ấ ẳ
ấ ẳ
ứ
ả
ạ
B t đ ng th c
ứ ph i ch ng minh có d ng (bc)
2>0 (2)
Truong THPT chuyên Lê Quý Đôn Chuyên đ B t đ ng
th cứ
ừ
ậ
T (1) suy ra b
cv y (2) đúng => đpcm
ứ ậ
N u aế
(cid:0) 0 xét tam th c b c hai sau :
f(x) = ax2+(bc)x+a+b+c
ừ
ừ ả
ị
t ta có f(0)f(1)<0.Theo đ nh lí
f(x)=0 có hai
ng trình
ệ
ệ
T f(0)=a+b+c ; f(1)=2(a+c) >t
ề ấ ủ
ả
đ o v d u c a tam th c b c hai suy ra
nghi m phân bi
ế
g i thi
ươ
ph
2 – 4(a+b+c)>0 (cid:0)
ứ ậ
t .Hay (bc)
(bc)2 > 4(a+b+c) (cid:0)
ế ồ ạ
đpcm
(cid:0) R sao cho f(a).f(b) > 0 thì f(x) có 2 nghi mệ
ả
ộ ố ằ
ệ
(cid:0)
ả: N u t n t
ệ
i a, b
ố
H quệ
phân bi
t và trong 2 s a,b có m t s n m ngoài kho ng hai nghi m.
ộ ố ấ ẳ
ử ụ
ứ
ụ
2.7. S d ng m t s b t đ ng th c ph
ươ
ẽ ử ụ
ấ ẳ
ứ
ộ
ng pháp này chúng ta s s d ng m t sô b t đ ng th c ph
ụ
ấ ẳ
ứ
Trong ph
ể ứ
đ ch ng minh các b t d ng th c khác.
ấ ẳ
ỉ ầ
ư
ụ
ấ ẳ
ủ
ể ậ
ứ
ứ ầ
ứ
Đ v n d ng các b t đ ng th c này ta ch c n đ a b t đ ng th c c n
ề ạ
ch ng minh v d ng c a chúng.
ộ ố ấ ẳ
ứ
ứ
ộ ố
ụ
Sau đây là m t s b t d ng th c ph cách ch ng minh chúng và m t s ví
d .ụ
ấ ẳ
ứ
Cho a,b>0 thì :
B t đ ng th c I :
( I )
2(cid:0)
a
b
b
a
(cid:0)
ớ ổ T 4.vip.pro.friendly – l p 10 Toán 55
̀ ề ấ ẳ
ố ươ
ượ
ụ
Áp d ng BĐT Cauchy cho 2 s d
Ch ng minh:
ng là a,b ta đ
c
Truong THPT chuyên Lê Quý Đôn Chuyên đ B t đ ng
th cứ
ứ
(đpcm)
2
2
a
b
b
a
a
b
b
a
ố ươ
ữ
ng và abcd = 1
Ví d :ụ Cho a,b,c,d là nh ng s d
2
2
2
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
ứ
ằ
Ch ng minh r ng:
.
a
b
c
d
ab
ac
ad
bc
db
cd
10
ứ
Ch ng minh:
2
2
2
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
Theo BĐT Cauchy ta có :
(1) và
(2)
a
b
ab
2
c
d
cd
2
(vì a,b,c,d > 0)
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
ễ ấ
ab
D th y ab,cd > 0 và do abcd = 1 nên
1
cd
(cid:0)
ụ
ab
cd
cd
2
(3)(Áp d ng BĐT (I))
1
cd
ươ
T
ng t
ự
(4)
ac
(cid:0) bd
2(cid:0)
ad
(cid:0) bc
2(cid:0)
(5)
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
(6)
ab
2
cd
2
4
ế
ộ
ượ
C ng theo v (1),(2),(3),(4),(5),(6) ta đ
c đpcm
(cid:0) (cid:0)
ấ ẳ
ứ
Cho a,b,c>0 thì :
B t đ ng th c II :
cba
(9
)
(cid:0)
1
a
1
b
1
c
ố ươ
ng là
ư
,
,
và a,b,c nh sau:
ứ
Ch ng minh:
ể ứ
ử ụ
Đ ch ng minh BĐT (II) ta s d ng BĐT Cauchy cho 3 s d
1
1
1
cba
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
ổ ớ T 4.vip.pro.friendly – l p 10 Toán 56
̀ ề ấ ẳ
Truong THPT chuyên Lê Quý Đôn Chuyên đ B t đ ng
th cứ
.3
3
,
1
a
1
b
1
c
1
abc
Ta có:
(cid:0) (cid:0) (cid:0)
cba
abc
3
.3
3
3
cba
1
abc
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
ứ
Khi đó ta có:
ầ
. Đây là BĐT c n ch ng minh.
1
a
1
b
ư ậ
ư
ạ
ả
9
cba
ả
ữ
i nh ng bài toán ch a có d ng nh v y thì ta ph i
ề ặ
ổ
ấ
ế
ư ế
ụ
1
c
V n đ đ t ra là khi gi
bi n đ i nh th nào
Ta hãy xét ví d sau:
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
6
VD1: Cho a,b,c (cid:0) 0 ch ng minh:
a
a
3
a
c
c
3
b
c
b
c
ứ
b
4
a
3
(2)
ứ
Ch ng minh:
ữ
ể ả
ư
ả
ư
i nh sau:
ạ
ệ
ổ ể
i nh ng bài toán d ng này ta xây d ng cách gi
ạ
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
yb
Đ gi
ẽ ế
ấ
Ta s bi n đ i đ xu t hi n d ng (II)
ố
ướ ế
Tr
c h t ta tìm 2 s x,y sao cho:
Mcby
a
c
(
)3
(
(
)
ax
cy
1(
)
)
bax
)
(
c
xb
3
a
c
)3
a
3
1(
ứ
ấ
ồ
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
x
ử ụ
s d ng ph ong pháp đ ng nh t th c ta có :
1
ư
3
và
x
y
,3
,2
aM
3
b
2
c
3
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
y
1
ờ
Bây gi
ta tìm m,n sao cho:
acmb
b
2
4
(
an
3(
)
c
)3
ươ
ự
ượ
T
ng t
trên ta tìm đ
c m=6,n=2
ế
ư
ươ
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
b
4
2
2
16
Đ n đây ta ch ng minh (2) nh sau
Ta có (2) t
c
3
b
ươ
ớ
ng v i
a
3
c
ứ
ng đ
c
b
a
c
a
a
t c làứ
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
ổ ớ T 4.vip.pro.friendly – l p 10 Toán 57
̀ ề ấ ẳ
Truong THPT chuyên Lê Quý Đôn Chuyên đ B t đ ng
th cứ
a
3(
b
2
c
)3
16
1
cb
2
ac
ươ
ươ
VP t
ng đ
1
ba
ớ
ng v i
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
1
1
ba
cb
c
a
c
a
16
1
ba
1
cb
c
a
c
a
(đúng)
=>đpcm
ờ
ể ứ
ộ ố
ẽ
Bây gi
ta s dùng BĐT (II) đ ch ng minh m t s BĐT khác:
Ví d 2:ụ Cho a,b,c >0;CMR
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
.
1
ba
3
cba
2
1
cb
2
1
ac
2
ứ
Ch ng minh:
ậ ụ
ố ươ
Ta v n d ng BĐT(II)cho3 s d
ng là2a+b,2b+c,2c+a ta có
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
1
ba
ba
ac
1
ba
1
ac
9
cba
2
1
cb
2
1
ac
2
9
cb
2
2
2
2
1
cb
2
2
)
(3
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
1
ba
1
ac
3
cba
2
2
ứ
1
cb
2
ầ
Đây là BĐT c n ch ng minh
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
a2b + ab2. (III)
(cid:0)
ấ ẳ
ứ
ổ ươ
ươ
B t đ ng th c
III:
Ch ng minh:
ế
ứ
N u a
ế
(Dùng phép bi n đ i t
0 và b (cid:0) 0 thì a3+b3 (cid:0)
ng).
ng đ
Ta có : a3+b3 (cid:0) a2b + ab2 (cid:0)
(a+b)(a2– ab +b2 ab) (cid:0)
(a+b)(a2 – ab + b2) (cid:0)
0 (cid:0)
(ab)2(a+b) (cid:0)
ab(a+b)
0.(Đúng)
3
3
3
3
3
3
(cid:0)
Ví d : ụ Cho a,b,c>o.CMR:
a
b
c
cba
.
b
ab
a
ca
2
c
bc
2
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
ờ ả
L i gi
i:
ẽ ử ụ
ư
Ta s s d ng BĐT (III) nh sau :
T 4.vip.pro.friendly – l p 10 Toán
ổ ớ 58
̀ ề ấ ẳ
3
3 (cid:0)
a
ươ
Ta có a3+b3 (cid:0) a2b + ab2 (cid:0)
a3+b3 (cid:0) ab(a+b) (cid:0)
(cid:0)
; T
ng t
ự
,
ba (cid:0)
2
b
ab
2
3
3
3
3
Truong THPT chuyên Lê Quý Đôn Chuyên đ B t đ ng
th cứ
b
ta cũng có:
.
,
ccb
2
ac
2
ế
ộ
ượ
ứ
ầ
c
bc
2
C ng theo v các BĐT trên l
a
ca
2
ạ ớ
i v i nhau ta đ
c BĐT c n ch ng minh.
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
ấ ẳ
ố ươ
ng .ta luôn có:
Cho a, b là các s d
.
(IV)
IV.
B t đ ng th c
1
b
(cid:0) (cid:0) (cid:0)
ứ
1
a
4
ba
ứ
Ch ng minh.
ổ ươ
ươ
ng pháp bi n đ i t
ng đ
ng).
Ta có BĐT
ế
ba
ab
4
ba
ớ
ọ
(a+b)2 (cid:0)
4
ba
(ab)2 (cid:0)
ọ
0. BĐT này luôn đúng v i m i a, b nên BĐT
ươ
ươ
Cách 1: (Dùng ph
1
1
a
b
4ab (cid:0)
ớ
(IV) luôn đúng v i m i a,b d
ng.
ố ươ
Cách 2: (Dùng BĐT Cauchy cho hai s d
ố ươ
ụ
Áp d ng BĐT Cauchy cho hai s d
ng là:
ta có:
ng ).
1
1
,
ba
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
ạ
ố ươ
ụ
, l
i áp d ng BĐT Caychy cho hai s d
ng là a
2
1
ab
2
ab
1
1
a
b
vvà b, ta có:
(cid:0) (cid:0) (cid:0)
ab
2
ừ
ượ
a+b
. T hai BĐT trên ta đ
c BĐT (IV).
2
ba
1
ab
ứ
ằ
ng .Ch ng minh r ng:
1
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
.
2
2
2
a
1
ba
Ví d :ụ Cho a, b là các s d
ố ươ
1
ab
8
b
4
4
(
)
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
ờ ả
L i gi
i:
ậ
ụ
ứ
ư
ể
ụ
Ta v n d ng BĐT (VI) đ ch ng minh BĐT này nh sau: Ta áp d ng
BĐT (VI) cho hai s 4aố 2+4b2 và 8ab. Ta có:
1
1
.
2
2
2
2
2
2
2
a
a
ab
a
1
ab
1
ab
1
ba
4
b
4
4
8
4
b
4
8
4
b
4
8
(
)
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
ổ ớ T 4.vip.pro.friendly – l p 10 Toán 59
̀ ề ấ ẳ
ứ
ầ
Đây là BĐT c n ch ng minh..
ố ươ
Truong THPT chuyên Lê Quý Đôn Chuyên đ B t đ ng
th cứ
ấ ẳ
ng, ta luôn có:
Cho a, b là các s d
B t đ ng th c V:
(V)
4
ba
2)
(
ứ
(cid:0) (cid:0)
ứ
1
ab
Ch ng minh.
ng)
2
)
ươ
(
ổ ươ
2
ba
(
)
ng đ
0
ươ
. Đây là BĐT đúng.
ụ
ố ươ
d
ng là a và b, ta cã: ab
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
2
2
ế
Cách 1:(Dùng ph
ng pháp bi n đ i t
Ta có BĐT (4)
ba
ab
4
Cách 2: (Dùng BĐT Cauchy).
Ta áp d ng BĐT Cauchy cho 2 s
4
ba
ố ươ
ng. CMR:
Ví d :ụ Cho a, b, c là các s d
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ) ( (cid:0) 1
ab ba
2 ) (
2)
ứ
Ch ng minh.
ố ươ
Ta v n d ng BĐT (V) cho 2 s d
ng là 2a+b và 2c+b ta có:
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ba bc cb ca ab ac 3
cba 1
2)( 1
2)( 2( ) 2( ) 2( ) 1
2)( (
2
2
ậ ụ
1
2)(
4 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ba bc a ba ba 1
2)( 2( ) 2( 4
b
2 c
)2 2( ) ) 2(
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) bc
2
1
cba ) (
T
2(
ươ
2
.
(cid:0) , (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) cb ca 2( ) ) (
2
ạ ớ
ượ
ứ
ầ
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 1
cba
1
cba bc
1
ba
bc
2)(
)
ự
ta có:
ng t
1
2)(
1
2)( ) (
i v i nhau ta đ
c BĐT c n ch ng minh.
ab
ac
)
2(
ế
ộ
C ng theo v các BĐT trên l
ổ ớ T 4.vip.pro.friendly – l p 10 Toán 60
̀ ề ấ ẳ
Truong THPT chuyên Lê Quý Đôn Chuyên đ B t đ ng
th cứ
ử ụ
ị
2.8. S d ng đ nh lí Viét
ữ
ườ
ươ
ứ
ề
ệ
ờ
ế
ụ
ủ
ứ ấ
ứ
ng pháp ch ng minh b t đ ng th c r t
ộ
ể
i ch ng minh có th có th s d ng m t cách
ậ
t ki m th t nhi u th i gian cho vi c ch ng minh. Sau
ươ
ể ấ ượ ứ
ng
ấ ẳ
ể ử ụ
ứ
ệ
ạ
c s c m nh c a ph
ộ
Đây là m t trong nh ng ph
ạ
ấ
hay và r t m nh giúp ng
ệ
ả
có hi u qu và ti
ộ ố
đây là m t s ví d giúp chúng ta có th th y đ
pháp này.
ố ự
ề
ứ
ằ
Ví d 1:ụ Cho các s th c x,y,z khác 0 và tho mãn các đi u ki n
ệ
x + y +z =xyz,
2x = yz. Ch ng minh r ng:
ả
2x (cid:0) 3
ổ ớ T 4.vip.pro.friendly – l p 10 Toán 61
̀ ề ấ ẳ
Truong THPT chuyên Lê Quý Đôn Chuyên đ B t đ ng
th cứ
ờ ả
L i gi
i:
ễ ấ
D th y
3
x
x
2
y+z = {
=
yz x
2
-
ệ
ủ
ươ
ng trình:
2
+ =
2 - u x +
3
x u x ( ) 0
(2)
ừ
ỉ
, do x 0(cid:0)
, nên t
(2) suy ra
2
2
2
2
D = - - x 4) ((1 D (cid:0) 0
)
- - x 1
vô nghi m, do đó ta có
ậ
V y y,z là nghni m c a ph
(1)
2 2
Ta có:
x
)
ệ
ở
B i vì (1) có nghi m khi và ch khi
(
(
)
-��
�
x
4 0
1
4
2x (cid:0) 2ho cặ 1-
2x (cid:0) 2
2(cid:0)
ệ
2x
2x (cid:0) 3(đpcm)
(cid:0)
ề
ệ
Ví d 2:ụ Các s th c x,y,z tho mãn đi u ki n x + y + z =5 và
ố ự
ả
ằ
ứ
yz + xz +xy =8. Ch ng minh r ng:
1-
ễ ấ
D th y 1
2x (cid:0) 2 (cid:0)
1-
1 (cid:0)
x,y,z
(cid:0) 7
3
ờ ả
L i gi
i:
ừ
ề
ệ
T các đi u ki n bài toán ta có:
yz
x
+ = -
5
= -
x
8
x
( 5
)
-
{ y z
ươ
ẫ
ệ
ủ
ng trình:
2x 5x +8 =0
ở
ệ
ng trình trên có nghi m, nghĩa là:
ế
D n đ n y,z là nghni m c a ph
2u +(x5) u +
ươ
B i vì ph
0
2
D (cid:0)
(
) 2
�
x
x
x
5
4(
+
5
�
8) 0
(cid:0)�
x
1
7
3
ư
Vai trò x,y,z nh nhau nên ta cũng có
- - -
1 (cid:0) y,z
(đpcm)
(cid:0) 7
3
ổ ớ T 4.vip.pro.friendly – l p 10 Toán 62
̀ ề ấ ẳ
ủ
ươ
sả ử 1x ,
0).
2x + kx + a = 0 (a (cid:0)
ệ
2x là nghi m c a ph
ấ ẳ
ể
ị ủ
ng trình
ứ
t c các giá tr c a k đ có b t đ ng th c:
3
3
Truong THPT chuyên Lê Quý Đôn Chuyên đ B t đ ng
th cứ
( a,k R(cid:0)
)
Ví d 3ụ : Gi
ấ ả
Tìm t
� � � �+
x
1
� � � �
x
� � � �
2
L i gi
(cid:0) 52 x
2
x
1
ờ ả
i:
ế
ố
ườ
D = 2
k
4
ợ
ng h p:
>
a
0
ớ
v i m i k. Khi đ ph
ẫ
ấ ẳ
ọ
ấ
ứ
ề
-
ệ
ớ
ọ
.
3
3
2
2
+
=
R(cid:0)
y
x
y
y x
)(
)
x
ứ
Ta xét a trong 2 tr
ươ
ng trình đã cho luôn
* N u a<0 thì
ế
có hai nghi m khác nhau và khác d u. Đi u đó d n đ n b t đ ng th c đã
cho đũng v i m i k
ế
* N u a>0
+
+
xy
(
Ta có
ụ
Áp d ng công th c trên ta có
+
-
3
=
x
2
x
1
�
�
�
�
3
3
� � � �
x
+
1
� � � �
x
� � � �
2
2
+
+
-
(
2
�
�
�
) 2
2
x x
1 2
x
1
=
ị
( Theo đ nh lí Viét)
=
nh ngư
2
x
1
x x
1 2
�-�
�
k
2
�
a
�
�
�
�
�+�
�
x
x
x
x
�
2
1
2
1
�
�
�
x
x
x
x
�
�
�
�
2
1
2
1
2
�+�
�
x
x
x
2
1
2
=
�
x
x
�
�
2
1
x
2
x x
1 2
Do đó
3
3
2
2
-
2
3
2
�
�
�
�
�
�-�
�
k
k
�
2
�
�
�
a
a
�
�
�
�
�
�
�
�
= , Ta có:
t
- - x
2
x
1 � � � �+� � � �
x
=
1
x
� � � �
2
2
3
-
2k
đ t ặ
a
(t2)((
) 2
t -
(t6)( 2t + 9) (cid:0)
ọ
(cid:0) 0, hay
6 (cid:0)
0
) (cid:0) 52
0
ớ
Ta th y ấ 2t + 9>0 v i m i t,do đó t6
2k
a
(cid:0)
6a(do a>0)
(cid:0)
6a
ậ
2k (cid:0)
6a (cid:0) k (cid:0)
ớ
V y v i
(cid:0)
ổ ớ T 4.vip.pro.friendly – l p 10 Toán 63
̀ ề ấ ẳ
Truong THPT chuyên Lê Quý Đôn Chuyên đ B t đ ng
th cứ
<
k R
0{a
Ho cặ
>
(cid:0)
(cid:0) (cid:0)
{a
k
a
0
6a
6
3
3
Thì
‘
(cid:0) 52 x
2
x
1 � � � �+
x
1
� � � �
x
� � � �
2
́
2.9. Bài t p :ậ
Bài 1: Cho ABC
3
̀
bât ky. CMR :
2
2
2
2
2
(cid:0)
2
cba
B
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) c (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) a
A B C b
cot cot cot tan tan tan A
2 C
2
(cid:0)
̀
́
bât ky. CMR :
4 3
rR
Bài 2: Cho ABC
(cid:0) (cid:0) S
ớ ổ T 4.vip.pro.friendly – l p 10 Toán 64
̀ ề ấ ẳ
Truong THPT chuyên Lê Quý Đôn Chuyên đ B t đ ng
th cứ
Bài 3:
nhon. CMR :
Cho ABC
(cid:0) ̣
ứ
ằ
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) A B cos 2 cos 2 cos C
2 3
2
2
2
2
2
2
2
Bài 4: Cho x,y,z >0 Ch ng minh r ng:
(
)
2
2
2
+ + + + + + + + (cid:0) x xy y x xz z y yz z + +
y x z 3
ủ
ố
(p#q)
ứ
ằ
Bài 6: Ch ng minh r ng:
2
2
2
2
2
= +
2 - - y x +
px p x +
qx q 2 2 2 2 Bài 5: Tìm GTNN c a hàm s
)
(
(
)
ấ ẳ
ứ
Bài 7: Ch ng minh b t đ ng th c sau:
ứ
1
" (cid:0) + + + (cid:0) m n p q R
, , , +
2
m n p q +
m p +
n q
)
> n (n=2,3,
(1)
2
2
1 (cid:0) (cid:0) (cid:0) 1 n 2
ứ
x
y
x
y
y
(
)
2
55
4
,65
yx
,
.(*)
Bài 8: Ch ng minh
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
3
2
4
4
.(1)
ề
Bài 9: (đ thi HSG t nh)
a
3
a
ỉ Cho ai>0; i = 1, 2, 3, 4 CMR:
a
a
4
a
a
a
1
a
a
1
a
a
a
a
a
2
3
3
4
a
2
a
1
2
4
4
ứ
Bài 10
ố ươ
c
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
2(cid:0)
.(1)
: Cho a,b,c,d là 4 s d
b
dc
a
cb
ng.ch ng minh:
d
ba
d
a
ứ
ằ
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
.
Bài 11: Cho a,b,c >0. Ch ng minh r ng :
c
ab
b
ac
a
bc
1
b
1
a
1
c
ứ
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
6
Bài 12: Cho a,b,c (cid:0) 0 ch ng minh:
c
b
c
3
b
a
a
c
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
a
3
c
ớ
b
4
a
3
T 4.vip.pro.friendly – l p 10 Toán
ổ 65
̀ ề ấ ẳ
ng trình
2x + 2kx + 4 =0. Tìm
sả ử 1x ,
ị
ệ
ủ
2x là nghi m c a ph
ấ ẳ
Bài 13: Gi
ấ ả
t
2
2
Truong THPT chuyên Lê Quý Đôn Chuyên đ B t đ ng
th cứ
ươ
ứ
t c các giá tr k sao cho có b t đ ng th c:
� � � �+
x
1
� � � �
x
� � � �
2
(cid:0) 3 x
2
x
1
ươ
Ch
ng 3 :
ổ ớ T 4.vip.pro.friendly – l p 10 Toán 66
̀ ề ấ ẳ
́
́
̀
́
̀
Truong THPT chuyên Lê Quý Đôn Chuyên đ B t đ ng
th cứ
́
Ap dung vao môt sô vân đê khac
̣ ̣
ọ
ả
“Có h c thì ph i có hành”
ứ
ấ ẳ
ữ
ả
ế
t v n d ng nh ng k t qu đó vào các v n đ khác.
ụ ề ấ ẳ
ế ạ
ợ
ng h p đ c bi
ộ ạ
ị
ứ
ươ
ng pháp ch ng
ấ
ề
ứ ượ
ng giác mà
c ta có các ví d v b t đ ng th c l
ề
ệ
ặ
ở ườ
t : tam giác đ u, cân hay
tr
ự
ớ
i phát sinh ra m t d ng bài m i : đ nh tính tam giác d a
ệ
c.
ớ
ng tr
ả ượ
ấ
ắ
ộ
c “gi u” đi, b t bu c ng
ế ố ấ
ệ
ầ
ề
ố
i quy t t
ể
ứ
ệ
chúng ta s cùng ki m tra hi u qu c a các b t đ ng th c
ả ủ
ộ ố ấ
ươ
ụ
ề
Sau khi đã xem xét các b t đ ng th c cùng các ph
ế ậ ụ
ả
minh thì ta ph i bi
ướ
ươ
ng tr
Trong các ch
ả
ườ
ằ
ấ
ng x y ra
d u b ng th
vuông …Vì th l
ướ
ề
vào đi u ki n cho tr
ể ẫ
ướ
ả ủ
ế
ữ
ặ
ươ
c ta cũng có th d n
M t khác v i nh ng k t qu c a các ch
ấ
ứ
ạ
ạ
ị ượ
ự
ế
ờ ấ ẳ
ng giác nh b t đ ng th c. D ng bài này r t
đ n d ng toán tìm c c tr l
ẫ
ả ự
ế
ườ
“mò m m” đi
i làm ph i t
hay : k t qu đ
ố
ấ
ị
ậ
t nhiên mu n
tìm đáp án cho riêng mình. Công vi c đó th t thú v ! Và t
ứ
ấ ẳ
ộ
ả
gi
t v n đ này thì ta c n có m t “v n” b t đ ng th c “kha
khá”.
Bây gi
ượ
l
ờ
ng giác trong ch
ẽ
ng 3 :
ấ ẳ
“Áp d ng vào m t s v n đ khác”
ấ ẳ
ứ
ả
i toán
ụ ụ
M c l c :
ị
3.1. Đ nh tính tam giác
3.1.1. Tam giác đ uề
3.1.2. Tam giác cân
3.1.3. Tam giác vuông
ậ ụ
3.2. V n d ng b t đ ng th c vào gi
3.3. Bài t pậ
ổ ớ T 4.vip.pro.friendly – l p 10 Toán 67
̀ ề ấ ẳ
Truong THPT chuyên Lê Quý Đôn Chuyên đ B t đ ng
th cứ
ị
3.1. Đ nh tính tam giác :
́
̀
3.1.1. Tam giac đêu :
́
́
́
̀
́
́
̃
́
̀
́
́
ươ
̉ ̣
̉
́
́
̀
̃
ư
́
ơ
̣ ̣
́
́
̀
ư
̣ ̣ ̣
̀
́
́
́
̉ ̉
̀
́
c cac bât đăng th c l
ở
̉ ̉
́
̀
́
́
Tam giac đêu co thê noi la tam giac đep nhât trong cac hình mà ta đã
̀
́
ư
ế Ở
ượ ự
t.
ng cao,
no ta co đ
bi
c s đông nhât gi a cac tinh chât cua cac đ
́
́
́
̀
̀
ươ
ươ
ng phân giac, tâm ngoai tiêp, tâm nôi tiêp, tâm
đ
ng trung tuyên, đ
́
̃
̀
̀
́
́
̀
́
ợ
bang tiêp tam giac … Va cac d kiên đo lai cung trung h p v i điêu kiên
́
́
́
́
́
́
ư ượ
ở
ng giac đôi x ng trong tam giac.
xay ra dâu băng
cac bât đăng th c l
̃
́
̀
̉ ượ
ư ượ
ng giác thi ta cân phai nghi
Do đo sau khi giai đ
́
́
́
ươ
đên viêc vân dung no tr thanh môt ph
ng phap khi nhân dang tam giac
đêu.̀
́
̣ ̣ ̣ ̣ ̣ ̣
Vi du 1.
̣
̀
CMR ABC
đêu khi thoa :
b
a
c
̀ơ
(cid:0) (cid:0) (cid:0) mmm R ̉ 9(cid:0)
2
L i giai :
2
2
2
2
̉
Theo BCS ta co :́
mmm
a
b
c
b
c
2
2
2
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) m m m 3
a
b
c
2
2
2
2
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) mmm a b c
(cid:0)C
a
b
c
2
2
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) mmm A B sin sin sin
ma : ̀
a
9
4
R
9
9
4
2
2
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) A B C sin sin sin
b
a
c
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) mmm R R 9 9
4 81
4
b
a
c
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) mmm R
ABC
́
ư
Đăng th c xay ra khi va chi khi
đêu ̀ (cid:0) đpcm.
́
(cid:0) 9
2
̀ ̉ ̉ ̉
Vi du 2.
̣
́
CMR nêu thoa
thi ̀ ABC
đêu.̀
(cid:0) (cid:0) ̉ sin sin B
2 ab
c
4 A
2
ớ ổ T 4.vip.pro.friendly – l p 10 Toán 68
̀ ề ấ ẳ
̀ơ
Truong THPT chuyên Lê Quý Đôn Chuyên đ B t đ ng
th cứ
L i giai :
Ta co : ́
̉
(cid:0) (cid:0) (cid:0) R sin2.2 cos cos (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) R B 2 BA
2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) sin
C ab
c
4 ba
c
8 A
sin
R
sin8.2 R sin2.8.2 cos sin8 8 cos BA
2
C
2 BA
2
C
2 1
BA
2 C
2
(cid:0) (cid:0) sin sin (cid:0) A
2 B
2 8 cos
2
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) 1 sin 8 cos sin A
2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) cos 4 cos cos 01 (cid:0) (cid:0) 1
BA
2
B
2
BA
2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 4 cos 4 cos 01 cos BA
2
BA
2
BA
2 BA
2
BA
2 BA
2
2
(cid:0) đpcm.
́
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 2 cos cos sin 0 (cid:0) (cid:0) BA
2 BA
2 BA
2
Vi du 3.
̣
̀
́
(cid:0) 3
CMR ABC
đêu khi no thoa :
a
̀ơ
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) h cba 2 ̉ h
b h
c
L i giai :
̀
̀
ươ
̉
̀
Điêu kiên đê bai t
́
ơ
ng v i :
ươ
r
b
ng đ
r
c
̣ (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) cba p 3 2.2 (cid:0) (cid:0) r
a
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) r
a r
b r
c 3
2
́
1 1 1 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 3
2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) cot cot cot cot cot cot B
2 C
2 C
2 A
2 B
2
̣ A
2
́
Măt khac ta co :
ổ ớ T 4.vip.pro.friendly – l p 10 Toán 69
̀ ề ấ ẳ
Truong THPT chuyên Lê Quý Đôn Chuyên đ B t đ ng
th cứ
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 1 1 1 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) tan tan (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 1
4 B
2 1
4 A
2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) cot cot cot cot (cid:0) (cid:0) B
2 A
2 B
2
ươ
T
ng t
:
A
2
ự (cid:0) (cid:0) 1 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) tan tan (cid:0) (cid:0) 1
4 B
2 C
2 (cid:0) cot cot B
2 C
2 (cid:0) (cid:0) 1 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) tan tan (cid:0) (cid:0) 1
4 C
2 A
2 (cid:0) cot cot C
2 A
2 (cid:0) (cid:0) 1 1 1 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) tan tan tan (cid:0) (cid:0) 1
2 B
2 C
2 A
2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) cot cot cot cot cot cot A
2 C
2 A
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) tan tan tan tan tan tan 3 (cid:0) (cid:0) B
2
B
2 C
2
C
2 1
2 B
2
A
2 A
2 B
2 C
2
́
3
2
(cid:0) đpcm.
Vi du 4.
̣
́
CMR nêu thoa
thi ̀ ABC
đêu.̀
̀ơ
(cid:0) ̉ S (cid:0) 3Rr 3
2
L i giai :
Ta co :́
2
2
̉
(cid:0) (cid:0) S R A B C R 2 sin sin sin 2 sin.2.2.2. sin sin cos cos cos B
2 C
2 C
2 A
2 B
2
(cid:0) (cid:0) R R 4 sin sin sin 4 cos cos cos Rr
4 cos cos cos A
2
C
2 B
2 C
2 A
2 A
2 B
2 C
2
(cid:0) (cid:0) Rr A
2
33
8 B
2
33
2
́
Rr
4
(cid:0) đpcm.
Vi du 5.
̣
̀
́
b
a
c
CMR ABC
đêu khi no thoa
(cid:0) (cid:0) mmm pS ̉
ổ ớ T 4.vip.pro.friendly – l p 10 Toán 70
̀ ề ấ ẳ
̀ơ
Truong THPT chuyên Lê Quý Đôn Chuyên đ B t đ ng
th cứ
L i giai :
Ta co : ́
2
2
2
2
2
2
2
̉
ma : ̀
2
2
2
2
2
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) c a b c A bc A bc b
2 2 bc
2 cos 1 cos cos ma 1
4 A
2 1
2 1
4
2
2
2
2
2
(cid:0)app
ự
T
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) b a b a (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) A cos 2 cos 1 A
2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) c
bc
2
2
b c c
bc
2
2
a bc
2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) A cos app
bc a
bc
4 cb
bc
4 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
:
bpp
b
c
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) m
a
ươ
ng t
m (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) m cpp (cid:0)
b
a
c
(cid:0) đpcm.
́
3.1.2. Tam giac cân :
̃
́
́
ở
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) mmm cpbpappp pS
̀
́
́
̀
̀
́
̃
́
̀
̃
ư
́
ư
̣
̀
̀
́
đây thi
Sau tam giac đêu thi tam giac cân cung đep không kem. Va
́
chung ta se xet nh ng bât đăng th c co dâu băng xay ra khi hai biên băng
́
(cid:0)
̉ ̉
́
̀
́
̀
́
́
́
ư
́
nhau va khac biên th ba. Vi du
́ ơ
. Vi thê no kho h n
́
́
ươ
ợ
(cid:0) (cid:0) (cid:0) BA C ; ̣ 6 (cid:0)
2
3
tr
̀
̀
ng h p xac đinh tam giac đêu.
́
̣
Vi du 1.
̣
2
2
2
̀
́
CMR ABC
cân khi no thoa điêu kiên
̀
va nhon.
̀ơ
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) A B tan tan tan2 ̉ ̣ ̣ BA
2
L i giai :
̉
Ta co : ́
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) C (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) A B tan tan (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) sin2
BA sin2
BA C sin
cos BA
A
B
cos BA
cos cos cos cos
vi ̀
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) BA BA C C cos 1 cos cos 1 cos sin2 BA
2 C
2
ổ ớ T 4.vip.pro.friendly – l p 10 Toán 71
̀ ề ấ ẳ
Truong THPT chuyên Lê Quý Đôn Chuyên đ B t đ ng
th cứ
2
2
2
2
2
2
́
̀
ư
T gia thiêt :
2
2
2
2
sin4 cos (cid:0) C sin2 C
2 C
2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 2 cot tan2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) sin2
BA C cos cos C
2 BA
2 sin2 sin2 C
C
2 C
2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) A B tan tan tan2 BA
2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) A B tan tan (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) A B ̉ tan tan tan2 2 (cid:0) (cid:0)
(cid:0) đpcm.
́
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) BA
2
A B A B B A tan 2
tan2 tan tan 2 tan tan
2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) A B 0 tan tan (cid:0) (cid:0) B A tan (cid:0) (cid:0) tan
BA
Vi du 2.
̣
CMR ABC
cân khi thoa ̉
̀ơ
(cid:0) (cid:0) bc cos ha A
2
L i giai :
̉
́
́
a
a
Trong moi tam giac ta luôn co :
ma ̀
(cid:0) (cid:0) h l cos ̣ (cid:0) bc
2
cb A
2 bc (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) cb bc bc 2 (cid:0) bc
2
cb bc
a
ABC
́
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) bc h cos cos cos (cid:0) bc
2
cb A
2 (cid:0) ̉ ̉ A
2
́
ư
Đăng th c xay ra khi A
bc
2
cân (cid:0) đpcm.
Vi du 3.
̣
́
CMR nêu thoa
thi ̀ ABC
cân.
̀ơ
(cid:0) (cid:0) (cid:0) r R 4 sin ̉ r
a B
2
L i giai :
Ta co : ́
̉
ớ ổ T 4.vip.pro.friendly – l p 10 Toán 72
̀ ề ấ ẳ
Truong THPT chuyên Lê Quý Đôn Chuyên đ B t đ ng
th cứ
sin (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) r bp p bp ca R A C tan tan 2 tan tan 2 sin sin r
a B
2 B
2 B
2 B
2 cos B
2
B
2
sin sin (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) R R R R 4 sin cos 4 cos cos 4 sin cos 4 sin CA
2 CA
2 B
2 CA
2 B
2 CA
2 B
2 cos cos B
2
B
2 B
2
B
2
́
ư
Đăng th c xay ra khi
cân (cid:0) đpcm.
́
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) r R 4 sin ABC ̉ ̉ r
a B
2
Vi du 4.
2
(cid:0)2
̣
CMR nêu ́
thi ̀ ABC
cân.
̀ơ
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) S b a 1
4
L i giai :
2
2
2
2
̉
Ta co : ́
2
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) a b ab a b ab ab SC 2 sin 1
4 1
2 1
2
ABC
́
̀
̀
̀
cân nêu thoa điêu kiên đê bai.
́
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) a b S ̉ ̣ 1
4
Vi du 5.
̣
CMR ABC
cân khi thoa
̀ơ
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) A B C 2 cos cos cos ̉ 9
4
L i giai :
Ta co : ́
̉
2
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) A B C 2 cos cos cos sin212 2 cos cos (cid:0) (cid:0) A
2 CB
2 CB
2
2
2
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) sin4 sin2 cos sin2 cos cos (cid:0) (cid:0) 9
4 A
2 A
2 1
4 A
2 1
2 CB
2 1
4 CB
2 1
4 9
4 CB
2
2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) cos sin2 sin (cid:0) (cid:0) 1
2 CB
2 9
4 9
4 (cid:0) ̉ ̉ CB
2
đpcm.
1
4
(cid:0) CB
ớ ổ A
2
́
ư
Đăng th c xay ra khi
T 4.vip.pro.friendly – l p 10 Toán 73
̀ ề ấ ẳ
́
3.1.3. Tam giac vuông :
́
́
́ ́
́
Truong THPT chuyên Lê Quý Đôn Chuyên đ B t đ ng
th cứ
́
̣ ̣ ̉
ư
́
́
̀
ư
̉ ̣ ̣
̀
ươ
ươ
ng cac đăng th c la đ
́
ượ
̀
̀
̀
̉
́
́
́
́
ư ượ
̉ ̣ ̣ ̣
́
́
̀
́
Cuôi cung ta xet đên tam giac vuông, đai diên kho tinh nhât cua tam giac
́
́
́
́
́
ơ
ư ượ
đôi v i bât đăng th c l
ng giac. D ng nh khi nhân diên tam giac
́
́
ươ
̉ ươ
vuông, ph
c dung
ng đ
ng phap biên đôi t
̀
́
̀
̀
ơ
h n ca. Va ta hiêm khi găp bai toan nhân diên tam giac vuông ma cân dung
́
ng giac.
đên bât đăng th c l
́
̉
Vi du 1.
̣
CMR ABC
vuông khi thoa
̀ơ
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) B C B C 3 cos sin6 sin4 8 cos 15 ̉
2
2
2
2
̉
L i giai :
Theo Bunhiacopxki ta co :́
3
cos
2
2
2
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) B B B B sin4 3 4 cos sin 5 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) C C 8 sin cos 10 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) B C
C 3 cos 15 8 8
cos
sin6 sin6
sin4 6
cos
Đăng th c xay ra khi va chi khi :
C
B
́
ư ̉ ̉ ̉ (cid:0) (cid:0) B (cid:0) (cid:0) B tan (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) B B 3 cos sin4 5 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) B C CB tan cot (cid:0) (cid:0) (cid:0) C C C sin6 8 cos 10 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) C cot (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 4
3
4
3 C
̀
B
sin
4
cos
8 cos
3
C
sin
6
ổ ớ T 4.vip.pro.friendly – l p 10 Toán 74
̀ ề ấ ẳ
Truong THPT chuyên Lê Quý Đôn Chuyên đ B t đ ng
th cứ
(cid:0) đpcm.
ậ ụ
ứ
ả
ấ ẳ
3.2. V n d ng b t đ ng th c vào gi
i toán
ả
ứ
ữ
ộ
i toán là m t trong nh ng ph
ộ
ụ
ấ ẳ
ươ
ng pháp
ư
ễ
ữ
i nh ng bài toán hóc búa. Đôi khi m t bài tóa d nh ng
ậ ậ
ẽ
ế ậ
ụ
t v n d ng đúng lúc s gây khó khăn. Vì v y v n d ng
ế ớ
ầ
ươ
ả
ng pháp chũng ta c n bi
i.
t t
ụ
ộ
ộ ố
ẽ
ề
ụ
ậ
V n d ng b t đ ng th c vào gi
ể ả
ố ư
i u đ gi
t
chúng ta không bi
ấ ẳ
ứ
b t đ ng th c vào gi
i toán là m t ph
ể ấ ượ
c đi u đó ta s có m t s ví d sau:
Đ th y đ
ủ
ả
ạ
ố
ộ
ộ
Ví d 1:ụ Cho a, b, c là s đo đ dài các c nh c a m t tam giác tho mãn
ề
ệ
đi u ki n:
ủ
ứ
ề
ộ
(a+b)(b+c)(c+a) = 8abc
ạ
ằ
Ch ng minh r ng a, b, c là các c nh c a m t tam giác đ u.
Gi
i:ả
ủ
ạ
ộ
*Vì a, b, c là các c nh c a m t tam giác nên ta luôn có:
(cid:0) (cid:0) ba ab 2
(cid:0) (cid:0) cb bc 2
ả ề
v ph i đ u không âm nên ta có
(cid:0) (cid:0) ca 2
t:
th vi
ac
ố ở ế
*Vì a+b>0, b+c>0, c+a>0 và các s
ể ế
ớ ổ T 4.vip.pro.friendly – l p 10 Toán 75
̀ ề ấ ẳ
2
2
Truong THPT chuyên Lê Quý Đôn Chuyên đ B t đ ng
th cứ
2
cba
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 8
)(
ẳ abc
8
.
ỉ
ứ
ả
D u đ ng th c x y ra khi và ch khi: a=b=c.
T đó ta có đi u ph i ch ng minh.
ủ ố ự
Ví d 2:ụ
ầ
Tìm ph n nguyên c a s th c sau:
2
2
2
accbba
)(
)
(
ứ ả
ấ
ề
ừ
ớ
ươ
ng.
ố
v i x là s nguyên d
i:ả
Gi
ớ
V i x>0, ta có:
(4x+1)2<16x2+8x+3<(4x+2)2
Suy ra ti p:ế
2
2
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) A x x x x 4 16 8 3
2
.)2
ừ
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x x x x 2( 4 16 8 3 2(
T đó ta có th vi
t:
2
2
2
x
)1
ể ế
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x x x x x x 4 16 8 3 2 1
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x 1 .2
ủ ố
ị
Theo đ nh nghĩa v ph n nguyên c a s A ta có [A]=x+1.
ươ
ươ
Ví d 3ụ :
ấ ả
Tìm t
ủ
ng c a ph
ng trình:
xA
ầ
ề
(1)
ệ
t c các nghi m nguyên d
1
z
Gi
i:ả
ấ
ố
ả ử (cid:0) y(cid:0) z.
s x
ả
ươ
ị ộ
ổ
c ba s nguyên d
ng tho mãn (1) ta hoán v b ba s
ố
đó s đ
ả ử
ề
Không m t tính t ng quát, ta gi
ượ
Sau khi tìm đ
ẽ ượ
*Theo gi
thi
s ta có:
(cid:0) (cid:0) (cid:0) 2 1
y 1
x
ệ
c các nghi m khác.
ế
ả
t, theo đi u gi
1
1
x
z
ậ
ng, v y z=1.
2z (cid:0)
3 mà z nguyên d
*Thay z=1 vào (1), ta đ
ươ
c:ượ
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 2 1
y 3
z
ổ ớ T 4.vip.pro.friendly – l p 10 Toán 76
̀ ề ấ ẳ
Truong THPT chuyên Lê Quý Đôn Chuyên đ B t đ ng
th cứ
Theo gi
(cid:0) (cid:0) 1 1
x
ở ậ
ươ
ặ
ặ
(cid:0) (cid:0) (cid:0) 1 1
y
ả ử (cid:0) y nên có:
s x
1
x 2
y
ng, b i v y y=2 ho c y=1.
ớ
ị
(cid:0)
ợ
Giá tr y=1 không thích h p, còn v i y=2 ta cso x=2.
1
y
y(cid:0) 2, m t khác y nguyên d
ử ạ
ả
Th l
i
tho mãn (1).
ệ
ng trình.
ủ
ệ
ươ
ươ
ộ
ố
ng trình (1) có các nghi m là b ba s sau:
ộ
ậ
V y (2, 2, 1) là m t nghi m c a ph
*Ph
(2, 2, 1) ; (2, 1, 2) ; (1, 2, 2).
ặ ố
ỏ
ươ
Ví d 4:ụ
Tìm các c p s nguyên (x,y) th a mãn ph
ng trình:
(cid:0) (cid:0) (cid:0) 21 1
2 1
2
(1)
Gi
i:ả
ớ
ượ
ệ
c m t nghi m tho mãn ph
ượ
ươ
ả
ả
ươ
ộ
ệ
c các nghi m nguyên d
ng trình (1).
ng tho mãn (1) vì x<0, y<0
*V i x=0, y=0 ta đ
*Ta tìm đ
ươ
ph
ng trình (1) không có nghĩa.
(cid:0) (cid:0) x x y
2y
ươ
ế
ượ
Bình ph
ng hai v ta đ
c:
2
(cid:0) (cid:0) x x
ươ
ố
cũng là s nguyên d
ng.
ươ
(cid:0) (cid:0) x y x
Đ t ặ
(k nguyên d
ng).
2
x (cid:0) k
2
2
(cid:0) (cid:0) y kk
( )1
2
2
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) k k 9 )1 )1 kk
(
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) k y k k y ( )1 1
ữ
ố
ồ
ng liên ti p không t n t
i s nguyên
ả
dq
ươ
Nh ng ư
Suy ra:
ư
Nh ng gi a hai s nguyên d
ặ ố
ươ
ng nào c . không có c p s nguyên d
ệ
ậ
V y ph
vì k>0, y>0.
ạ ố
ế
ả
ươ
ng nào th o mãn (1).
ng trình (1) có nghi m x=0, y=0.
k
ươ
ổ ớ T 4.vip.pro.friendly – l p 10 Toán 77
̀ ề ấ ẳ
̀
Truong THPT chuyên Lê Quý Đôn Chuyên đ B t đ ng
th cứ
3.3. Bai tâp :
̣
́
́
́
̀
́
ư
đêu nêu no thoa môt trong cac đăng th c sau :
Bài 1: CMR ABC
(cid:0) ̉ ̣ ̉
a.
(cid:0) (cid:0) (cid:0) A B B C C A cos cos cos cos cos cos
b.
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) B C A B C A 2sin 2sin sin sin 3
4
sin 2sin
c.
2
2
2
2
d.
ả
ươ
Bài 2: Gi
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) A B C tan tan tan A B 1
2sin 1
2sin 3
2 C
2 1
2sin
2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) c (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) a
A B C cot b
cot cot tan tan tan 1
2
2
cba
B
2 A
2 C
2
i ph
x
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 6 (cid:0) . (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
ằ
ơ
nhiên ta luôn có:
43
6
ứ
ọ ố ự
(cid:0)2
ng trình:
x
4
5
Bài 3: Ch ng minh r ng v í m i s t
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) n n n 4 1
ớ ổ T 4.vip.pro.friendly – l p 10 Toán 78
̀ ề ấ ẳ
ươ
ươ
ỗ ố ằ
ng sao cho m i s b ng bình ph
ủ
ng c a
ố ự
ạ
i.
Ở ề
ạ
ủ
ẳ
ầ ượ ạ
i các đi m A
ể
t t
ườ
ng
mi n trong tam giác có đi m M. Các đ
ể
1,
ắ
ệ
ề
ả
Bài 4: Tìm năm s th c d
ố ố
ổ
t ng b n s còn l
Bài 5: Cho tam giác ABC.
th ng AM, BM và CM c t các c nh c a tam giác l n l
B1, C1 tho mãn đi u ki n:
ứ
ọ
ệ
ườ
ằ
Ch ng minh r ng M là tr ng tâm tam giác ABC.
ứ
giác ABCD có di n tích S, hai đ
ắ
ng chéo AC và BD c t
Bài 6: Cho t
ạ
nhau t
ầ ượ
ệ
t là di n tích tam giác AOB và tam giác COD.
Truong THPT chuyên Lê Quý Đôn Chuyên đ B t đ ng
th cứ
i O.
G i sọ 1, s2 l n l
ằ
ứ
ỉ
Ch ng minh r ng AB//CD khi và ch khi
2
ớ ạ
ộ ườ
ọ
ạ
ạ
ạ
ứ
ắ
i D, c t AC t
ớ
ể
ệ
ẳ
ớ
ơ
ạ
ườ
ệ
ẳ
ở ị
ấ
v trí nào thì tam giác PDE đ t giá tr l n nh t?
ị ớ
ở
ể
ẻ
ẳ
ề
ạ
ố
ượ
ể
ộ
ệ
ệ
ặ
ớ
ơ
x
x
x
(cid:0) (cid:0) s S . s
1
ậ ố
(1) trong t p s nguyên.
2
(cid:0) (cid:0) 5 4 3
ng trình:
ng trình:
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x x x
ng:
ắ
ng th ng song song v i c nh BC c t
Bài 7: Cho tam giác ABC. M t đ
ằ
AB t
i E. Ch ng minh r ng v i m i đi m P trên c nh BC ta
luôn có di n tích tam giác PDE không l n h n ¼ di n tích tam giác ABC.
Đ ng th ng DE
mi n trong hình
Bài 8: Cho hình bình hành ABCD và P là đi m nào đó
ủ
ớ
ườ
ng th ng song song v i các c nh c a hình
bình hành. Qua P k hai đ
c hình bình hành ABCD thành b n hình bình
bình hành, ta phân chia đ
ằ
ứ
hành không có đi m chung.Ch ng minh r ng m t trong hai hình bình hành
ớ ườ
ng chéo là AP ho c CP có di n tích không l n h n ¼ di n tích
v i đ
hình bình hành ABCD.
ả
ươ
i ph
Bài 9: Gi
ươ
ả
i ph
Bài 10: Gi
ả ệ ươ
i h ph
Bài 11: Gi
2
4
ớ x
6
10
.27
ố ươ
ng trình v i x, y, z là các s d
2
2
ả
ươ
i các ph
ng trình:
Bài 12: Gi
(cid:0) (cid:0) (cid:0) x y 1 )1( (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) y z 1 )2( (cid:0) (cid:0) (cid:0) )3( z x 1 (cid:0)
a)
4
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x x x 42 16 2 20 0
ả
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x
b)
x
Bài 13: Gi
x
22
ươ
i ph .0
2
ng trình:
ổ ớ T 4.vip.pro.friendly – l p 10 Toán 79
̀ ề ấ ẳ
2
Truong THPT chuyên Lê Quý Đôn Chuyên đ B t đ ng
th cứ
2
2
2
(cid:0) (cid:0) )1( y (cid:0) (cid:0) (cid:0) x
2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) z )2( (cid:0) (cid:0) (cid:0) x
2
21
y
2
y
21
2 (cid:0) (cid:0) )3( x (cid:0) (cid:0)
ươ
ng trình:
Bài 14: Gi
2
2
4
4
4
z
2
21
ả z
i ph
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x x x 1 1 1 .3
ươ
Ch
ng 4 :
́
́
̀
́
̀
́
̣
̣ ̉
Môt sô chuyên đê bai viêt hay,
́
́
ư
thu vi liên quan đên bât đăng th c
́
̀
̀
́
̀
ư
ươ
́
̀
́
̀
̀
̃
̀
̣ ̉
́
ư
́
̀
́
́
́
̀
́
̀
́
́
̉ ̉ ̉ ̣
́
̀ ́
̀
̀
̀
́
́
́
́
ư
̉ ̣ ̉
ng nay se bao gôm cac bai viêt chuyên
Đung nh tên goi cua minh, ch
́
́
̉
đê vê bât đăng th c. Tac gia cua chung đêu la cac giao viên, hoc sinh gioi
̃
toan ma tac gia đanh gia rât cao. Nôi dung cua cac bai viêt chuyên đê đêu dê
̀
ư
hiêu va mach lac. Chúng ta co thê tham khao nhiêu kiên th c bô ich t
̉ ̣ ̣ ̉ ̉ ̉
ớ ổ T 4.vip.pro.friendly – l p 10 Toán 80
̀ ề ấ ẳ
̀
́
̀
́
ượ
ợ
̣
c môt sô bai viêt thât
̀
̀
́
Truong THPT chuyên Lê Quý Đôn Chuyên đ B t đ ng
th cứ
́ ̉ ̉ ̣ ̣
̀
chung. Vi khuôn khô chuyên đê nên chi tâp h p đ
ự
s la hay va thu vi :
̣
ứ
ề ộ ấ ẳ
ụ
ệ
ứ
ồ ủ
ượ
ng giác
ử ở ề ộ
ừ ộ
ữ
ộ ề ấ ẳ
ộ ạ
ng.
Muc luc :
ề
ứ
4.1. V m t b t đ ng th c có nhi u cách ch ng minh
ấ ẳ
ứ
ệ
ủ ạ ố
Ứ
4.2. ng d ng c a đ i s vào vi c phát hi n và ch ng minh b t đ ng
th c trong tam giác
4.3. Th tr v c i ngu n c a môn L
ứ
4.4. T m t bài toán quen thu c v b t đ ng th c
ườ
4.5. Nh ng bài toán không thu c d ng thông th
̣ ̣
ớ ổ T 4.vip.pro.friendly – l p 10 Toán 81
̀ ề ấ ẳ
Truong THPT chuyên Lê Quý Đôn Chuyên đ B t đ ng
th cứ
ề ộ ấ ẳ
ứ
ứ
ề
4.1. V m t b t đ ng th c có nhi u cách ch ng minh
ớ
ế
ứ
t này gi
ộ ấ ẳ
ng pháp ch ng minh m t b t đ ng
ứ
ệ
ầ
2
2
2
2
ứ
ứ
b
d
. Ch ng minh
+
c
= 1, +
= 1
ươ
i thi u các ph
Bài vi
ư
ả
i nh sau:
th c. N i dung bài toán c n gi
ẳ
“Các s a,b,c,d thõa mãn các đ ng th c
a
r ng ằ
ộ
ố
ac bd ≤ 1”
ươ
ổ ươ
ế
ươ
4.1.1. Ph
ng pháp bi n đ i t
ng đ
ng
2
2
2
2
2
≤1
2
2
(
)
c
1
b c ≤1
2 2
ac bd ≤ 1 (1)
Ta có:
(cid:0)
) 2
ac bd ≤1
(
(cid:0)
b d ≤1
2 2
abcd
a c
+
2
(cid:0)
2
)
(
2
2
b
abcd
d
a
+
2
1
(cid:0)
2
2
b
abcd
a
a d
+
2
(cid:0)
abcd b c ≤0
2 2
2
2
a d
2
(cid:0)
) 2
bc ≥0 (2)
(
+ad
ở ậ
ễ ấ
D th y (2) đúng, b i v y (1) đúng
ươ
ợ
4.1.2. Ph
ổ
ng pháp t ng h p
ứ ầ
ứ
ấ
Xu t phát t
b t đ ng th c c n ch ng minh, ta có:
ừ ấ ẳ
ac bd
1
ac bd ≤ 1
ể
ừ
2
2
+
- (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) - (cid:0) - (cid:0) ac bd 1 - (cid:0) (cid:0) ac 2 2 (cid:0) (cid:0) - (cid:0) - (cid:0) ac 2 bd
2
bd
2 2
ế
a c
2
2
- (cid:0) 0
ứ
T đó đ ý đ n các b t đ ng th c
)
)
ấ ẳ
)
+
b d
)
(
(
(
(
ế
2
2
2
2
2
+ - (cid:0) +
a c b d 0
2
2
2
2
2
2
(cid:0) (cid:0) + + + (cid:0) - - (cid:0) b c d ac 2 bd
2 a c +
b d 0
)
)
(
(
)
)
(
(
)
)
Đ n đây ta có
)
(
2
+
�
�
(
)
�
(
a
�(cid:0)
�
(
a
�
+ + + (cid:0) - + - (cid:0) b c d ac bd
2 2 +
a c b d 0 (cid:0) (cid:0)
(cid:0) - - (cid:0) ac ac bd bd
2 1 � � (cid:0) - - (cid:0) - ac ac bd 2
bd
2 2 1 �
�
�
2
�
�
2
�
-�
ac bd �
1
ớ ổ T 4.vip.pro.friendly – l p 10 Toán 82
̀ ề ấ ẳ
ươ
ứ
ả
ng pháp ph n ch ng
Truong THPT chuyên Lê Quý Đôn Chuyên đ B t đ ng
th cứ
4.1.3. Ph
Gi
ả ử
s
2
2
- ac bd 1 > , nghĩa là - (cid:0) > ac bd 1 (cid:0) - - (cid:0)
2
(
(
)
)
)
)
2
(cid:0) +
2 - ac bd
(
+
2 <
)
+ 1
( > b c d ac bd 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) - - a
( < +
2
b +
2
c d ac bd +
2
a (cid:0)
2
+
2
2
(
(
)
)
)
)
ề
ậ
(cid:0) - < a c +
b d 0 (cid:0) (cid:0) (cid:0) + - 2
(
( < +
a c 0 (cid:0)
ac bd ≤ 1
ươ
ấ ẳ
ứ
4.1.4. Ph
ộ
ng pháp dùng b t đ ng th c quen thu c
ấ ẳ
ụ
ứ
Áp d ng b t đ ng th c
y ta có:
x y ≤ +x
2
2
2
ac
bd
b d (1)
2
a c
+
=
+
ấ ẳ
ố ớ
ứ
ụ
ặ
,
ố 2
a v
2à c
ac bd ≤
M t khác, áp d ng b t đ ng th c Côsi đ i v i các c p s
2
b v
2
2
2
d
2
2
≥
+
2
a c
2
b d
+
2
2
2
2
a
c
ặ
, ta có:
2à d
2
b
c
a
+
2
b
+
+
b d
ả
Đi u này không x y ra. V y ta có:
2
2
+
2
d ≥
2
a c
2
b d
+
(cid:0)
2
2
1≥
b d (2)
+
ừ
+
2
2
2
a c
T (1) và (2) suy ra
ac bd ≤ 1 (dpcm)
ươ
4.1.5. Ph
ng pháp đánh giá
ợ
ừ ề
ướ ủ
ệ
đi u ki n cho tr
c c a bài toán, thông qua
2
2
2
2
2
2
ế
+
(cid:0)
)
2 2
b c
2
2
2
+
= + + + a b d
ng h p này, t
ấ
2 2
a c
(
)
(
)
2
b d
)
(
2
2
+
- bd ad ac +
abcd bc 2
ườ
Trong tr
ổ ồ
ệ
vi c bi n đ i đ ng nh t , ta có:
) (
1 (
+
=
2
a d
c
(
)
=
(
2
+
)
= - +
abcd
( 2
) ac bd +
ad bc
ổ ớ T 4.vip.pro.friendly – l p 10 Toán 83
̀ ề ấ ẳ
ễ ấ
D th y
2
2
Truong THPT chuyên Lê Quý Đôn Chuyên đ B t đ ng
th cứ
2
+
2
2
2
+
)
)
(
(
(
(
)
)
(
(
)
)
2
2
(cid:0) - (cid:0) - ac bd +
ad bc ac bd (cid:0) (cid:0) - (cid:0) bc +
ad bc (cid:0)
Nghĩa là
ươ
ướ
ủ
ơ
4.1.6. Ph
ng pháp dùng tích vô h
ng c a hai vect
)
r
x
ur
y
ẳ
ướ
c)
ữ
ứ
ừ
ả ử α là góc xen gi a hai vect
hai đ ng th c cho tr
r ur
x y
.
ơ ,
(
ặ
Đ t
a b
= ;
)
(
c d
= ;
ấ
ề
(Đi u này xu t phát t
s
Gi
Ta có
ac bd
ặ
rur
x y
=
r ur
x y
. =
r ur
x y
. =
ac bd
r ur
x y cα
os
2
2
a
b
M t khác
r ur
x y
(vì
≤1)
+
+
=
à cos
)
(
2
c
r ur
x y
r ur
≤ x y
)
2
d vα
r ur
x y
(
ac bd
= .
= 1
≤
Nghĩa là
ươ
ượ
4.1.7. Ph
ng pháp l
ng giác
ể
ượ
ườ
ng tròn l
ở
ậ
ố ọ
ụ
ớ
ộ
ề ươ
ng). Khi đó:
ễ ấ
c
c
ệ
ấ
Trên đ
ng giác, ta l y hai đi m A(a;b) , b(c;d). Ta kí hi u
,α β là góc l p b i bán kính OA và OB (O là g c t a đ ) v i tr c Ox
(chi u d
a=cos α, b=sin α
c=cos β , d=sin β
α β
D th y
≤1
ac bd
(
α β
α β
= os cos sin sin = os +
)
Nghĩa là
ac bd ≤ 1
ế
ả
ễ ể
ạ
, nh ng cách gi
ả ự
i t
ư
i bài
nhiên, d hi u và
ứ
ế
ề
ậ : Bài toán trên đây không xa l
ề
Đôi đi u k t lu n
ể
ạ ấ
toán l
i r t phong phú. Cũng có th nói các cách gi
ứ ề ấ ẳ
ợ ượ
ổ
t ng h p đ
c nhi u ki n th c v b t đ ng th c.
- - +
ad
) ac bd
(
� � ac bd ac bd 1 �
1
ớ ổ T 4.vip.pro.friendly – l p 10 Toán 84
̀ ề ấ ẳ
́
́
̀
́
́
̀
́
Truong THPT chuyên Lê Quý Đôn Chuyên đ B t đ ng
th cứ
ư
̣ ̉ ̣ ̣ ̣ ̉
Ư
́
ư
4.2. ng dung cua đai sô vao viêc phat hiên va ch ng minh bât đăng
́
th c trong tam giac
0,� x
ừ
ạ ố
1/ Chúng ta đi t
bài toán đ i s sau:
"
V i ớ p
� �
2 ta luôn có:
� �
� �
.
2x < tg < sinx < x x
2 x
<
2π x x < > x tg sin
ứ
ấ ẳ
ứ
ứ
Ta ch ng minh 2 b t đ ng th c:
.
Ch ng minh:
2
p 2
p
ụ
ố
ị
Đ t ặ
là hàm s xác đ nh và liên t c trong
= (cid:0) x f x
( ) sin 1
x x
và
2
p� �
0,
.
� �
2
Ta có:
. Đ tặ ( )
g x
trong 0,
khi đó
xc = (cid:0) xc= os x sin x f x
'( ) os x sin x
2
)
(
(
g x
(
g x
'
)0
ế
ị
ạ
ngh ch bi n trong đo n
nên
=0
= - (cid:0) (cid:0) x
) x x p� �
� �
2
)
(
g<
g x sin 0
)
(
v i ớ
hay
. Do đó
)
x < v i ớ
0
p > (cid:0) " (cid:0) (cid:0) (cid:0) x f f x ' p� �
0,
� �� �
2
suy ra (
f x 2
p � �
=
� �
2
� � p� �
0,
� �
2
v iớ
p� �
0,
� �
2
x " (cid:0) > x x sin p� �
0,
.
� �
2
� �
)
ụ
ị
xác đ nh và liên t c trên
)
(
h x
'
)
2
ế
ồ
Ta có
nên hàm s ố (
2
x c
= (cid:0) tgx 2
p
Đ t ặ (
h x 1
x p� �
0,
.
� �
2 - x sin = > 0 " (cid:0) x h x đ ng bi n, do đó 2 os p� �
0,
� �
2
� � x
x
2
)
(
h x
hay
v i ớ
ứ
ạ
ọ ự ứ
x < " (cid:0) < h x tg 2
p p� �
x
=
� �
2
2
� �
ấ ẳ
Còn 2 b t đ ng th c
ch ng minh.
p� �
0,
.
� �
2
� �
x< dành cho b n đ c t x
2
x
tg > và sin x
2
ờ ớ
ý:
ườ
ạ
ộ
ườ
ườ
ứ
Bây gi
ộ ớ
Xét ΔABC : BC = a , BC = b , AC = b . G i ọ A, B, C là đ l n các góc
ộ ế
ng tròn n i ti p, bán kính
t là bán kính đ
la, ha, ma, ra,
ế
ng trung tuy n và
ầ ượ
r, R, p, S l n l
ử
ế
ng tròn ngo i ti p, n a chu vi và di n tích tam giác;
ng phân giác, đ
ng ng là đ dài đ
ng cao, đ
ườ
ằ
b ng radian;
ườ
đ
ươ
t
bán kính đ
ệ
ườ
ớ ỉ A...
ế ứ
ng tròn bàng ti p ng v i đ nh
x
2
ầ
m i là ph n đáng chú
ổ ớ T 4.vip.pro.friendly – l p 10 Toán 85
̀ ề ấ ẳ
ằ
ứ
ọ
2
2
2
Truong THPT chuyên Lê Quý Đôn Chuyên đ B t đ ng
th cứ
< < + Ac +
x Bc B Cc C os os os p
R
ậ
ừ
ố
ộ
ị
Bài toán 1: Ch ng minh r ng trong tam giác ABC nh n ta luôn có:
p
p
R
4
Nh n xét:
T đ nh lí hàm s
sin quen thu c trong tam giác ta có:
ư
ế
ổ
ễ
và bài toán đ i sạ ố ta d dàng đ a ra bi n đ i sau
2
2
2
=
<
<
A
A
Ac
A
Ac
A
c
os
sin
os
os
tg
2
ừ
ư ế ờ
ả
, t
đó đ a đ n l
i gi
ư
i nh sau.
4
p
+ + = A B B sin sin sin p
R
A
2
ờ ả
i:
L i gi
2
2
2
2os
Ta có:
(cid:0)
�
�
2
2
< = < < = Ac A A A Ac A Ac A A os tg
2 c
os sin os sin 4
p p
R A
2
ừ
và
. T đây suy ra đpcm.
�
�
�
> = > � Ac A A Ac A os sin os 4
p p
R p
p
R
4
ậ
ộ
Trong m t tam giác ta có nh n xét sau:
ế
k t
ợ
h p
ớ
v i
nên
ta
có
2
C A
2
2
>
+
+
tg
tg
tg
tg
tg
= (cid:0)
1
(1).
A B
2 2
p
p
+
p
B C
2 2
p
p
+
p
B C
tg
2
2
C
2
A
2
A
2
B
2
+ + tg tg tg tg tg =
1 A
2 B
2 B C
tg
2
2 C
2 A
2 x < tg 2
p x
2 p + + > A B B C C A
. . . 4
ễ
ặ
M t
khác
nên
ta cũng d
dàng có
> tg x
2
ừ
ạ
đây ta l
i có
.
ừ
ứ
ằ
ọ
2
Bài toán 2: Ch ng minh r ng trong tam giác ABC nh n ta luôn có:
p
+ + < + + tg tg tg tg tg tg = t
1 C
2 C
2 B
2 B
2 x
2
A
2 B C
2 2
+ A B
2 2
+
A B B C C A
.
. C A
2 2
4 A
2
< (2). T (1) và (2) ta có bài toán m i.
ớ
< + + < A B B C C A
. . . 4
ạ
ề
ể
D ABC 4
L u ýư : Khi dùng cách này đ sáng t o bài toán m i thì đ toán là
ả
ả
ọ
ph i là nh n vì trong
" (cid:0) x
ạ ố thì
i bài toán
ờ
. L i gi
bài toán đ i s
ặ
ẳ
ươ
ự
ở
t
ng t
2
ớ
p� �
0,
� �
2
� �
ụ
ứ
trên. M t khác, áp d ng b t đ ng th c
(
) 2
ậ
nh nh n xét
) 2
(
ấ
+ +
A B C
ư
+ +
a b c
. Từ
thì ta có ngay
ẹ
ơ
ơ
ặ
đây ta có bài toán “ch t” h n và “đ p” h n:
p = + + + (cid:0) (cid:0) +
ab bc ca A B B C C A
. . . 3 3 3
ổ ớ T 4.vip.pro.friendly – l p 10 Toán 86
2
2
̀ ề ấ ẳ
ờ
ừ
ể
ứ
Truong THPT chuyên Lê Quý Đôn Chuyên đ B t đ ng
th cứ
p + + p
� �
A B B C C A
.
. .
ử
ta th đi t
4
Bây gi 3
công th c
Trong ABC
ta luôn có: 2
a
a
= + D S bc =
A cl bl sin sin sin
ớ
ứ la, ha, ma, ra đ tìm ra các công th c m i.
A
2
1
� �
+
� �
c
� �
+
b c > = = (cid:0) A
2
1 1
b
2 +
b c
bc
2 1
l
a bcc
2 os A
2
+ + + + � B A C 1
c 1
a 1
l 1
> + + >
b 1
R
2 1
sin 1
sin 1
sin �
�
�
a
1 > + + + � 1
1
+
R A B C
2 1
�
�
�
ọ
1
l
c
1
l
c
Nh v y chúng ta có �
�
�
�
.
�
�
Bài toán 3.
ằ
�
�
�
ứ
1
�
�
�
(
1 + + + > 1
1
+
R A B C
2 1
l
b
a
1
1
l
l
b
ư ậ
Bài toán 3: Ch ng minh r ng trong tam giác ABC nh n ta luôn có:
1
l
a 1
l
b 1
l
c
R 2 sin = =
ặ
ạ
ta l
i có
. Áp d ng ụ
M t khác,
bài toán
)
+
B
C
sin
p
A
�-�
�
�
2
2
�
�
bc
l
a c
2 os 2sin +
b c
A
2
ạ ố ta đ
c:ượ
đ i s
(
)
p
+
)
(
)
(
)
R
p
>
>
>
>
R
.
4
p
4
p
(
p
bc
l
R B C
+
B C
+
R B C
(
)
+
B C
a
bc
l
a
ươ
ự
ừ
ộ
Hoàn toàn t
ng t
ta có:
và
. T đây, c ng 3
ượ
chu i b t đ ng th c ta đ
ọ
c:
ằ trong tam giác ABC nh n ta luôn có:
2 R + R B C +
B C
p (cid:0) (cid:0) p > > p - A bc
l
a - 2 A
2 R R p > > p > > R R 4
p 4
p ab
l
c ca
l
b
ứ
ỗ ấ ẳ
ứ
Bài toán 4: Ch ng minh r ng
ca
12
p
l
b
R ab
< < + + R p
3 bc
l
a l
c
ế
Trong tam giác ta có k t qu
ả sin
, sin
và
= = = = A B h
b
c h
c
b h
c
a h
a
c
ừ ế
, mà t
k t qu c a
= = C sin
ễ
ạ ố ta d dàng có
ả ủ bài toán đ i s
h
a
b h
b
a
)
+
+
(
2 sin
A
B
C p
<
2 sin
sin
sin
< ,
mà
+ + = A B C sin sin h
a 1
b 1
� �
+
� �
c
� �
ừ
, t
đây ta có đ
c
ượ Bài toán 5.
ọ
+ + + + h
b 1
a 1
c 1
a
ằ trong tam giác ABC nh n ta luôn có:
1
� � � �
h
� � � �
c
b
� � � �
ứ
Bài toán 5: Ch ng minh r ng
ổ ớ T 4.vip.pro.friendly – l p 10 Toán 87
̀ ề ấ ẳ
Truong THPT chuyên Lê Quý Đôn Chuyên đ B t đ ng
th cứ
ế
ọ
ằ trong tam giác nh n ta luôn có:
< + + + + 4 p
2 h
a h
b h
c 1
b 1
b 1
a 1
c 1
c 1
� � � � � �
<
+
� � � � � �
a
� � � � � �
2
2
2
2
2
a
(
Ta xét ti p bài toán sau:
ứ
Bài toán 6: Ch ng minh r ng
)
4
2
2
2
m m m
b
c
2
R
3
2
2
2
+ + + < < + +
2
B C A A +
2
B C p
2
+ b c = -
ậ
ệ ớ
ừ
Liên h v i
, t
đó ta
am trong tam giác ta có
Nh n xét:
2
m
a
2
2
2
2
2
2
2
a
4
)
(
(
ừ ư
suy ra
và t
ế
đ a đ n
2
2
m m m
b
c
2
a
ờ
l
+ + = + + = + + 2
) a b c R A B C 3 sin sin sin 3
4
ả
i.
i gi
ờ ả
L i gi
i:
2
2
2
ượ
ụ
Áp d ng
< < x x sin
ạ ố ta đ
c:ượ
ầ
ta l n l
t có:
bài toán đ i s
2
2
2
2
2
2
2
2
x
2 4
p
,
và
.
2
A
2
ứ
ượ
c:
2
2
2
2
2
2
2
2
+ +
2
+
ộ
(
B C
A
A
B
C A
B C
sin
sin
sin
ỗ ấ ẳ
C ng 3 chu i b t đ ng th c trên ta đ
)
4
+
<
2
p
< + + , mà ta có:
+
< < < <
A A <
B B <
C C sin sin sin B
2 4
p 4
p C
4
p
2
2
2
2
2
2
2
2
2
a
+
+
=
+
+
từ
(
)
)
(
R
A
B
C
3
sin
sin
sin
2
2
m m m
b
c
2
a
2
2
m m m
b
c
2
R
3
+ + + = � A B C sin sin sin ,
2
2
2
2
2
a
(
)
ượ
đây ta đ
c:
(đpcm).
ờ
ử
ạ
Bây gi
2
2
m m m
b
c
2
R
3
ộ ấ ẳ
ta th sáng t o m t b t đ ng th c liên quan t
i
ớ ra, ta có công
+ + + < < + A +
2
B C +
2
B C A 4
2 p
ắ
ắ
ứ
ch c ch n ta d
ễ
th c tính
, t
ra là
x < < = tg ptg r
a
ạ ố
ừ bài toán đ i s
ứ
x
2
2
p
ươ
ự
và
,
dàng tìm th y ấ
, t
ng t
ta cũng có
arC
<
p
2
arA
<
p
2
ỗ ấ
ộ
c ng 3 chu i b t
+
+
+
(
)
+
+
A B C
2
r
a
r
c
<
<
ượ
ứ
ẳ
đ ng th c ta thu đ
c
và ta thu đ
c ượ Bài
+
p
r
b
p
A B C
2
toán 7.
ọ
)
(
B A < < < 2
p C
2
p A
2
2
p x
2
arB
<
p
2
ằ trong tam giác ABC nh n ta luôn có:
ứ
Bài toán 7: Ch ng minh r ng
+ +
+ +
+ +
A B C
r
A B C
b
p
2
ể
ọ
Ta tìm hi u bài toán sau:
Bài toán 8: Ch ng minh r ng trong tam giác ABC nh n ta luôn có:
p
2 r
a r
c < < p
)
<
)
(
ứ
<
+
aA bB cC
ằ
(
R r
4 2
+ - - R r 2
ổ ớ T 4.vip.pro.friendly – l p 10 Toán 88
̀ ề ấ ẳ
=
=
=
ptg
ptg
ptg
Truong THPT chuyên Lê Quý Đôn Chuyên đ B t đ ng
th cứ
ậ
ế
ả
Ta có các k t qu :
,
,
,
r
a
r
b
r
c
Nh n xét:
A
2
B
2
=
(
(
(
)
p a tg
r
)
p c tg
)
p b tg
ế
ẫ
d n đ n
,
,
C
2
B
2
= + = + = - - - r atg r btg r
a r
b C
2 A
2
ế
ạ
ọ ự ứ
và
ch ng minh),
A
=
2
C
2
B
=
2
+ + = R r 4 = +
r ctg r
a r
b r
c + (các k t qu này b n đ c t
ả r
c
ừ
ờ ế
ả
t
đó ta suy ra
và nh k t qu này ta d
ễ
ễ
ờ
i gi
ả
i
ừ bài toán đ i sạ ố nên ta d có l
+ = + + + R r ptg ptg ptg 4 r
3 A
2 A
2 + + A
2
t
aA bB cC
ờ ả
dàng đánh giá t ng ổ
ư
nh sau.
L i gi
i:
=
=
=
=
(
(
(
ptg
ptg
ptg
)
p a tg
r
)
p b tg
)
p c tg
Ta có:
,
,
,
,
r
a
r
b
r
c
A
2
B
=
2
C
2
A
=
2
C
2
=
= +
+
r atg
r btg
= +
r
ctg
ừ
ế
ạ
t
ẫ
đó d n đ n
,
,
. Mà ta l
i có:
r
a
r
b
r
c
B
2
A
2
C
2
B
2
- - -
+ =
+
+
+
R r
ptg
ptg
ptg
r
3
. Áp d ng ụ
bài toán
A
2
A
2
A
2
+ + = R r 4 r
a r
b r
c + suy ra 4
ạ ố ta đ
c:ượ
đ i s
+ =
+
+
+
<
+
+
+
)
(
R r
ptg
ptg
ptg
aA bB cC
4
r
3
r
3
2
p
A
2
A
2
●
(
)
<
A
2
+
aA bB cC
+
+
+
+
>
+
+
+ =
(
)
ptg
ptg
ptg
R r
aA bB cC
4
r
3
r
3
1
2
A
2
A
2
p + - � 2R r
)
>
A
2
+
aA bB cC
ề
ượ
ừ
ứ
ứ
ả
ề
c hình thành t
các công th c quen thu c đ
ộ ể
ạ
ọ
+ - �
(
(
+
R r
●
(
4 2R r
ế ợ
K t h p 2 đi u trên ta có đi u ph i ch ng minh.
Sau đây là các bài toán đ
ệ ậ
các b n luy n t p:
ứ
ằ trong tam giác ABC nh n ta luôn có:
Bài toán: Ch ng minh r ng
)
)
<
+
<
+
aA bB cC
R r
.
a/
+ p - - p p p
2 2 8
(
) (
)
(
) (
)
(
) (
<
)
.
b/
2
2
2
(
)
+
(
)
(
)
c/
.
p
2
p < - - - - - - p a +
p b p b +
p c p c p a S 2 S
2 p < - - - abc a p a +
p b b <
p c c abc 2
a
d/
.
(
(
< + + + + l 4 p
2 l
b l
c 1
b 1
b 1
a 1
c 1
c 1
� � � � � �
<
+
� � � � � �
a
� � � � � �
)
f x =
)
p� .
0,
2/Chúng ta xét hàm:
x "
v i ớ x
in
s x
ổ ớ T 4.vip.pro.friendly – l p 10 Toán 89
̀ ề ấ ẳ
(
)
Truong THPT chuyên Lê Quý Đôn Chuyên đ B t đ ng
th cứ
ố
ị
ụ
'
0,p
xác đ nh và liên t c trong
)
(
)
Ta có (
)
=
(
là hàm s
(
)
g x =
. Đ t ặ
và
(cid:0)
,
)
f x
s inxxcosx
2
sin
'
= p (cid:0) (cid:0) x x 0, sin 0 f
)
(
(
g x
'
(
)
x >
, ta có
)0
ạ
nên hàm
= s inxxcosx
)
( � � x
(
g x g> f 0 0 0,p
ồ
ồ
1.
x
)
)
n
n
2
n
ả
ấ
n
D u “=” x y ra
.
,..., a a
,
1
2 a , ta luôn có: + a a x
(
ế
g x đ ng bi n trong đo n
(
ế
f x đ ng bi n .
ấ ẳ
ứ ạ ố
Chú ý 3 b t đ ng th c đ i s :
ứ
ấ ẳ
B t đ ng th c Cauchy:
ố ự ươ
Cho n s th c d
ng
+ +
a
...
1 (cid:0) a
...
n a a
1 2 n = � a = =
... a
1 a
2
ấ ẳ
2.
B t đ ng th c CauchySchwarz:
)
,..., n
,...,
n
> = i n 0, 1,
ứ
a a
,
1
2
Cho 2 b ộ n s ố (
. Ta luôn
ib
có:
b b
2,
1 a và (
) b trong đó
(
) 2
2
a
n
b
n
2
a
1
b
1
2
a
2
b
2
+ + (cid:0) + +
... + +
...
+ +
... a
n
b
n a
1
b
1 a
2
+
b
2
ả
ấ
D u “=” x y ra
.
= � = =
... a
n
b
n a
1
b
1 a
2
b
2
(cid:0) 0,� x sinx
ấ ẳ
ứ
3/ Chúng ta xét b t đ ng th c sau:
"
v i ớ p
� �
2 (ph nầ
� �� �
ấ ẳ
ứ
2x
π
ạ ọ
ứ
ch ng minh b t đ ng th c này dành cho b n đ c).
ố
ị
ớ ấ ẳ
ế ợ
Theo đ nh lí hàm s sin ta có
ứ
và k t h p v i b t đ ng th c
ừ
ễ
trên ta đ
c ượ
, t
đó ta d dàng suy ra
.
cyc
2
(
]
= A sin a
R
2 R R 4 > (cid:0) 12
p A
2
�۳
p p a
A a
R
2
x"
ấ ẳ
ứ
ấ ẳ
ứ
4/ B t đ ng th c:
v i ớ
2
0,p� (b t đ ng th c này xem sin x
π
x
a
A
2
π
x
(cid:0)
2
+ x
ạ ọ
ư
ậ
nh bài t p dành cho b n đ c).
2
3
ấ ẳ
ứ
ươ
ươ
B t đ ng th c trên t
ng đ
ng
(cid:0)
2
2
(1).
x (cid:0) - (cid:0) - x x 1 sin 2
2 x
+ x
2
+
2 p p sin
x x x
ọ ự
Trong tam giác ta có:
ạ
(2) (b n đ c t
ứ
ch ng
ừ
minh).T
(1)
và
(2)
ta
thu
ượ
đ
c
+ + (cid:0) A B C sin sin sin 3 3
2
ớ ổ T 4.vip.pro.friendly – l p 10 Toán 90
̀ ề ấ ẳ
3
3
Truong THPT chuyên Lê Quý Đôn Chuyên đ B t đ ng
th cứ
> + + -
A A B C
sin
2
2
2
2
2
3
A
+
p
B
+
+
p
2
C
+
+
2
A
B
C
3 3
2
cyc
�
�
p
�
�
�
�
3
3
3
3
p
>
p
(cid:0) (cid:0) (cid:0)
+
>
2
.
2
+
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
A
+
p
B
+
+
p
2
C
+
3
A
+
+
p
B
+
p
C
+
A
B
3 3
2
A
B
C
3 3
4
�
�
p
�
�
�
�
C
ẳ
p
ứ
ặ
ụ
2
A, B, C ta thu đ
cượ
2
2
2
2
2
2
- (cid:0) -
ứ
ộ
và
,
ấ ẳ
, c ng các b t đ ng th c ta
2
2
2
2
2
2
2
2
ừ
ượ
ị
c:
, t
đ
ụ
đây áp d ng đ nh lí
2
2
2
2
2
2
ấ
M t khác, áp d ng b t đ ng th c cho 3 góc
B
+
B
p
2
p
2
2
2
2
2
2
- - - > > > p
p p
p + + sin A
A sin C
C
2 C
C
2 - - - sin B
B
B A
A
A C + > + + p
p
p
2
p p
+
p + + + sin
A sin
C sin
B C
C A
A
ố
hay
hàm s
sin
ta có
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
� � .
R
cyc
- - - = A sin + + > a
R
2 p
p + p
+
p + p
+
p + B
B
b
R
2
B a
R
2
A c
R
2
C A
A B
B C
C - > 2 + p
p a
A A
A
ổ ớ T 4.vip.pro.friendly – l p 10 Toán 91
̀ ề ấ ẳ
Truong THPT chuyên Lê Quý Đôn Chuyên đ B t đ ng
th cứ
ử ở ề ộ
ồ ủ
ượ
4.3. Th tr v c i ngu n c a môn l
ng giác
ượ
ươ
ầ ớ
ng giác, hàm s
ậ
ọ
ộ
ữ
ề
ấ
ọ
ọ
ố ừ
ồ
Hình h c. Tuy nhiên ph n l n h c
ng giác h c” có ngu n g c t
ọ
ượ
ố
ượ
ả
ng trình l
i ph
ng giác h c (gi
ạ ố ọ
ủ
ộ ộ
ư
ấ
i th y nó nh là m t b ph n c a môn Đ i s h c,
ụ ể
ả
i các bài toán hình h c (ph n tam giác
ệ
ố
ng) mà không th y m i liên h hai chi u gi a các b môn y.
ầ
ấ
ạ
ầ
ộ
t này, tôi hy v ng ph n nào có th cho các b n m t cách
ọ ể ả
ể
ượ
ng giác.
ộ ế
ấ
ọ ơ ấ
ặ
ộ
ộ
ể
ứ
ọ
“L
ọ
sinh khi h c môn L
ạ
ượ
ng giác …), l
l
ư ộ
ặ
ho c nh m t công c đ gi
ượ
l
ọ
ế
Trong bài vi
ớ
nhìn “m i” : dùng hình h c đ gi
i các bài toán l
ế
ả
ướ ế
c h t, ta l y m t k t qu quen thu c trong hình h c s c p : “N u
Tr
ẳ
ọ
G là tr ng tâm tam giác ABC và M là m t đi m tùy ý trong m t ph ng
ch a tam giác đó thì” :
2
2
2
2
2
2
(cid:0)2
ị
(Đ nh lý Lépnít)
2
2
2
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) MA MG MC MB b a c
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) OM (cid:0) MB MB
ạ ế
lý hàm s
thì
sin,
:
2
2
2
2
2
2
1
9
ườ
ng tròn ngo i ti p
ị ABC
ố 1
3
N u ế
là tâm đ
ụ
nên áp d ng đ nh MA 3R
ta suy ra
(cid:0)C
2
2
2
2
2
(cid:0)1
ừ ẳ
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) OG R R A B sin sin sin 4
9 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) A B C sin sin sin (cid:0) (cid:0)
2
2
2
OG
ứ (cid:0)
T đ ng th c
(cid:0)2
OG (cid:0)
ỉ
ỉ
ẳ
ứ
ứ
, t c là khi và ch khi
ư ậ
ọ ớ
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) C 4
9
R
9
4
(cid:0)1 , suy ra :
A
B
sin
sin sin 9
4 (cid:0) ABC
(cid:0)
ươ
ườ
ủ
ể
(cid:0)
ọ
ế
. Th thì :
2
(cid:0) ABC
ạ ế
2
HE
ả
ấ
D u đ ng th c x y ra khi và ch khi
đ u.ề
ứ
ệ
ứ
ộ
ớ
ế
Nh v y, v i m t ki n th c hình h c l p 10 ta đã phát hi n và ch ng
(cid:0)1 còn cho ta m t “ngu n
ệ ứ (cid:0)
(cid:0)2 . Ngoài ra, h th c
ứ (cid:0)
ồ
ộ
ượ ấ ẳ
c b t đ ng th c
minh đ
(cid:0)2 , đi u mà ít ng
ứ (cid:0)
ề
ằ
ế
ườ
ấ ẳ
ủ
ọ
ố
i nghĩ đ n. B ng
g c hình h c” c a b t đ ng th c
ữ
ủ
ự
ả
ự
.
ng t
cách t
, ta hãy tính kho ng cách gi a O và tr c tâm H c a
ABC
ớ
ọ
ợ
có 3 góc nh n. G i E là giao đi m c a AH v i
ng h p
Xét tr
ABC
ườ
ng tròn ngo i ti p
đ
.
2
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) OH HA R
(cid:0)*
OH
/
Do đó :
v i :ớ
(cid:0) (cid:0) (cid:0) OH R AH HE .
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) AH R C R A AB
. 2 sin 2 cos
và
(cid:0) (cid:0) (cid:0) HE cos
sin
BK C AB C A
C
B AF
C
sin
HK
2 A
C
cot 2 2 cot cos
sin
cos
ớ ổ T 4.vip.pro.friendly – l p 10 Toán 92
̀ ề ấ ẳ
Truong THPT chuyên Lê Quý Đôn Chuyên đ B t đ ng
th cứ
2.2
Thay vào (cid:0)
(cid:0) (cid:0) B R B C 4 cos cos C
C cos
sin
2
090
2
C
R
cos
sin
(cid:0)* ta có : (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) OH A B C 8 2
R cos cos cos (cid:0) (cid:0) 1
8 (cid:0) (cid:0) (cid:0)
ạ
ch ng h n, thì
OH
HA
ẳ
2
R
(cid:0)3
(cid:0)3 là hi n nhiên. Gi
ả ử ABC
ể
s
2(cid:0)
trong đó
R
cos
có góc A
nên ta cũng
OH
/
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) HE . AH A
(cid:0)3 , ta suy ra :
(cid:0) BAC
N u ế
tù. Khi đó
suy ra (cid:0)
(cid:0)3 .
ứ (cid:0)
ừ
T công th c
(cid:0)4
ấ
ứ
ộ
ư
ư
ệ
ABC
ỉ
(cid:0)2 , b t đ ng th c
ứ (cid:0)
ấ ẳ
ỉ ớ
ế
ọ
ế
ấ ẳ
ứ
ớ ằ
ỉ
ườ
ệ
ườ
i ta th
ng giác (ch
ả
ng trình l
ứ ậ
ề ấ
ườ
(cid:0)3 , ta ti p t c ti n t
ế ớ
ế ụ
(cid:0)1 và (cid:0)
c ượ (cid:0)
ử ử ụ
i. Ta th s d ng “đ
ẳ
ng th ng
(cid:0) A B (cid:0)C cos cos cos 1
8 (cid:0)
ABC
ạ ế
ườ
ự
đ u).ề
ả
ẳ
(D u đ ng th c x y ra khi và ch khi
(cid:0)4 đã
ứ (cid:0)
ư ấ ẳ
Cũng nh b t đ ng th c
ứ
ứ
ệ
ượ
c phát hi n và ch ng minh ch v i ki n th c
đ
ẹ
ố
ồ
ớ
l p 10 và có m t “ngu n g c hình h c” khá đ p.
ầ
C n nh r ng, “x a nay” ch a nói đ n vi c phát
ứ
ệ
hi n, ch riêng vi c ch ng minh các b t đ ng th c
ứ
ng ph i dùng các công th c
đó, ng
ượ
ớ
ượ
ươ
l
ng giác l p 11) và
ị
đ nh lý v d u tam th c b c hai.
Có đ
le”.Ơ
ế
N u O, G, H là tâm đ
thì
2
2
(cid:0)
. T ừ
.
ọ
ng tròn ngo i ti p, tr ng tâm và tr c tâm
1
9
(cid:0)31
2
2
2
OG (cid:0) OG OH OH 1(cid:0)
3 (cid:0) (cid:0)
(cid:0)C
ẳ
O, G, H th ng hàng và :
T ừ (cid:0)
2
2
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) A B C A B sin sin sin 81 cos cos cos
ta có :
9
4
A
(cid:0)2
ượ ế
ả
c k t qu quen
2
2
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) A 1
4
cos C
(cid:0)2 B
ứ C
ố cos
ẳ 1 (cid:0) sin
sin sin
cos B
sin
b ng ằ 22
cos
vào đ ng th c cu i cùng, ta đ
ế
ệ
ư
ứ
ế
ụ
ộ
ủ
ượ
ứ
ệ
ầ
ả
ỏ
ộ
ộ
ồ
ố
hay
Thay
thu c :ộ
(cid:0)5
A
C
2
1
cos
(cid:0)5 , ch riêng vi c ch ng minh đã làm
ứ
ỉ
ệ
Ch a nói đ n vi c phát hi n ra
ớ ượ
ẻ ớ
ạ
ng giác. Qua
“nh c óc” không bi
t bao nhiêu b n tr m i làm quen v i l
ệ
ạ
ọ
ấ
ẳ
m t vài ví d trên đây, h n các b n đã th y vai trò c a hình h c trong vi c
ặ
ệ ứ
ng giác”. M t khác,
phát hi n và ch ng minh các h th c “thu n túy l
ệ ứ ượ
ộ
nó cũng nêu lên cho chúng ta m t câu h i : Ph i chăng các h th c l
ng
ọ
giác trong m t tam giác khi nào cũng có m t “ngu n g c hình h c” làm
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) A B B cos cos cos cos cos (cid:0) C
ệ
ổ ớ T 4.vip.pro.friendly – l p 10 Toán 93
ố ề
ể ủ
ạ
ả
ậ
ờ
i vài bài t p sau đây đ c ng c ni m tin
ng ? M i các b n gi
̀ ề ấ ẳ
2
ứ
ằ
ộ
1. Ch ng minh r ng, trong m t tam giác ta có
Truong THPT chuyên Lê Quý Đôn Chuyên đ B t đ ng
th cứ
ườ
ạ
b n đ
ủ
c a mình. (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) d R sin812 sin sin (cid:0) (cid:0) C
2
ữ ườ
ạ ế
ng tròn tâm ngo i ti p và n i ti p tam
ừ
ộ ươ ứ
A
B
2
2
ộ ế
ẳ
ặ
ứ
. D ng trong m t ph ng
và
ng ng.
ABC các đi m ể
là nh ng tam giác cân đ nh
(cid:0) (cid:0)
2
ữ
ở
ộ ử
1O và
1,OO
ẳ
2O sao cho
ở
ớ
v i góc
ờ
2O
1O và C
ẳ
ỉ
ặ
cùng m t n a m t ph ng b AB,
ờ
ả
trong đó d là kho ng cách gi a đ
giác đó.
ấ ẳ
T đó hãy suy ra b t đ ng th c quen thu c t
ự
2. Cho ABC
các tam giác ABO1
đáy b ng ằ
030 và sao cho
ặ
ộ ử
ở
cùng m t n a m t ph ng b AC.
và B
ứ
Ch ng minh :
a)
2
2
2
2
ACO2
(cid:0)S
2
2
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) a b c 34 OO
1 1
6
ứ
b)
3.
ấ ẳ
Suy ra b t đ ng th c t
2
B
sin
Ch ng minh r ng n u
ế
A
A
ứ ươ ứ
ng ng :
C
A
C
sin
sin
ABC
có 3 góc nh n, thì :
sin
cos
ệ
ặ
ỉ
di n OABC có góc tam di n đ nh O ba m t vuông,
(cid:0) (cid:0) (cid:0) B sin32 sin (cid:0) A
ằ sin
ọ (cid:0) (cid:0) (cid:0) 2 (cid:0) (cid:0) C
C B
B sin
cos sin
cos
ằ
(cid:0) (cid:0)
ứ
. Ch ng minh r ng :
cos
ươ
4.
Cho t
OA
OB
OC
sin
(Hãy dùng ph
ệ
ứ
OAB
OAC
ng pháp ghép hình)
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) BAC
ớ ổ T 4.vip.pro.friendly – l p 10 Toán 94
̀ ề ấ ẳ
Truong THPT chuyên Lê Quý Đôn Chuyên đ B t đ ng
th cứ
ộ ề ấ ẳ
ừ ộ
ứ
4.4. T m t bài toán quen thu c v b t đ ng th c
ứ
ề
ặ
ứ
ộ ấ ẳ
ấ ẳ
ế
ề ậ
ứ
ố
ộ
ể ử ụ
ể
ố
ứ ạ
ứ
ả
ệ
ơ
ơ
ề
V các bài toán ch ng minh b t đ ng th c chúng ta g p khá nhi u. Bái
ư
ế
t này chúng tôi mu n đ c p đ n m t b t đ ng th c quen thu c nh ng
vi
ấ ẳ
ạ
i có th s d ng nó đ làm câu n i cho vi c ch ng minh các b t đ ng
l
ứ
th c khác ph c t p h n và nói chung không đ n gi n.
ộ ấ ẳ
ộ
ả ử
ằ
1. (M t b t đ ng th c quen thu c)
ứ
Gi
ng. Ch ng minh r ng:
(*) (BĐT Nesbbit)
≥
+
+
ứ
ố ươ
s a,b,c là các s d
b
a c
+
c
a b
+
a
b c
+
3
2
i:ả
ổ
ế
ế
ư
)
Gi
ệ
Ta kí hi u v trái c a (*) là A và bi n đ i nh sau:
A+3=(
= +
+ + + +
a b c 1
+
b c �
�
� = + ,
Đ t ặ
a b v
u
1
A+3= (
2
ế
+ + u v t �
�
�
ờ
Bây gi
B=(
+ + + + + + + u v t = +
3 u
t v
t t
v
ứ
ụ
ủ
1
1
�
�
+
+
a b
a c
�
= + ta có
a c t
b c
,
,
1
1 1
�
)
+ +
�
v
t
u
�
ổ
ta bi n đ i tích:
v
) 1
1 1
�
+ +
�
t
v
u
u
�
Áp d ng b t đ ng th c Côsi, ta đ
ấ ẳ
A (cid:0)
ừ
T đó suy ra:
u
v
ượ t
� � � � � � �
� � � � � � �
u
� � � � � � �
c B≥9
ẳ
ỉ
ấ ằ
ế ủ
ế
ớ a b c
3
2 a
+ + ta có b t đ ng
ấ ẳ
(
)
)
2
+ + (cid:0) = = .
ễ ấ
ứ ả
D th y đ ng th c x y ra khi và ch khi :
c
b
ế
Đ n đây ta hãy tìm cách khai thác bài toán trên.
ể
Đ ý th y r ng n u ta nhân hai v c a (*) v i
th c:ứ
( + +
a b c + +
a b c 3
2 �
�
� �
�
� a
+
b c
2 b
+
a c
2 + + � � b
+
a c a
+
b c c
+
a b
+ +
a b c
2
ư
ế
ế
ả
ổ
K t qu trên d n đ n các phép bi n đ i bài tóa hai nh sau:
ứ
2. Gi
2
2
2
c
+
a b
ế
ẫ
(1)
ả ử
a
+
b c
s a,b,c là các s d
b
+
a c
ố ươ
c
+
a b
ằ :
ng. Ch ng minh r ng
+ +
a b c
2
+ + (cid:0)
ớ ổ T 4.vip.pro.friendly – l p 10 Toán 95
̀ ề ấ ẳ
Gi
i:ả
ề
ế
ệ
ả ủ
v ph i c a (1) n u thêm đi u ki n abc=1 thì theo
Truong THPT chuyên Lê Quý Đôn Chuyên đ B t đ ng
th cứ
ế
ổ
ừ
ấ ắ ầ ủ ấ ẳ
tính ch t b c c u c a b t đ ng
ứ
ấ ằ
ừ ế
Ta th y r ng t
ứ
ấ ẳ
b t đ ng th c Côsi ta có:
+ + (cid:0)
33
a b c
abc
ả ủ
ế
Khi đó v ph i c a (1) bi n đ i và t
th c ta có bài toán 3:
ả ử
ố ươ
ứ
ề
s a,b,c là các s d
ệ
ng thõa mãn đi u ki n abc=1. Ch ng minh
3. Gi
r ng:ằ
2
2
2
= 3
(2)
Gi
iả
ố
ứ
ứ
ả
ấ
ừ ấ
b t
ư ậ
ứ
ướ
ẽ
ệ
ẳ
ị
c sau ta s có kh ng đ nh:
ổ
ự
ế ủ
ướ
ớ
ấ ẳ
Nh v y mu n ch ng minh b t đ ng th c (2) ta ph i xu t phát t
ẳ
đ ng th c (*), sau đó th c hi n hai b
B c 1: Nhân hai v c a (*) v i a+b+c và bi n đ i.
+ + (cid:0) a
+
b c b
+
a c c
+
a b 3
2
ấ ẳ
ướ
ứ
ứ
B c 2: Ch ng minh b t đ ng th c
ế
3
2
ế
ế ừ
ế
ế
ướ
ừ ả
gi
ổ
t ta bi n đ i theo các b
c:
(2)và t
ươ
ướ
Đ n đây, n u t
B c 1: Bình ph
thi
ế
ng hai v cua (2)
ế ủ ấ ẳ
ướ
ứ
ướ
ớ
B c 2: Nhân hai v c a b t đ ng th c sau b
c 1 v i
.
(cid:0) + +
a b c
2
2
2
2 2
2 2
1
2
ướ
ứ
ể
ế
ể
ằ
ứ ươ
ng
B c 3: Thay th các bi u th c
ng:ứ
, , a b a c b c b ng các bi u th c t
.
ế
ế
ổ
ứ
, , 1
2
c 1
2
b
ướ
ả ử
s a,b,c là các s d
4
4
4
1
2
a
ẫ
c bi n đ i trên ta d n đ n bài toán 4:
ệ
ề
ố ươ
ng thõa mãn đi u ki n abc=1. Ch ng minh
2
2
2
2
2
(
)
(
)
(
)
)
(
)
(
)
(
ừ
T ba b
4. Gi
r ng:ằ
a
+
b c
i: ả
+ + + + + (cid:0) + + + + + + 1
) (
2
c a c b c 1
) (
b a b b c 1
) (
a a c a b 9
8 b
+
a c c
+
a b 2 2
2
Gi
ổ ớ T 4.vip.pro.friendly – l p 10 Toán 96
̀ ề ấ ẳ
ế
ẽ
ệ ữ
ố
ớ
ứ ạ
các bài toán 1,2,3 , bài tóa sau đây s ph c t p
i ph i tìm m i liên h gi a nó v i các bài toán quen
ừ
ổ
ạ ế ụ
L i ti p t c bi n đ i và t
ả
ả
ở ậ
ơ
h n, b i v y khi gi
thu c.ộ
ả ử
ố ươ
ứ
ề
s a,b,c là các s d
ệ
ng thõa mãn đi u ki n abc=1. Ch ng minh
5. Gi
r ng:ằ
Truong THPT chuyên Lê Quý Đôn Chuyên đ B t đ ng
th cứ
3
3
(3)
)
)
)
Gi
i:ả
ứ ầ
ấ ẳ
ễ ấ
ứ
ươ
ươ
ớ ấ ẳ
ứ
D th y b t đ ng th c c n ch ng minh t
ng đ
ng v i b t đ ng th c:
+ + (cid:0) 3 + + 2
(
a b c 2
(
b a c 2
(
+
3
c a b
3
3
(4)
)
)
)
+ + (cid:0) + + 1
(
a b c 1
(
b a c 3
2
ể ứ
1
(
+
3
c a b
ặ
Đ ch ng minh (4), ta đ t:
1
=
c
ạ
2
2
2
= = x y z , . , 1
b
(**)
ứ
z
+
ứ
ứ
ở ậ
ộ
ứ
ượ
ứ
c ch ng minh nh
ữ ừ
ủ
ng c a bài toán 5 (**), ta
ng đ
các bài toán 1,2 t
ướ ạ
ươ
ơ
ể
+ + (cid:0) 1
a
ấ ẳ
Khi đó mua b t đ ng th c (4) có d ng:
y
+ z y x x 3
2
ươ
ạ
i d ng “m nh” h n:
a
x
+
y
z
ấ ẳ
Rõ ràng b t đ ng th c trên chính th c là n i dung bài toán 3 (do x,y,z là
ố ươ
ờ
ấ
ng và xyz=1). B i v y b t đăng th c đó đ
các s d
ả ủ
ế
ử ụ
s d ng k t qu c a bài toán 1 và 2.
Đê ý thêm chút n a t
ể
có th phát bi u bài toán 6 d
1
ờ
ớ ấ
6. V i b t kì
a
a =
S
và
x
+
y
ồ
đ ng th i xyz=1, ta có:
3
2
Gi
i: ả
ấ ẳ
ậ ậ
ứ
Th t v y, ta hãy đ ý đên hai b t đ ng th c:
3
(cid:0) > > > x y 0, 0, z
a + + (cid:0) . 0,
a
y
+ z
+ z x x y z
(5)
(cid:0) abc
và
(6)
ể
+ +
a b c
3
x
+
+ + = (cid:0) S
1 z
+ y
+ x z x y y z 3
2
ớ ổ T 4.vip.pro.friendly – l p 10 Toán 97
̀ ề ấ ẳ
ụ
ứ
ộ
ố
T các b t đ ng th c (5) và (6) áp d ng cho b ba các s
a
Truong THPT chuyên Lê Quý Đôn Chuyên đ B t đ ng
th cứ
ừ
1
1
1
a
y
a
,
ấ ẳ
y
+
Ta đ
- - - x z , z
+ và
y ,
z x
1
1
1
a
a
+
1
)
a
y
3
)
(
.
ể
ạ
ắ ủ ấ
ứ
i tính đúng đ n c a b t đăng th c trên.
ễ
ẳ
D dàng ki m tra l
ạ
Ch ng h n xét:
2
2
2
- - - - + z x
,
+
z x
y
ượ
c :
(
a
S x
1 = (cid:0) (cid:0) S
a xyz 3 3
2 3
2
2
ứ
Ta ph i ch ng minh:
= + + S x
+ y
+ z
+ z y x z x y
)
(***)
ả
�
�
y
�
2
ứ
ầ
Nghĩa là c n ch ng minh hai b t đ ng th c:
2
2
2
+ + + +
y z x
+ y
+ z
+ z x z y �
(
x
�
� (cid:0) (cid:0) S x
3 3
2
(7)
ứ
y
+
x + + + + (cid:0) z
+ x
+ y
+ z
+ x z z x y x z x y + +
y
3 �
�
�
(8)
Và
ấ ẳ
�
x
z
�
+
y
�
3
2
z x + + (cid:0) y
+ z
+ x
+ x z x y �
�
� �
�
y
�
y
z
+ +
y
3
ễ ấ z
ạ
)
D th y (7) có d ng :
y
+
2
(9)
ở ậ
ặ
ừ
+ + (cid:0) + +
y z S
23 x
+ z
+ x x �
�
y
� z
2 z
2 z + + x
� � y
+ z
+ x
+ z z y x y �
(
x
�
y
�
+ +
y
2
ứ
3
2
+ (cid:0) x
ạ
ấ ẳ
các b t đ ng th c:
z
+
+ y
+ x y z
3
Và
y
x x
z = (cid:0) xyz 1
Suy ra:
(10)
Rõ ràng (9) có d ng bài toán 2, b i v y (9) đúng.
M t khác t
x
+
z
+ +
y
3
x
+
ừ
z + + (cid:0) z
+ y
+ z x y y
3 3
2 � + +
x
�
� �
�
y
�
ưở
ể
ở ậ
ườ
i vi
ổ
ộ
ọ
ở
x
ẳ
trên.
z
T (9) và (10) ta có kh ng đinh (***).
ụ
ữ
Nh ng ví d trên có th xem là ý t
ng tìm tòi khi làm toán. Các ví
ế ừ
ừ ễ ế
ụ ượ
ế
t tuy
d đ n khó và k th a nhau. B i v y ng
c nêu lên t
d đ
ề
ấ
ạ
ư
ạ
ộ
trình đ có h n, nh ng hy vong các b n yêu thích toán tìm th y đ i đi u lý
ữ
thú khi đ c xong nh ng n i dung đã trình bày
ớ ổ T 4.vip.pro.friendly – l p 10 Toán 98
̀ ề ấ ẳ
Truong THPT chuyên Lê Quý Đôn Chuyên đ B t đ ng
th cứ
ộ ạ
ộ ố
ườ
4.5. M t s bài toán không thu c d ng thông th
ng
ị
ẳ
ễ ở
ữ
ạ
ể
ườ
ư
ứ
ể
ớ
ứ
ề ự ế
i này nh ng có th khó v i ng
ứ ẽ
ạ
ườ
ộ
ấ ượ
ấ ẳ
ứ
ấ ẳ
Không ai dám kh ng đ nh là b t đ ng th c là d b i vì b t đ ng th c là
ườ
ộ
ấ
ộ
ng. M t bài
m t trong nh ng d ng toán r t nhi u s bi n hóa khôn l
ườ
ấ ẳ
ớ
b t đ ng th c có th khó v i ng
i khác
ế
ượ ớ
ề ớ ấ ẳ
ậ
c v i nó.
vì v y ti p xúc nhi u v i b t đ ng th c s giúp ta làm quyen đ
ộ
ệ
ặ
Đ c bi
ng. Sau đây là m t
t là các bài toán không thu c d ng thông th
ề
ụ
c đi u đó.
sô ví d cho ta th y đ
ứ
ấ ẳ
ứ
1 n > , ta có b t đ ng th c:
nhiên
1
2
- - - ... 1 1 1
4
ớ ấ
ố ự
ằ
1.Ch ng minh r ng v i b t kì s t
1
1
� �� � � �
>
1
� �� � � �
2
n
9
� �� � � �
Gi
i: ả
2
2
2
1 3
.
2
2
2
3
Ta có:
(
) (
1
)
1
- - - n 2 1 1 ... 2 - + n
n +
n n 1 = > . . ... . n 1
2 1
2
V y ậ
ằ
2
2
2
b c a
2. Cho a,b,c là các s không âm. Ch ng minh r ng:
a b c
ứ
+
c a b
+
.
ố
c ≥
b
a
+
+
Gi
i: ả
ữ
ổ
2
b a c
c a b
)
b
+
2
b
+
- - - ... 1 1 n n
.
1
2
n 1
4 1
2 1.3 2.4 3.5
2.2 3.3 4.4
1
� �� � � �
>
1
� �� � � �
9
� �� � � �
ở ậ
ố ứ
ứ
ấ ẳ
B t đ ng th c đã cho có tính đ i x ng khi thay đ i gi a a,b,c b i v y
ể ả ử ằ
có th gi u s r ng a≥b≥c. khi đó:
a b c
c ≥ (
) + (
) + (
2
2
a
+
bc ≥0
ab
2
2
+ 2
c 2
a
+
ớ
ổ
T 4.vip.pro.friendly – l p 10 Toán
99
̀ ề ấ ẳ
2
c
bc ≥0 (*)
+
) 2
ọ
ớ
a b
ễ ấ
ớ ậ
ấ ẳ
ứ
ớ
ổ
ị
(
+ 2
D th y (*) đúng v i m i a,b,c≥0
B i v y v i các giá tr không âm thay đ i, b t đ ng th c luôn luôn đúng.
ố
Truong THPT chuyên Lê Quý Đôn Chuyên đ B t đ ng
th cứ
ứ
c b c
ộ
ẳ
ằ
ố
ớ
thì m t trong cá s đó có t ng b ng hai s
ứ
ấ
a,b,c có b t đ ng th c
ố
ổ
ằ
3. Ch ng minh r ng v i các s
a b
a c a
còn l
i.ạ
- (cid:0) - (cid:0) - (cid:0) b , , ,
2
suy ra
- +
- (cid:0)
)
) 2
) (
a b c a b c
(1)
- - (cid:0) - (cid:0) 0 a b
i:ả
Gi
ễ ấ ừ a b
D th y t
(
ứ
Ch ng minh t
c
ươ c
hay (
ự
ng t - - (cid:0) 0.(2)
)
)
, ta có:
) (
(
- +
b c a b c a
) (
(
c a b c a b
- + - - (cid:0) 0.(3)
) (
) (
)
2
2
2
- + - + - - - - - - (cid:0) 0
) (
a b c a b c b c a b c a c a b c a b
(
)
(
(
ừ
T (1), (2), (3) suy ra:
) (
) (
(
- +
)
)
�
ế
- - - - - - b c a 0
ở ậ
ứ ả
V trái c a (4) là tích c a các s không âm, b i v y đ ng th c x y ra khi:
ố
0
a c b
ủ � (4)
ẳ - (cid:0) (cid:0) - 0 (cid:0) (cid:0) - (cid:0) c a b
ủ
- =
a b c
- =
b c a
- =
c a b 0
ẫ
ế
D n đ n
ằ
ứ
z
z
x
y
y z
ố ọ
ề
x
ể
x
ế
ườ
ng THPT Qu c h c Hu )
x y
x y
y z
x
z
x (1)
z ≥ + + + = 2
y z x
x
x
y
z
y (2)
x y
y
x
z
z
(3)
z ≥ +
x
+ + = 2
z ≥ + + + = 2
z x
x y
+ + + +
4. Ch ng minh r ng:
+
z ≤ + + + + + +
y
x y
+
ớ
(Đ thi tuy n sinh l p 10 chuyên toán – Tr
i:ả
Gi
Ta có:
+ + +
y z
x
+ + + +
y
y z
y
z
ừ
T (1),(2),(3) suy ra:
= + (cid:0) b c a (cid:0) = + c a b (cid:0) (cid:0) = + (cid:0) a b c
ổ ớ T 4.vip.pro.friendly – l p 10 Toán 100
̀ ề ấ ẳ
z
x
x
y z
x y
x
y
y
z
2
+ + + + + +
+
+
)
(
x
y z
y
y
z
z
z ≤ + + + + + +
x y
+
ể ả
ấ
z ≥ (
)
2
x
x
ử ụ
i bài toán trên ta s d ng tính ch t sau:
ứ ả
ẳ
+
ậ
Nh n xét: Đ gi
A + B ≥ +A B , đ ng th c x y ra khi AB≥0
a
a
a
a
= 1,
= 2,
= 3,
= 4,
= 5,
= 119,
=
...
1
v iớ
n
n
2
3
a
4
a
5
a
6
+1
a a
1
2
5. Xét dãy s ố 1
a
n≥5.
2
a
1
2
a
70
Truong THPT chuyên Lê Quý Đôn Chuyên đ B t đ ng
th cứ
>
ứ
ằ
Ch ng minh r ng:
2 1.
2
a
+
2
a a
1
+ ... +
a
...
70
2
i: ả
a
a
a
...
...
.
n
2
n
2
2
a
1
2
2
ớ
1
v i n≥5 (*)
b
n
b
=
n
ằ
+1 =
a
a
a
...
2
n
n
2
n
+1
2
2
Gi
ệ
Ta kí hi u:
a a
1
ứ
Ta ch ng minh r ng:
b
n
ậ ậ
Th t v y:
a a
b
=
n
1
2
a
1
+1
2
+1
a
a
a
a
...
...
1
=
...
n
n
2
n
n
2
a
1
2
2
a a
1
2
2
2
(
) 2
a
a
a a
n
(
a a a
...
)
1
...
1
2
n
n
...
2
2
2
1
2
a
1
a
...
...
= 65
=
a
5
2
a
1
2
2
2
a
5
b
5
a a
1
a a
a
=
...
1
1nb
=
ặ
M t khác:
a a
1
2
ụ
Áp d ng (*), ta có:
=
1 = 64
b
5
= 63
a
+
+ ... +
Nghĩa là:
2
a
1
2
2
2
a
70
=
2
a
70
>
= 1
2 1
Suy ra:
b
6
b
7
....................
b
= 0
70
a a
a
...
1
70
2
2
2
a
a
+
+
1
2
a
a a
...
70
1
2
a
ớ ấ ả
ố
,
,...,
,...
sao cho v i t
t c các s không âm m và n
n
2
6. Dãy các s ố 0
a a a
,
1
ệ ứ
(m≥n) có h th c:
a
a
a
a
=
+
+
.
m
n
m n
+
m n
2
2
ứ
ằ
1
(
2
ế
Ch ng minh r ng n u
)
, thì
a
1 = 1
ớ ổ T 4.vip.pro.friendly – l p 10 Toán 101
̀ ề ấ ẳ
Truong THPT chuyên Lê Quý Đôn Chuyên đ B t đ ng
th cứ
<
+
+
a
1994
a
1995
a
1993
a
1996
Gi
i:ả
ậ ậ
a
0 = 0
ớ
* Th t v y, v i m=n ta có
ả ử
s n = 0, khi đó ta có:
Gi
a
a
a
+
=
+
m
m
m
2
a
0
(
)
1
2
a
a (1)
m
m
Suy ra:
ả ử
Gi
a
a
=
+
+
n
a
2
n
2 +2
a
2
n
2 +4
2 = 4
s m = n+2. Khi đó
(
)
1
2
a
ụ
n
n
2 +4
+2
= 4
a
n
n
a
Áp d ng (1), ta có:
a
2 = 4
ở ậ
B i v y:
a
a
a
a
+
=
+
=
4
+ 4
n
n
n
a
2
n
2 +2
n
2 +4
a
2
+2
(
)
)
(
1
2
a
a (2)
n
+n
+2
1
2
)
(
a
a
= 4
+
+
= 4
+ 1
(3)
n
n
n
2 +2
+1
a
1
+1
(
)
(
)
ừ
= 2
(4)
n
+1
ụ
= 2
ặ
M t khác:
a
a
2
T (2),(3) suy ra:
a
a
a
+ 2
n
n
+2
ượ
c:
Áp d ng (4), ta tính đ
2
a
= 4 = 2
2
3
a
= 9 = 3
3
2
= 16 = 4
n (5)
ạ
ằ
a
4
2=na
ứ
ớ
ả ử
ớ
s (5) đúng v i n=k1và n=k
2
2
2
a
a
k
k
1 + 2 =
+ 2 = 2
= 2
+ 1
(
)
k
k
+1
1
)
ọ
k
ớ
Ta hãy ch ng minh (5) b ng quy n p:
Rõ ràng v i n = 0, n = 1 ta có (5) đúng. Gi
(k≥1).
Khi đó ta có:
(
ư ậ
Nh v y (5) đúng v i n=k+1, nghĩa là đúng v i m i n không âm.
ế
Đ n đây ta tính đ
a
k
ớ
ượ
c
ổ ớ T 4.vip.pro.friendly – l p 10 Toán 102
̀ ề ấ ẳ
2
= 1993
2
= 1994
2
= 1995
2
= 1996
a
1993
a
1994
a
1995
a
1996
ừ
Truong THPT chuyên Lê Quý Đôn Chuyên đ B t đ ng
th cứ
<
+
.
ấ ẳ
T đó có b t đ ng th c:
a
+
1995
ứ
a
1993
a
1994
a
1996
ố ậ
bx
c sao cho a< b và
2
= ax +
+
(
f x
)
(
f x
)
ấ ả
7. Xét t
t c các hàm s b c hai:
ọ
ớ
≥0 v i m i x.
ứ
ằ
Ch ng minh r ng:
≥3.
a b c
+ +
b a
i:ả
2
ớ
Gi
Do
ọ
f x ≥0 v i m i x, nên ta có a
> 0 và
)
(
b
ac ≤0
Δ =
4
2
Suy ra: c≥
ặ
b
a
4
a> , nên
M t khác b
a b
+ +
ở ậ
B i v y
≥
b a >
0
2
b
a
4
a b c
+ +
b a
2
2
a
4
≥
4
2
2
a
x
9
≥
(1)
a b c
+ +
b a
a b c
+ +
b a
�
b a
b a
ab b
+
+ 4
(
)
a b a
ax
+ 6
+
ax
4
)
ứ
2
2
2
2
2
= x b
2
a x
9
ax
2
+ + a x x 9 + = + (cid:0) = (2) 3 = +
(v i ớ
a
x
ấ ẳ
ặ
M t khác, theo b t đ ng th c Côsi ta có:
+
a
9
4 ax
6
ax
4 3
2
suy ra:
ừ
T (1) và (2)
2
ế
ẳ
ứ ả
Đ ng th c x y ra n u
2
Suy ra b=c=4a
ứ
ệ
ằ
ng a,b,c thõa mãn đi u ki n abc=1. Ch ng minh r ng:
(cid:0) 3 - 3
ax
2
+ +
a b c
b c (cid:0) = (cid:0) c (cid:0) (cid:0) (cid:0) x b
a
4
=
2
a vo
9 ( i x=ba)
5
5
5
ố ươ
8. Các s d
ab
5
b
ề
ac
5
c
+ + (cid:0) 1. + + + + + + a ab bc
5
c b bc a ac
ớ ổ T 4.vip.pro.friendly – l p 10 Toán 103
̀ ề ấ ẳ
ẳ
ự
ể
ố ế ầ
ứ
ứ ả
Khi nào đ ng th c x y ra?
ị
(D tuy n vô đ ch Toán Qu c t
l n th 37 1996)
4
2
2
3
4
5
5
Truong THPT chuyên Lê Quý Đôn Chuyên đ B t đ ng
th cứ
(
)
2
2
2
i:ả
Gi
Ta có:
=
+ + + = - - +
3
ab b b
)
) (
a b a
(
)
2
a b
+
2 - a
( a b a b
)
+ +
ab b a a b �
�
2
2
(cid:0) +
a b
) 2 0
)
(
�
�
và a,b,c > 0, nên
(
)
2
2
5
5
+
2 - (cid:0) a b +
ab b a 0
)
Do (
a b-
(
Suy ra
(
a
b
a b a b
ứ ả
ẳ
Đ ng th c x y ra khi a=b
Do đó:
+ + (cid:0)
5
2
2
)
(cid:0) + + + ab
5
b a ab ab
(
+
a b a b ab
)
(
)
(
ab a b
ươ
ứ
ự
= = = .(1) 1
+ + c
+ +
a b c
1
ng t
5
(cid:0) .(2) + + b bc
5
Ch ng minh t
bc
5
c
ac
5
c
(cid:0) .(3) + + a ac
ứ ả
ừ
ẳ
ị
T (1),(2),(3) ta có kh ng đ nh và đ ng th c x y ra khi a=b=c=1.
ướ ố
ố ự
ứ
ằ
ố
c s là s t
nhiên. Ch ng minh r ng s đó
ộ ố
ơ
9. M t s nào đó có 2000
ớ
l n h n 1000000
.
Gi
i:ả
ướ ố ủ
ặ
c s c a n có th phân thành c p (n u n không là s
ế
ố ứ
ơ
ể
ộ ố
ặ
ơ
ấ ả
T t c các
ươ
chính ph
ố
ơ
n , còn s th hai l n h n
ế
ơ
ơ
ư ậ ố ượ
ướ ố
1
+ +
ab a b c
, ta có:
a
+ +
a b c
b
+ +
a b c
ẳ
ớ
l n h n
ng
c s bé
ng), trong c p đó có m t s bé h n
n
d
n . Khi đó 2 n >2000, suy ra n>1000000.
h n 2ơ
ứ
3
3
n (n u d bé h n n , thì n ). Nh v y s l
ấ ẳ
10. Có hay không b t đ ng th c:
+ < n u ế
x
z
z > và
0
Gi
i:ả
+ + y < x y xyz 3 0?
ớ ổ T 4.vip.pro.friendly – l p 10 Toán 104
̀ ề ấ ẳ
3
3
Truong THPT chuyên Lê Quý Đôn Chuyên đ B t đ ng
th cứ
ấ ẳ
ế ủ
ứ
ả
3z , ta
Do z>0, nên chia c hai v c a b t đ ng th c
có:
3
3
+ + x y xyz 3 0 < cho
3 0 < (1) y
z xyz
3
z
ế
ệ
N u ta kí hi u
thì (1) có d ng:ạ
3
= = v u ,
3
+ uv
3
)
1
- v
) +
u v
ươ
ấ
ươ
ề
ớ
ấ
1.
ứ
ấ ẳ
ứ
4
4
3
3
3
ớ
+
ấ
+
x
� � � �+
+
� � � �
z
� � � �
y
x
z
z
+
< (1’)
3
u
0
(
(
+ -
< (2)
�
uv u v
0
3
u v+ (cid:0) N u u và v khác d u thì v trái c a (2) là sô d
ế
ủ
ế
ấ
ả ử
ng. N u
s
Gi
ế
ẫ
ẫ
ề
ấ
u,v cùng d u thì u,v đ u d
ng, đi u này mâu thu n v i (1’). D n đ n
ở ậ
u+v <1, dó đó u,v cùng d u âm, b i v y x<0, y<0 và x+y<0 nghĩa là x+y
ằ
x
ố
x
3
x y
11. Ch ng minh r ng v i các s x,y không âm b t kì, ta có b t đ ng th c:
Gi
i:ả
ấ
ứ
ứ
ể ứ
3
4
+ + + > + +
y xy y y x
. 1
y
3
3
x y
3
4
x (cid:0)
(cid:0) y (cid:0) (cid:0) (cid:0)
3.
T đó suy ra (1) đúng.
y
x(cid:0)
3x
, thì
ở ậ
B i v y (2)
4
(cid:0) 1x(cid:0) x + >
3 1 x
. y
ừ
, còn n u ế 0
3
x y
, do đó (3) đúng, còn n u ế 0
, thì
hay
4
3
3
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) y x x y 0 x (cid:0)
)
(
x x
2
x y
3
3
+
3 + - - xy y ��
0 �
0
, nên suy ra:
2
x y
y
x
) (
+
3
)
(
y y
ứ
ề
(1) (2) (3) suy ra đi u ph i ch ng minh.
+ - (cid:0) 0 + - x x y x 0 � (*)
ớ
ấ ẳ
ứ
Đ ch ng minh b t đ ng th c đã cho , ta ch ng minh b t đăng th c sau:
+ (cid:0)
(1)
y
y
+ > (2)
3 1
x
+
4
(3)
xy
x
1y (cid:0)
ế
ậ ậ
thì
Th t v y, n u
Còn n u ế 0
1y
thì
y
1x (cid:0)
ế
ặ
M t khác n u
thì
đúng.
ế
ạ
L i có n u
y-
x
0
.
Khi đó (3) có d ng:ạ
3
x y
x
x (cid:0)
Do
0
�
ễ ấ
D th y (*) đúng, do đó (3) đúng.
ả
ậ ừ
V y t
ổ
T 4.vip.pro.friendly – l p 10 Toán
105
̀ ề ấ ẳ
Truong THPT chuyên Lê Quý Đôn Chuyên đ B t đ ng
th cứ
ươ
Ch
ng 5 :
́
̀
̀
́
́
ư
́
́
́
̉
̉ ̣ ̉
ư
Bât đăng th c nh thê nao la hay ?
́
̀
ư
Lam sao co thê sang tao bât đăng th c ?
̀
́
̀
ươ
̀
THCS. B
́
̃
́
́
ơ
ư
̣ ̣ ̉ ̣
́
̀
̉ ̉ ̣ ̉ ̉
́
ư ư
Cauchy, Bunhia C pxki
̣ SOS, ABC,…Vây đa bao gi
́
̣
ố
̃
́
̀
̀
̀
́
̉ ̉ ̣ ̉
ư
̀
̀
́
̃
ư
̣ ̉ ̣
́
ư
ự ự
́ ́
̀
́
́
̀
́
́
́
̀
́
́
́
́
c đâu cac ban co
Ban đoc đa lam quen v i bât đăng th c t
́
, Jensen,
thê chi hoc cac bât đăng th c kinh điên :
̀
̣ ự
ơ
ban t
Chebyshev, Nesbitt … hay băt đâu đoc
́
́
hoi ̉ Bât đăng th c nh thê nao la hay? Lam sao co thê sang tao bât đăng
́
̀
́ư
Đo th c s la nh ng vân đê thu vi đang đê quan tâm va binh luân.
th c ?
̀
́
Sau đây la môt sô y kiên cua giao viên toan, hoc sinh chuyên toan vê vân đê
nay :̀
́
̀ươ
ng THPT chuyên Lê Quý
̣ ̉ ̣
ề (GV chuyên toan Tr
ả
Thâỳ Nguy n Văn Hi n
ễ
Đôn, Qu ng Tr
ị) :
ớ ổ T 4.vip.pro.friendly – l p 10 Toán 106
̀ ề ấ ẳ
̀
́
́
́
̀
́
̃
́
ư
Truong THPT chuyên Lê Quý Đôn Chuyên đ B t đ ng
th cứ
̀
́
́
́
́
̀
́
ư
́
̃
ư
̉ ̣ ̉
́
́
́
ư
́
ư
̣ ̣ ̉ ̣ ̣ ̣ ̉
́
̀
Bât ky bât đăng th c nao cung đêu co cai hay va cai đep riêng cua no.
́
Đăc biêt nh ng bât đăng th c vân dung nhiêu khia canh cua cai bât biên
̀
trong bât đăng th c la bât đăng th c hay!!!
́
̀ươ
ả
ng THPT chuyên Lê Quý Đôn, Qu ng Tr
ị) :
Thâỳ An (GV chuyên toan Tr
̀
̀
̀
́
̀
́
̀
ư
ượ
́
ư
̉ ̉
́
c nhiêu bât đăng th c khac la bât
̉ ̉
́
́
ư
T bât đăng th c ban đâu ma suy ra đ
́
ư
đăng th c hay!!!
́
̉
ị
ạ
ươ
ế
(GV d y toan Tr
̀
ng THCS chuyên Hi u Giang, Đông
Cô Thái Th Lan
ị
ả
Hà, Qu ng Tr )
̀
́
̀
̀
́
ư
c nhiêu ng
́
̀
̀
́
́
̉ ̣
̀
̀
̃
̀
́
̣ ̉ ̣ ̣
̀
́
̉ ̉ ̣ ̣ ̣
̃
̀
ươ
ượ
ư
i quan tâm
Bât đăng th c la môt trong nh ng đê tai đ
́
́
́
́
̀
ư
nhât. Quan hê cua chung rât rông, đi sâu vao la rât kho.Viêc ch ng minh bât
́
́
́
̀
ơ
ươ
ư
đăng th c long la t
ng đôi dê, con viêc lam chăt chung m i la môt công
́
̀
́
viêc kho khăn va đây ky thu!!!
́
̀
̣
̉
́
ợ
ươ (GĐ Trung tâm hô tr nghiên c u va phat triên cac
ng
̀
ư
́
̃
́
́
́
́
̀
̀
́
́
̀
̣ ơ
Thây ̀ Trân Ph
san phâm tri tuê, la tac gia nhiêu cuôn sach hay vê toan hoc s câp)
:
̀
́
̀
́
́
́
ư
̉ ̉ ̣ ̉
̀
́
ư
Ch ng minh bât đăng th c la công viêc đoi hoi tri thông minh sang tao va
́
́
ự
s kheo leo.
̀
̉ ̣ ̉ ̣
(SV khoa 9 C nhân tai năng – Tr
́
́
́
́
̀
̣
́
ư
̉ ̣
̀
Pham Kim Hung̀
ươ
ử
ng ĐHKHTN –
́
́
ĐHQGHN, la tac gia cuôn sach
“Secrets in Inequalities”(Sang tao bât
́
đăng th c) nôi tiêng)
:
́
̀
́
̀
́
́
ơ
ự
̉ ̉
́
́
́
́
́
́
ư
́
́
ự
̣ ̉ ̉ ̣
́
́
́
̀
̀
̀
̀
ơ
̉ ̣
̀
́
́
̀
́
̃
ư
̣ ̣ ̣ ̉ ̣
̀
̀
̃
ư
̣ ̉ ̉ ̣ ̉ ̣
́
̀
̀
́
̀
̉ ̣
̀
̀
̀
̃
̀
́
̣ ̉ ̣ ̉ ̣
̀
ư
́
̀
ư ̣
̀
́ ́
̃
̀
́
̣ ̣ ̉ ̉ ̣
Điêu kho khăn nhât khi chung ta tiêp cân v i bât đăng th c la s khăng đinh
̀
̉
no co đung hay không. Th c tê thi khi giai môt bai toan mang tinh “gia
́
́
thuyêt” la môt viêc kha mao hiêm va mât nhiêu th i gian, thâm chi sau
́
́
ư
ư
ượ
c chi la môt phan vi du ch ng
nh ng cô găng nh vây thi kêt qua thu đ
́
̀
́
́
ư
ư
minh bât đăng th c sai. Nh ng trong toan hoc thi nh ng điêu nh thê nay
̀
ự
ươ
phu đinh
t
hoan toan rât binh th
ng va cac ban không cân phai e ngai khi
̀
́
̀
́
́
ươ
môt bai toan minh đăt ra nh vây ca, vi đo se la b
c đâu tiên đê ban sang
ượ
c môt bai toan hay va co y nghia.
tao ra đ
̣ ̣
ớ ổ T 4.vip.pro.friendly – l p 10 Toán 107
̀ ề ấ ẳ
́
́
Truong THPT chuyên Lê Quý Đôn Chuyên đ B t đ ng
th cứ
ườ
̀ươ
ng
ng Giang
(HS chuyên toan khoa 2008 – 2011 Tr
ả
ươ
Lê D ng Tr
ị
THPT chuyên Lê Quý Đôn, Qu ng Tr )
́
́
́
́
̀
́
ư
ơ
̀
́
ự
̉ ̣ ̉ ̣ ̉
̃
ư
ư
Bât đăng th c la môt mang toan rât kho, nh ng lai la sân ch i đê cho nh ng
̀
hoc sinh gioi toan thê hiên năng l c cua minh.
́
́
̣ ̉ ̉ ̣ ̉
ễ
ọ
̀ươ
ng
ng Linh
(HS chuyên toan khoa 2008 – 2011 Tr
ả
ươ
Nguy n Ng c Ph
ị
THPT chuyên Lê Quý Đôn, Qu ng Tr )
́
́
́
̀
́
́
́
ư
́
́
́
́
ư
ơ ợ
̃
ư
̃
ư
̉ ̉ ̉ ̣
̀
́
̀
̣ ̣ ̉ ̣ ̉ ̉
̀
́
ư
Bât đăng th c hay la bât đăng th c co nh ng phat biêu đep va cach ch ng
́
minh thât đăc săc, co thê kh i g i trong nh ng hoc sinh gioi toan phat triên
́
va tông quat bai toan.
́
́
̉
ầ
̀ươ
ng THPT
(HS chuyên toan khoa 2008 – 2011 Tr
ả
ế
Tr n Ti n Minh
ị
chuyên Lê Quý Đôn, Qu ng Tr )
́
ứ
ậ
ứ
ạ
ơ ẻ ồ
ứ ờ ạ
ớ
ứ
ế
ộ ấ ẳ
ẽ
ế
ấ ẳ
ợ
ấ ẳ
Sáng t o b t đ ng th c là t p h p cac nghiên c u r i r c, các b t đ ng
ẽ
ộ ấ ẳ
th c đ n l
r i “bi n hoá” ra m t b t đ ng th c m i. Khi đó ta s càng
ứ
ố
ngày càng làm ch t nó h n. Cu i cùng ta s có m t b t đ ng th c nhìn
vào là h t bi
ơ
ng làm.
ặ
ế ườ
t đ
́
́
ễ
ả
̀ươ
ng THPT
ươ
(HS chuyên toan khoa 2008 – 2011 Tr
Nguy n H ng C nh
ị
ả
chuyên Lê Quý Đôn, Qu ng Tr )
́
́
̀
́
ấ
ưở
ừ ộ ấ ẳ
ng t
ứ
́
́
́
̣
̉ ươ
m t b t đ ng th c khác (kho!) va phat biêu d
̀
̀
̃ ́
̀
́
́
́
̀
́
́
ơ
̣ ̣ ̉ ̣ ̉
́
L y ý t
i môt cach
́
khac sau khi đa ap dung môt sô bô đê.Tât nhiên khi đo trinh đô phai cao
ơ
ơ
h n, cach lam phai kho h n, thê m i la sang tao !!!
́
́
̉ ̣
ươ
ữ
̀ươ
ng THPT
(HS chuyên toan khoa 2002 – 2005 Tr
ng H u Hà Ninh
Tr
ị
ả
chuyên Lê Quý Đôn, Qu ng Tr )
́ ́
́
̀
́
́
́
ư
́
ư
́
Bât đăng th c co tinh tông quat, kho, đep la bât đăng th c hay!!!
́
́
̉ ̉ ̣ ̉
ươ
ữ
̀ươ
ng THPT
(HS chuyên toan khoa 2000 – 2003 Tr
ng H u Đông Hà
Tr
ị
ả
chuyên Lê Quý Đôn, Qu ng Tr )
́
̀
́
̀
̀
ươ
ng h p đăc biêt cua no la
dang tông quat ma tr
́
̀
ợ
́
ư
̉ ̣ ̉ ̣ ̣ ̉
̉ ̣ ̉
̃
ư
̃
ư
ổ
́
́
ư ở
Nh ng bât đăng th c
́
́
ư ơ ̉
nh ng bât đăng th c c ban, quen thuôc la bât đăng th c hay!!!
ớ
T 4.vip.pro.friendly – l p 10 Toán
108
̀ ề ấ ẳ
̀
́
̃
Truong THPT chuyên Lê Quý Đôn Chuyên đ B t đ ng
th cứ
ươ
ươ
Ch
ng 6 : H ng dân giai bai tâp
̉ ̣
ươ
ng 1:
ậ
Bài t p ch
Bài 1:
a3 (cid:0) - b3 + a2b + ab2
Ta cã: a3+b3 (cid:0) a2b + ab2 (cid:0)
(cid:0)
(cid:0)
2a3 +a3 (cid:0) 2a3 - b3 + a2b + ab2
3a3 (cid:0) a3 - b3 +a3+ a2b + ab2
3a3 (cid:0) ( a3 - b3 ) + (a3+ a2b + ab2)
3
(cid:0)
. Hoµn toµn t¬ng tù cho c¸c biÓu thøc cßn
2
2
l¹i, ta cã:
(cid:0) (cid:0) ba 2 (cid:0) 3a3 (cid:0) (a - b)(a2 + ab +b2) +a(a2 +ab +b2) (cid:0) 3a3 (cid:0) (a2 + ab +b2)(2a -
b) (cid:0) (cid:0) (cid:0) a
ab b a
ổ ớ T 4.vip.pro.friendly – l p 10 Toán 109
̀ ề ấ ẳ
3
3
Truong THPT chuyên Lê Quý Đôn Chuyên đ B t đ ng
th cứ
2
2
2
2
Khi ®ã céng c¸c vÕ cña 3 B§T trªn l¹i víi nhau ta ®îc B§T cÇn chøng
minh.
Bài 2:
ử ụ
ế
ổ
S d ng bi n đ i và BĐT cô si cho 3 s d
ng ta có
ố ươ
2
2
2
2
3
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) cb
2 , 2 ac
. (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) b
bc b c c c
ca a
2
2
4
ươ
Hoàn toàn t
a ab (2 ) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) a a a (cid:0) (cid:0) ab
3 a b
2 ab 2
3
3
2
2
2
2
3
3
2
a
ng t ab
b
2
ự
ta cũng có 2 BĐT
;
2
2
ỉ ầ
ừ
T đây ta ch c n CM
Bài 3:
ứ
ề ạ
2
b (2 ) (2 ) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) c b (cid:0) (cid:0) bc
3 ca
3 b c a c 2 c
2
3
ca
ử ụ
2
2
2
3
3
3
(cid:0) (cid:0) (cid:0) 3
ư
ự ư
ươ
Ch ng minh t
nh bài 6, ta đ a BĐT v d ng
ng t
2
2
3
3
ab
bc
Sau đó s d ng BĐT cô si
,
,
ộ
ứ
ề
ả
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ba cb ac ab
2( bc
2( ca
2( )1 )1 )1
ế
ứ ả
ẳ
C ng theo v các BĐT trên ta có đi u ph i ch ng minh.
Đ ng th c x y ra
a=b=c=1
Bài 4:
2
(cid:0)
2
2
ab
(
b
2
ể ấ
Theo BĐT cô si d th y
a
1
(
b
1
ủ
ạ
T
ta c ng có hai BĐT n a v i b và c r i c ng l
i
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) b )1 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) a a a 1 1 1 . (cid:0) (cid:0) ab
2 a
2
b b
)1
1
ữ ớ
b
ồ ộ
c
ự
b
2
c
ươ
ng t
a
1
2
b
1
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) bc ca a (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) b c a 1 1 1 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 2 2 ab
2 c
2
a 1
1 1
1
ớ ổ T 4.vip.pro.friendly – l p 10 Toán 110
̀ ề ấ ẳ
Truong THPT chuyên Lê Quý Đôn Chuyên đ B t đ ng
th cứ
=
ẳ
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) cba bc ca (cid:0) (cid:0) 3 3
ự
ố
ứ ả
Đ ng th c x y ra khi và ch khi a=b=c=1.
ớ
ươ
ằ
B ng cách t
ta có bài toán v i 4 s
ng t
Bài 5:
ươ
ự ư
T
ng t
ab
2
ỉ
Theo BĐTcô si ta có:
nh bài trên
a
2
b
ộ
ạ
ứ
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) c bc (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) a b 1 1 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ab
2
cd 2
da a (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) c d 1 1 (cid:0) (cid:0) 2 2 c
2
d bb
;
2
c
dd
;
2
a 1
1
1
1
ế
C ng theo v các BĐT trên l
Bài 6
ươ
ự
ằ
Cũng b ng ph
2
1
1
1
1
ả
i ta có đièu ph i ch ng minh.
ng pháp t
1
2
ươ
ng t
2
a
2
trên ta có
a
2
ươ
ế
Làm t
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 1 1 1 (cid:0) (cid:0) a 1
a
a
2
1
ồ ộ
ự ớ
v i b,c và d r i c ng theo v ta có a
ng t
.(đpcm)
2
2
Đ ng th c x y ra
Bài 7:
ự
ằ
ấ
ạ ể
ơ
D đoán d u b ng xãy ra t
đi m r i: a = b = c = 2. Ta có:
2
3
(cid:0) (cid:0) (cid:0) 1 1 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 4 2 1
2 1
2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) dcba
2 c 1 1 (cid:0) b
1
ứ ả a
ẳ d
1
a=b=c=d=1.
2
3
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 152 .19 8
a b
5
4 c
2 a
19
8 b
5
2 c
2 a
19
2 a
2 16
2
a
+
2
3
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 152 .19 8
c c
5
4 a
2 b
19
8 c
5
2 a
2 bb
19
2
2 16
2
b
5 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 152 .19 a
4 b
2 c
19
8 a
5
2 b
2 c
19
2 c
2 16
2
c (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 8 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) a a b c S
.29 2 b
2 ( ) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 8
a 8
b c c 8
c
1
2 2
ổ ớ T 4.vip.pro.friendly – l p 10 Toán 111
̀ ề ấ ẳ
Truong THPT chuyên Lê Quý Đôn Chuyên đ B t đ ng
th cứ
+
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) aa bb cc (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) a b c 9 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) a
2 b
2 c
2 b
2 c
2 a
2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 22 22 22
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) a c a b c 2 2 2 b
2 2 2 ( ) 2 8
a 8
b 8
c 1
2 aaa
222
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) a b c 2 9 2 (cid:0) (cid:0) b
2 c
2 a
2 (cid:0) (cid:0) bbb
222 c
cc
222
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) a b c a b c 15 ( ) 6 (cid:0) (cid:0) 3
2 a
2 b
2 c
2 (cid:0) (cid:0)
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 23 1 2 2 1 1 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) a
2 a
2 bb
22 c
c
22 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) a b c a b c 15 ( ) 6 3 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 3
2 a
3
2 b
3
2 c
3
2 a
2 b
2 c
2 (cid:0) (cid:0)
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) a b c 15 6 1 1 1 15 12.6 29.3 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) a
2 b
2 c
2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
a
cb
2(cid:0)
ấ
ằ
ả
V y ậ
D u b ng x y ra
Bài 8:
ử ụ
ấ ẳ
ứ Schur ta có :
ế
ế
ộ
S d ng b t đ ng th c
a6 + b6 + c6 + 3a2b2c2 ≥ a4(b2 + c2) + b4(c2 + a2) + c4(a2 + b2) (1)
ứ AMGM thì :
ấ ẳ
Theo b t đ ng th c
(a6 + a4b2) + (a6 + a4c2) ≥ 2a5(b + c) (2)
(b6 + b4c2) + (b6 + b4a2) ≥ 2b5(c + a) (3)
(c6 + c4a2) + (c6 + c4b2) ≥ 2c5(a + b) (4)
C ng (1),(2),(3),(4) v theo v suy ra đpcm
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)S /29.3 29 3 .29
ươ
ng 2:
ậ
Bài t p ch
Bài 1:
Ta co : ́
2
2
2
ươ
ươ
ng đ
́
ơ
ng v i :
(cid:0) (cid:0) c (cid:0) S 4 (cid:0) (cid:0) a
A cot cot
́ C
̃ B
́
ư ̉ b
cot
nên bât đăng th c đa cho t
ổ ớ T 4.vip.pro.friendly – l p 10 Toán 112
̀ ề ấ ẳ
2
2
3
Truong THPT chuyên Lê Quý Đôn Chuyên đ B t đ ng
th cứ
(cid:0)1
(cid:0) S (cid:0) 64
2
cba
B
2
̃
2
2
2
2
2
tan tan tan C
2 ̣ (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) b a c a A A A
2
́
́
Măt khac ta cung co :
2
bc
2 cos bc
2 bc
2 cos
2
2
(cid:0) (cid:0) a bc
4 sin A
2
bc
4 sin a A
2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) A S bc
2 sin 4
ươ
ự
T
ng t
́
̃
ta cung co :
2
2
tan tan A
2 A
2
b c (cid:0) (cid:0) S S 4 ; 4
(cid:0)1
́
đung
Bài 2:
Ta co :́
3
tan B
2 C
2 (cid:0) (cid:0) tan
(cid:0) đpcm.
R A B C 2 sin sin (cid:0) (cid:0) (cid:0) R A B C abc
S
4 sin
8 S
sin sin2 sin
(cid:0) (cid:0) (cid:0) r (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) S
p R A B C sin
B S
sin sin sin sin28
A
sin A
sin B
C
sin
C
sin
Vây :
̣
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) rR (cid:0) (cid:0) A A B C sin
B B C 1
sin22 1
sin22 S
sin sin sin28
A
sin A
sin B
C
sin
C
sin sin
S
sin
Theo Cauchy ta co :́
3
ma :̀
(cid:0) B (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) A sin
C sin
A C
B C rR
3 sin8 SS
B
sin sin A
sin sin
sin sin
(cid:0) (cid:0) (cid:0) A B C sin sin sin 33
2
(cid:0) A B C sin sin sin 33
8
4
3
đpcm.
4
SS 4 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) rR S 3 4 33.27
ớ
Bài 3:
ổ
T 4.vip.pro.friendly – l p 10 Toán
113
̀ ề ấ ẳ
Truong THPT chuyên Lê Quý Đôn Chuyên đ B t đ ng
th cứ
ABC
̀
̀
̀
.
(cid:0) ̣ ̣ ̣
ượ
OB
́
̀
ươ
ng tron ngoai tiêp va trong tâm
OG
̀
t la tâm đ
3(cid:0)
OC
(cid:0) (cid:0)
A
Goi O, G lân l
Ta co : ́
OA
Hiên nhiên :
2
̉
2
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) OA OB OC 0
2
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) R R OB OB OC OC OA 3 2 cos OA
, cos , cos , 0
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) R R A B 3 2 cos C
2 cos 2 cos 2 0
O
B
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) B C
2 2 cos cos 3
2
́
ư
đêu.̀
C
Bài 4:
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ̉ ̉ A
2
cos
(cid:0) đpcm.
Đăng th c xay ra OA OB OC OG GO ABC 0 0
Đ t ặ
= + + + r
a z r
c x , y
2 3
2 z
3
,
2 2 x
3
,
2 2 �
x
�
�
� r
� �
=
y b
y
,
� �
� �
� � � �
=
z
,
� �
� �
� � �
�
�
�
(
)
)
(
Ta có:
+ + = � r r r
a b c + +
y x z + +
y x z , 3
2 �
3
�
�
2
� �
�
�
�
2
2
2
2
2
2
+ + (cid:0) r
b r
c r r r
+ +
a b c r
Ta luôn có a
(
)
Bài 5:
)
,
Đ tặ
(cid:0) + + + + + + + + (cid:0) x xy y x xz z y yz z + +
y x z 3
{
(
= -
(
= -
x p p
)
r
a
r
b
q x q
,
(
)
+ = - � r r
a b q q +
p p
,
ổ ớ T 4.vip.pro.friendly – l p 10 Toán 114
̀ ề ấ ẳ
Truong THPT chuyên Lê Quý Đôn Chuyên đ B t đ ng
th cứ
ụ
ấ ẳ
Áp d ng b t đ ng th c
ta có
2
2
2
+ r
a r
b r r
+ (cid:0)
ứ a b
2
+
(
)
(
) 2
2
+
= +
2 - - (cid:0) - y x +
px p x +
qx q 2 2 2 2 q p +
q p
(
)
(
) 2
ủ
Vây. GTNN c a y là
Bài 6:
- q p +
q p
ạ ộ
ặ
V iớ
ặ
ẳ
; Trong m t ph ng to đ , ta đ t
" (cid:0) m n p q R
, , ,
(
)
ừ
T đó suy ra
2
2
2
2
2
2
= , + = + + � r r
a b m p n q , = r
(
)
a m n
r
)
(
b p q
,
)
(
)
=
=
= (
+ p q+ +
m p +
n q r
a r
; b r r
; a b+ m n+
ụ
ừ
ượ
Ta có áp d ng công th c
t
đó ta có đ
c đpcm
ứ
ư
ươ
ứ
ằ
ể
ử
ế ồ
ế
ấ ẳ
ứ
ả ươ
ấ ẳ
ố ớ
Đ i v i bài toán trên thì ngoài cách ch ng minh nh trên ta còn có th
ứ
ng 2 v r i sau đó s
ch ng minh b t đ ng th c b ng cách bình ph
ự
ụ
d ng b t đ ng th c Bunhiacôpxki. Cách đó cũng cho ra k t qu t
ng t
Bài 7:
+ r
a r
b r r
+ (cid:0)
ứ a b
ớ
ự
ế
V i n=2 ta có bđt 1+
ể
,bđt này đúng qua ki m tra tr c ti p .G a s
ỉ ử
ứ
ớ
ộ
ớ
2
ứ
(1) đúng v i m t giá tr n nào đó,ta ch ng minh bđt cũng đúng v i n+1,t c
là
1 (cid:0)
2
ị
1+
(n=2,3….) (2)
ớ ố ạ
ậ ậ
ứ
ộ
ế ấ ẳ
Th t v y c ng 2 v b t đ ng th c (2) v i s h ng
ta có
1 1 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) n 1 (cid:0) n 2 1
1+
(3)
1
(cid:0)n 1 1 1 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) n n 1 (cid:0) n 2 1
ổ ớ T 4.vip.pro.friendly – l p 10 Toán 115
̀ ề ấ ẳ
2
2
Truong THPT chuyên Lê Quý Đôn Chuyên đ B t đ ng
th cứ
n
n
n
1
1
1
n
n
1
nh ng ư
n
n
n
1
1
1
ừ
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
Bài 8:
2
2
T đây suy ra đpcm
2
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x y x y y (*) (2 )5 6 4 5 6 ,0 yx
,
Xét tam th c:ứ
2
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x y x y y xf
)( (2 )5 6 4 5 6
y
y
y
'
(
)5
6
4
65
Ta có
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
2
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) y y y y ( 2 6)55 4 65
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) y y y 5 2 15 ( )15
,0'
yx(cid:0)
,
.
f(x)
0,
y.x,
Ta th y :ấ
Suy ra :
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
x
ứ ả
ẳ
Đ ng th c x y ra
y
4
5
1
5
Bài 9:
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
1
1
1
1
VT
a
a
a
a
)1(
(
)
(
)
1
3
2
4
a
a
a
a
a
a
a
a
1
2
3
4
2
3
4
1
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
4
4
a
a
(
)
(
)
ậ ụ
a
1
a
3
2
4
(V n d ng BĐT VI)
a
a
a
a
1
2
a
3
4
a
1
2
a
3
a
4
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
2
4
2
4
(cid:0) (cid:0) 4 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) a a 4 a
1 a
3 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) a a a
1 a
3
a
a
ả
ấ
D u “=” x y ra
a
3
a
a
3
a
a
1
a
2
a
3
4
4
a
1
2
a
1
a
2
4
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
ớ ổ T 4.vip.pro.friendly – l p 10 Toán 116
̀ ề ấ ẳ
Bài 10:
Truong THPT chuyên Lê Quý Đôn Chuyên đ B t đ ng
th cứ
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) VT(1) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) a
cb c
da b
dc a
ba
dcd
)
)
(
(
)
dcc
(
a
da
a
(
)
dcb
(
)(
)
bab
(
badc
)(
)
2
2
2
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
ad
bc
b
ab
.4
.4
ụ
(Áp d ng BĐT VI)
c
2
dcba
cd
dcba
a
(
c
2
)
(
)
2
2
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
dcba
(
)
db
(
)
.2
2
(đpcm)
2
ca
(
dcba
)
)
(
Bài 11:
Ta có:
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
.
.
ậ ụ
(V n d ng BĐT I)
1
a
b
c
c
b
1
a
1
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
.
.
ươ
ự
T
ng t
:
1
b
a
c
c
a
1
b
1
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
.
.
1
c
a
b
b
a
1
c
1
2
ứ
ế
ộ
ượ
C ng theo v các BĐT th c ta đ
c đpcm.
Bài 12:
ể ả
ư
ả
ư
i nh sau:
ạ
ệ
i nh ng bài toán d ng này ta xây d ng cách gi
ạ
ữ
ổ ể
ấ
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
yb
Đ gi
ẽ ế
Ta s bi n đ i đ xu t hi n d ng (II)
ố
ướ ế
c h t ta tìm 2 s x,y sao cho:
Tr
a
c
c
a
)3
(
)3
(
ax
a
1(
)
3
bax
(
)
xb
c
3
Mcby
(
)
cy
)
1(
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
ổ ớ T 4.vip.pro.friendly – l p 10 Toán 117
ứ
ấ
ồ
̀ ề ấ ẳ
x
ư
3
và
x
,3
,2
aM
3
b
2
c
3
(cid:0) (cid:0) (cid:0) Truong THPT chuyên Lê Quý Đôn Chuyên đ B t đ ng
th cứ
ử ụ
s d ng ph ong pháp đ ng nh t th c ta có :
1 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
y
1
ờ
Bây gi
acmb
4
(
y
ta tìm m,n sao cho:
an
b
3(
2
)
c
)3
ươ
ự
ượ
T
ng t
trên ta tìm đ
c m=6,n=2
ư
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
ớ
ng v i
b
4
2
2
16
ứ
ươ
ươ
ng đ
c
a
3
b
c
a
c
ế
Đ n đây ta ch ng minh (2) nh sau
Ta có (2) t
a
c
3
a
b
t c làứ
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
a
3(
b
2
c
)3
16
1
ba
1
cb
2
ac
ươ
ươ
VP t
ng đ
ớ
ng v i
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
1
1
ba
cb
c
a
c
a
16
1
ba
1
cb
c
a
c
a
(đúng)
=>đpcm
Bài 13:
ễ ấ
D th y
1x ,
2
+
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
Ta có:
2
+
3 2
x
1
x
2
x
2
x
1
x x
1
2
x x
2
1
2x 0(cid:0)
2
� � � �
+
� � � �
� � � �
2
�
5
x
1
x
2
+
� �+�
x
2
� �
x
� �
1
2
x
2
۳
5
2
x
1
x x
1 2
(cid:0)
ớ ổ T 4.vip.pro.friendly – l p 10 Toán 118
̀ ề ấ ẳ
+
2
x
2
0(cid:0)
ễ ấ
d th y
, do đó ta có:
2
x
1
x x
1 2
+
+
Truong THPT chuyên Lê Quý Đôn Chuyên đ B t đ ng
th cứ
(
) 2
2
2
x
2
x x
1 2
x
1
(1)
5
�۳
5
ừ
x
2
x x
1 2
(1) ta có:
2
x
1
x x
1 2
ị
2
-
2
5
2
�
Theo đ nh lí Viét, t
k
( 2 )
4
-�
k
2
5
۳
k
+
5 2
2
2
- - (cid:0)
Nghĩa là
thì ta có:
(cid:0) (cid:0) - 3 + ho c kặ k (cid:0) 5 2 +
5 2 x
2
x
1 � � � �+
x
1
� � � �
x
� � � �
2
ươ
ậ
Bài t p ch
ng 3:
Bài 1:
́
́
́
̀
́
̀
́
́
ư
ư
Ch ng minh cac bât đăng th c sau rôi xet khi dâu băng xay ra :
̉ ̉
ớ ổ T 4.vip.pro.friendly – l p 10 Toán 119
̀ ề ấ ẳ
Truong THPT chuyên Lê Quý Đôn Chuyên đ B t đ ng
th cứ
a.
(cid:0) (cid:0) (cid:0) A B B C C A cos cos cos cos cos cos
b.
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) A B C A B C 2sin 2sin 2sin sin sin 3
4
sin
c.
2
2
2
2
2
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) A B C tan tan tan A B C 1
2sin 1
2sin 1
2sin 3
2 1
2
d.
2
cba
B
2
Bài 1:
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) c (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) a
A B C cot b
cot cot tan tan tan A
2 C
2
ế
ặ
ố
V trái là s nguyên, nên ta đ t
ố
y là s nguyên.
(cid:0) 4 6 (cid:0) y x
5
Ta tính x theo y
4
y
6
(cid:0) (cid:0) x y 6 5 (cid:0) 5 4 (cid:0) x
ượ
Thay
ế
vào v trái, ta đ
c
ị
(cid:0) (cid:0) (cid:0) 2 34 4 (cid:0) (cid:0) y x (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 5 (cid:0)
y
6
t:
y
36
ể ế
ầ
*Theo đ nh nghĩa ph n nguyên ta có th vi
34
(cid:0) y 20 (cid:0) (cid:0) (cid:0) y 36 1 0
(cid:0) (cid:0) (cid:0) y 0 34 16 36 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) y 34 16 2
ả
ượ
Gi
i ra ta đ
c
ậ
y nh n các giá tr 0,1,2.
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) y 1,2 1
8 17
8
ớ
ử ạ
*V i y=0 thì
Th l
ấ
i th y:
ị
2(cid:0)x
3
.
do đó
(cid:0) (cid:0) (cid:0) 3 0 (cid:0) (cid:0) 8
3 (cid:0) (cid:0) (cid:0) 17 (cid:0)
8 6 17
8
ậ
ử ạ
*V y y=1 thì
Th l
i
do đó
(cid:0) (cid:0) (cid:0) 3 .1 . (cid:0) (cid:0) 12
2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) 9 (cid:0)
6 3(cid:0)x
2 9
6
ậ
ử ạ
*V y y=2 thì
Th l
i
do đó
(cid:0) (cid:0) (cid:0) 3 .2 (cid:0) (cid:0) 6
28
3 (cid:0) (cid:0) (cid:0) 37 (cid:0)
18 7(cid:0)x
3 6 37
18
ổ ớ T 4.vip.pro.friendly – l p 10 Toán 120
̀ ề ấ ẳ
Truong THPT chuyên Lê Quý Đôn Chuyên đ B t đ ng
th cứ
2
3
Bài 2:
ứ
ượ ớ
ọ ố ự
ấ ẳ
ứ
Ta ch ng minh đ
c v i m i s t
nhiên n, ta có b t đ ng th c:
(cid:0) (cid:0) (cid:0) ươ ệ x x ; ; . Ph ng trình có ba nghi m x
1 2
3 3
2 7
3
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) n n n 1 4
ậ ậ
Th t v y, vì
(cid:0) (cid:0) (cid:0) nn n 2
2)1 (4 )1 2(
nên
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) n 2 nn
( )1 2 1
Do đó:
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) n n n n ( )1 2 21 nn
( )1 4 2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) n 1
(vì n, n+1,4n+2 không âm).
t:
n
ả
n
hay
n
2
4
ể ế
ừ ế
*T k t qu trên ta có th vi
(cid:0)2
1
ả
Gi
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
n
n
n
1
4
o
o
o
ồ ạ ố ự
i s t
Có nghĩa là t n t
ả
o tho mãn:
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
n
4
1
o
m
o
n
o
n
o
n
n
4
ả ử ố o(cid:0) N tho mãn:
s s n
(cid:0)2
nhiên m
(cid:0)2
ượ
ươ
ế
ng trình kép trên đ
ấ
B t ph
c vi
t thành:
2
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
o
2
o
o
o
o
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) m n n )1 ( 2( ))1 2(1)1 )1 nn
(4
o nn
(4
o
Vì
nên
2
o
o
2
o
o
o
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) m n N m n n ( 2( ))1 ( 2( ))1 2 .1
Suy ra
2
o
o
2
ế
ố ẵ
ư
ề
ả ử
s
(cid:0) (cid:0) m n 2(2 )1
ả
i n
(cid:0)2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) n n n 4 1
ồ ạ o, mo hay đi u gi
không x y ra.
(cid:0)2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) n n n 4 1
(cid:0)2
om là s ch n chia h t cho 4.
ế
2(2no+1) chia h t cho 4 d 2.
Do đó không t n t
(cid:0)
Mà ta luôn có
V y ậ (cid:0)
.
Bài 3:
ọ
ầ
ố ự ươ
ng c n tìm là x
ổ
ấ
G i các s th c d
Và không m t tính t ng quát, ta gi
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) n n n 4 1
1x
2
3
4
5
1, x2, x3, x4, x5
ả ử
s :
(1)
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x x x x 0
ổ ớ T 4.vip.pro.friendly – l p 10 Toán 121
̀ ề ấ ẳ
ả
ế
Theo gi
thi
t ta có:
2
Truong THPT chuyên Lê Quý Đôn Chuyên đ B t đ ng
th cứ
(2)
1
2
3
4
5
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x x x x x ( )
(3)
2
3
4
5
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x x x x ( ) x
1
3
2
4
5
(4)
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x x x x ( ) x
1
(5)
4
2
3
5
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x x x x ( ) x
1
(6)
2
3
4
ẳ
ể
ứ
1+ x2+ x3+ x4+ x5, các đ ng th c (1), (2), (3), (4), (5), (6) có th
5
ặ
Đ t S=x
t:ế
vi
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x x x x ( ) x
1
2
(cid:0) (cid:0) S ( )
2
2
2
(cid:0) (cid:0) x
1
x S x
1
x ( )
3
3
2
(cid:0) (cid:0) x S x ( )
4
4
2
(cid:0) (cid:0) x S x ( )
ả
ế
thi
5
5
t (1) ta có:
2
2
2
2
2
(cid:0) (cid:0) x S x ( )
Do gi
(7)
2
3
4
5
5
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) S x S x S x S x x ( ) ) ( ) ( ) ( ) x
1 x
1
ờ
ừ
1
5
ồ
*Ta có đ ng th i
(1))
x
(suy t
ừ
1
5
(suy t
(7)).
Ta suy ra:
2
2
2
2
2
S
(
x (cid:0)
x (cid:0) x
.
2
3
4
5
5
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) S S x S x S x S x x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x
1 x
1
ươ
ả
do đó x1= x2= x3=x4=x5.
Gi
ng trình
(8)
(cid:0) (cid:0) )0 x
1 )
i ph
ượ
Ta đ
c
(9)
)0 x
1 (cid:0)x
( 1
(cid:0)x
( 1 S
(
x (cid:0)
2
116
ệ
ử ạ
ủ
Nghi m c a (9) là
, th l
ấ
i ta th y đúng.
1
(cid:0)x x
1
1
16
Bài 4:
ệ
ệ
ầ ượ
t là s
1, s2, s3.
ễ
ứ
. Đáp s : xố 1= x2= x3=x4=x5= 1
16
3
suy ra
Ta kí hi u di n tích các tam giác MBC, MCA l n l
D dàng ch ng minh:
s
2
s
1
(cid:0) (cid:0) s s
1 (cid:0) (cid:0) (cid:0) . AA
1
MA
1 MA
MA
1 s
2
s
1 s
3
s
1
ổ ớ T 4.vip.pro.friendly – l p 10 Toán 122
̀ ề ấ ẳ
ươ
ự
T
3
Truong THPT chuyên Lê Quý Đôn Chuyên đ B t đ ng
th cứ
ta có:
s
1
s
2
(cid:0) (cid:0) s
s
2
s
1
s
2
s
s
3
3
ng t
MB
MB
1
MC
MC
1
(cid:0) (cid:0)
3
2
2
3
2
3
is
ọ
ấ
ệ
ẳ
ả
ỉ
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 6 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) s
1
s s
s s
s s
1
s ( )0 )1( MA
MA
1 MB
MB
1 MC
MC
1 s
2
s
1 s
3
s
1
3
2
*G i di n tích tam giác ABC là S.
ứ ủ
*D u đ ng th c c a (1) x y ra khi và ch khi:
S
3
ừ
ọ
T đây suy ra M là tr ng tâm tam giác ABC.
A
B
Bài 5:
S
1
ầ ượ
ệ
ủ
t là di n tích c a tam giác AOB
s
4
s
3
1.s2=s3.s4.
O
G i sọ 3, s4 l n l
và BOC.
ễ ứ
ả ử
ứ
s AB//CD, ta ch ng minh đ
ượ 3=s4.
c s
D ch ng minh: s
a)Gi
Xét s1+s2+s3+s4=S (1)
s
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) s s . s
1
Vì s3=s4 nên s3+s4 =
ể ế
ừ
T (1) ta có th vi
t:
D
C
2
(cid:0) 2 2 . ss
43 ss
21
2
s
1
2
2
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) s S s S 2 ( ) ss
21 s
1
ta suy ra
2
(cid:0) (cid:0) s S . s
1
ứ
b)Gi
ả ử
s
ta ch ng minh AB//CD
2
2
2
(cid:0) (cid:0) s S . s
1
Xét
hay
2
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) s S s S ( ) ( ) 2 . s
1 s
1 ss
21
2
Vì s1.s2=s3.s4 nên
(cid:0) (cid:0) (cid:0) s S 2 . s
1 ss
43
3
4
Do s3, s4>0 nên
(cid:0) (cid:0) s s 2 ss
43
nên
2
2
3
4
ẳ
ỉ
ấ
3=s4.
d u đ ng th c x y ra khi và ch khi s
*V i sớ 3=s4 ta ch ng minh không khó khăn:
ứ ả
ứ
s1+s3=s1+s4.
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) s s s s S 2 . s
1 ss
43 s
1
ổ ớ T 4.vip.pro.friendly – l p 10 Toán 123
̀ ề ấ ẳ
ằ
Truong THPT chuyên Lê Quý Đôn Chuyên đ B t đ ng
th cứ
ệ
Hai tam giác ABD và ABC có di n tích b ng nhau, suy ra AB//CD
Bài 6:
A
k
E
D
ắ
ạ
ng cao AH, nó c t DE t
i K.
K
ẻ ườ
K đ
ặ
Đ t AH=h, AK=k
*Ta có:
.
PDE
ABC
B
C
mà
H
P
(cid:0) (cid:0) . DE
BC kh
h
PDE
Do đó
ABC
ố
ổ
Ta có k, hk là hai s không âm mà k+(hk)=H không đ i, do đó tính k(h
S
S
DE (cid:0)
BC k
h (cid:0) ) ( (cid:0) S
S khk
2
h
ị ớ
ấ
ạ
ỉ
k) đ t giá tr l n nh t khi và ch khi k=hk hay
2
k (cid:0) . h
2
PDE
Do đó:
ABC
ứ
ả
Đó là đi u ph i ch ng minh.
ề
ườ
ị ớ
ủ
ấ
ạ
*DE là đ
ng trung bình c a ∆ABC thì ∆PDE đ t giá tr l n nh t.
K
D
C
Bài 7:
E
ọ
ể
s
P
F
1
s
ầ ượ
ệ
t là di n tích
2
ệ
A
B
H
ứ
ễ
ấ ẳ
ứ
ượ
c:
ư
G i E, F, H, K là các giao đi m nh
trong hình v .ẽ
G i sọ 1, s2, s3, s4 l n l
các hình bình hànhAEPH, EDKP, PKCF, HPFD
và S là di n tích ABCD.
*D dàng ch ng minh s
1.s3= s2. s4
s1
ụ
*Vì s1.s3= s2. s4 >0 nên ta áp d ng b t đ ng th c côsi, ta đ
(cid:0) ) ( (cid:0) (cid:0) (cid:0) . S
S 1
4 khk
2
h h
4
2
h
ớ ổ T 4.vip.pro.friendly – l p 10 Toán 124
̀ ề ấ ẳ
Truong THPT chuyên Lê Quý Đôn Chuyên đ B t đ ng
th cứ
3
(cid:0) (cid:0) s 2 ss
31 s
1
2
4
(cid:0) (cid:0) s s 2 ss
31
1
2
3
Suy ra
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) s s s s
4 (cid:0) (cid:0) ss
31 a S
4
ề ớ
ơ
thì
Do đó s1,s3 đ u l n h n
ơ
ớ
ệ
V y t n t
i s
di n tích ABCD.
ậ ồ ạ 1 ho c sặ 3 không l n h n
(cid:0) . ss
31 S
4 S
16
Bài 8:
ệ
ủ
ấ
ứ
ươ
ươ
ệ
ng trình.
ậ
ng trình không nh n nghi m nào khác
ươ
ể ế
ộ
Ta th y x=2 là m t nghi m c a ph
ằ
Ta c ng minh r ng ngoài x=2, ph
n a.ữ
ậ ậ
Th t v y, ph
t:
ng trình đã cvho có th vi
2
2
1
4
x
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 1 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 3
5 4
5
ế
a)N u x>2 thì
x
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 3
5 3
5
và
4
5
4
5
x
x
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
Nên
ế
ươ
ấ
ng trình đã cho.
ả
ặ
ố
ớ
ố
ươ
b)N u x<2:
ề
*Ta th y x=1, x=0 đ u không tho mãn ph
*V i x là các s nguyên âm, ta đ t x=y thì y là s nguyên d
ng.
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 1 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 3
5 4
5
y
x
y
y
x
y
y
y
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) . (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 3
5 3
5 5
3 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) . (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 4
5 4
5 5
4
ượ
ứ
Ta cũng ch ng minh đ
c
khác 1.
ỵ ươ
ệ
ấ
Vâ ph
ng trình đã cho có nghi m duy nh t là x=2.
Bài 9:
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 5
3 5
4
ớ ổ T 4.vip.pro.friendly – l p 10 Toán 125
̀ ề ấ ẳ
ề
(cid:0) x(cid:0) 6
*Đi u ki n 4
Ta th y xấ
ệ
210x+27=(x5)2+2(cid:0) 2
2
2
Truong THPT chuyên Lê Quý Đôn Chuyên đ B t đ ng
th cứ
ặ
ừ ấ ẳ
ứ
M t khác t
b t đ ng th c
2
2
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) A B (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 2 BA
2
x
x
x
x
4
6
(
)4
6(
)
Ta có:
1
2
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
Hay
*Ta suy ra:
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x x 4 6 .2
x210x+27=2 (1)
(2)
ả
ượ
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x .2 6
i (1) ta đ
ế ằ
ị
ươ
ệ
ậ
Gi
ấ
Thay x=5 vào (2) ta th y giá tr hai v b ng nhau.
ng trình có nghi m là x=5.
V y ph
Bài 10:
ả
ế
ừ
ố ươ
(1), (2), (3) ta có
ng và t
Theo gi
t x, y, z là các s d
ủ
ng trình khi hoán v vòng quanh
x
z
y
x
ấ
ả ử
ấ
ị
ố ớ
s x là s l n nh t.
ố
ệ
nên không m t tính t ng quát ta gi
ừ
ừ
ừ
thi
x2>1, y2>1, z2>1.
ươ
ứ
*Do tính đ i x ng c a h ph
ổ
x(cid:0) y(cid:0) z
y=x21 (4)
z=y21 (5)
x=z21 (4)
*T (1) suy ra
*T (2) suy ra
*T (3) suy ra
ả ử (cid:0) y nên z21(cid:0) x21 hay z2(cid:0) x2
s x
mà x, y, z là các số
ươ
d
ứ
ả ử (cid:0) z, mà ta có z(cid:0) x, do đó ta suy ra x=z. Ch ng minh
s x
ươ
t
ề
Theo đi u gi
(cid:0) x.
ng, nên z
ề
Theo đi u gi
ự
x=y.
ng t
ươ
ả
i ph
*Gi
ng trinh x
2x=1 hay x2x1=0
1 (cid:0)
x
4
c x=5.
ượ
ệ
ớ
v i x>0 ta đ
c nghi m:
5 (cid:0)x . 2
ệ ươ
ệ
*H ph
ng trình có nghi m x=y=z=
.
1(cid:0) 5
ử ạ
ấ
ợ
Th l
i ta th y thích h p.
2
ổ ớ T 4.vip.pro.friendly – l p 10 Toán 126
̀ ề ấ ẳ
Bài 11:
(cid:0) 0
ể ế
ề
a) Đi u ki n x
ươ
b) *Ph
ệ
ng trình đã cho có th vi
t:
2
Truong THPT chuyên Lê Quý Đôn Chuyên đ B t đ ng
th cứ
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x x x x 4 8 16 2 4 16 0
2
2
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x x x x ( 4 (8)4 2 0 22
2 )1( (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x x ( )2 8 0 2
Ta luôn có:
2
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x x 9 )2 (,0 )2 .0
ươ
ươ
ớ ệ
Do đó
t
ng đ
ng v i h
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x x ( )2 8 2 0
ả
ượ
i (2) ta đ
c x=2.
ệ
ạ
ả
ấ
*Gi
ấ
Thay x=2 vào (3) ta th y nghi m đúng. Ta l
ề
i th y 2>0 tho mãn đi u
(cid:0) 0.
ươ
ki n xệ
Ph
ề
ệ
c) Đi u ki n x
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) x ( )2 (cid:0) )2( (cid:0) 0
2 (cid:0) )3( (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x 2 0
ệ
ng trình có nghi m x=2.
(cid:0) 0. Ta có:
x
2
2
.)2
2 (cid:0)
ọ
ớ
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x x 22 (
v i m i x không âm.
Mà
ệ
)2 0
ng trình đã cho vô nghi m.
Ph
Bài 12:
ấ
ệ
ộ
ị
ạ
i
ơ ữ
ơ
ủ ệ
ộ
Ta th y x=y=x=0 là m t nghi m c a h .
ị
ậ
ẩ ố
*Khi m t trong ba n s x, y ,z nh n giá tr khác 0 thì các giá tr còn l
ề ớ
cũng khác 0 và h n n a, chúng đ u l n h n 0.
2
2
(cid:0)x
(
ươ
*Ta có:
2
2
2
zyx
2
y
2
2
2
(cid:0) xyz (cid:0) (cid:0) (cid:0) x z 8
1)( 1)( 1( )
ươ
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) xyz x z 8 1)( 1)(
ệ
ở
Hay
Ph
).
ặ 1(
ớ y
ề
ng trình trên v i các đi u ki n đ t ra tr thành:
ư
ớ
*Nh ng v i x, y, z> ta luôn có:
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x y z .8 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 1
x 1
y 1
z
ổ ớ T 4.vip.pro.friendly – l p 10 Toán 127
̀ ề ấ ẳ
Truong THPT chuyên Lê Quý Đôn Chuyên đ B t đ ng
th cứ
ỉ
ệ
ươ
ng trình đã cho.
ủ
ệ
ng trình trên có hai nghi m (x, y, z)=(0, 0, 0)
ứ ả
ẳ
ấ
D u đ ng th c x y ra khi và ch khi x=1 ; y=1 ; z=1.
ấ
ẻ ạ
i ta th y x=y=z=1 là nghi m c a ph
Th l
ệ ươ
ậ
V y h ph
và (x, y, z)= (1, 1, 1).
Bài 13:
ề
ệ
Đi u ki n 1≤x≤1.
ứ
ấ ẳ
*Theo b t đ ng th c Côsi ta có:
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x y z ;2 ;2 .2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 1
x 1
y 1
z
2
4
4
4
4
(cid:0) (cid:0) (cid:0) x x 1 1 )1( (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x x x 1 1( 1)( ) 2 (cid:0) (cid:0) x 1 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) )2( x x 1 1(1 )
4
4
ừ
*T (1), (2), (3) suy ra:
2
4
4
4
(cid:0) (cid:0) x 1 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) )3( x x 1 1(1 ) 1
2
1
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x x x x x 1 1 1 1 1 1
ấ ẳ
ấ
ỉ
ứ ả
*D u b t đ ng th c x y ra khi và ch khi:
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x x (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 1 .3 11
2 11
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) x x 1 1 )4(
(cid:0) (cid:0) )5( x 1 1
ượ
c x=0.
ấ
ươ
ả ệ ươ
i h ph
Gi
ạ
ể
*Ki m tra l
ng trình này ta đ
ả
i th y x=0 tho mãn nên ph
ệ
ng trình đã cho có nghi m
x=0.
)6( (cid:0) (cid:0) x 1 1
ớ ổ T 4.vip.pro.friendly – l p 10 Toán 128
̀ ề ấ ẳ
Truong THPT chuyên Lê Quý Đôn Chuyên đ B t đ ng
th cứ
ươ
ơ ở ………………………………………
ng 1 : Cac b
ơ
ố
ạ
ẳ
ấ
ứ
1.1.
ả
c b n
Các b t đ ng th c đ i s
ể
ấ ẳ
ậ
ể
ơ ủ
ượ ấ
ố
ơ ủ
BunhiaC pxki
ấ ẳ
ậ
ấ ẳ
́
́
ư
́
ư
́
ư
̉ ̉
̉
́
ấ ẳ
ệ
ế
ề
ấ ẳ
ấ ẳ
́
ư
ứ ố ứ
ứ
ứ
ệ
̉
̀
́
̣
ươ
́
ấ ủ ấ ẳ
̉ ươ
ươ
ứ
́
ng đ
̀
́
ạ
ứ
ả
ứ ậ
ứ
ộ ố ấ ẳ
ụ
ị
̣
́
̀
̀
̣
ươ
́
ng 3 : Ap dung vao môt sô vân đê khac
ử ụ
̀
́
ị
ề
ấ ẳ
ứ
ụ
ậ
ả
i toán …………………….
̣ ̣
ụ ụ
M c l c
̀
́
́
ươ
c đâu c s
Ch
05
…………………………...06
ứ Cauchy …………………………………06
1.1.1. B t đ ng th c
ọ
1.1.1.1 Kĩ thu t ch n đi m r i c a BĐT
Cauchy ……………..09
1.1.1.2 Kĩ thu t ậ Cauchy ng
c d u ………………………… 14
ứ BunhiaC pxki
1.1.2. B t đ ng th c
……………………… 17
ọ
ố
1.1.2.1 Kĩ thu t ch n đi m r i c a BĐT
……..20
ứ Jensen ………………………………… 25
1.1.3. B t đ ng th c
́
́
1.2. Cac đăng th c, bât đăng th c trong tam giac …………….. 27
1.2.1. Đăng th c …………………………………………….. 27
1.2.2. Bât đăng th c ………………………………………… 29
1.3. B t đ ng th c đ i x ng ba bi n …………………………. 30
1.3.1 B t đ ng th c không có đi u ki n ………………….. 30
ề
1.3.2 B t đ ng th c có đi u ki n ………………………….. 31
1.4. Bai tâp …………………………………………………… 33
́
ư
ươ
………………………… 34
Ch
ng phap ch ng minh
ng 2 : Cac ph
ng, các tính ch t c a b t đ ng th c ….
2.1. Biên đôi t
35
́
ử
ơ ở
ươ
2.2. S dung cac b
c đâu c s ………………………………38
̀
́
̀ ́
ư
ươ
2.3. Đ a vê vector va tich vô h
ng …………………………. 41
ươ
2.4. Ph
ng pháp quy n p …………………………………….. 45
ươ
2.5. Ph
ng pháp ph n ch ng ………………………………… 47
ươ
ng pháp dùng tam th c b c hai ………………………49
2.6. Ph
ử ụ
2.7. S d ng m t s b t đ ng th c ph ………………………..
52
2.8. S d ng đ nh lí Viét ……………………………………… 58
2.9. Bai tâp …………………………………………………. 61
́
……………………… 63
Ch
3.1. Đ nh tính tam giác ……………………………………….. 64
3.1.1. Tam giác đ u …………………………………………. 64
3.1.2. Tam giác cân …………………………………………. 67
3.1.3. Tam giác vuông ………………………………………. 70
3.2. V n d ng b t đ ng th c vào gi
71
ổ ớ T 4.vip.pro.friendly – l p 10 Toán 129
̀ ề ấ ẳ
ậ
́
́
́
̀
Truong THPT chuyên Lê Quý Đôn Chuyên đ B t đ ng
th cứ
ươ
́
̣ ̣
̉
́
́
ng 4 : Môt sô chuyên đê bai viêt hay, thu vi liên quan đên bât
ư …………………………………………………………………..
ề
ệ
ứ
ạ ố
ề ộ ấ ẳ
ủ
ụ
Ứ
ứ
ệ
ứ
ồ ủ
ử ở ề ộ
ừ ộ
ượ
ề ấ ẳ
ứ
ộ
ườ
ữ
ng. …………… 93
̀
ươ
̉
ư
ng 5 : Bât đăng th c nh thê nao la hay ?
́
ộ ạ
̀
́
́
́
̀
́
́
̀
́
̉ ̣ ̉
ươ
̉ ̣
ư …………….. 100
………………………………
3.3. Bài t p ……………………………………………………. 74
̀
Ch
đăng th c.
76
ứ
4.1. V m t b t đ ng th c có nhi u cách ch ng minh …………. 77
ấ
4.2. ng d ng c a đ i s vào vi c phát hi n và ch ng minh b t
ẳ
đ ng th c trong tam giác …………………………………………………..
80
ng giác ………………… 86
4.3. Th tr v c i ngu n c a môn L
4.4. T m t bài toán quen thu c v b t đ ng th c ………………
89
4.5. Nh ng bài toán không thu c d ng thông th
́
ư
Ch
Lam sao co thê sang tao bât đăng th c ?
̃
ươ
ng 6 : H ng dân giai bai tâp
Ch
103
ớ ổ T 4.vip.pro.friendly – l p 10 Toán 130
̀ ề ấ ẳ
̀
Truong THPT chuyên Lê Quý Đôn Chuyên đ B t đ ng
th cứ
̣ ̉
́
́
́
̣ ̣ ̉ ̉ ̣
́
́
̣ ̉ ̣
́
̉ ̣ ̣ ̣ ̉ ̉ ̣
̉ ̣ ̣ ̣ ̉ ̉ ̣
́
́
̣ ư ượ
̉ ̣
ng
̀
́
́
̉ ̣ ̣ ̣ ̣
̀
̀
́
́
̀
́
ư
́
ư
̣ ̉ ̣ ̉
̀
̃
́
ươ
́
́
́
ư
̣ ̉ ̣ ̉
́
̀
́
ươ
̉ ̣
́
̉
̀
̀
́
̃
́
̀
́
ư
̣ ượ
ự
̣ ̉ ̣
́
ng phap chuyên đê bât đăng th c va c c tri l
ng giac (Nguyên
ươ
̀
̃
́
ượ
̉
́
ng giac
́
̉ ̣ ̣ ̣
ng giac THPT (Phan Huy Khai)
̃
̃
́
̉
Tai liêu tham khao :
www.diendan3t.net
www.mathnfriend.net
www.truongtructuyen.vn
www.nxbgd.com.vn/toanhoctuoitre
www.diendantoanhoc.net
www.toanthpt.net
́
́
Tap chi Toan hoc & Tuôi tre (NXB Giao duc)
́
ơ
Tap chi Toan tuôi th 2 (NXB giao duc)
́
Tuyên tâp 5 năm tap chi Toan hoc & Tuôi tre (NXB giao duc)
́
́
Tuyên tâp 30 năm tap chi Toan hoc & Tuôi tre (NXB giao duc)
Tuyên tâp Olympiad 30/4
̀
Tuyên tâp cac chuyên đê luyên thi đai hoc môn Toan – Hê th c l
ng)
giac (Trân Ph
́
ơ
10000 bai toan s câp – Tâp 2 : Bât đăng th c đai sô (Phan Huy Khai)
́
ơ
10000 bai toan s câp – Tâp 3 : Bât đăng th c hinh hoc (Phan Huy Khai)
́
̀
̀
Bât đăng th c hinh hoc (Vu Đinh Hoa)
́
́
́
́
ư
ư
ng phap ch ng minh bât đăng th c (Trân Tuân Anh)
Cac ph
́
́
ư
Sang tao bât đăng th c (Pham Kim Hung)
23 ph
̃
́
ư
Đ c Đông – Nguyên Văn Vinh)
̀
Tuyên tâp 200 bai thi vô đinh toan – Tâp 6 : L
́
ượ
Toan nâng cao l
́
́
̀
ư
263 bai toan bât đăng th c chon loc (Nguyên Vu Thanh)
̉ ̣ ̣
ớ ổ T 4.vip.pro.friendly – l p 10 Toán 131
̀ ề ấ ẳ
̀
́
́
̀
̃
Truong THPT chuyên Lê Quý Đôn Chuyên đ B t đ ng
th cứ
́
̃
́
ươ
́
ư ư
̉ ̣ ̣
̃
̉ ̉ ̣
́
́
̃
́
̀
̀
́
ư
́
ư
̣
̃
ng phap giai toan bât đăng th c c c tri (Nguyên Văn Nho – Nguyên
̃
ng phap giai 555 bai toan bât đăng th c đai sô (Nguyên Đ c Đông –
ươ
̃
̃
́
ư
Bât đăng th c va môt sô vân đê liên quan (Nguyên Văn Mâu)
́
́
Ph
̀
́
Tiên Dung – Nguyên Viêt Ha)
́
Ph
Nguyên Văn Vinh)
̉ ̉ ̣
ổ ớ T 4.vip.pro.friendly – l p 10 Toán 132
![Tài liệu tham khảo Tiếng Anh lớp 8 [mới nhất/hay nhất/chuẩn nhất]](https://cdn.tailieu.vn/images/document/thumbnail/2025/20250806/anhvan.knndl.htc@gmail.com/135x160/54311754535084.jpg)
![Phiếu bài tập cuối tuần Tiếng Việt 1 tuần 2 đề 2: [Hướng dẫn chi tiết]](https://cdn.tailieu.vn/images/document/thumbnail/2025/20250728/thanhha01/135x160/42951755577464.jpg)
