N
A
A' H
O
( )
( ')
WWW.ToanCapBa.Net
CHYÊN Đ HÌNH CHÓPỀ
CHYÊN Đ HÌNH CHÓPỀ
GÓC – KHO NG CÁCHẢ
Quan h song song – vuông góc là m t m ng vô cùng quan tr ngệ ộ ả ọ
trong ch ng trình hình h c không gian nói chung và trong nh ng bài toán có liênươ ọ ữ
quan đ n hình chóp nói riêng. Và m t trong nh ng ng d ng quan tr ng nh tế ộ ữ ứ ụ ọ ấ
c a quan h song song – vuông góc trong vi c gi i các bài toán hình h c khôngủ ệ ệ ả ọ
gian cũng nh các bài toán có liên quan đ n hình chóp là tìm góc và kho ngư ế ả
cách.Ta đ n v i nh ng bài toán sau:ế ớ ữ
Bài 1: Cho (∆),(∆′ ) cheo nhau, co AA ′ la đ ng vuông goc chung cua ( ươ ∆) va
(∆′ ) (A′ ∈ (∆′ ) va A ∈ (∆)). Goi (P) la măt phăng ch a A va vuông goc v i ( ư ơ ∆′ ),
con (Q) // (P) căt ( ∆) va (∆′ ) lân l t tai M va M ươ ′. Goi N=ch M/(P). Đăt γ = (∆,
(P)), ∠MAM′ = α, ∠M′AA′ = β. Tim môi quan hê cua α,β,γ.
Giai :
* Vi (P) ⊥ (∆′ ) va AA′ ⊥ (∆′ ), A
∈ (P)
⇒ AA′ ⊂ (P)
* AA′ // (Q) MA′ //
MN
M′A′ ⊥ (P) ⇒ M′M // A
′N
⇒ M′MNA′ la hinh ch nhât ư
N = ch M/(P) M′A′ ⊥
A′N
Đăt MN = x. Ta co
AA′2 = A′M2 – AM2
= A′N2 + MN2 – (AN2 + MN2)
= A′N2 – AN2
1
WWW.ToanCapBa.Net
S
A
B
C
F
E
I
WWW.ToanCapBa.Net
⇒ A′A ⊥ AN
* Dê dang thây đ c ươ γ = ∠MAN. Trong măt phăng (M ′AM), ta co:
M′M2 = A′A2 + AN2 = M′A2 + MA2 – 2M′A.MA.cos α
Ma A′A = cot β.x
AN = cot γ.x
M′A =
sin
x
β
MA =
sin
x
γ
⇒ x2(cot2β + cot2γ) = x2
2 2
1 1 cos
2
sin sin sin .sin
α
β γ β γ
� �
+ −
� �
� �
⇔ cot2β + cot2γ = 2 + cot2β + cot2γ -
cos
2sin .sin
α
β γ
⇔ cos α = sin β.sin
Bài 2: Cho t diên vuông S.ABC. M la môt điêm bât thuôc ư ∆ABC, I la trung điêm
AB. Gia s CA = 2SB, CB = 2SA. Ke SE ư ⊥ CA, SF ⊥ CB. CMR:
a. SC ⊥ EF b.
4
4
tan ( ) 1
tan ( )
SCI EB
SCA AB
+ =
Giai :
* Ta co SC2 = BC2 – SB2 =
4SA2 – SB2
SC2 = AC2 – SA2 =
4SB2 – SA2
⇒ SA = SB ⇒ AC = AB
* SE =
.SC SA
AC
SF =
⇒ SE = SF
2
WWW.ToanCapBa.Net
B C
A D
S
M
N
WWW.ToanCapBa.Net
T đây ta dê dang suy ra: EF // AB ma SC ư ⊥ (SAB) nên EF ⊥ SC
* Ta co :
2
2
2
SC
EF CE SC
AC
AB CA AC AC
= = =
Măt khac: AB =
2
.SA (do ∆SAB vuông cân)
=
2
2
AC
⇒EF =
2 2
2
2.
2
SC SC
AC AC
=
Lai co:
1
2
SA
AC =
⇒ ∠SAC =
3
π
⇒
3
cos cos
2 3 6 2
CS
AC
π π π
� �
= − = =
� �
� �
CS =
2 2
AC SA−
=
3SA
=
6
2AB
Do đo: EF =
2 3 6
. . .
222AB
=
3
4AB
⇒
3
4
EF
AB =
(1)
* tan SCI =
1
6
2
6
6
2
AB
SI
SC AB
= =
tan SCA =
3
3
3
SA SA
SC SA
= =
⇒
4
4
tan 1
tan 4
SCI
SCA =
(2)
* T (1),(2) suy ra: ư
4
4
tan ( ) 1 3 1
tan ( ) 4 4
SCI EB
SCA AB
+ = + =
(đpcm)
Bài 3: Trong (P) cho ABCD la hinh vuông canh a. Lây M,N ∈ CB va CD. Đăt
CM = x, CN = y. Trên At ⊥ (ABCD)
lây S. Tim x,y đê:
a. ((SAM),(SAN)) =
4
π
b. ((SAM),(SMN)) =
2
π
Giai :
3
WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net
a. AM ⊥ SA, AN ⊥ SA ⇒ ∠MAN = ((SAM),(SAN))
SA = (SAM) ∩ (SAN)
Đê ((SAM),(SAN)) =
4
π
thi ta co:
cos MAN =
2 2 2
2
2 2 .
AM AN MN
AM AN
+ −
=
⇔
2 2 2 2
2. ( ) . ( )a a x a a y+ − + −
= a2 + (a – x)2 + a2 + (a – y)2 – (x2 + y2)
⇔ 2[a2 + (a – x)2].[a2 + (a – y)2] = [4a2 – 2a(x + y)]2
⇔ a4 + a2[2a2 – 2a(x + y) + x2 + y2] + (a2 + x2 – 2ax)(a2 + y2 – 2ay) = 2[2a2 – a(x +
y)]2.
⇔ a4 + 2a4 – 2a3(x + y) + a4 + a2(x2 + y2) + 4a2xy – 2a3(x + y) + x2y2 – 2axy(x + y)
= 8a4 – 8a3(x + y) + 2a2(x2 + y2) + 4a2xy
⇔ x2y2 + 4a3(x + y) = 2axy(x + y) +4a4
b. Gia s (SAM) ư ⊥ (SMN)
D ng NMư ′ ⊥ SM ( M′ ∈ SM). Ta co :
'' ( )
( ) ( )
NM SM NM SAM
SM SAM SMN
⊥
⊥�
=
⇒ NM′ ⊥ SA
Măt khac: SA ⊥ (ABCD) ⇒ SA ⊥ NM
Do đo: M ≡ M′
⇒ MN ⊥ (SAM)
⇒ MN ⊥ AM
Vây đê (SAM) ⊥ (SMN) thi ta phai co: AM 2
+ MN2 = AN2
⇔ a2 + (a – x)2 + x2 + y2 = a2 + (a – y)2
⇔ 2x2 = 2ax – 2ay
⇔ x2 = a(x – y).
Bài 4: Cho hinh chop S.ABCD co SA ⊥ (ABCD) va SA = a
2
. ABCD la hinh
thang vuông tai A, D. AB = 2a, AD = CD = a
a. Tinh goc (S, BC, A) va (A, BS, C)
4
WWW.ToanCapBa.Net
D C
A B
S
E
H
I
K
WWW.ToanCapBa.Net
b. Tinh goc ((SBC),(SCD))
Giai :
* Xet mp (ABCD)
+ Goi H = ch C/AB
⇒ AHCD la hinh vuông, ∆CHB
la tam giac vuông cân.
⇒ ∠CAB =
2
π
hay CA ⊥ CB
•T gia thuyêt ta dê dangư
co đ c: SB = a ươ
6
,
•BC = AC = a
2
, SD = a
3
⇒ SC = 2a
⇒ SC2 + BC2 = SB2.
⇒ SC ⊥ CB
•Do đo: (S, BC, A) =
∠SCA =
4
π
.
+ Goi K = ch A/SB
I = ch A/SC
( )
SC CB CB SAC
AC CB
⊥⊥�
�
⊥
⇒ AI ⊥ BC ma AI ⊥ SC ⇒ AI ⊥ (SBC)
⇒ AI ⊥ SB ⇒ SB ⊥ (AIK)
AK ⊥ SB
⇒ KI ⊥ SB ⇒ (A, SB, C) = ∠AKI
Dê thây:AI = a
AK =
2.2 2 3
.3
6
a a a
a=
. . 2 3
3
6
SI KI SI BC a a
KI a
SB BC SB a
= = = =�
⇒ AI2 + KI2 = a2 +
2
3
a
=
2
4
3
a
= AK2
⇒ ∆AKI vuông tai I
⇒ sin AKI =
3
2
2 3
3
AI a
AK a
= =
5
WWW.ToanCapBa.Net