Chuyên đề: Rút gọn các biểu thức chứa căn bậc hai và một số bài toán phụ

Chia sẻ: Nguyễn Huy | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:21

Thêm vào BST

Báo xấu

1.224
lượt xem 70
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Chuyên đề "Rút gọn các biểu thức chứa căn bậc hai và một số bài toán phụ" giới thiệu đến các bạn những nội dung về các kiến thức về căn bậc hai, các bài toán rút gọn, rút gọn các biểu thức không chứa biến,... Đây là tài liệu tham khảo hữu ích cho các bạn đang học và ôn thi môn Toán.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chuyên đề: Rút gọn các biểu thức chứa căn bậc hai và một số bài toán phụ

Chuyên đề: RÚT GỌN CÁC BIỂU THỨC CHỨA CĂN BẬC HAI VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN PHỤ I- KIẾN THỨC LÝ THUYẾT LIÊN QUAN 1, KIẾN THỨC 6, 7, 8 QUAN TRỌNG CẦN NHỚ. A.M A a, Tính chất về phân số (phân thức):  ( M  0, B  0) B.M B b, Các hằng đẳng thức đáng nhớ: +) (A + B)2 = A2 + 2AB + B2 +) (A - B)2 = A2 - 2AB + B2 +) A2 - B2 = (A - B)(A + B) +) (A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 +) (A - B)3 = A3 - 3A2B + 3AB2 - B3 +) A3 + B3 =(A + B)(A2 - AB + B2) +) A3 - B3 =(A - B)(A2 + AB + B2) 2, CÁC KIẾN THỨC VỀ CĂN BẬC HAI 1) Nếu a ≥ 0, x ≥ 0, a = x  x2 = a 2)Để A có nghĩa thì A ≥ 0 3) A2  A 4) AB  A. B ( với A  0 và B  0 ) A A 5)  ( với A  0 và B > 0 ) B B 6) A 2 B  A B (với B  0 ) 7) A B  A 2 B ( với A  0 và B  0 ) A B   A 2 B ( với A < 0 và B  0 ) A AB 9)  ( với AB  0 và B  0 ) B B A A B 10)  ( với B > 0 ) B B C C ( A  B) 11)  2 ( Với A  0 và A  B2 ) AB A B C C( A  B ) 12)  ( với A  0, B  0 và A  B ) A B A B II. CÁC BÀI TOÁN RÚT GỌN: 1. RÚT GỌN CÁC BIỂU THỨC KHÔNG CHỨA BIẾN
1.1/Rút gọn nhờ sử dụng hằng đẳng thức A2  A *)Ví dụ 1: Rút gọn: a) (3) 2  (8) 2 ; b) (3  5 ) 2 c) (1  2 ) 2  (1  2 ) 2 d) ( 5  3) 2  (2  5 ) 2 Giải: a) (3) 2  (8)2  3  8  3  8  11 b) (3  5)2  3  5  3  5 c)     (1  2)2  (1  2) 2  1  2  1  2  1  2  1  2  1  2  1  2  2 d) ( 5  3)2  (2  5) 2  5 3  2  5   5 3 2  5 1 *)Ví dụ 2: Rút gọn: a) A= 42 3 b) B = 14  8 3 .( 2 2  6) ; c) C = 74 3 + 74 3 d) D = 52 72 6 Giải: a) A = 3  2 3  1  ( 3  1) 2  3 1  3 1 b) B = 14  8 3 .( 2 2  6) = 14  2 48 (2 2  6 ) = 8  2 8. 6  6.( 8  6 ) = ( 8  6 ) 2 ( 8  6 )  ( 8  6 )( 8  6 )  8  6  2 c) C = 74 3 + 74 3 = 7  2.2 3  7  2.2 3  (2  3 ) 2  (2  3 ) 2 = 2- 3 +2+ 3 =4 d) D = 52 72 6  5  2 6  2 6  1  5  2 ( 6  1) 2  5  2( 6  1)  7  2 6 = ( 6  1) 2  6  1
*)Ví dụ 3: Rút gọn A= 2 3  2 3 Giải: 2 2 Cách1: 2A = 4  2 3  4  2 3  3  2 3 1  3  2 3 1    3 1    3 1  3  1  3  1  3 1  3  1  2 3 Suy ra A = 6 Cách 2: Ta có: A2 = 2  3 2 43 2 3  6 Do A > 0 nên A = 6 *)Bài tập: 2 2 2 Bài 1: Tính: a) 1  3   3 b) 2  3  1  3  Bài 2: Tính: a) 8  2 7 b) 4 7  4 7 c) 3 5  3 5 Bài 3: Rút gọn A = 3  1  21  12 3 Bài 4: Rút gọn A = 62 32 2 2 6 1.2/ Rút gọn vận dụng các quy tắc khai phương, nhân chia các căn bậc hai: *)Ví dụ 1:Tính 1 3 a) 14 . 56 b) 3 . 3 . 12 c) 4 7. 4 7 2 7 Giải: a) 14 . 56 = 14.56  14.14.4  14 2.4  14 2. 4  14.2  28 1 3 7 24 7 24 b) 3 . 3 . 12  . . 12  . .12  12 2  12 2 7 2 7 2 7 c) 4  7. 4  7   4  7  4  7   16  7  9  3 *)Ví dụ 2: Rút gọn: a) 5  20  80 b) 3  12  3 2. 24
Giải: a) 5  20  80  5  2 5  4 5  (1  2  4) 5   5 b) 3  12  3 2. 24  3  2 3  3.2.2. 3  (1  2  12) 3  15 3 *) Bài tập: 7 24 36 Bài 1: Tính: a) 12 . 75 b) 2 . 1 . c) 0,04.25 ; d ) 90.6,4 9 25 25 e) 9  17 . 9  17 Bài 2: Rút gọn: a) 12  5 3  48 b) 5 5  20  3 45 c) 2 32  4 8  5 18 d) 3 12  4 27  5 48 e) 12  75  27 f) 2 18  7 2  162 1.3/ Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai ở mẫu vận dụng trục căn thức ở mẫu bằng phương pháp nhân liên hợp. *)Ví dụ 1: Trục căn ở mẫu các biểu thức sau 1 1 1 1 1 a) b) c) d)  3 2 2 3 1 2 1 3 1 3 Giải: 1 3 2 3 2 a)    1; 3  2 ( 3  2)( 3  2) 3 2 1 2 3 b)   2 3 2 3 43 1 1 2 c)   (1  2) 1 2 1 2 1 1 1 3 1 3 1  3 1  3 1  3  (1  3 ) d)  =     1 3 1 3 (1  3 )(1  3 ) (1  3 )(1  3 ) 1 3 1 3 2 1  3 1  3 2 3 =   3 2 2 7 11 *)Ví dụ 2: Trục căn ở mẫu: a) b) 53 2 2 3 1
Giải: a) 7   7 53 2   7 53 2   53 2   5  3 2 (5  3 2) 5  3 2  25  18 b) 11   11 2 3  1   11 2 3  1   2 3 1   2 3  1 (2 3  1) 2 3  1  12  1 *)Ví dụ 3: Rút gọn: A =  2  2  2 3  4  :  5 3 5 3  32 *)Bài tâp: Rút gọn các biểu thức sau: 1 2 2 3 3 a)  3 b)  c)  2 3 3 1 3 1 3  1 1 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 d)        1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 1.4/ Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai ở mẫu nhờ phân tích thành nhân tử: *) Ví dụ 1: Rút gọn các biểu thức: 3 3 3 6 2 8 a) b)  3 1 1 2 1 2  3 3   3 3  5  7 5 11  11 c)  2   .  2   d)   3 1   3  1  5 1  11 Giải: a) 3 3   3 3 1  3  3 1 3 1 b) 3 6 2 8   3 1 2 2 1 2   3 2    1 2 1 2 1 2 1 2 c)   3 3    3 3    3 3 1    2  3   3 1    2 .   2  2    3 1   3 1   3 1  3 1    
    2  3 . 2 3  4 3 1 d) 5  7 5 11  11   5  57  11   11  1 5  7  11 5 1  11 5 11  1 *)Bài tâp: Rút gọn các biểu thức sau: 15  12 5  5 10 a) b)  52 5 1 5  5 5   5 5  23 2 5 5 c)  1   .  1   d)   5  1  5  1  2 1 5 2. RÚT GỌN CÁC BIỂU THỨC CHỨA BIẾN VÀ CÁC BÀI TOÁN PHU 2.1/CÁC BƯỚC THỰC HIÊN PHẦN RÚT GỌN: Bước: Tìm ĐKXĐ của biểu thức (Nếu bài toán chưa cho)(Phân tích mẫu thành nhân tử, tìm điều kiện để căn có nghĩa, các nhân tử ở mẫu khác 0 và phần chia khác 0) Bước :Phân tích tử và mẫu thành nhân tử (rồi rút gọn nếu được). Bước :Quy đồng, gồm các bước: + Chọn mẫu chung: là tích củc nhân tử chung và riêng, mỗi nhân tử lấy số mũ lớn nhất. + Tìm nhân tử phụ: lấy mẫu chung chia cho từng mẫu để được nhân tử phụ tương ứng. + Nhân nhân tử phụ với tử – Giữ nguyên mẫu chung. Bước : Bỏ ngoặc: bằng cách nhân đa thức hoặc dùng hằng đẳng thức. Bước : Thu gọn: là cộng trừ các hạng tử đồng dạng. Bước : Phân tích tử thành nhân tử (mẫu giữ nguyên). Bước :Rút gọn. Lưu ý: Bài toán rút gọn tổng hợp thường có các bài toán phụ: tính giá trị biểu thức khi cho giá trị của ẩn; tìm điều kiện của biến để biểu thức lớn hơn (nhỏ hơn) một số nào đó; tìm giá trị của biến để biểu thức có giá trị nguyên; tìm giá
trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức...Do vậy ta phải áp dụng các phương pháp giải tương ứng, thích hợp cho từng loại toán. 2.2/ CÁC VÍ DỤ VỀ BÀI TẬP RÚT GỌN TỔNG HỢP: a a  a 2 a  *)Ví dụ 1: Cho biểu thức: A    1 :   1  a 1   a  2  a) Tìm ĐKXĐ, rút gọn A a  0 a  0 Bài giải: ĐKXĐ:    a  1  0 a  1 Ta có: a a  a2 a   a ( a  1)   a ( a  2)  A  1 :   1    1 :   1  a 1   a  2   a 1   a 2   ( a  1) : ( a  1) a 1 Vậy A = a 1 b) Tìm a để A = 5 (Dạng bài toán phụ thứ nhất). Phương pháp: Thay A bởi biểu thức vừa rút gọn được vào và giải phương trình: a 1  5  a  1  5( a  1)  a  1  5 a  5  4 a  6 a 1 3 9  a a (TMĐK) 2 4 9 Vậy với a = thì A = 5. 4 c) Tính giá trị của A khi a = 3 + 2 2 (Dạng bài toán phụ thứ hai). Phương pháp: Thay giá trị của biến vào biểu thức vừa rút gọn được rồi thực hiện các phép tính (Lưu ý: Có thể tính giá trị a rồi thay vào). Ta có: a  2  2 2  1  ( 2)2  2. 2.1  12  ( 2  1)2 Suy ra a 2 1  2 1. Do đó thay vào biểu thức A ta được: 2 11 22 A=   1 2 2  1 1 2
d) Tìm giá trị a nguyên để A nhận giá trị nguyên (Dạng bài toán phụ thứ ba). Phương pháp: Chia tử cho mẫu, tìm a để mẫu là ước của phần dư (một số), chú ý điều kiện xác định. a 1 2 Ta có: A = =1+ a 1 a 1 2 Để A nguyên thì nguyên, suy ra a 1 là ước của 2 a 1  a  1  1  a  0  a 1  1    a  4 (TMĐK).  a 1  2  a  9   a  1  2 Vậy a = 0; 4; 9 thì A có giá trị nguyên. e) Tìm a để A < 1 (Dạng bài toán phụ thứ tư). M M Phương pháp: Chuyển vế và thu gọn đưa về dạng < 0 (hoặc > 0) trong đó N N dựa vào điều kiện ban đầu ta đã biết được M hoặc N dương hay âm, từ đó dễ dàng tìm được điều kiện của biến. a 1 a 1 a 1 a 1 2
Phương pháp: Dựa vào điều kiện ban đầu và các bất đẳng thức. x2 2 Ta có A=  x  2 2 (BĐT Côsi cho hai số dương) x x 2  A min  2 2  x   x  2 (TMĐK) x Vậy Amin = 2 2  x  2 . 1 1 1 *)Ví dụ 3: Cho biểu thức A      .1     x 1 x 1  x a) Tìm ĐKXĐ, và rút gọn A. b)Tìm giá trị của x để A  A. Bài giải: a) ĐKXĐ x > 0; x  1 .  1 A  1  .1  1   x  1  x 1 . x 1 =  2 x x 1  A 2  x 1 x  1   x  x 1 x 1 x  x  1 x  1 x x 1 2 b) A  A  0  A  1  0   1. x 1 2  )0   x  1  0  x  11 x 1 2 2 x 3 ) 1 1 0 0 x 1 x 1 x 1  x  3  0  (vì x > 1)  x  9 . Vậy x > 9 thì A A.  x  1  0 x 2 x 1 *)Ví dụ 4: Cho biểu thức A   x 1 x  x a) Tìm ĐKXĐ, rút gọn biểu thức A b) Với giá trị nào của x thì A  A Bài giải: a) ĐKXĐ x > 0; x  1 . 2 2 A x  2 x 1    x  2 x 1   x 1   x 1 x 1  x x 1  x  x 1  x  x 1  x
x 1 b) A  A  A  0   0  x  1  0 (vì x  0) x  x  1  x  1 . Kết hợp với điều kiện xác định 0 < x 0; x  1 : 1  1  x 1  1  P  1  .    P  x 1 x  x  x 1  x x 1      x 1  2 2 b) P. 5  2 6. x  1  x  2005  2  3 1 2 2  2 .   2 3 .  x  1  x  2005  2  3  x 1   2  3  x  2005  2  3  x  2005 (TMĐK) 2 Vậy x = 2005 thì P. 5  2 6  x  1  x  2005  2  3 2.3/ BÀI TẬP TƯƠNG TỰ:  1 1  3 Bài 1: Cho biểu thức A  :  x 3 x 3 x 3 a) Tìm điều kiện xác định, rút gọn biểu thức A 1 b) Với giá trị nào của x thì A > 3 c) Tìm x để A đạt giá trị lớn nhất. 3 1 1 Bài 2. Cho biểu thức P     :  1  x x  1  x 1
a) Nêu điều kiện xác định và rút gọn biểu thức P 5 b) Tìm các giá trị của x để P = 4 x  12 1 c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M  . x 1 P  2 x x 3x  3  2 x  2  Bài 3. Cho biểu thức: D       1  x  3 x  3 x  9  x  3  a) Tìm ĐKXĐ, rút gọn biểu thức 1 b) Tìm x để D < - 2 c) Tìm giá trị nhỏ nhất của D a2 a  a a  Bài 4. Cho biểu thức: P    1 :   1  a 2   a 1  a) Tìm ĐKXĐ, rút gọn P b) Tìm a  Z để P nhận giá trị nguyên. 1 1 Bài 5. Cho biểu thức B   2  x  3 1 2 x  3 1 a) Tìm x để B có nghĩa và rút gọn B. b) Tìm x nguyên để B nhận giá trị nguyên. x2  x 2x  x 2  x  1 Bài 6. Cho biểu thức P    x  x 1 x x 1 a) Tìm ĐKXĐ, rút gọn P b) Tìm giá trị nhỏ nhất của P 2 x c) Tìm x để biểu thức Q  nhận giá trị nguyên. P 1 1 x 1 Bài 7. Cho biểu thức: P     : 2  x  x 1  x  1  x  a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn P b) Tìm x để P > 0
 1 1   a 1 a 2 Bài 8. Cho biểu thức P     :    a 1 a   a 2 a 1  a) Tìm ĐKXĐ, rút gọp P b) Tìm giá trị của a để P > 0 Bài 9. (Đề thi tuyễn sinh vào lớp 10 - Năm học 2011 - 2012) x 10 x 5 Cho A    , với x  0 và x  25. x  5 x  25 x 5 1) Rút gọn biểu thức A. 2) Tính giá trị của A khi x = 9. 3) Tính x để A < 1 . 3 x 3 6 x 4 Bài 10. Cho biểu thức: P    x 1 x 1 x 1 a) Tìm ĐKXĐ, rút gọn P. 1 b) Tìm x để P < . 2  x 1  1 Bài 11. Cho biểu thức A    :  x 1 x  x  x 1 a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn A b) Tìm tất cả các giá trị của x sao cho A < 0  1 1  1  Bài 12. Cho biểu thức: P      1 với a > 0 và a  1.  1  a 1  a  a  a) Rút gọn biểu thức P. 1 b) Với những giá trị nào của a thì P > . 2 x 2x  x Bài 13. Cho biểu thức: A =  với ( x > 0 và x ≠ 1) x 1 x  x 1) Rút gọn biểu thức A. 2) Tính giá trị của biểu thức khi x  3 2 2
 1 x  x Bài 14. Cho biểu thức P =   :   x x  1 x  x a) Rút gọn P b) Tính GT của P khi x= 4 13 c) Tìm GT của x để P = 3 (Đề thi Hà Nội năm 2008-2009) x 1 2 x x  x Bài 15. Cho biểu thức: A =  x 1 x 1 1) Tìm ĐKXĐ và rút gọn biểu thức A 2) Với giá trị nào của x thì A < -1 x x x x Bài 16. Cho biểu thức: A = (1  )(1  ) (Với x  0; x  1 ) x 1 x 1 a) Rút gọn A b) Tìm x để A = - 1 1 1 x Bài 17. Cho biểu thức: B =   2 x 2 2 x 2 1 x a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn biểu thức B. b) Tính giá trị của B với x = 3 1 c) Tính giá trị của x để A  2 x 1 2 x 25 x Bài 18. Cho biểu thức: P=   x 2 x 2 4 x a) Tìm TXĐ rồi rút gọn P b) Tìm x để P = 2 1 1 a 1 a2 Bài 19. Cho biểu thức: Q = (  ):(  ) a 1 a a 2 a 1 a) Tìm TXĐ rồi rút gọn Q. b) Tìm a để Q dương. c) Tính giá trị của biểu thức khi a = 9 - 4 5
 a 1  a  a a  a  Bài 20. Cho biểu thức: M =     2 2 a  a  1  a  1      a) Tìm TXĐ rồi rút gọn M b) Tìm giá trị của a để M = - 4. MỘT SỐ BÀI TẬP CÓ LỜI GIẢI. Bài 1: Tính: 3 3 3 3 a. A   2 3  2 2 2 3 2 2 5+ 5 5- 5 b. B = + 5- 5 5+ 5 1 1 c. C = 5. + . 20 + 5 5 2 HƯỚNG DẪN GIẢI: 3 3 3 3 a. A   . 2 3  2 2 2 3 2 2 2( 3  3) 2( 3  3)   42 3  4 4 2 3 4 2( 3  3) 2( 3  3)   3 1  4 3 1 4 2( 3  3)  2( 3  3) 2 2  39 24 2   4 2 6 5+ 5 5- 5 (5 + 5 )2 + (5 - 5 )2 b. B = + = 5- 5 5+ 5 (5 - 5 )(5 + 5 ) 25 + 10 5 + 5 + 25 - 10 5 + 5 60 = = =3 25 - 5 20 1 1 5 1 c. C = 5. + . 20 + 5 = 5. 2 + . 4.5 + 5 5 2 5 2 5 2 = 5 + 5 + 5 =3 5 5 2  1 1  x 1 Bài 2: Cho biểu thức A =    : x x x 1   x 1 2 a) Nêu điều kiện xác định và rút biểu thức A 1 b) Tim giá trị của x để A = . 3 c) Tìm giá trị lớn nhất cua biểu thức P = A - 9 x
HƯỚNG DẪN GIẢI: a). Điều kiện 0  x  1 x 1 x 1 x 1 Với điều kiện đó, ta có: A  :  x  x 1  x 1  2 x 1 x 1 1 3 9 b). Để A = thì   x   x  (thỏa mãn điều kiện) 3 x 3 2 4 9 1 Vậy x  thì A = 4 3 x 1  1  c). Ta có P = A - 9 x =  9 x  9 x   1 x  x 1 1 Áp dụng bất đẳng thức Cô –si cho hai số dương ta có: 9 x   2 9 x. 6 x x 1 1 Suy ra: P  6  1  5 . Đẳng thức xảy ra khi 9 x  x x 9 1 Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức P  5 khi x  9 x 4 Bài 3: 1) Cho biểu thức A  . Tính giá trị của A khi x = 36 x 2  x 4  x  16 2) Rút gọn biểu thức B     : (với x  0; x  16 )  x  4 x  4  x  2 3) Với các của biểu thức A và B nói trên, hãy tìm các giá trị của x nguyên để giá trị của biểu thức B(A – 1) là số nguyên HƯỚNG DẪN GIẢI: 36  4 10 5 1) Với x = 36 (Thỏa mãn x >= 0), Ta có : A =   36  2 8 4 2) Với x  0, x  16 ta có :  x( x  4) 4( x  4)  x  2 (x  16)( x  2) x 2 B =    =   x  16 x  16  x  16 (x  16)(x  16) x  16 x 2  x 4  x 2 2 2 3) Ta có: B( A  1)  .   1   .  . x  16  x  2  x  16 x  2 x  16 Để B( A  1) nguyên, x nguyên thì x  16 là ước của 2, mà Ư(2) = 1; 2  Ta có bảng giá trị tương ứng: x  16 1 1 2 2 x 17 15 18 14 Kết hợp ĐK x  0, x  16 , để B( A  1) nguyên thì x  14; 15; 17; 18  Bài 4: Cho biểu thức: x y xy P   ( x  y )(1  y ) x   y) x 1    x  1 1 y  a). Tìm điều kiện của x và y để P xác định . Rút gọn P.
b). Tìm x,y nguyên thỏa mãn phương trình P = 2. HƯỚNG DẪN GIẢI: a). Điều kiện để P xác định là : x  0 ; y  0 ; y  1 ; x  y  0 . P x(1  x )  y (1  y )  xy  x  y    ( x  y )  x x  y y  xy   x  y   x  y 1  x 1  y   x   y 1 x 1  y   x  y  x  y x xy  y  xy   x x  1  y  x  1  y 1  x 1  x   x  y 1 x 1 y  1  x 1  y   x  y  y  y x  x 1  y 1  y  y 1  y   x  xy  y. 1  y  1  y  Vậy P = x  xy  y. b) ĐKXĐ: x  0 ; y  0 ; y  1 ; x  y  0 P = 2  x  xy  y. = 2  x1  y    y 1 1    x 1 1  y 1  Ta cã: 1 + y  1  x  1  1  0  x  4  x = 0; 1; 2; 3 ; 4 Thay x = 0; 1; 2; 3; 4 vµo ta cãc¸c cÆp gi¸ trÞ x=4, y=0 vµ x=2, y=2 (tho¶ m·n). 2 x 9 2 x 1 x3 Bài 5:Cho biểu thức M =   x5 x 6 x 3 2 x a. Tìm điều kiện của x để M có nghĩa và rút gọn M b. Tìm x để M = 5 c. Tìm x  Z để M  Z. HƯỚNG DẪN GIẢI: 2 x 9 2 x 1 x 3 M=   x5 x 6 x 3 2 x a.ĐK x  0; x  4; x  9 0,5đ Rút gọn M = 2 x 9   x  3 x  3  2 x 1    x2   x 2 x 3   x  x  2 Biến đổi ta có kết quả: M =  x  2  x  3  M=  x  1  x  2   M  x 1  x  3  x  2  x 3
x  1 b. . M  5   5 x  3  x  1  5  x  3   x  1  5 x  15  16  4 x 16  x   4  x  16 4 Đối chiếu ĐK: x  0; x  4; x  9 Vậy x = 16 thì M = 5 x 1 x 3 4 4 c. M =   1 x 3 x 3 x 3 Do M  z nên x  3 là ước của 4  x  3 nhận các giá trị: -4; -2; -1; 1; 2; 4 Lập bảng giá trị ta được:  x  1;4;16;25;49 vì x  4  x  1;16;25;49 a 1 2 a-1 a+1 Bài 6: Cho biểu thức P = ( - ) .( - ) Với a > 0 và a ≠ 1 2 2 a a+1 a-1 a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm a để P < 0 HƯỚNG DẪN GIẢI: a 1 2 a-1 a+1 a) P = ( - ) .( - ) Với a > 0 và a ≠ 1 2 2 a a+1 a-1 a 1 2 a 1 a 1 P (  ) .(  ) 2 2 a a 1 a 1 a a  1 2 ( a  1)2  ( a  1)2 P ( ). 2 a ( a  1)( a  1) a 1 2 a  2 a 1 a  2 a 1 P ( ). 2 a a 1 (a  1)4 a 1  a P  4a a 1 a Vậy P = Víi a > 0 và a ≠ 1 a b) Tìm a để P < 0 Với a > 0 và a ≠ 1 nên a > 0 1-a  P= < 0  1 - a < 0  a > 1 ( TMĐK) a
a a b Bài 7: Cho biểu thức: Q = 2 2 -(1+ 2 2 ): a -b a -b a - a2 - b2 a) Rút gọn Q b) Xác định giá trị của Q khi a = 3b HƯỚNG DẪN GIẢI: a) Rút gọn: a a b Q= 2 2 -(1+ 2 2 ): a -b a -b a - a 2 - b2 a a 2 - b2 + a a - a 2 - b2 = 2 2 - . a -b a 2 - b2 b a b a-b = 2 2 - 2 2 = a -b a -b a 2 - b2 ( a - b )2 a-b = = (a - b)(a + b) a+b 3b - b 2b 1 b) Khi có a = 3b ta có: Q= = = 3b + b 4b 2 Bài 8: Cho biểu thức  1 1  2 1 1 x3  y x  x y  y3 A    .   :  x y  x  y x y  x 3 y  xy 3 a ) Rút gọn A; b) Biết xy = 16. Tìm các giá trị của x, y để A có giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị đó. HƯỚNG DẪN GIẢI: Đkxđ : x > 0 , y > 0  1 1  2 1 1 x3  y x  x y  y3 a) A    .   :  x y  x  y x y  x 3 y  xy 3  x y  . 2  x  y  :   x  y x  xy  y  xy x  y      xy x  y xy    xy x  y   2   x  y  :  x  y x  y   xy xy  xy  x  y      x  y  2 . xy  x  y . xy x  y xy
2  b) Ta có  x y   0  x  y 2 xy  0    x y 2 xy . x  y 2 xy 2 16 Do đó A    1 ( vì xy = 16 ) xy xy 16  x  y Vậy min A = 1 khi   x  y  4.  xy  1 6 Bài 9: Cho biểu thức:  1 x  3  2 x 2 P        x  x 1 x 1  2  2  x 2x  x  a) Tìm điều kiện để P có nghĩa. b) Rút gọn biểu thức P. c) Tính giá trị của P với x  3 2 2 . HƯỚNG DẪN GIẢI:  x  0   x 1  0 a. Biểu thức P có nghĩa khi và chỉ khi :  2  x  0    x 1  2  0 x  0 x  1 x  1      x  2 x  2 x  3  x  3  b) Đkxđ : x  1; x  2; x  3  1 x3  2 x  2 P         x x 1 x 1  2   2 x 2 x  x     x  x 1   x  3 x 1  2    2  x 2     x  x 1  x  x 1   x 1  2  x 1  2  2  x  x   2 x   x  x  1  x  3 x  1  2  2 x  x  2   .    x   x  1 x  1  2  x 2 x      x  x  1 x  3  x  1     2   2  x   x  x 1 x3 . x 2  x       x  x 1  x 1  2 .  1   x  2 . 1   2 x x x x c) Thay x  3  2 2   2 2 1 vào biểu thức P  2 x x , ta có:
P 2  2 1  2  2 2 1  2 2 1  1  2 1  2 1  2 2 1 2 1 2 1 Bài 10: Cho biểu thức: 4 x 8x x 1 2 P =(  ):(  ) 2 x 4 x x2 x x a) Rút gọn P b) Tìm giá trị của x để P = -1 c) Tìm m để với mọi giá trị x > 9 ta có: m( x  3) P  x  1 HƯỚNG DẪN GIẢI: a) Ta có: x  2 x  x ( x  2) x  0   x 0 x  0   ĐKXĐ: 4  x  0    x  4  x 2 0   Với x > 0 và x  4 ta có: 4 x 8x x 1 2 P= (  ):(  ) 2 x x4 x( x  2) x 4 x ( x  2)  8 x x  1  2( x  2)  : ( x  2)( x  2) x( x  2) 4x  8x  8x x 1 2 x  4  : ( x  2)( x  2) x ( x  2) 4 x  8 x  x 3  : ( Đk: x  9) ( x  2 )( x  2 ) x ( x  2) 4 x ( x  2) x ( x  2)  . ( x  2)( x  2) 3 x 4 x . x ( x  2)  (3  x )( x  2) 4x  x 3 4x Với x > 0 , x  4, x  9 thì P = x 3