CÅ HOÜC CÄNG TRÇNH Page 56
Váûy cäng khaí dé cuía näüi læûc cuía mäüt phán täú ds åí traûng thaïi “k” trãn caïc biãún
daûng khaí dé åí traûng thaïi “m”:
dTkm = ++++ dsNdsNdsMdsM mkmkmkmk ...
2
1
...
2
1
...
2
1
...
2
1
eeyy
dsNdsMdsQdsQ tmktmktbmktbmk .......
2
1
...
2
1
eygg
++++
Hay dTkm = +++ dsQdsNdsM tbmkmkmk ......
2
1
gey
dsNdsM tmktmk ....
ey
+
Thay táút caí caïc biãún daûng âaî tênh âæåüc vaìo:
dTkm = +++ dsQmQ
F
G
dsNN
F
E
dsMM
J
E
kmkmk ...
.
...
.
1
...
.
1
u
dstNdstt
h
Mcmkmmk ...).(. 12
a
a
+-+
Suy ra *
km
dA = -dTkm = +++- dsQQ
F
G
dsNN
F
E
dsMM
J
E
mkmkmk ...
.
...
.
1
...
.
1
[
u
]...).(. 12 dstNdstt
h
Mcmkmmk
a
a
+-+
Suy ra *
km
A=
*
km
dA =+++- åò
åò
åòds
F
G
QQ
ds
F
E
NN
ds
J
E
MM mkmkmk
.
.
.
.
.
.
[
u
].)( 12 åò
åò+-+ dsNtdsMtt
h
kcmkmm
a
a
(3 - 7)
IV. Nguyãn lyï cäng khaí dé aïp duûng cho hãû âaìn häöi (S. D. Poisson 1833):
1. Nguyãn lyï cäng khaí dé cho váût ràõn: Nãúu mäüt hãû cháút âiãøm naìo âoï cuía váût
ràõn cán bàòng dæåïi taïc duûng cuía caïc læûc thç täøng cäng khaí dé cuía caïc læûc trãn nhæîng
chuyãøn vë khaí dé tæång æïng bàòng khäng
Tkm = 0
2. Nguyãn lyï cäng khaí dé cho hãû âaìn häöi:
Nãúu mäüt hãû biãún daûng âaìn häöi cä láûp cán bàòng dæåïi taïc duûng cuía caïc læûc thç
täøng cäng khaí dé cuía caïc ngoaûi læûc Tkm trãn nhæîng chuyãøn vë khaí dé tæång æïng vaì cäng
khaí dé cuía näüi læûc *
km
A trãn nhæîng biãún daûng âaìn häöi khaí dé tæång æïng phaíi bàòng khäng
Tkm + *
km
A = 0
Hay =D
å
i
ikmik
P.+++ åò
åò
åòds
F
G
QQ
ds
F
E
NN
ds
J
E
MM mkmkmk
.
.
.
.
.
.
u
åò
åò+-+ dsNtdsMtt
h
kcmkmm .)( 12
a
a
(3 - 8)
§ 6. CAÏC ÂËNH LYÏ TÆÅNG HÄÙ TRONG HÃÛ ÂAÌN HÄÖI
I. Âënh lyï tæång häù vãö cäng khaí dé cuía ngoaûi læûc (Âënh lyï E.Betti 1872):
Xeït mäüt hãû âaìn häöi tuyãún tênh åí hai traûng thaïi:
- Traûng thaïi “m”: chëu caïc læûc taïc duûng Pim (i = 1... n)
CÅ HOÜC CÄNG TRÇNH Page 57
- Traûng thaïi “k”: chëu caïc læûc taïc duûng Pjk (j = 1...p)
Theo biãøu thæïc (3 - 8):
- Cäng khaí dé cuía læûc åí traûng thaïi “m” trãn nhæîng chuyãøn vë khaí dé tæång æïng åí
traûng thaïi “k”:
Tmk = =D
å
=
n
i
imkim
P
1
.åò
åò
åò++ ds
F
G
QQ
ds
F
E
NN
ds
J
E
MM kmkmkm
.
.
.
.
.
.
u
- Cäng khaí dé cuía hãû åí traûng thaïi “k” trãn nhæîng chuyãøn vë khaí déa tæång æïng åí
traûng thaïi “m”:
Tkm = =D
å
=
p
j
ikmik
P
1
.åò
åò
åò++ ds
F
G
QQ
ds
F
E
NN
ds
J
E
MM mkmkmk
.
.
.
.
.
.
u
Suy ra Tkm = Tmk (3 - 9)
* Phaït biãøu:Trong hãû âaìn häöi tuyãún tênh, cäng khaí dé cuía ngoaûi læûc åí traûng thaïi
“k” trãn nhæîng chuyãøn vë khaí dé tæång æïng åí traûng thaïi “m” tæång häù bàòng cäng khaí dé
cuía ngoaûi læûc åí traûng thaïi “m” trãn nhæîng chuyãøn vë khaí dé tæång æïng åí traûng thaïi “k”.
* Chuï yï:
- Hai traûng thaïi “k”, “m” phaíi xáøy
ra trãn cuìng mäüt hãû.
- Chuyãøn vë åí traûng thaïi naìy phaíi
coï vë trê vaì phæång tæång æïng våïi taíi
troüng åí traûng thaïi kia (H.3.14).
kk
i
imkim MPP 111
1
...
j
+D=D
å
=
m
j
jkmjk PP 22
1
.. D=D
å
=
Theo âënh lyï tæång häù thç mkk PMP 22111 ... D=+D
j
II. Âënh lyï tæång häù vãö caïc chuyãøn vë âån vë (Âënh lyï J. Maxwell 1864):
Xeït mäüt hãû âaìn häöi våïi hai traûng thaïi
(H.3.15):
- Traûng thaïi “m” chè chëu mäüt læûc táûp
trung Pm.
- Traûng thaïi “k” chè chëu mäüt læûc táûp
trung Pk.
Theo âënh lyï E.betti thç
kmkmkm PP D=D ..
Suy ra
m
km
k
mk
PP
D
=
D (a)
Goüi dkm =
m
km
P
D. Âaûi læåüng naìy chênh laì chuyãøn vë âån vë tæång æïng våïi phæång
vaì vë trê Pk do Pm = 1 gáy ra.
P
1
D2m
M
D1k
j1k
H.3.14
P
2
"k"
"m"
P
m
D
mk
H.3.15
"m"
"k"
P
k
Dkm
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Tæång tæû cho dmk =
k
mk
P
D.
Tæì (a) suy ra dkm = dmk (3 - 10)
Phaït biãøu:Trong hãû âaìn häöi tuyãún tênh, chuyãøn vë âån vë tæång æïng våïi vë trê vaì
phæång cuía læûc Pk do læûc Pm = 1 gáy ra tæång häù bàòng chuyãøn vë âån vë tæång æïng våïi
vë trê vaì phæång cuía læûc Pm do læûc Pk = 1 gáy ra.
III. Âënh lyï tæång häù vãö caïc phaín læûc âån vë (Âënh lyï L. Rayleigh 1875):
Xeït mäüt hãû âaìn häöi våïi hai traûng thaïi (H.3.16):
- Traûng thaïi “m”
chè chëu mäüt chuyãøn vë
cæåîng bæïc Dm taûi liãn kãút
m.
- Traûng thaïi “k”
chè chëu mäüt chuyãøn vë
cæåîng bæïc Dk taûi liãn kãút
k.
Goüi Rkm laì phaín læûc taûi liãn kãút k do chuyãøn vë Dm gáy ra vaì Rmk laì phaín læûc taûi
liãn kãút m do chuyãøn vë Dk gáy ra.
Theo âënh lyï E.Betti thç Rkm.Dk = Rmk.Dm
Suy ra
k
mk
m
km RR
D
=
D(b)
Goüi rkm =
m
km
R
D. Âáy chênh laì phaín læûc âån vë taûi liãn kãút k do chuyãøn vë cæåîng
bæïc bàòng âån vë taûi liãn kãút m gáy ra.
Tæång tæû cho rmk =
k
mk
R
D
Tæì (b) suy ra rkm = rmk (3 - 11)
Phaït biãøu: Trong hãû âaìn häöi tuyãún tênh, phaín læûc âån vë taûi liãn kãút k do chuyãøn
vë cæåîng bæïc bàòng âån vë taûi liãn kãút m tæång häù bàòng phaín læûc âån vë taûi liãn kãút m do
chuyãøn vë cæåîng bæïc bàòng âån vë taûi liãn kãút k gáy ra.
IV. Âënh lyï tæång häù vãö chuyãøn vë âån vë vaì phaín læûc âån vë (Âënh lyï A. A.
Gvozdiev 1927):
Xeït mäüt hãû âaìn häöi tuyãún tênh våïi hai traûng thaïi (H.4317):
- Traûng thaïi “m” chè chëu læûc Pm.
- Traûng thaïi “k” coï mäüt liãn kãút k cuía hãû chëu chuyãøn vë cæåîng bæïc Dk.
Goüi Rkm laì phaín læûc taûi liãn kãút k do Pm
gáy ra (åí traûng thaïi “m”) vaì Dmk laì
chuyãøn vë tæång æïng våïi vë trê vaì phæång cuía læûc Pm do Dk gáy ra (åí traûng thaïi “k”)
Theo âënh lyï E.Betti thç Pm.Dmk + Rkm.Dk = 0
Suy ra
k
mk
m
km
P
R
D
D
-= (c)
H.3.16
"k"
"m"
Dk
Dm
R
mk
R
km
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Goüi
m
km
km P
R
r=
·. Âáy chênh laì phaín læûc âån vë taûi liãn kãút k do Pm = 1 gáy ra.
k
mk
mk D
D
=
·
d
. Âáy chênh laì chuyãøn vë âån vë taûi vë trê vaì phæång cuía læûc Pm do
chuyãøn vë Dk = 1 gáy ra.
Theo (c) suy ra: mk
km
r
·· -=
d
. (3 - 12)
Phaït biãøu: Trong hãû âaìn häöi tuyãún tênh, phaín læûc âån vë taûi liãn kãút k do læûc Pm
bàòng âån vë gáy ra tæång häù bàòng chuyãøn vë âån vë tæång æïng phæång vaì vë trê læûc Pm
do chuyãøn vë cæåîng bæïc bàòng âån vë taûi liãn kãút k gáy ra nhæng traïi dáúu.
§ 7. CÄNG THÆÏC TÄØNG QUAÏT XAÏC ÂËNH CHUYÃØN VË
CUÍA HÃÛ THANH
(Cäng thæïc Maxwell - Morh 1874)
I. Thiãút láûp cäng thæïc:
Xeït mäüt hãû thanh
âaìn häöi tuyãún tênh chëu taïc
duûng cuía caïc nguyãn
nhán: caïc taíi troüng P
m
,
chuyãøn vë cæåîng bæïc taûi
caïc liãn kãút Z
m
, sæû biãún
thiãn nhiãût âäü t
2m & t
1m.
Caïc tiãút diãûn trong hãû seî
chuyãøn vë. Vê duû hãû cho
trãn hçnh (H.3.18.a). Traûng thaïi naìy cuía hãû goüi laì traûng thaïi “m”.
Yãu cáöu: tçm chuyãøn vë thàóng âæïng taûi tiãút diãûn k.
Caïch tiãún haình:
Taûo traûng thaïi khaí dé “k” bàòng caïch trãn hãû âaî cho âàût læûc Pk tæång æïng våïi vë trê
vaì phæång cáön tçm chuyãøn vë, chiãöu tuyì yï choün (H.3.18.b).
Dk
H.3.17
R
km
"k"
"m"
Dmk
P
m
"m"
"k"
Dkm
H.3.18.b
R
jk
Pk
P
m
k
Z
jm
H.3.18.a
CÅ HOÜC CÄNG TRÇNH Page 60
Aïp duûng cäng thæïc cäng khaí dé cho læûc åí traûng thaïi “k” trãn chuyãøn vë khaí dé åí
traûng thaïi “m”:
Pk.Dkm +
å
j
jmjk ZR . = +++ åò
åò
åòds
F
G
QQ
ds
F
E
NN
ds
J
E
MM mkmkmk
.
.
.
.
.
.
u
åò
åò+-+ dsNtdsMtt
h
kcmkmm .)( 12
a
a
Chia hai vãú cho Pk vaì âäöng thåìi kyï hiãûu:
k
jk
jk
k
k
k
k
k
k
k
k
kP
R
R
P
Q
Q
P
N
N
P
M
M==== ;;;
Noïi caïch khaïc jk
k
k
kRQNM ,,, chênh laì Mk, Nk, Qk, Rk tæång æïng do Pk = 1 ráy
ra trãn hãû åí traûng thaïi “k”.
Thay vaìo ta âæåüc cäng thæïc täøng quaït xaïc âënh chuyãøn vë trong hãû thanh âaìn
häöi:
Dkm =
å
-
j
jm
jk ZR .+ +++ åò
åò
åòds
F
G
QQ
ds
F
E
NN
ds
J
E
MM m
km
k
m
k
.
.
.
.
.
.
u
åò
åò+-+ dsNtdsMtt
h
k
cm
k
mm .)( 12
a
a
(3 - 13)
II. Caïc chuï yï:
+ Cäng thæïc Morh chè aïp duûng cho hãû gäöm nhæîng thanh thàóng hoàûc cong våïi âäü
cong beï (
5
1
£
r
h).
+ Khi tênh hãû åí traûng thaïi “k” chè cáön âaût læûc Pk = 1.
+ Nãúu cáön tçm chuyãøn vë thàóng thç Pk laì læûc táûp trung; nãúu tçm chuyãøn vë goïc
xoay thç Pk laì mämen táûp trung.
+ Nãúu kãút quaí Dkm > 0 thç chuyãøn vë laì cuìng chiãöu våïi læûc Pk
âaî giaí âënh vaì
ngæåüc laûi.
+ Zjm laì chuyãøn vë taûi liãn kãút j cuía hãû åí traûng thaïi “m”.
+ jk
Rlaì phaín læûc taûi liãn kãút j tæång æïng våïi chuyãøn vë Zjm do læûc Pk = 1 gáy ra åí
traûng thaïi “k”.
+ Têch jm
jk ZR . láúy dáúu dæång khi jk
R vaì Zjm cuìng chiãöu nhau.
+ Mm, Nm, Qm laì caïc biãøu thæïc giaíi têch cuía näüi læûc åí traûng thaïi “m”
+ k
k
kQNM ,, laì caïc biãøu thæïc giaíi têch cuía näüi læûc åí traûng thaïi “k” do Pk = 1 gáy
ra.
+ Cäng thæïc Morh cuîng aïp duûng âæåüc cho hãû siãu ténh.
§ 8. VÁÛN DUÛNG CÄNG THÆÏC MORH VAÌO CAÏC BAÌI TOAÏN
CHUYÃØN VË
I. Hãû dáöm vaì khung chëu taíi troüng: