Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95
CÔNG PHÁ PHƯƠNG TRÌNH và HỆ PHƯƠNG TRÌNH – P1 Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN PHẦN 1 : ĐỀ BÀI (Cố gắng vận hết công lực trước khi xem giải nhé các em)
3
26 x x
- - x 8 + = + y 2 + 6 y y 20 + 2
Câu 1. Giải hệ phương trình
3
2
3
y
+ = 1
y
+ +
1 - + y
4 1
- + + 1 9 1 x + = 2 y 16 + y 2
Câu 2. Giải hệ phương trình
3
9
+ x
7
2
+ y
2
3
y
2
2
3
2 =
+ 2
13 + x
(
x x + = y 2 )
- + 2 (
x
) 1
x
2
x
+ 2
+ 1
x
x
2
x
) ℝ
- - - - ˛
Câu 3. Giải phương trình (
2
2
2
3
+ + x 2 y + + 4 + = 2 x 3 y + + 4 2 y
Câu 4. Giải hệ phương trình
+ - 3 x y 1 + - - 2 - + 1 3 - = 3 2 2 1 x y x y
2
2
2
2
x 2 2 + x y 2 + = 3 - - x + xy x 3 + xy y 5 6 6 6
Câu 5. Giải hệ phương trình
2
+ +
- - x y + x 2 4
(
4
1 2 2
x
x
x
x
) 2 .
- - y 5 ( ) 2 + x + £ 3 8 ) 2 = y )( 1 ( Câu 6. Giải bất phương trình
+ + + 1 y x - = y x + y 2 1
Câu 7. Giải hệ phương trình
2
2
3
+ = + + xy 7 x x 8 y
)(
)
+ - - 15 ( + x - + y x + - = + x 2 3 y y 2 x y 3 x 4
Câu 8. Giải hệ phương trình
4
4
+ = 2 - y x 2 2
(
)
+ y + - y 2 0 x ˛
Câu 9. Giải hệ phương trình
3
3 x y
2
2
+ = 2
x y R , . - - - x 4 + = x 5 = 2 x y 4 xy + 5 x y 12 5 5
(
- + 1
) 4 .
- - 3 1
Câu 10. Giải phương trình
x
x
x
x x
- + 2 x 7
x
1 2 2
PHẦN 2: LỜI GIẢI CHI TIẾT (Nếu có nhầm lẫn, sai sót mong các hạ lượng thứ)
3
x
+
= + y
26 x x
+ y 6 y
- - 8 2 20 + 2
Câu 1. Giải hệ phương trình
- +
+ 1 9 1
x
+ y
2 13
+ = y 2 16 Lời giải.
Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2016!
Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95
x
1,
> - y
Điều kiện
3
2
‡
. Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với (
)
2 6
2
( )
2
3
+ + - - 8 y x 8 (cid:219) - * = + - y 2 - = + - x 6 x y + - 2 6 y 2 . 2 + 6 x x 8 x y 2 2
+ 2
) 1
t
+ t
t
2
=
⇒
" > 0,
t
f
( ) t
= - + t 3
( ) t
t 6
f
t
2
t 3 2 t
) ( t
- 8 + y ( - 2 ¢ 4 = - - ‡ Xét hàm số 0 0 . 8 > t ; t 4 = 2 t
( +
)2 (cid:219) =
( ) = f x
+ x
y
y
f
- +
* (cid:219) 1 2 Rõ ràng hàm số trên liên tục và đồng biến trên toàn tia Ox thực nên thu được ( ) 2 .
+ = 1 9
x
+ = x
x
x
x
x
(cid:219) - - - Phương trình thứ hai của hệ trở thành 13 1 16 16 13 1 0
2
2
- + (cid:219) - - 13 1 + 1 + + 1 3 = 1 0 x x x x + - 3 1 4 1 9 9 4
- = 1 x (cid:219) = (cid:219) - - 13 x 1 x 0 x + - 3 1 + 2 3 = (cid:219) 1 2 5 4 + = 1 x
3
2
3
y
+ = 1
y
= - ) . Kết luận hệ đã cho có nghiệm duy nhất ( x y ; ; 5 4
1 - + y
4 1
1 2 3 2 7 16 + +
Câu 2. Giải hệ phương trình
3
9
- + 2
y
+ x
7
2
x x + = 2 y
2
3
+ x
+ y Lời giải.
y
1
. Phương trình thứ nhất của hệ đã cho tương đương với
> - x
;
Điều kiện
2 9
(
‡
2
2
) + + 1 x = + x
2
3 1 3 - - - - + - 1 x y 3 y x 1 y 3 y + + 1 (cid:219) + - y 1 y x x 4 = 1
- - * 1 ( ) (cid:219) + - x 1 3 + - x 1 y 3 y 1 y 1 = + x 1
3
‡ Vì y 1 nên ta xét hàm số > - x ; 2 9
(
)2 1
2
( ) t
( ) t
2
)( 1 t
2
+ - + 2 - t 2 t t 2 ¢ 1 = = = - - ‡ ⇒ - + 3 " > 0, t 0 . f t f 0 t 3 t 2 1 = 2 t 3 t 2 t
)
( +
( f y
2
3
3
+ 2
+
* (cid:219) (cid:219) - Hàm số liên tục và đồng biến trên miền t dương nên thu được ( ) + = (cid:219) = x . 1 y x y f = 1 1 x
)
(
- = 5 y
+ (cid:219) 2 y
- + 2
2
3
9
7
y
y
9
y
2
( + y
2
7
y
+ 2 y
= 5
y
) 1
0
( ) 1
.
+
2
2
2
+
- - - - 1 > t ; t ) Phương trình thứ hai của hệ trở thành
3 7
y
2
y
+ = ⇒ + b
a
y
. Cho nên
Đặt
3
a + 2
˛ ˘
y
+ 2 y
y
y
y
y
9
2
7
2
> vì 0 + 3
5
3
1 ) 4 +
= = (cid:219) 0 b ) 1 =
( ) 1
0
2
2
+ ab b ( + + + ab b
a
9
y
2
2
2
+
- - - - (cid:219)
- = ; 5 a y ( + + 2 y y 4 - + + 2 y (
y
+ y
) 6 =
0
2
2
)( y 1 +
a
5 + ab b
y y 9
+ y 6 5 - + + 2 y
+ 2
+
2
- - (cid:219)
(
)
y
+ 5
y
6
( ) 2
0
2
a
1 y = + + 2 ab b
1 + - + + y 2
9
y
2
Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2016!
(cid:219) -
Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95
+
+
Vì
nên
> " 0,
y
2
2
a
1 y + + ab b
2 9
1 - + + y 2
9
y
2
=
‡
(
)(
)
{
(
)
(
)
⇒
.
( ) 2
y
2
= (cid:219) 3 y
0
} 2;3
x y ;
) ( 8;3 , 3; 2
y
Thử lại, kết luận hệ có hai nghiệm kể trên.
2
2
3
2 =
+ 2
(cid:219) - - ˛
(
(
x
) 1
x
2
x
+ 2
x
2
x
) ℝ
- - - - ˛
Câu 3. Giải phương trình (
) + 1 x Lời giải.
1x
Điều kiện 1
.
2
2
2
3
+
- £ £
(
x
2
x
2
x
)2 + = 2 x
2
1
1
x
x
.
2
= +
+ 2
+ 2
- - - - - -
1 2
1
1
⇒ - 1
1
1
.
x
x
x
x
x
x
- - ‡ ‡
)2
Phương trình tương đương Ta có (
0
3
2
(
Đặt 3
thu được
1 1
) 1
0
t
t
t
x
2 2
- = x 2
t
1
= t ‡ t
2
˛ +
- (cid:219) - ‡ (cid:219)
}
(cid:1)
- + ‡ 2 t { 1
3;1
3
.
= (cid:219) 0
2 0
x
t
x
- = (cid:219) x 2
3
2
- -
)(
‡ ⇒ ‡ 3
(cid:1)
1
1
2
3 0
3
) 1
0
1
.
t
t
x
x
( + ‡ x
x
⇒ = - x
1
‡ x £ x
1
.
x = -
(cid:219) - - ‡ (cid:219) - (cid:219) -
Đối chiếu điều kiện ta được nghiệm duy nhất
2
2
2
3
+ + x 2 y + + 4 + = 2 x 3 y + + 4 2 y
Câu 4. Giải hệ phương trình
+ - y x 3 1 + - - 2 - + 1 3 - = 3 2 2 1 x y x y
3
2 2 Lời giải.
Điều kiện
x
;
y
1 2
2 3
+ 2
0
+ - 2
x
+ + y 2
x
2
y
‡ ‡ . Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với
x
y
y
2
2
2
+
+ - 2 4 ( +
+
x + + 2
x
+ 2
y
2
y
+ = 2 3 y 4 ) )( + y x + + 4
3
y
4
x
+
(
)
- - (cid:219)
(
)
x
y
0
⇒ = x
y
2
2
2
+
1 + + 1
x
+ + y
1
x
y
2
y
y x + + 1
= + 1
3
+
(cid:219) -
3
x
x
1 + -
x
1
.
2
x
- + 1
3
x
- = 3 2
Phương trình thứ hai của hệ trở thành
2 2
3
3
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có - + 3
-
2
x
x
+ 3 x
1
+ 3
x
x
3
2 1 =
2
x
- + 1
3
x
2
x
1
.
- + 1 1 3 + 2
2 2
2 x 1 + - 2
- =
2
x
1 3
- = (cid:219) = 3 2 1
x
x
1
.
2 Do đó phương trình ẩn x có nghiệm khi các dấu đẳng thức xảy ra, tức là
- - - £ £
2
2
2
2
+ 2 x x y + = 3 - - 5 x + xy 6 3 + xy 6 y x 6
Câu 5. Giải hệ phương trình
(
- - x 2 y y 5 ) 2 + x + x 4 (
Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2016!
8 ) 2 = y Lời giải.
Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95
0
0
⇒
Điều kiện
x
x
‡ x 2 y
0
‡ x 2 y ‡ y
2
2
2
2
= 2
2 +
‡ ‡
x
+ xy
6
5
y
+ x
y
4
x
y
x
y
5
x
+ xy
6
5
y
‡ + 2 x
= + y x
y
⇒
Nhận xét
2
2
2
2
= 2
2 +
+
- - - ‡
( (
) )
( (
) )
( + (
) )
6
x
+ xy
8
6
y
+ x
y
5
x
y
x
y
6
y
‡ + 2 x
= + y x
y
6
5
8 +
+
y
3
2
x
x
y
+
+ xy ) =
- - ‡ -
Dẫn đến
3
.
2
2
2
2
x +
2 x + x
+ 3 y = + y
x x
x ( x
y
+ xy
x
y
5
5
6
3 + xy
y
6
8
£ - -
2
=
-
)( 1
+ x
2
x
2
x
+
x 6 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x (
(cid:219) (cid:219)
)
.
= (cid:219) 4
x
x
0 = (cid:219) = x
1
x
1
0
1
Kết luận hệ phương trình có nghiệm duy nhất
2
+ +
‡
4
x
+ y y= . Phương trình thứ hai trở thành ) ( = + x ‡ x x 0 y= = . )( ( 1
x + £ 3
1 2 2
) 2 .
x
x
x
- -
Câu 6. Giải bất phương trình
Lời giải:
x ‡
1
(*)
ĐK:
3
-
Khi đó (1)
4
+ + x
x
+ 2 x
2
x
2
3
3
2
(cid:219) - -
+ £ 1 2 2 x (
)
(
)
4
+ - x
+ 1 2
2
+ - 2 x
3 3
x
x
2
x
12
+ -
(
)
4
x
( 2 2
+ - x
3 9
2
+
(cid:219) £ - - -
(
)
x
)( + 3
x
2
x
4
+ +
+ +
2
x
(cid:219) £ -
(
x
x
2
+
(
)
x
)( + 3
x
2
x
4
0
x ( 4 +
3 3 ) 3 +
4 +
) 1 4 + 1 2 ) 3 + + 1
x
2
3
2
x
3
- - (cid:219) - - £
(
)
(
x
3
x
)2 1
3
0
(2)
+
+
+
2
4 + + x
1
4 2
+ 3
x
3
Nhận thấy
x = -
1
thỏa mãn bất phương trình đã cho.
+
- =
(cid:219) - - - £
(
Xét với
x
- ⇒ 1
+ x
)2 - < 3 1
0 3 0.
+
+
+
+
4 + - +
4 + + 2 0
4 x
2
1
3
3
x
4 2
3
2 3
‡ - -
x
3.
Kết hợp với (*) ta được
3x ‡
thỏa mãn.
Khi đó (2)
x
Đ/s:
x = -
1
hoặc
3 0 x ‡
3.
(cid:219) - ‡ (cid:219) ‡
+ + + 1 y x - = y x + y 2 1
Câu 7. Giải hệ phương trình
2
2
3
+ = + + xy 7 x x 12
1 0;
y
0
x
Điều kiện
+ + ‡ y + ‡
x + 2
x x
0 y
1 0;
2
7
0
y
x
xy Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với
Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2016!
8 15 y Lời giải. - ‡ ‡ (cid:219) ‡ ‡
Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95
+ + - 1 y
x
+ + 1 y
2
- = (cid:219) x y
0
- = x
y
0
+
x y + + + 1
y
x
+ 2 y
1
-
x
y
x
x
y
.
- = (cid:219) y x
0
x
y
0
1
+ + +
y + + + +
+
1
1
2
1
2
1
y
x
+ + y
y
x
= y
- - (cid:219) - -
x
y
.
Ta có
+ > ⇒ - = (cid:219) = x
1 0
0
y
x
y
+ + +
+
1
y
x
2
y
1
3
3
2
+
=
+
+
.
12
7
x
x
x
x
15
2
2
+
+
+
+
+ 8 8
15
x
x
x
2
2
3
3
3
3
7 =
+
=
+
+
+ 2
-
⇒
Phương trình thứ hai của hệ tương đương 8 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số thực không âm ta có )
)
( x x
( x x
x
x
x
+ x
8.8
7
7
4
12
7
8
15
.
2
=
x
x 8 3 + = (cid:219) = x 7 8
1
.
3 Do đó phương trình ẩn x có nghiệm khi Kết luận hệ có nghiệm duy nhất
x 8 y= = . 1
x
£ £
)(
)
( + x
+ - - 3 2 3 4 - + y x + - = + 2 x y y x y x
Câu 8. Giải hệ phương trình
+ = 2 - y 2 x 2 5
Lời giải.
2
Điều kiện
- ‡
0; 2 + - y
0 x
4
‡ y x
‡ ‡
)(
(
)
x 3 0;3 Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với + + + 5 2 y x
+ - - - - 2 3 4 3 0 x y x y x + - = x y
( + - x
)( 2 2
) 1
- - y (cid:219) - y - + x y 0 2 x - + 4 3 x 1 = + - y x 3
(
1
1 (cid:219) - - 2 2 0 x y y = + - x y 3 x - + 4 3 ) + - + 1 x
x
+ - + 2 y
0
y
2
x
1
3
x
- + 4
+ - x y
> ⇒ = 3
- . Phương trình thứ hai của hệ trở thành Vì
- + 1
= 2 x
2
2
2
x
( ) Khi đó phương trình thứ hai của hệ trở thành 1 Áp dụng bất đẳng thức liên hệ trung bình cộng – trung bình nhân ta có
2
2
- .
2
)
( 1 2
) 1
( 1 2
2
2
- - x + 3 2 x + - - - £ x = 2 x x x 2 - + 1 2 + 1 2 x + 2 + - 1 1 2 = 2 x 2
(
) 1
2
- =
2
x
- - - 4 x + 3 2 = £ - £ x x 2 - + 1 2 2 x 2 x 2 4 = ⇒ 2 2
(cid:219) = x
1
1 1 = 2
2
1
x
Đối chiếu điều kiện, kết luận hệ vô nghiệm.
4
4
. Do đó phương trình (1) có nghiệm khi các dấu đẳng thức xảy ra, tức là -
(
)
+ x y + - y 2 0 ˛
Câu 9. Giải hệ phương trình
3
3 x y
x y R , . - - - x 4 + = x 5 = 2 x y 4 xy + 5 x y 5
Lời giải:
=
(
)
(
)
)
( +
5
5
4
2 x y
4
0
2
+ - 2
=
(cid:219) - - Ta có (2)
)
(
5
+ 3 x ( x x
x ) 1
4
+ 3 x y ( + - 2 xy x
y ) = (cid:219) 2 1
( + y x
xy ) 1
+ 0
x
)( 1 5
x
4
xy
y
0
Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2016!
(cid:219) - -
Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95
= -
5
x
- = (cid:219) 4 y xy
0
y
5
x
xy 4 .
4
4
4
+
(cid:219) - -
+ = (cid:219) 2 0
4
2
Thế vào (1) ta được
x
y
xy
+ x
+ = 4 y
xy 4 .
4
4
4
4
4
4
+
+
+ + ‡
-
Áp dụng BĐT Côsi ta có
x
y
+ = 2
x
y
1 1 4
4 x y .
= .1.1 4
xy
xy 4 .
4
4
=
=
1
‡
Dấu "
"= xảy ra
1
x xy
y 0
= = y x 1 = = - x y
1
y= = thỏa mãn.
Thử lại ta được Đ/s: (
) x y = ;
x ( ) 1;1 .
2
2
+ = 2
(cid:219) (cid:219) ‡
(
3
- + 1
1
) 4 .
- -
Câu 10. Giải phương trình
x
x
x
x x
- + 2 x 7
x
1 2 2
Lời giải:
1
2
1
ĐK:
(*)
x 2
x
x
3
‡ x £ x
1 3
2
2
4
2
2
2
+
>
‡ (cid:219) - ‡
⇒
( ‡ ⇒ - 2
)
(
(
• Xét với
x
1
x
x
) + = - x 1
x
< x
x
0
x
x
) 1
x
x
0
2
2
2
2
+ < 2
<
- - - ‡
⇒
⇒
(2)
x x
+ > 1
x
- ⇒ x
x
x
x x
1 0
VT
( ) 1
3
x
1
2
2
- - -
(
x
£ + 1 2
- = 2 3 x
) 1
+ 3
x
1.
2
2
2
-
Áp dụng BĐT Côsi ta có (
- + - 4 x
7
x
2 2. 3 ) = 1
+ 2 3 x
- + = x x
4
+ 3 3
x
( ) - + > x x 1
3 0,
x
1
Mặt khác
2
2
2
- <
- + ⇒ 2
)
(
⇒ + < 2 x
1 7
3
x
- + ⇒ 4
x
2 2. 3
x
1 7
4
x
x
3
x
- < 1
7
x
- + 2 x
= 4
VP
( ) 1 .
1 2 2
<
" ‡
⇒
⇒ "
Kết hợp với (2)
đều không thỏa mãn (1).
VT
( ) 1
VP
( ) 1
x
1
‡
• Xét với
x £
ta đặt
x
= - ⇒ - t
t
⇒ ‡ t
.
1 3
1 3
1 3
2
)
(
Phương trình (1) trở thành
t 3
- + 1
+ + 2 t
t
t
+ = 2 1
t
7
t
+ + 2 t
4
1 2 2
2
- £ -
- + 2 t 2 6
+ 2 2 2 t
+ 2 t
t 2
+ = 2 2 t
2
+ + 2 7 t
t
4
2
2
2
(cid:219)
+ - 2 2 t
- + 2 t
+ 2 2 t
- + 2 t
t 3
2
- + t 6
= 2 3 t
t 5
t 10
5
1
+ 1
1
t 2
(cid:219) - - -
)
)
)
(
(
(
2
2
2
(
) 1
) 1
( + - + t
(
)
( t 4 2
2
(
) 1
2
2
2
) 2 1 + 1
2
- - - + - t 3 2 2 t 2 + 3 t 2 6 t 2 2 t t 2 + 2 = (cid:219) - 5 t + + - + - 1 1 2 2 2 t 2 t 3 t 2 3 t 2 t
2
(
) 1
2
2
2
( t t 2 + + 1
Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2016!
- - - - + t 2 t 6 2 + 2 t 3 t 2 (cid:219) - t 5 + - + 2 t + + 1 + - + + + t ) 1 + 2 t 2 t t 3 t 1 2 2 + 2 t 6 t ) 3 = 2 t 6 + ( - + 1 t 3
Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95
t 2
1
6
=
(
(2)
t
)2 1
5
0
2
2
2
+
+ +
+
t
+ + 1
t 2
2
t 3
t 1 2 2
t 2
t 3
- + 1
t 6
2
(cid:219) - - - - -
Đặt
2
2
2
2
t 2 1 6 = - - - T 5. + + + + - t + + 1 t 2 2 t 3 t 1 2 2 t 2 t 3 - + 1 t 6 2
t 2
2 <
t
T
+ + - = 0 0 5
0.
2
+
+ t 5 2 + 2
1 3
1 > ⇒ < 3
t
t
+ + 1
t 2
2
t 5 3 + + 1
t 2
2
- - - ‡ Với
(
t
)21 = (cid:219) = 0
t
⇒ - = ⇒ = - 1
x
x
1
1
thỏa mãn (*).
x = -
1.
Đ/s:
(cid:219) - Khi đó (2)
Thầy Đặng Việt Hùng
Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2016!
![Tài liệu tham khảo Tiếng Anh lớp 8 [mới nhất/hay nhất/chuẩn nhất]](https://cdn.tailieu.vn/images/document/thumbnail/2025/20250806/anhvan.knndl.htc@gmail.com/135x160/54311754535084.jpg)
![Phiếu bài tập cuối tuần Tiếng Việt 1 tuần 2 đề 2: [Hướng dẫn chi tiết]](https://cdn.tailieu.vn/images/document/thumbnail/2025/20250728/thanhha01/135x160/42951755577464.jpg)
