TRƯỜNG ĐIỆN TỪ - ELECTROMAGNETIC FIELD THEORY
Chương 0
MỘT SỐ CÔNG THỨC TOÁN HỌC
1. Vector
zyxzyx akajaia,a,aa
zyxzyx bkbjbib,b,bb
zyxzyx ckcjcic,c,cc
zzyyxx bababab.a
xyyxzxxzyzzy
zyx
zyx babakbabajbabai
bbb
aaa
kji
ba
b,acosbab.a
cba
Phương:
b,ac
Chiều: theo qui tắc vặn nút chai
Độ lớn:
b,asinbac
b.a.cc.a.bcba
2. Toán tử nabla
z
,
y
,
x
3. Gradient
z
U
k
y
U
j
x
U
iU.gradU
4. Divergence
z
a
y
a
x
a
a.adiv z
y
x
5. Rotary
y
a
x
a
k
x
a
z
a
j
z
a
y
a
i
aaa
zyx
kji
aarot x
y
zx
y
z
zyx
Số phức
Hàm mũ
ysiniycoseee xiyxz
Hàm mũ là một hàm tuần hoàn có chu kì là 2i. Thực vậy, ta có
1k2sinik2cose ik2
Suy ra
zik2zik2z ee.ee
Công thức Euler
eiy = cosy +isiny
Khi đó số phức z = r ei = r(cos +isin)
Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
Phương trình vi phân từ trường cấp hai là phương trình bậc nhất đối với hàm chưa biết và
các đạo hàm của nó:
)x(fyayay 21
(1)
Trong đó:
a1, a2 và f(x) là các hàm của biến độc lập x
f(x) = 0 (1) gọi là phương trình tuyến tính thuần nhất
f(x) 0 (1) gọi là phương trình tuyến tính không thuần nhất
a1, a2 const (1) gọi là phương trình tuyến tính có hệ số không đổi
Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai thuần nhất
Phương trình vi phân từ trường cấp hai thuần nhất có dạng:
0yayay 21
(2)
a1, a2 là các hàm của biến x
Định lí 1. Nếu y1 = y1(x) và y2 = y2(x) là 2 nghiệm của (2) thì y = C1y1 + C2y2 (trong đó C1, C2
là 2 hằng số tuỳ ý) cũng là nghiệm của phương trình ấy.
Hai hàm y1(x) và y2(x) là độc lập tuyến tính khi
const
xy
xy
2
1, ngược lại là phụ thuộc tuyến tính
Định lí 2. Nếu y1(x) và y2(x) là 2 nghiệm độc lập tuyến tính của phương trình vi phân từ trường
cấp hai thuần nhất (2) thì y = C1y1 + C2y2 (trong đó C1, C2 là 2 hằng số tuỳ ý) là nghiệm tổng
quát của phương trình ấy.
Định lí 3. Nếu đã biết một nghiệm riêng y1(x) của phương trình vi phân từ trường cấp hai thuần
nhất (2) thì có thể tìm được một nghiệm riêng y2(x) của phương trình đó, độc lập tuyến tính với
y1(x) bằng cách đặt y2(x) = y1(x).u(x)
Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai không thuần nhất
Phương trình vi phân từ trường cấp hai là phương trình bậc nhất đối với hàm chưa biết và
các đạo hàm của nó:
)x(fyayay 21
(3)
Trong đó:
a1 và a2 là các hàm của biến độc lập x; f(x) 0
Định lí 1. Nghiệm tổng quát của phương trình không thuần nhất (3) bằng nghiệm tổng quát của
phương trình thuần nhất (2) tương ứng và một nghiệm riêng nào đó của phương trình không
thuần nhất (3).
Định lí 2. Cho phương trình không thuần nhất
)x(f)x(fyayay 2121
(4)
Nếu y1(x) là nghiệm riêng của phương trình
)x(fyayay 121
(5)
và y2(x) là nghiệm riêng của phương trình
)x(fyayay 221
(6)
thì y(x) = y1(x) + y2(x) cũng là nghiệm riêng của phương trình (4)
Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai có hệ số không đổi
Phương trình vi phân từ trường cấp hai thuần nhất có dạng:
0qyypy
(7)
p, q là các hằng số
Giả sử nghiệm riêng của (7) có dạng
kx
ey (8)
Trong đó: k là hằng số sẽ được xác định
Suy ra
kx
key
, kx2eky
(9)
Thay (8) và (9) vào (7) ta có
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
0qpkke 2kx (10)
Vì ekx 0 nên
0qpkk2 (11)
Nếu k thoả mãn (11) thì y = ekx là một nghiệm riêng của phương trình vi phân (7).
Phương trình (11) gọi là phương trình đặc trưng của phương trình vi phân (7)
Nhận xét: Phương trình đặc trưng (7) là phương trình bậc 2 có 2 nghiệm k1 và k2 như sau
- k1 và k2 là 2 số thực khác nhau, khi đó 2 nghiệm riêng của phương trình vi phân (7) là
xk
1
1
ey , xk
2
2
ey (12)
Hai nghiệm riêng (12) là độc lập từ trường vì
conste
y
yxkk
2
121 (13)
Do đó nghiệm tổng quát của phương trình vi phân (7) là
xk
2
xk
121
21 eCeCyyy (14)
- k1 và k2 là 2 số thực trùng nhau: k1 = k2
Hai nghiệm riêng độc lập từ trường: xk
1
1
ey , xk
2
1
xey
Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân (7) là
xk
21
xk
2
xk
1
111 exCCxeCeCy (15)
- k1 và k2 là 2 số phức liên hợp: k1 = + i và k2 = - i
Hai nghiệm riêng của phương trình vi phân (7) là
xixxi
2
xixxi
1
eeey
eeey
(16)
Theo công thức Euler ta có
xsinixcose
xsinixcose
xi
xi
(17)
Suy ra
xsinixcoseeey
xsinixcoseeey
xxix
2
xxix
1
(18)
Nếu
1
y và
2
y là 2 nghiệm của phương trình vi phân (7) thì các hàm
xsine
i
2
yy
y
xcose
2
yy
y
x
21
2
x
21
1
(19)
cũng là nghiệm của phương trình vi phân (7) và độc lập từ trường vì
constxtg
y
y
2
1 (20)
Do đó nghiệm tổng quát của phương trình vi phân (7) là
xsinCxcosCexsineCxcoseCy 21
xx
2
x
1 (21)
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
Chương 1
CÁC ĐỊNH LUẬT
VÀ NGUYÊN LÍ CƠ BẢN CỦA TRƯỜNG ĐIỆN TỪ
1.1. Các đại lượng đặc trưng cho trường điện từ
1.1.1. Vector cường độ điện trường
Điện trường được đặc trưng bởi lực tác dụng lên điện tích đặt trong điện trường
EqF
(1.1)
Hay:
q
F
E
(1.2)
Cđđt
E
tại một điểm bất kì trong điện trường là đại lượng vector có trị số bằng lực tác dụng
lên một đơn vị điện tích điểm dương đặt tại điểm đó
Lực tác dụng giữa 2 đt điểm Q và q
2
0
0r
r
4
Qq
F

(1.3)
- m/F10.854,8 12
0
- hằng số điện
- - độ điện thẩm tương đối
- 0
r
- vector đơn vị chỉ phương
Hệ đt điểm n21 q,...,q,q

n
1i 2
i
i0i
0
n
1i
ir
rq
4
1
EE
(1.4)
i0
r
- các vector đơn vị chỉ phương
Trong thực tế hệ thường là dây mảnh, mặt phẳng hay khối hình học, do đó:

l
2
l
0
lr
r
dl
4
1
E
(1.5)

S
2
S
0
Sr
r
dS
4
1
E
(1.6)

V
2
V
0
Vr
r
dV
4
1
E
(1.7)
1.1.2. Vector điện cảm
Để đơn giản khi tính toán đối với các môi trường khác nhau, người ta sử dụng vector điện
cảm
D
ED 0
 (1.8)
1.1.3. Vector từ cảm
Từ trường được đặc trưng bởi tác dụng lực của từ trường lên điện tích chuyển động hay
dòng điện theo định luật Lorentz
BvqF
(1.9)
Từ trường do phần tử dòng điện lId
tạo ra được xác định bởi định luật thực nghiệm BVL
rlId
r
4
Bd 2
0

(1.10)
- m/H10.257,110.4 67
0
- hằng số từ
- - độ từ thẩm tương đối
Từ trường của dây dẫn có chiều dài l
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.

l
2
0
r
rlId
4
B
(1.11)
1.1.4. Vector cường độ từ trường
Để đơn giản khi tính toán đối với các môi trường khác nhau, người ta sử dụng vector cường
độ từ trường
H
0
B
H
(1.12)
1.2. Định luật Ohm và định luật bảo toàn điện tích
1.2.1. Định luật Ohm dạng vi phân
Cường độ dòng điện I chạy qua mặt S đặt vuông góc với nó bằng lượng điện tích q chuyển
qua mặt S trong một đơn vị thời gian
dt
dq
I (1.13)
Dấu trừ chỉ dòng điện I được xem là dương khi q giảm
Để mô tả đầy đủ sự chuyển động của các hạt mang điện trong môi trường dẫn điện, người ta
đưa ra khái niệm mật độ dòng điện
EvvenJ 0
(1.14)
dạng vi phân của định luật Ohm
- n0 - mật độ hạt điện có điện tích e
- - mật độ điện khối
- v
- vận tốc dịch chuyển của các hạt điện
- - điện dẫn suất
Dòng điện qua mặt S được tính theo
SSS
SdESdJdII
(1.15)
Một vật dẫn dạng khối lập phương cạnh L, 2 mặt đối diện nối với nguồn áp U, ta có
(lưu ý: áp dụng c/t S = L2 và LS
L
R
)
R
U
LU)EL)(L(ESEdSI
S
(1.16)
dạng thông thường của định luật Ohm
Vì
E
và Sd
cùng chiều, đặt
RL
1
(1.17)
- điện dẫn suất có đơn vị là 1/m
1.2.2. Định luật bảo toàn điện tích
Điện tích có thể phân bố liên tục hay gián đoạn, không tự sinh ra và cũng không tự mất đi,
dịch chuyển từ vùng này sang vùng khác và tạo nên dòng điện.
Lượng điện tích đi ra khỏi mặt kín S bao quanh thể tích V bằng lượng điện tích giảm đi từ
thể tích V đó.
Giả sử trong thể tích V được bao quanh bởi mặt S, ta có
V
dVQ (1.18)
sau thời gian dt lượng điện tích trong V giảm đi dQ
V
dV
dt
d
dt
dQ
I (1.19)
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.