Đặc trưng của mầm ánh xạ không suy biến

Chia sẻ: Danh Tuong Vi | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:0

Thêm vào BST

Báo xấu

32
lượt xem 1
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài viết trình bày mối quan hệ giữa tập Lagarange r-cubic và mầm ánh xạ reticular không suy biến, cấu hình r-cube chính quy, cấu hình không gian các tia có đối hạng corank = 1 và mô hình địa phương của ánh xạ reticular. Để nắm nội dung mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đặc trưng của mầm ánh xạ không suy biến

Trường Đại học Thủy sản Tạp chí Khoa học - Công nghệ Thủy sản Số 2/2006 ĐẶC TRƯNG CỦA MẦM ÁNH XẠ KHÔNG SUY BIẾN Ths. Phạm Gia Hưng Khoa Khoa học Cơ bản I. MỞ ĐẦU Việc nghiên cứu lý thuyết kỳ dị là hết sức quan trọng trong lý thuyết cũng như trong ứng dụng, đặc biệt là ứng dụng để tìm những lời giải của các hệ phương trình holonomic có đa tạp đặc trưng gồm nhiều thành phần. Mục đích của bài viết là trình bày quan hệ giữa “tập Lagrange r -cubic” và “mầm ánh xạ reticular không suy biến”. II. NỘI DUNG 1. Cấu hình r-cube chính quy Giả sử W là mầm đa tạp giải tích phức có chiều ≥n+r, với n,r cố định. Cho V là một mầm tập con giải tích của W được cho bởi V = {u1v1 = ... = ur v r = ur +1 = ... = un = 0} trong đó u1,...,un ,v1,...,v r là các mầm hàm giải tích với du1,...,dun ,dv1,...,dvr độc lập tuyến tính. r Khi đó ta thấy V hợp bởi 2 thành phần trơn Vσ , σ ∈ P (Ir ),Ir = {1,...,n} như sau { } Vσ = ui = 0 khi i ∈ σ & v j = 0 khi j ∈ Ir \ σ trong đó P(Ir) là tập tất cả các bộ phận của Ir. Ta xem P(Ir) như một hình hộp (cube) r chiều {0,1}I bằng cách đồng nhất mọi σ∈P(Ir) với hàm đặc trưng của nó; mọi mặt Ω của cube được xác định bởi r { } Ω = Ω ( P ) = Ω(σ, σ) = σ ∈ P(Ir ) | σ ⊂ σ ⊂ σ trong đó σ = ∪ σ, σ = ∪ σ & P ⊂ P (Ir ) và dim Ω = σ − σ σ∈P σ∈P với σ , σ là số điểm của σ, σ tương ứng và họ {V , σ ∈ P (I )} σ r là cấu hình r-cube chính quy n chiều, tức là thoả hai điều kiện (i) ∩ Vσ là một đa tạp con có chiều n+dimΩ. σ∈P ( ) (ii) Tx ∩ Vσ = ∩ Tx Vσ , ∀x ∈ ∩ Vσ . σ∈P σ∈P σ∈P và V = ∪ Vσ được gọi là giá của cấu hình. σ∈P(Ir ) Nhận xét. Chẳng hạn, nếu r = 0 thì V gồm một thành phần trơn, n chiều V∅ = {u1 = ... = un = 0} còn nếu r = 1 thì V bao gồm hai thành phần V ∅ và V1 có n chiều, là V∅ = {u1 = u2 ... = un = 0} &V1 = {v1 = u2 = ... = un = 0} . 2. Cấu hình không gian các tia có đối hạng 1 (corank = 1) Giả sử U,V là hai tập mở của X chứa a. Ta nói hai ánh xạ F:U→Y, G:X→Y là k-tương đương tại a nếu chuỗi Taylor cấp k tại a của F và G là bằng nhau. Ký hiệu lớp tương đương của F tại a là JkaF và { } Jk ( X, Y ) = JkaF,a ∈ X gọi là phân thớ các k-tia và viết J(X,Y) thay cho 1 J (X,Y). Nhát cắt của phép chiếu từ phân thớ các tia lên đa tạp là ánh xạ Jk (F ) : X ∋ a a Jka ∈ Jk ( X,Y ) 1 và viết J(F) thay cho J (F). Ký hiệu Sk = F ∈ J ( X,Y ) /corank F = k { { } } = F ∈ J ( X, Y ) | min ( dim X,dim Y ) − rank F = k . Với mọi σ∈P(Ir), xét J(Xσ,Y) là phân thớ các 1-tia từ Xσ vào Y, xét ánh xạ nhúng iσ : X σ × Y → X × Y cảm sinh ánh xạ chính tắc thu hẹp các tia ρσ : J ( X,Y ) → J ( Xσ , Y ) X σ ×Y k Ký hiệu S (Xσ,Y)⊂J(Xσ,Y) là tập con các tia có đối hạng bằng k và đặt ( ( )) Skσ = iσ ρσ−1 Sk ( Xσ ,Y ) . ( ) Định lý 1. Họ S1σ σ∈P(Ir ) trên J ( X,Y ) = J ( X,Y ) − ∪ Skσ 1 k ≥1 là một cấu hình r-cube chính quy có chiều n = dimX -dimY+1, với n ≥0,r ≤n. Chứng minh. Xem [1] hoặc [2]. 3. Mầm các ánh xạ reticular Cho X là một mầm của đa tạp giải tích phức có chiều n ≥r với cắt chuẩn tắc gồm r tập con giải tích bất khả quy X1,...,Xr. Với mọi σ∈P(Ir), ký hiệu Xσ = ∩ Xi & X∅ = X i∈σ 83 Trường Đại học Thủy sản Tạp chí Khoa học - Công nghệ Thủy sản Số 2/2006 Ta gọi tập X = ( Xσ )σ∈P(I ) r là mầm đa tạp r-reticular . Cho F:X→Y là mầm ánh xạ chỉnh hình, với Y là mầm đa tạp giải tích mà dim X ≥ dim Y + r − 1 . Tập các ánh xạ (F σ = F |Xσ ) ( )∑ σ∈P Ir ∑ (F ) = { x ∈ X σ σ : rank TxFσ < dim Y} Với mọi X∈Σ(F), tồn tại σX ∈P(Ir) sao cho x ∈ ( Fσ ) ⇔ σ ⊃ σX ∑ và như vậy Ker T F là được sắp thứ tự bởi quan hệ bao hàm. Kết quả là, trong trường hợp F có đối hạng 1, không gian vector Ker Tx*Fσ không phụ thuộc vào σ ⊃σX. Điều đó cho phép ta xác định một ánh xạ χ F : ∑ (F ) → P* Y * x σ gọi là ánh xạ đặc trưng của F, trong đó P*Y là phân thớ xạ ảnh đối tiếp xúc của Y. Như vậy mọi điểm tới hạn của F được kết hợp với hướng của nhân của ánh xạ đối tiếp xúc. Đa tạp đặc trưng của ánh xạ reticular F là ảnh của ánh xạ đặc trưng của F và ký hiệu là V(F). Ánh xạ F được gọi là không suy biến nếu nó có đối hạng 1 và nhát cắt J (F ) : X → J ( X, Y ) ( ) hoành với cấu hình r-cube chính quy S1σ σ∈P(Ir ) . Tập V được gọi là nón theo ξ, nếu ∀ ( x, ξ ) ∈ V ⇒ ( x, λξ ) ∈ V,∀λ ∈ £ . Ta nói rằng một tập giải tích V⊂T*Y là Lagrange nếu dimV=dimY và 2-dạng vi phân chính tắc không suy biến trên T*Y triệt tiêu trên tập chính quy của V. Nếu V là tập Lagrange nón (tức là mọi phân thớ của V trong phép chiếu T*Y→Y là nón), thì có thể xét như tập con Lagrange giải tích của P*Y (phép chiếu phân thớ đối tiếp xúc của Y). 4. Mô hình địa phương của ánh xạ 84 F:X ∋ x a (y 0 ) = f ( x ) ,y1 = xn +1,..., yp = xn +p ∈ Y (ii)   ∂f σ ⊃ σ0 = i ∈ Ir : ( 0 ) ≠ 0  ⇔ 0 ∈ (Fσ ) ∂x i   (iii) Ánh xạ F là không suy biến nếu và chỉ ∑ i∈{1,..,n}\ σ0 Ta nói rằng F có đối hạng 1, nếu ánh xạ tiếp xúc của mọi Fσ là có đối hạng ≤1, hay dimKerTx*Fσ = 1 ,∀σ∈P(Ir), ∀X∈Σ(F σ) reticular xạ F được mô tả như sau σ∈P(Ir ) gọi là mầm ánh xạ r-reticular, ký hiệu F : X → Y . Giả sử F: X →Y là mầm ánh xạ rreticular. Ta gọi tập tới hạn của F là tập (F ) = ∪ ( f ) với ∑ Định lý 2. Ta trang bị cho Y một hệ toạ độ địa phương y0,y1,..,yp sao cho dy0,dy1,..,dyp độc lập tuyến tính theo modul nhân của ánh xạ đối tiếp xúc. Khi đó (i) Có thể trang bị cho X một hệ toạ độ địa phương X1,..,Xn+p sao cho Xi = {xi = 0} và ánh  ∂2f  có hạng n -|σ0|. nếu ma trận  0   ∂xi∂x j ( )    j=r +1,..,n+p Chứng minh. Xem [1] hoặc [2]. III. KẾT QUẢ Vấn đề đặt ra ở đây là một mầm ánh xạ reticular không suy biến thì tập tới hạn và đa tạp đặc trưng của nó sẽ như thế nào? Kết quả 1. Nếu F là không suy biến thì tập tới hạn của nó là giá của một cấu hình (r|σ0|)-cube chính quy có chiều n = dimX - dim Y +1. Chứng minh. Từ định nghĩa của ∑ (F ) , ta có ) ( −1  −1    J (F )  ∪ S1σ  = J ( F )  ∪ ∪ Skσ  σ∈ P I ( ) r    σ∈P(Ir ) k≥1  = ∪ J (F ) ∪ Skσ = ∪ −1 σ∈P(Ir ) σ∈P(Ir ) k ≥1 (Fσ ) = Σ (F ) . Do biểu diễn này, chứng tỏ ∑ (F ) là giá của cấu hình n chiều. Hơn nữa do tính chất của J(F) và ∪ S1σ là cấu hình r − σ0 − cube nên ( σ∈P(Ir ) ảnh ngược ∑ (F ) cũng ) là cấu hình (r − σ ) − cube chính quy. 0 Kết quả 2. Nếu F là không suy biến, thì đa tạp đặc trưng V(F) là giá của cấu hình r − σ0 − cube chính quy ( Vσ )σ⊃σ , với Vσ=V(F σ), ( ) 0 gọi là cấu hình đặc trưng của F, trong đó   ∂f σ0 = i ∈ Ir : ( 0 ) ≠ 0 ∂xi   & dimX = n+p,dimY = p+1. Hơn nữa V(F)⊂ T*Y là Lagrange. Chứng minh. Với hệ toạ độ địa phương trong định lý 2, χF là ánh xạ mà với Trường Đại học Thủy sản Tạp chí Khoa học - Công nghệ Thủy sản Số 2/2006 X ∈ ∑ (F ) kết hợp với hướng của đối vector dy 0 − ∑ η dy , sao cho i i i=1  Tx*Fσ  dy 0 −  df Xσ − i i =1 ∑ η dx i ⇔ ηi =  p ∑ η dy  = 0 ⇔ p i=1 n+i ∂f ( x ) ∂x n+i i  = 0, ( σ ⊃ σ0 ) ,(i = 1,p) . Nói cách khác, χF là hạn chế trên của ánh xạ của X ≈ £ n +p được xác định bởi ∑ (F ) trong P * Y ≈ £ 2p +1 , ∂f y 0 = f(x), y i = xn+i ,ηi = ( x ),(i = 1,p ) (*) ∂xn+i hay ∑ (F ) với không gian đối pháp tuyến của ∑ (F ) , tức là với các vi phân p được xác định trong X bởi các phương trình  ∂f  x i ∂x = 0 khi i ∈ Ir \ σ0  i   x = 0 khi j ∈ σ , ∂f = 0, k=r + 1,n 0  j ∂xk và không gian đối pháp tuyến của nó được sinh bởi các phương trình vi phân.  ∂f   ∂f  df,dx n+1,...,dx n+p ,d    ,...,d    ∂x n+1   ∂xn+p  kết hợp với các vi phân  ∂f   ∂f  dxj, (j∈σ0), d   ,...,d    ∂x r +1   ∂xn  là sinh T*X do định lý 2 (iii). Để chứng minh V(F) là đa tạp Lagrange, ta chỉ cần kiểm tra lại ánh xạ đặc trưng χF là nhúng Lagrange, tức là cần tính toán trực tiếp biểu thức (*) của χF. Do cách xây dựng mà ảnh do (*) của 1-dạng vi phân cơ bản p dy 0 − ∑ ηidxn +i là bằng 0. i =1 IV. KẾT LUẬN Như vậy, nếu cho trước một mầm ánh xạ r-reticular không suy biến thì sẽ tìm được một cấu hình r-cube chính quy và đó là tập tới hạn hay đa tạp đặc trưng của ánh xạ đó. Ngược lại, nếu cho trước một cấu hình r-cube chính quy thì ta có thể xây dựng được một ánh xạ reticular tương ứng hay không? Vấn đề này sẽ được trình bày trong các bài viết sau. Ta nói χF là một phép nhúng là khi ánh xạ đối tiếp xúc của ánh xạ xác định bởi (*) là hoành TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] N.T. Đại, N.H. Đức et F. Pham: Singularitiés non dégénérées des systèmes de Gauss-Manin réticulés. Memoire de la S.M.F., Nouvell serie n.6, 1981. [2] Phạm Gia Hưng: Phân loại các mầm ánh xạ reticular không suy biến. Đà lạt 1999. [3] Nguyễn Hữu Đức: Singularities of germs of holonomic microdifferential systems. Institute of Mathematics Polish Academy of Sciences, 1987. ABSTRACT One shows that if F is non-degenrated mapp-germ then critical set ( ) ∑ (F ) and characteristic variety V(F) are support of r − σ0 − cubic configurations. 85