Đại số sơ cấp (Phần 4): Phép chứng minh bất đẳng thức trên một tập

Chia sẻ: đinh Công Chánh | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:31

Thêm vào BST

Báo xấu

99
lượt xem 10
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Đại số sơ cấp (Phần 4): Phép chứng minh bất đẳng thức trên một tập gồm các bài tập và lời giải phần phép chứng minh bất đẳng thức. Mời các quý thầy cô giáo cùng các em học sinh tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đại số sơ cấp (Phần 4): Phép chứng minh bất đẳng thức trên một tập

§4. PHÉP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC TRÊN MỘT TẬP Vì chỉ xét bất đẳng thức trên tập R các số thực , nên từ “ trên R “ ta sẽ bỏ đi. a b Ví dụ 11. Chứng minh rằng ab nếu a 0, b 0 ( hoặc : chứng 2 a b minh bất đẳng thức ab trên tập T (a , b) R 2 | a 0, b 0 ). 2 Giải: Phương pháp thứ nhất: a b ab a b 2 ab a b 2 ab 0 2 ( a )2 ( b )2 2 a b 0 ( a, b 0) 2 a b 0. Phương pháp thứ hai:phân tích. a b Giả sử rằng ab , nếu a 0, b 0. Khi đó 2 a b ab a b 2 ab 2 2 a b 4ab (a b )2 4ab 0 (a b )2 0 Chứng minh : ( a + b )2 0 ( a b )2 4ab 0 (a b )2 4ab 43
a b 2 ab ( a, b 0) a b ab 2 Phương pháp thứ ba : (a b) 2 0 (a b) 2 4ab 0 (a b )2 4ab a b 2 ab ( a, b 0) a b ab . 2 Phương pháp thứ tư: ( phản chứng) a b Giả sử ab với a, b 0. Khi đó 2 a b ab a b 2 ab 2 (a b) 2 4ab (a b) 2 4ab 0 (a b) 2 0 vô lí. a b Vậy ab , với a 0, b 0. 2 Ví dụ 12.Chứng minh rằng: (1) (1 )n 1 n ở đây α >1,a # 0,n N,n>1. Giải.(Phương pháp qui nạp). 1) Với n=2 ta có (1 )2 1 2 2 1 2 suy ra ( 1 2 ) 2 1 2 . 2) Ta chứng minh nếu bất đắng thức (1) đúng với n=k,ở đây k N,k>1 thì bất đẳng thức (1) đúng với n=k+1,nghĩa là nếu (2) (1 )k 1 k ,với 1, 0, k N, k 1 ,thì (3)(1 )k 1 1 (k 1) . 44
Thật vậy, (1 )k 1 (1 ) k (1 ) (1 k ) ((2), 1) 2 ( 1 1 (k 1) k 1 ( k 1) . a 0 2 k 0 k N Nghĩa là, (1 )k 1 1 ( k 1) . Từ 1) và 2) suy ra rằng: (1 )n 1 n với 1, 0, n N , n 1. Ví dụ 13.Phương trình (1) x 2 ( 2 1) x 2 0,85 3 0 có những nghiệm nào,thực hay ảo? Giải.phương pháp thứ nhất.Giả sử rằng phương trình (1) có nghiệm ảo.Điều đó chỉ xảy ra khi và chỉ khi biệt thức âm,nghĩa là: (2) ( 2 1) 2 4(0,85 3 2) 0. 17 3 (2) 3 2 2 3,4 3 3 2 2 5 15 10 2 17 3 (15 10 2 ) 2 (17 3 ) 2 300 2 442 (300 2 ) 2 442 2 180000 195364. Trả lời:phương trình đã cho có nghiệm ảo. Phương pháp thứ hai:giả sử rắng phương trình (1) có nghiệm thực.Điều đó xảy ra khi va chỉ khi biệt thức không âm,nghĩa là: (3) ( 2 1) 2 4(0,85 3 2) 0 180000 195364, vô lý. Nghĩa là ( 2 1) 2 4(0,85 3 2) 0 ;suy ra nghiệm của phương trình (1) là ảo . Chứng minh rằng: (các bài 162167): x y 162. 2 ,nếu x>0,y>0. y x 45
3x 2 1 163. 1 9x4 2 x2 5 164. 2 2 x 4 1 165. (a b) ab ,nếu a 0, b 0. 2 1 166. (a b c ) 3 abc ,nếu a,b,c 0 . 3 1 167. (a b c d ) 4 abcd ,nếu a,b,c,d 0 . 4 168.Chứng minh rằng,nếu x1 , x2 ,..., xn 0 và x1 , x2 ,..., xn 1, n N thì x1 x2 ... xn n. 169.Chứng minh rằng,trung bình cộng của những số không âm không nhỏ hơn trung bình nhân của chúng,nghĩa là chứng minh rằng: 1 (a1 ... an ) n a1...an ,nếu a1 ,...an 0, n N , n 1. n 1 170.Chứng minh rằng,nếu a1 ,..., an 0, n N , n 1 thì (a1 ... an ) n a1...an khi và n chỉ khi a a1 a2 ...an . 171.Chứng minh rằng,nếu x1 , x2 ,..., xn 0 và x1 x2 ... xn S ,ở đây S là một số dương đã cho,thì tích x1...xn đạt giá trị lớn nhất khi x1 x2 ... xn . 172. Chứng minh rằng,nếu x1, x2, …,xn >0 và x1+x2+ …+xn =S , ở đây S là một số dương đã cho,thì tích x1k1 ...xnkn với k1 ,..., k n N ,đạt giá trị lớn nhất khi x1 x2 xn ... . k1 k2 kn 173.Chứng minh rằng,nếu x1 , x2 ,..., xn 0 và x1...xn P ở Đây P là số dương đã cho,thì tổng x1 x2 ... xn đạt giá trị nhỏ nhất khi x1 x2 ... xn . 46
174.Chứng minh rằng,nếu x1 , x2 ,..., xn 0 và x1k1 ...xnkn =P với k1 ,..., k n N P là số x1 x2 xn dương đã cho,thì tổng x1 x2 ... xn đạt giá trị nhỏ nhất khi ... . k1 k2 kn 175.Tìm giá trị lớn nhất của tích xy với điều kiện 3x+5y=12. 2x2 3 176.Tìm giá trị dương nhỏ nhất của biểu thức: . x 177.Tìm giá trị lớn nhất của tích ( x 2) 2 (3 x) 2 ,nếu 2 x 3. 178.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: ( x a )( x b) , nếu a,b,x>0. x x2 179.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: ,Chứng minh rằng: (các bài 180224). x2 4 180.(a+b)(b+c)(c+a) 8abc, nếu a,b,c 0 . 181. x 2 y2 z2 xy yz zx . 182. ( x y) 2 2( x 2 y2 ) . 183. (x+y)4 8(x4+y4) 1 184. x 2 y2 z2 , nếu x + y + z =1. 3 6 2 3 a 2b 3c 185. a b c , nếu a,b,c 0 . 6 n(n 1) 186. 1.2 .3 .4 ..n 2 3 4 n 2n 1 2 , với n N*. 3 1 1 187. ( x1 ... xn )( ... ) n 2 , nếu x1 , x2 ,..., xn 0 ,n N . x1 xn a1 a2 an 188. ... n , nếu a1 ,..., an 0, n N. a2 a3 a1 189.( 1 a1 )(1 a2 )...(1 an ) 2 n ,nếu a1 ,..., an 0, n N và a1a2 ...an 1. 8 190. b , nếu a,b 0 2 a b 64ab a 191.ab(a+b2c)+bc(b+c2a)+ca(c+a2b) 0, nếu a,b,c 0. 47
a b c 3 192. , nêú a,b,c>0. b c c a a b 2 193. a 2 b2 c2 d2 ab ac ad bc bd cd 10 , nếu a,b,c,d > 0 vá abcd=1. 194. (a b)(c d ) (a c)(b d ) (a d )(b c) 6 abcd , nếu a,b,c,d 0 . 2 1 ab 195.Nếu 1 , thì hoặc |a| 1 và |b| 1 hoặc |a| 1 và |b| 1. a b 196. (a b)(c d ) (a c )(b d ) (a d )(b c) ab ac ad bc bd cd , nếu a,b,c,d 0 . 197. a 3 b3 c3 a 2 bc b 2 ca c 2 ab , nếu a,b,c 0 . 1 198. x 4 y4 , nếu x+y 1. 3 199. (a+bc)(b+ca)(c+ab) abc, nếu a, b, c >0. 200. 3 (a 1 b1 )(a 2 b 2 )(a 3 b3 ) 3 a 1a 2 a 3 3 b1 b 2 b 3 , nếu a1, a2, a3, b1, b2, b3 0. 1 1 1 1 201. ... 1 , nếu n N ,n>1. 22 32 42 n2 1 1 1 1 13 202. ... , nếu n N ,n>1. n 1 n 2 n 3 2n 24 n ( n 1) 203. 2 2 n !, nếu n N ,n>2. 1 1 3 5 2n 1 1 204. . . .... ,nếu n N ,n>1. 2 n 2 4 6 2n 2n 1 1 3 5 99 1 205. . . ... 10 2 2 4 6 100 10. 206. 3111 1714 . n 1 207 2< 1 3 , nếu n N ,n>1. n 208. 10001000 2 0,001 . 209. 1,001> 2 0,001 . 48
210.( a1b1 ... an bn ) 2 ( a12 ... an2 )(b12 ... bn2 ) dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi b1 ka1 ,..., bn kan ,ở dây k là một số thực nào đó.Người ta gọi bất đẳng thức này là bất đẳng thức BunhiacôpskiCôsi. 211. ( p1 x1 ... pn xn ) 2 ( p2 ... pn )( p1 x12 ... pn xn2 ) ,ở đây p1 ,..., pn 0. 2 1 1 1 1 2 1 2 1 2 212. x1 x2 x3 x1 x2 x3 . 2 3 6 2 3 6 a1 ... an a12 ... an2 213. , nếu a1 ,..., an 0. n n 214. x 8 x6 x2 x 1 0. 215.(x2)(x4)(x5)(x7)+10>0. 216. x 5 y5 x4 y xy 4 0. 217. x 2 2 xy 3 y 2 2x 6 y 4 0. 218. 4 x( x y z )( x y )( x z) y2 z2 0. a b 219. c , nếu a,b là độ dài các cạnh huyền của một tam giác vuông. 2 3 a b c 220. p ma mb mc 2 p , nếu p với a,b,c là độ dài các cạnh của tam 2 2 giác; ma , mb , mc là độ dài các đường trung tuyến tương ứng với các cạnh BC,AC,BA của tam giác. 221. p p a p b p c 3 p ,ở đây a,b,c là độ dài các cạnh, p là nửa chu vi a b c p của tam giác. 2 222. log 7 8 5 ( không dùng bảng lôgarit). 224. log 20 80 a>1 và c>0 thì log a b > log a c (b c ) . 49
CHƯƠNG II PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH § SỰ TƯƠNG ĐƯƠNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHUƠNG TRÌNH Các phương trình sau đây có tương đương không(các bài 227253). 227. 2 x 2 3x 2 và 2 x 3 2 trên N. 228. 2 x 2 3x 2 và 2 x 3 2 trên Q. 229. x 2 2 0 và x 4 4 0 trên Q. 230. x 2 2 0 và x 4 4 0 trên R. 231. x 2 2 0 và x 4 4 0 trên C. 1 1 232. x 2 2 x và x 2 2 x trên Q. x x 1 1 233. x 2 2 x và x 2 2 x trên Q. 1 x 1 x x2 4 234. 1 và x 2 1 trên R. x 2 x2 4 235. 4 và x 2 4 trên R. x 2 2x2 236. x 3 0 và x 3 2x 0 trên R. x 4x2 3 4 x ( x 2) 237. x 3 0 và x 0 trên R. x x 2 238. x 3 x 4 3 2 và ( x 3)( x 4) 3 trên R. 239. lg x 2 =2 và 2lg x 2 trên R. 240. lg x 2 =2 và 2lg x 2 trên R. 241. lg x 2 =0 và 3lg x 0 trên R. 1 1 242. 3 x 1 2 x 4 và 3 x 2 1 2x 4 trên R. x 1 x 1 1 1 243. 3 x 1 2 x 4 và 3 x 1 2x 4 trên R. x 3 x 3 244. 3 x 1 2 x 4 và 3 x 1 x2 2 2x 4 x2 2 trên R. 50
245. 3 x 1 2 x 4 và 3 x 1 lg(1 x) 2 x 4 lg(1 x ) trên R. 246. x 3 0 và ( x 3)( x 2 2) 0 trên R. 247. x 3 0 và ( x 3)( x 2 2) 0 trên C. 248. x 3 2 và ( x 3)( x 1) 2( x 1) trên R. 249. x 3 2 và ( x 2)( x 1) 2( x 1) 2 trên R. 250. x 3 0 và ( x 3) 4 0 trên R. x 3 2 251. x 3 2 và trên R. x2 1 x 2 1 x 3 2 252. x 3 2 và trên R. x2 4 x 2 4 x 1 2( x 1) 253. x 3 2 và ( x 3). trên R. x 1 x 1 253. Phương trình nào trong các phương trình (1) f ( x) g ( x) và (2) f ( x) ( x) g ( x) ( x) (trên một tập hợp) là hệ quả của phương trình kia? 255. Phương trình nào trong các phương trình (1) f ( x) g ( x) và (2) f 2 ( x) g 2 ( x) trên R là hệ quả của phương trình kia? 256. Các phương trình f ( x) g ( x) và f 3 ( x ) g 3 ( x) có tương đương trên R không? 257. Các phương trình f ( x) g ( x) và a f ( x ) a g ( x ) ,trong đó a 0, a 1 ,có tương đương trên R không? 258. Phương trình nào trong các phương trình (1) f ( x) g ( x) và log a f ( x) log a g ( x) ,trong đó a 0, a 1 ,là hệ quả của phương trình kia trên r? x( x 1) 259. 0 và x 0. x 1 x2 260. 0 và x 0. x x2 261. 0 và x 0. x x2 262. 1 và x 1. x 51
x2 x ( x 2) 263. 1 và 1. x x 2 1 1 264. x 1 3 và x 1 3 . x x 1 1 265. x 1 3 và x 1 3 . 3 x 3 x 3 2 266. x 2 x 1 và x ( x 1) ( x 1)( x 2 1) . 267. x 2 và ( x 3) 2( x 3) . 268. x 2 và (3 x ) 2(3 x) . 269. x 2 và ( x 2) 2 2( x 2) 2 . 270. x 2 và ( x 2) 2( x 2) . 1 1 3( x 2) 271. 3 và 0. x 2 x 2 1 272. 3 và 1 3( x 2) . x 2 x 1 273. 0 và ( x 1)(3 x) 0. 3 x x 1 274. 0 và ( x 1)(3 x) 0. 3 x ( x 1)( x 2) 2 x 1 275. 0 và 0. 3 x 3 x ( x 1)( x 5) 2 x 1 276. 0 và 0. 3 x 3 x 1 1 277. và x 1 2 x . 2x x 1 1 1 278. và ( x 1) 2 4x2 . 4x2 ( x 1) 2 279. x 2 2 và x 2 4. x 2 280. 1 và x 2 x. x 281. lg x 2 0 và 2 lg x 0. 52
282. lg x 2 0 và 2 lg x 0. § PHƯƠNG TRÌNH HỮU TỈ NGUYÊN VÀ HỮU TỈ PHÂN MỘT ẨN SỐ Nếu không cò sự chỉ dẫn nào khác thì phương trình cần được xét và giải trên tập hợp C các số phức. Ví dụ14.Giải phương trình: 2x3+3x2+6x4=0 trên C. Giải. Phương pháp thứ nhất.Trước hết chúng ta hãy xem phương trình dã cho có nghiệm hữu tỉ hay không.Muốn vậy chúng ta vận dụng:1) định lí về nghiệm hữu tỉ của một đa thức với hệ số nguyên và 2) lược đồ Hoocne. 1) Các ước của số hạng tự do4 là các số: 1, 2, 4 .Các ước dương của hệ số cao nhất là 1,2. Nghĩa là các nghiệm hữu tỉ của phương trình đã cho nằm trong các 1 số : 1, 2, 4, . 2 2) 2 3 6 4 1 2 4 8 0 2 2 1 Khi đó: 2 x 3x 2 6x 4 x (2 x 2 4 x 8) (2 x 1)( x 1 i 3 )( x 1 i 3 ). 2 1 Trả lời: , 1 i 3, 1 i 3 . 2 Phương pháp thứ hai. 2x2 3x 2 6x 4 (2 x 3 x 2 ) (4 x 2 6 x 4) x 2 (2 x 1) ((4 x 2 2 x) (8 x 4)) (2 x 1)( x 2 2 x 4) (2 x 1)( x 1 i 3 )( x 1 i 3 ). Thí dụ 15.Giải phương trình. x 3 3x 2 6x 4 0 trên C. Giải. (“công thức cacđanô”) Cardano. 53
Có thể kiểm tra lại rằng phương trình đã cho không có nghiệm hữu tỉ. Chúng ta áp dụng phương pháp sau: a2 Nếu x 3 + a2 x 2 + a1 x + a0 = 0 thì ta đặt x = y − ta được phương trình dạng 3 y 3 + py + q = 0 . p Đặt y=u+v và sau uv = − ta được phương trình bậc hai với các nghiệm u 3 và v3 3 Chúng ta vẫn áp dụng điều đó với các phương trình đã cho. Giả sử x = y1 (vì a2 = 3 ). Khi đó ta được: ( y − 1)3 + 3( y − 1) 2 − 6( y − 1) + 4 = 0 : y 3 − 9 y + 12 = 0 Giả sử y=u+v. Khi đó ta được: (u + v)3 − 9(u + v) + 12 = 0 : u 3 + v 3 + 3(u + v )(uv − 3) + 12 = 0 Giả sử uv 3 =0, uv=3. Khi đó ta có: u 3 + v 3 = −12 u 3 + v 3 = −12 � �3 3 (*) uv=3 u .v = 27 u 3 và v3 sẽ xem như nghiệm của phương trình bậc hai z 2 + 12 z + 27 = 0; z 2 + 12 z + 27 = 0 : z = −3 �z = −9. Giả sử u 3 = −3 , một trong các nghiệm của nó là u1 = − 3 3 . Khi đó từ (*) ta tìm được 3 v1 = , v 2 = − 3 9 . Như vậy ta được: u1 y1 = u1 + v1 , y1 = − 3 3 − 3 9; y2 = ε u1 + ε 2 v1 , y3 = ε 2u1 + ε v1 , 1 3 1 3 Trong đó ε = − + i , ε 2 = − − i ; x1 = y1 − 1, x 2 = y2 − 1, x 3 = y3 − 1 2 2 2 2 �3 3 3+ 3 9 −2 3( 3 3 − 3 9) 3 3 + 3 9 − 2 3( 3 3 − 3 9) � Trả lời: �− 3 − 3 9 − 1, + i , − i � � 2 2 2 2 � Thí dụ 16: Giải phương trình x 3 − 6ix + 4 − 4i = 0 trên C. Giải: 54
Đặt x=u+v, ta được: ( u + v) 2 − 6i (u + v) + 4 − 4i = 0 � u + v 3 + 3(u + v )(uv − 2i ) + 4 − 4i = 0. 3 Giả sử uv=2i. Khi đó ta được: u 3 + v 3 = −4 + 4i (*) uv=2i u 3 + v3 = −4 + 4i u 3 .v3 = −8i z 2 + (4 − 4i ) z − 8i = 0 � z = −2 + 2i. 3π 3π Giả sử u 3 = −2 + 2i , tức là u 3 = 8(cos + isin ) , một trong các nghiệm của nó là: 4 4 � 3π 3π � � 4 � � π π� u1 = 3 8� cos + isin 4 � cos + isin �= 1 + i = 2 � � 3 3 � � 4 4� � � Khi đó từ (*) ta tìm được 2i v1 = = 1+ i u1 x1 = u1 + v1 = 2 + 2i 1 3 x2 = ε u1 + ε 2v1 = u1 (ε + ε 2 ) = −1 − i (ε = − + i ) 2 2 x3 = ε 2u1 + ε v1 = u1 (ε 2 + ε ) = −1 − i. Trả lời: { 2 + 2i, −1 − i} ( nghiệm (1i) là nghiệm kép). Thí dụ 17: Giải phương trình: x 4 − 2 x 3 + 2 x 2 + 4 x − 8 = 0 trên C. Giải: Có thể kiểm tra lại rằng phương trình đã cho không có nghiệm hữu tỉ. Phương pháp thứ nhất: x 4 − 2 x3 + 2 x 2 + 4 x − 8 = 55
= x 4 − 2 x3 + 4 x 2 − 2 x 2 + 4 x − 8 = = ( x 4 − 2 x 2 ) + ( −2 x 3 + 4 x ) + ( 4 x 2 − 8 ) = = x2 ( x2 − 2) − 2x ( x2 − 2) + 4 ( x2 − 2) = = ( x2 − 2) ( x2 − 2 x + 4) = ( = x− 2 ) ( x + 2 ) ( x −1− i 3 ) . Trả lời: { 2, − 2,1 + i 3,1 − i 3 . } Phương pháp thứ hai: (phương pháp Phécrari)(Ferrari) (1) x 4 − 3 x3 + 2 x 2 + 4 x − 8 = 0 � ( x4 − 2 x3 + x2 ) + x2 + 4 x − 8 = 0 � ( x 2 − x ) = − x 2 − 4 x + 8. 2 Ta đưa vào tham số y: (x − x ) + 2 ( x2 − x ) y + y 2 = − x2 − 4x + 8 + 2 ( x2 − x ) y + y 2 2 2 � (2) ( x 2 − x + y ) = ( 2 y − 1) x 2 − 2 ( y + 2 ) x + ( y 2 + 8 ) . 2 Ta sẽ tìm giá trị của tham số y sao cho chính vế phải của (2) là một phương trình bậc hai đủ. Vì ax 2 + bx + c = ( α x + β ) khi và chỉ khi b 2 − 4ac = 0 thì ta được: 2 (3) ( y+2 ) − ( 2 y − 1) ( y 2 + 8 ) = 0 2 � −2 y 3 + 2 y 2 − 12 y + 12 = 0. Nghiệm của phương trình cuối cùng là y=1. Phương trình(2) với y=1 có dạng: (x − x + 1) = x 2 − 6 x + 9 � ( x 2 − x + 1) − ( x − 3) = 0 2 2 2 2 � ( x2 − 2) ( x2 − 2 x + 4) = 0 � x− 2 ( ) ( x + 2 ) .( x − 1 − i 3 ) ( x − 1 + i 3 ) = 0 Phương pháp thứ ba ( phương pháp hệ số bất định) x 4 − 2 x 3 + 2 x 2 + 4 x − 8 = ( x 2 + ax+b ) ( x 2 + cx + d ) . Cân bằng các hệ số của các lũy thừa tương ứng của x và giải hệ thống đó, ta tìm được các giá trị của a, b, c, d. 56
Thí dụ 18: ( cái gọi là phương trình lùi). Giải phương trình: (1) x 5 + 4 x 4 − 3 x 3 + 3 x 2 − 4 x − 1 = 0 trên C Giải: 1 là một nghiệm của phương trình (1) 1 4 3 3 4 1 1 1 5 2 5 1 0 Cần phải giải phương trình (2) x 4 + 5 x3 + 2 x 2 + 5 x + 1 = 0. Chia cả hai vế của phương trình (2) cho x 2 , ta được phương trình tương đương với phương trình (2) ( vì 0 không là nghiệm của phương trình (2)). 5 1 (2) � x 2 + 5 x + 2 + + =0 x x2 � 1 � � 1� � �x 2 + 2 �+ 5 �x + �+ 2 = 0. � x � � x� 1 1 Đặt x + = t . Khi đó x 2 + 2 = t 2 − 2 . Ta được: x x t 2 + 5t = 0 � t = 0 �t = −5 . 1 1) Nếu t=0, thì x + =0 � x 2 + 1 = 0 � x = i �x = −i . x 1 2) Nếu t=5, thì x + =5 x � x3 + 5 x + 1 = 0 −5 + 21 −5 − 21 �x= �x = 2 2 � −5 − 21 −5 + 21 � 1, −i, i, Trả lời: � ,x = � � 2 2 � Thí dụ 19: Giải phương trình: 2 1 −4 (1) + = 2 trên R. x+2 2 x + 2 x Giải: 57
x2 + 6x + 8 = 0 4 x + x 2 + 2 x = −8 (1) �۹� �x 0 x( x + 2) 0 x −2 �x = −2 �x = −4 � � − =� �x ۹ 0 �x 0 x 4 �x −2 �x −2 � � Trả lời: { −4} . Thí dụ 20. Giải phương trình: x+a x + b (1) + = 2 trên C xb x − a Giải: x2 − a2 + x2 − b2 = 2 ( x − a ) ( x − b ) (1) ۹ x a x b a+b 0 a+b = 0 2(a + b) x = (a + b) 2 a+b �x = �0x = 0 ۹�� x a � 2 � �x b �x a �x a � �x b x b a+b 0 a+b x= a+b = 0 2 � � � ��a + b �x b �2 a �x a a+b b 2 b −a b = −a � a+b � =�� x �x a � 2 �x − a b a �a + b � Trả lời: Nếu b −a và b a thì � � �2 58
Nếu b −a và b=a thì Nếu b=a thì C\ { −a, a} Giải phương trình (các bài 283 287) 283. a x = a ( x + 2 ) − 2 trên R 2 2 1 284. x − 3 = 2 ( 4 x + 1) trên C, a 0 a a 285. a ( a + 1) x + x − a ( a − 1) = 0 trên R . 2 286. ax − ( a − b ) x − b = 0 trên R. 2 287. ( a − b ) x − 2ax + 1 = 0 trên C . 2 2 2 288. Xác định k sao cho một trong các nghiệm của phương trình (k 2 − 5k + 3) x 2 + ( 3k − 1) x + 2 = 0 gấp đôi nghiệm kia. 289. Chứng minh rằng các nghiệm của phương trình ax 2 + bx + c = 0 là nghịch đảo của các nghiệm của phương trình cx 2 + bx + a = 0, nếu a 0, c 0. 290. Lập một phương trình bậc hai mà nghiệm của nó bằng tổng và tích các nghiệm của phương trình ax 2 + bx + c = 0 , a 0. 291. Tìm tất cả các giá trị của a, mà với mỗi giá trị đó thì các phương trình x 2 + ( a − 1) x + 1 = 0, x 2 + x + a − 1 = 0 có ít nhất một nghiệm chung. 292. Cho phương trình ax 2 + bx + c = 0 ( a, c 0 ) mà các nghiệm của nó là α , β . Hãy α β lập một phương trình bậc hai mới có các nghiệm là và β α 293. Tìm các hệ số p và q của phương trình x 2 + px + q = 0 nếu α và β là nghiệm của phương trình đó và nếu α + 1 và β +1 là các nghiệm của phương trình x 2 − p 2 x + pq = 0. Tìm các nghiệm của phương trình với độ chính xác đến 0,001 (các bài toán 294 296). 294. 2 x 2 − x − 11 = 0 . 295. 2 x 2 − x − 22 = 0 . 59
( ) ( 296. x − 2 2 + 2 x + 3 + 4 2 = 0. 2 ) Giải phương trình trên C ( các bài toán 297312). 297. 2 x 3 − 3x 2 + 6 x + 4 = 0. 298. 4 x 4 − 7 x 2 − 5 x − 1 = 0. 299. x 5 − 2 x 4 − 4 x 3 + 4 x 2 − 5 x + 6 = 0 . 300. 6 x 4 + 19 x 3 − 7 x 2 − 26 x + 12 = 0. 301. x 4 + 2 x 3 + 2 x 2 − 4 x − 8 = 0. 302. x 4 + 2 x 3 − 2 x 2 + 6 x − 15 = 0. 303. ( x + 3) + ( x + 5 ) = 4. 4 4 304. ( x + 3) ( x + 4 ) ( x + 5 ) ( x + 6 ) = 8. 305. ( x − 2i ) ( x − i ) x ( x + i ) = 24. 306. x 4 + 10 x 3 + 26 x 2 + 10 x + 1 = 0. 307. 2 x 4 + 9 x 3 − 9 x + 2 = 0. 308. x 6 + 3 x5 + 6 x 4 + 7 x3 + 6 x 2 + 3x + 1 = 0. 309. x 5 − 4 x 4 − 3 x3 − 3x 2 − 4 x + 1 = 0. 310. 3 x 5 + 10 x 4 + 7 x 3 + 7 x 2 + 10 x + 3 = 0. 311. ( x 2 − a 2 ) = 4ax + 1. 2 312. ( 2 x + a + b ) = ( x + a ) + ( x + b ) . 2 3 3 313. Hãy tìm tất cả các nghiệm hữu tỉ của phương trình trong các bài toán 297 310. 314. Hãy tìm tất cả các nghiệm thực dương của phương trình trong các bài toán 297 310. Giải phương trình trên C ( các bài 315 327). 2 1 4 315. + = . 2 − x 2 2x − x2 x −1 x − 2 4 316. − + 2 = 0. x + 1 x − 3 x − 2x − 3 60
2 ( x2 + 2) 317. x − 1 + x − 1 = . x−2 x+2 x2 − 4 1 x −1 9 318. + = . x + 1 2 ( x + 1) 2 ( 4 − x ) ( x − 1) . 2 1 1 x 319. − = + 2 3 − x x + 1 2 ( x − 3) x − 2 x − 3 5 2 5 2 320. − = − . x −1 x +1 x − 3 x − 4 6x +1 3 2 321. + = . x − 7 x + 10 x − 2 x − 5 2 24 12 322. = 2 + x 2 + x. x + 2x x + x 2 5 x −1 x +1 323. − − = 0. 2 x x ( x + 1) x ( x − 1) 1+ x 1− x − 3 324. 1 − x 1 + x = . 1+ x 14 − x −1 1− x 2 1 x−4 325. − + = 0. x − 4 x ( x − 2) x ( x + 2) 2 2x 27 6 326. 1+ + 2 = . x + 4 2x + 7x − 4 2x −1 3 3 1 327. x x − 3 = x + 2 x − 1 − . ( ) ( )( ) x ( x − 1) 2 Giải phương trình có chứa tham số( các bài 328 341). 4a x−a 1 328. + = trên C. x +a 2 2 a ( x + a) x ( x − a) x 2a 8a 2 329. − = 2 trên R. x − a x + a x − a2 ax 2 330. − 2a = a 2 + 1 trên R. x1 61
x+a x−b 331. + = 2 trên C. x+b x−a 2x + a 2x + b 332. + = 2 trên R. 2x − a 2x − b a ( x 2 + 1) 333. ax1 + b = trên C. x1 x + 1 x2 −1 a b a −b a +b 334. + = + trên R. x−a x−b x−a x+b x 1 7 335. + + 2 = 0 trên R. x − a x + a x − a2 a b a +b 336. + = trên R. ax1 bx − 1 ( a + b ) x − 1 1 1 1 1 337. = + − trên R, a 0, b 0. a+b− x a b x 1 1 2 2 338. − = − trên C, a, b 0. b ( c − x) a ( c − x) b ( b − x) a ( b − x) 2a + b 2a − b 2a 339. − = trên C, b 0. a+x a−x b a+c b + c a + b + 2c 340. + = trên C, a + c 0, b + c 0. x + 2b x + 2a x + a + b a 2 − b2 b ( x + 2) 2 341. a 2 + = trên R. x2 − 2x x−2 Bài 7. BẤT PHƯƠNG TRÌNH HỮU TỈ NGUYÊN VÀ HỮU TỈ PHÂN MỘT ẨN SỐ Vì bất phương trình chỉ được xét trên tập hợp R các số thực, nên từ “ trên R” ta sẽ bỏ đi. PHƯƠNG PHÁP KHOẢNG Giả sử f(x) là một đa thức( biểu thức hữu tỉ nguyên) trên trường R các số thực với bậc dương. Định lí. Mọi đa thức f(x) trên trường R với bậc dương đều có thể biểu diễn dưới dạng tích của một số thực khác không và các đa thức bất khả quy trên R với các hệ số 62