Bài giảng Đại số tuyến tính (Đề thi thử) - Trường Đại học Công nghệ Thông tin

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:46

Thêm vào BST

Báo xấu

4
lượt xem 1
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Đại số tuyến tính (Đề thi thử) là bộ tài liệu tổng hợp các bài tập củng cố, đề thi thử và bài tập nâng cao giúp sinh viên chuẩn bị tốt nhất cho kỳ thi. Chuyên đề này cung cấp một cái nhìn tổng quan về cấu trúc đề thi và các dạng câu hỏi thường gặp, giúp sinh viên làm quen và nâng cao kỹ năng làm bài. Mời các bạn cùng tham khảo bài giảng để biết thêm chi tiết!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Đại số tuyến tính (Đề thi thử) - Trường Đại học Công nghệ Thông tin

BAN HỌC TẬP CÔNG NGHỆ PHẦN MỀM TRAINING GIỮA KỲ HỌC KỲ I NĂM HỌC 2022 – 2023 BAN HỌC TẬP CONTACT Khoa Công nghệ Phần mềm bht.cnpm.uit@gmail.com Trường Đại học Công nghệ Thông tin fb.com/bhtcnpm Đại học Quốc gia thành phố Hồ Chí Minh fb.com/groups/bht.cnpm.uit 1
TRAINING ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Thời gian: 19:30 thứ 6 ngày 09/12/2022 Địa điểm: Microsoft Teams Trainers: Ngô Hoàng Khang – KTPM2022.2 Trần Bảo Phú – KTPM2022.2 2
ĐỀ THI THỬ 3
TÓM TẮT NỘI DUNG A. BÀI TẬP CỦNG CỐ B. ĐỀ THI C. BÀI TẬP NÂNG CAO 4 4
A. BÀI TẬP CỦNG CỐ 2 1 4 2 1 3 Câu 1. Cho các ma trận A = 3 2 1 và B = 0 1 −2 . Tính det(A), det(B), det(AB), det(A+B), 1 0 2 0 0 4 -1 T det(ABA ), det(2(AB) ) Giải 1 4 2 1 det A = a31 A31 + a32 A32 + a33 A33 = 1. −1 3+1 . + 2. −1 3+3 . 2 1 3 2 = −5 det B = 2.1.4 = 8 det(AB) = det A . det B = −5.8 = −40 4 2 7 A+B= 3 3 −1 ⟹ det A + B = 13 1 0 6 1 det ABA−1 = det A . det B . det A−1 = det A . det B . = det B = 8 det(A) det 2 AB T = 23 . det AB = −320 5
1 0 −1 1 1 Câu 2. Cho ma trận A = 1 2 2 , B = 0 −1 . 3 1 −2 2 2 a) Tìm ma trận X để AX = B b) Tìm ma trận Y để YAT = B T Giải a) Phương trình có dạng AX = B ⇔ X = A−1 B det A = −1 ≠ 0 Ta có: A11 = −6, A12 = 8, A13 = −5, A21 = −1, A22 = 1, A23 = −1, A31 = 2, A32 = −3, A33 = 2 1 −6 −1 2 6 1 −2 ⟹ A−1 = 8 1 −3 = −8 −1 3 −1 −5 −1 2 5 1 −2 6 1 −2 1 1 2 1 ⟹ X = −8 −1 3 0 −1 = −2 −1 5 1 −2 2 2 1 0 T T 2 −2 1 b) YAT = B T ⇔ YAT = BT ⇔ AY T = B ⇔ Y T = A−1 B = X ⇔ Y = X T = 1 −1 0 6 6
Câu 3. Biện luận theo tham số m nghiệm của hệ phương trình x1 + x2 − 3x3 = 1 x1 + x2 − x3 + 2x4 = 1 −3x3 + x1 + 4x4 + 2x2 = 2 a) ቐ2x1 + 3x2 + mx3 = 3 b) −x2 + x4 + x1 + 4x3 = m x1 + mx2 − 9x3 = 2 mx4 − x3 + 3x2 + 4x1 = m2 − 6m + 4 Giải a) Biến đổi ma trận bổ sung 1 1 −3 1 hh2→−2h 1 +h2 1 1 −3 1 3 →−h1 +h3 Aഥ = 2 3 m 3൩ 0 1 m + 6 1൩ 1 m −9 2 0 m−1 −6 1 h3 →(1−m)h1 +h3 1 1 −3 1 0 1 m+6 1 ൩ 0 0 −m2 − 5m 2 − m * Với m = 0 và m = −5, ta có r A < r(Aഥ ) nên hệ phương trình vô nghiệm * Với m ≠ 0 và m ≠ −5, ta có r A = r Aഥ = 3 nên hệ phương trình có nghiệm duy nhất 7 7
x1 + x2 − x3 + 2x4 = 1 −3x3 + x1 + 4x4 + 2x2 = 2 b) −x2 + x4 + x1 + 4x3 = m mx4 − x3 + 3x2 + 4x1 = m2 − 6m + 4 Giải * Hệ phương trình đã cho tương đương với x1 + x2 − x3 + 2x4 = 1 x1 + 2x2 − 3x3 + 4x4 = 2 x1 − x2 + 4x3 − x4 = m 4x1 + 3x2 − x3 + mx4 = m2 − 6m + 4 * Biến đổi ma trận bổ sung h2 →−h1 +h2 1 1 −1 2 1 h3 →−h1 +h3 1 1 −1 2 1 1 2 −3 4 2 h4 →−4h1 +h4 0 1 −2 2 1 ൪ ൪ 1 −1 4 −1 m 0 −2 5 −3 m−1 4 3 −1 m m2 − 6m + 4 0 −1 3 m − 8 m2 − 6m 8 8
1 1 −1 h3 →2h2 +h3 2 1 1 1 −1 2 1 0 1 −2 h4 →h2 +h4 2 1 h4 →−h3 +h4 0 1 −2 2 1 ൪ ൪ ∗ 0 0 1 1 m+1 0 0 1 1 m+1 0 0 1 m − 6 m2 − 6m + 1 0 0 0 m − 7 m2 − 7m • Với m − 7 = 0 ⇔ m = 7: (*) trở thành 1 1 −1 2 1 0 1 −2 2 1 ൪ 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 Vì r A = r A = 3 < 4 nên hệ phương trình có vô số nghiệm • Với m − 7 = 0 ⇔ m ≠ 7 h4 1 1 −1 2 1 h4 → m−7 0 1 −2 2 1 ∗ ൪ 0 0 1 1 m+1 0 0 0 1 m Vì r A = r A = 4 nên hệ phương trình có nghiệm duy nhất 9 9
Câu 4. Các tập hợp sau có là không gian vector con của các không gian tương ứng không? a) V = (x, y, z) ∈ ℝ3 xy − 2z = 0 b) W = p x = ax 2 + bx + c ∈ P2 x a + b − 2c = 0 a b c) X = ∈ M2 (ℝ) a + b = c + d c d Giải a) V = (x, y, z) ∈ ℝ3 xy − 2z = 0 * V ⊂ ℝ3 ∗ (0,0,0) ∈ V ⟹ V ≠ ∅ * Lấy x, y, z = 2,1,1 , a, b, c = (2,2,2) ∈ V. Ta có: x, y, z + a, b, c = (4,3,3) và 4.3 − 2.3 ≠ 0 ⟹ x, y, z + a, b, c ∉ V Vậy V không là không gian vector con của ℝ3 10 10
b) W = p x = ax 2 + bx + c ∈ P2 x a + b − 2c = 0 * W ⊂ P2 x * θ = 0x 2 + 0x + 0 ∈ W ⟹ W ≠ ∅ * ∀p x = ax 2 + bx + c, q x = dx 2 + ex + f ∈ W; k, m ∈ ℝ Ta có: a + b − 2c = 0; d + e − 2f = 0 Và kp x + mq x = ka + md x 2 + kb + me x + kc + mf ⟹ ka + md + kb + me − 2 kc + mf = k a + b − 2c + m d + e − 2f = 0 ⟹ kp x + mq x ∈ W Vậy W là một không gian vector con của P2 x 11 11
a b c) X = ∈ M2 (ℝ) a + b = c + d c d * X ⊂ M2 (ℝ) 0 0 *θ= ∈X⟹X≠∅ 0 0 a b1 a b2 *∀ A = 1 ,B= 2 ; k, m ∈ ℝ. Ta có: c1 d1 c2 d2 a1 + b1 = c1 + d1 ; a2 + b2 = c2 + d2 ka1 + ma2 kb1 + mb2 Và kA + mB = kc1 + mc2 kd1 + md2 Có: ka1 + ma2 + kb1 + mb2 = k a1 + b1 + m a2 + b2 = k c1 + d1 + m c2 + d2 = kc1 + mc2 + kd1 + md2 ⟹ kA + mB ∈ X Vậy X là một không gian vector con của M2 (ℝ) 12 12
Câu 5. Tìm m để các hệ vector sau độc lập tuyến tính a) a1 = −1,2,4 , a2 = 3, −2,2 , a3 = 1,0, m trong ℝ3 b) a1 = 2,1,1, m , a2 = 2,1, −1, m , a3 = 10,5, −1,6m trong ℝ4 13 13
Giải a) a1 = −1,2,4 , a2 = 3, −2,2 , a3 = 1,0, m Xét k1 a1 + k 2 a2 + k 3 a3 = θ ⟹ −k1 + 3k 2 + k 3 , 2k1 − 2k 2 , 4k1 + 2k 2 + mk 3 = (0,0,0) Khi đó: −k1 + 3k 2 + k 3 = 0 ቐ 2k1 − 2k 2 = 0 4k1 + 2k 2 + mk 3 = 0 Ma trận bổ sung −1 3 1 0 Aഥ = 2 −2 0 0൩ (∗) 4 2 m 0 Hệ vector đã cho độc lập tuyến tính ⇔ (*) có nghiệm duy nhất ⇔ r A = 3 ⇔ det(A) ≠ 0 Ta có: det A = 12 − 4m ≠ 0 ⇔ m ≠ 3 Vậy hệ vector đã cho độc lập tuyến tính khi m ≠ 3 14 14
b) a1 = 2,1,1, m , a2 = 2,1, −1, m , a3 = 10,5, −1,6m Xét k1 a1 + k 2 a2 + k 3 a3 = θ ⇒ 2k1 + 2k 2 + 10k 3 , k1 + k 2 + 5k 3 , k1 − k 2 − k 3 , mk1 + mk 2 + 6mk 3 = (0,0,0,0) Khi đó: 2k1 + 2k 2 + 10k 3 = 0 k1 + k 2 + 5k 3 = 0 k1 − k 2 − k 3 = 0 mk1 + mk 2 + 6mk 3 = 0 Ma trận bổ sung 2 2 10 0 1 1 5 0 1 1 5 0 0 1 3 0 Aഥ = ൪ ൪ (∗) 1 −1 −1 0 0 0 m 0 m m 6m 0 0 0 0 0 Hệ vector đã cho độc lập tuyến tính ⇔(*) có nghiệm duy nhất ⇔ r A = 3 ⇔ m ≠ 0 Vậy hệ vector đã cho độc lập tuyến tính khi m ≠ 0 15 15
B. ĐỀ THI 16 16
Đề 1 1 −1 2 3 1 6 1 m −2 Câu 1. Cho A = 0 1 4 ; B = 0 3 0 ; C = −1 1 2 0 1 2 5 2 2 m 2 3 a) Tìm m để det C = 0 b) Tìm ma trận X biết X. A = B . m (Với m ϵ ℤ lấy từ câu trên) Câu 2. Hãy giải và biện luận hệ phương trình tuyến tính sau, trên trường số thực: mx1 + x2 + x3 + 2x4 = 2 x3 + x1 + x4 + (m + 1)x2 = 1 , với m là tham số thực x2 + x4 + x1 + (m + 1)x3 = 1 mx4 + x3 + x2 + 2x1 = m Câu 3. Trên M2 ℝ là các không gian ma trận vuông, thực, cấp 2, cho tập hợp: a −b ȁ W= A= a, b ∈ ℝ b−a a+b Hỏi W có phải là không gian vector con của M2 ℝ hay không? Vì sao? Câu 4. Trên ℝ3 cho tập hợp: S = α1 = 1, −1,2 , α2 = −3, 1,2 , α3 = −1,2, m a) Tìm điều kiện của m để S là phụ thuộc tuyến tính. b) Cho α = a, b, c ∈ ℝ3 . Tìm điều kiện của a, b, c để α tổ hợp tuyến tính của α1 , α2 . 17 17
1 −1 2 3 1 6 1 m −2 Câu 1. Cho A = 0 1 4 ; B = 0 3 0 ; C = −1 1 2 0 1 2 5 2 2 m 2 3 a) Tìm m để det C = 0 b) Tìm ma trận X biết X. A = B . m (Với m ϵ ℤ lấy từ câu trên) Giải: a) Có : det C = 3 + 4 + 2m2 − −2m − −3m − 4 = 2m2 + 5m + 3 m = −1 det C = 0 ⇔ 2m2 + 5m + 3 = 0 ⇔ ቎ −3 m= 2 3 b) Từ câu a ta có m = −1 hoặc m = − mà m ϵ ℤ nên ta lấy m = −1 ⇒ X = −B. A−1 2 Ta tìm A -1 1 −1 2 1 0 0 h3→h3 −h2 1 −1 2 1 0 0 0 1 4อ 0 1 0 0 1 4 อ0 1 0 0 1 2 0 0 1 0 0 −2 0 −1 1 18 18
h1 →h1 +h2 1 0 6 1 1 0 hh2→h 2 +2h3 1 0 0 1 −2 3 1 →h1 +3h3 0 1 4 อ0 1 0 0 1 0 อ 0 −1 2 0 0 −2 0 −1 1 0 0 −2 0 −1 1 1 1 −2 3 − h3 1 0 0 2 0 −1 2 0 1 0อ 1 1 0 0 1 0 − 2 2 1 −2 3 0 −1 2 ⇒ A−1 = 1 1 0 − 2 2 −3 −1 −6 1 −2 3 −3 4 −8 Vậy X = −B. A−1 = 0 −3 0 . 0 −1 1 2 = 0 1 3 −6 −5 −2 −2 0 2 − 2 −5 11 −18 19 19
Câu 3. Trên M2 ℝ là các không gian ma trận vuông, thực, cấp 2, cho tập hợp: a −b ȁ W= A= a, b ∈ ℝ b−a a+b Hỏi W có phải là không gian vector con của M2 ℝ hay không? Vì sao? Giải: W ⊂ M2 (ℝ) 0 0 ∈W⟹W≠∅ 0 0 a1 −b1 a2 −b2 ∀A = , B= , k, m ∈ ℝ, ta có: b1 − a1 a1 + b1 b2 − a2 a2 + b2 ka1 + ma2 kb1 + mb2 kA + mB = (kb1 + mb2 ) − (ka1 +ma2 ) (ka1 +ma2 ) + (kb1 + mb2 ) ⟹ kA + mB ∈ W Vậy W là không gian vector con của M2 (ℝ) 20 20