intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Bài giảng Đại số tuyến tính: Chương 2 - ThS. Nguyễn Phương

Chia sẻ: Bfgh Bfgh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:23

Thêm vào BST
Báo xấu
224
lượt xem 41
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nội dung chương 2 Hệ phương trình tuyến tính thuộc bài giảng Đại số tuyến tính trình bày về khái niệm hệ phương trình tuyến tính, phương pháp ma trận nghịch đảo, phương pháp định mức; các phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính tổng quát; hệ phương trình tuyến tính thuần nhất.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Đại số tuyến tính: Chương 2 - ThS. Nguyễn Phương

  1. Chương 2: H PHƯƠNG TRÌNH TUY N TÍNH Th.S NGUY N PHƯƠNG Khoa Giáo d c cơ b n Trư ng Đ i h c Ngân hàng TPHCM Blog: https://nguyenphuongblog.wordpress.com Email: nguyenphuong0122@gmail.com Yahoo: nguyenphuong1504 Ngày 28 tháng 10 năm 2013 1
  2. 1 H phương trình tuy n tính Các khái ni m Đ nh lý Croneker - Capelli 2 H Cramer Phương pháp ma tr n ngh ch đ o Phương pháp đ nh th c 3 Các phương pháp gi i HPT tuy n tính t ng quát Phương pháp Gauss Phương pháp Gauss-Jordan 4 H phương trình tuy n tính thu n nh t 2
  3. H phương trình tuy n tính Các khái ni m Đ nh nghĩa H phương trình tuy n tính g m m phương trình, n n có d ng   a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = b1    a x + a x + ··· + a x = b   21 1 22 2 2n n 2 . (1)      . .    a x + a x + ··· + a x = b m1 1 m2 2 mn n m  a11 · · · a1n     x1   b1       a21 · · · a2n     .   .      .  , X =  .  , B =  .  đư c g i là ma     Ma tr n A =  . ..  .   .         . .   . . .                      xn bm am1 · · · amn tr n h s , ma tr n bi n s và ma tr n h s t do c a (1). Khi đó: (1) ⇔ AX = B. (2) A = (A|B) đư c g i là ma tr n h s m r ng c a (1).
  4. H phương trình tuy n tính Các khái ni m  a1j     .   Ma tr n Aj =  .  , j ∈ {1, . . . , n} đư c g i là ma tr n c t th j c a A.   .          amj Khi đó: (1) ⇔ A1 x1 + · · · + An xn = B. (3) T - α = (α1 , α2 , . . . , αn ) đư c g i là nghi m c a (2) n u Aα = B. Các cách vi t nghi m c a (1): (α1 , α2 , . . . , αn ) ho c x1 = α1 , x2 = α2 , . . . , xn = αn . - Hai h phương trình có cùng n s đư c g i là tương đương n u chúng có cùng t p nghi m.
  5. H phương trình tuy n tính Các khái ni m Đ nh nghĩa Có 3 phép bi n đ i sơ c p trên dòng: 1 P1: Hoán v 2 dòng. 2 P2: Nhân m t dòng v i m t s λ 0. 3 P3: Nhân m t dòng v i m t s λ r i c ng vào m t dòng khác. Đ nh lý Các phép bi n đ i sơ c p trên dòng đ i v i ma tr n các h s A tương ng bi n h phương trình thành m t h phương trình tương đương v i nó. Ví d :   x + 2y + z + t = 2   Xét h phương trình:  −x + y − 2z − t = −3    2x + 6y + 3z + 2t = 8       1 2 1 1 2  d →d +d  1  2 1 1 2    2 2 1  0 −1 1 −2 −1 −3  −− − − −  3 −1 0 −1  A=  − − − −→        d3 →d3 −2d1    2 6 3 2 8 0 2 1 0 4     5
  6. H phương trình tuy n tính Đ nh lý Croneker - Capelli Đ nh lý (Croneker - Capelli) 1 H (1) vô nghi m ⇔ rankA < rank(A) 2 H (1) có nghi m ⇔ rankA = rank(A) H (1) có nghi m duy nh t ⇔ rankA = rank(A) = n H (1) có vô s nghi m ⇔ rankA = rank(A) < n
  7. H phương trình tuy n tính Đ nh lý Croneker - Capelli Ví d : Bi n lu n theo m s nghi m c a h phương trình sau:   x + 2y + z = 2    −x + y − 2z = 1    2x + y + 3z = m  Ta có ma tr n các h s  c a h phương trình:   1 2  1 2   d2 →d2 +d1 A = (A|B) =  −1 1 −2 1  −− − − −  − − − −→      d3 →d3 −2d1 2 1 3 m        1 2 1 2   1 2 1 2    0 3 −1  d3 →d3 −d2   3  − − − − →  0 3 −1 −−−−  3             0 −3 1 m − 4 0 0 0 m−1     N u m = 1 : rank(A) = 2 = rank(A) < 3 ⇒ Hpttt có vô s nghi m. N um 1 : rank(A) = 2 < rank(A) = 3 ⇒ Hpttt vô nghi m.
  8. H Cramer Phương pháp ma tr n ngh ch đ o Đ nh nghĩa H Cramer là h phương trình tuy n tính th a 2 đi u ki n: S phương trình b ng s n. Ma tr n h s A có đ nh th c khác không. H Cramer luôn có nghi m duy nh t. Hpttt (1) ⇔ AX=B. Vì |A| 0 nên A kh ngh ch. Do đó, X = A−1 B 8
  9. H Cramer Phương pháp ma tr n ngh ch đ o Ví d :   2x + y − z = 1   Gi i h phương trình:  y + 3z = 3    2x + y + z = −1  2 1 −1 Ta có |A| = 0 1 3 = 4 0 nên h đã cho là h Cramer. 2 1 1  −2 −2 4    1 Ta tìm đư c A−1 =  6    4 −6 .   4 −2 0   2    −2 −2 4   1   −12   −3         1 1 T đó ta đư c X = A−1 B =  6       6    4 −6   3  =  24        =      4  −2 0  2   −1   4  −4      −1   V y h phương trình có nghi m duy nh t (x, y, z) = (−3, 6, −1). 9
  10. H Cramer Phương pháp đ nh th c G i D = |A| và Dj là đ nh th c c a ma tr n có đư c b ng cách thay c t j c a A b ng B. Dj Khi đó, h Cramer có nghi m duy nh t v i xj = , j = 1, n. D Ví d :   2x + y − z = 1   Gi i h phương trình  y + 3z = 3    2x + y + z = −1  2 1 −1 Ta có D = |A| = 0 1 3 = 4 0 nên h đã cho là h Cramer. 2 1 1 1 1 −1 2 1 −1 D1 = 3 1 3 = − 12 D2 = 0 3 3 = 24 −1 1 1 2 −1 1 2 1 1 D3 = 0 1 3 = − 4 2 1 −1 D1 D2 D3 V y: Hpttt có nghi m duy nh t (x, y, z) = ( , , ) = (−3; 6; −1). D D D
  11. Các phương pháp gi i HPT tuy n tính t ng quát Phương pháp Gauss Dùng các phép bi n đ i sơ c p trên dòng đưa ma tr n các h s A v d ng b c thang theo dòng. Trong quá trình bi n đ i, lưu ý: N u có 2 dòng t l v i nhau thì b đi 1 dòng. B đi t t c các dòng không (n u có). N u có m t dòng có d ng (0 · · · 0|a) v i a 0 thì hpttt vô nghi m. 11
  12. Các phương pháp gi i HPT tuy n tính t ng quát Phương pháp Gauss     x1 + 6x2 + 2x3 − 5x4 − 2x5 = −4 Ví d : Gi i h phương trình  2x1 + 12x2 + 6x3 − 18x4 − 5x5 = −5    3x1 + 18x2 + 8x3 − 23x4 − 6x5 = −2   1 6 2 −5 −2 −4   1 6 2 −5 −2 −4          Ta có A =  2 12 6 −18 −5 −5  −→  0 0 2 −8 −1 3  −→             3 18 8 −23 −6 −2 0 0 2 −8 0 10      1 6 2 −5 −2 −4      0 0 2 −8 −1 3         0 0 0 0 1 7   Ta có đư c h phương trình tương đương    x1 + 6x2 + 2x3 − 5x4 − 2x5 = −4   x5 = 7    2x3 − 8x4 − x5 = 3 ⇔  x3 = 4x4 + 5        x5 = 7  x1 = −6x2 − 3x4  V y t p nghi m c a h là {(−6a − 3b, a, 4b + 5, b, 7), a, b ∈ R}. 12
  13. Các phương pháp gi i HPT tuy n tính t ng quát Phương pháp Gauss-Jordan Phương pháp Gauss-Jordan Sau khi đã đưa ma tr n các h s v d ng b c thang theo dòng theo phương pháp Gauss, ta ti p t c bi n đ i sao cho Ph n t khác không đ u tiên c a m i dòng là ph n t khác không duy nh t trên c t tương ng. Các ph n t khác không đ u tiên c a m i dòng ph i b ng 1. 13
  14. Các phương pháp gi i HPT tuy n tính t ng quát Phương pháp Gauss-Jordan Ví d :     x1 + 6x2 + 2x3 − 5x4 − 2x5 = −4 Gi i h phương trình  2x1 + 12x2 + 6x3 − 18x4 − 5x5 = −5    3x1 + 18x2 + 8x3 − 23x4 − 6x5 = −2  Sau khi dùng phương pháp Gauss bi n đ i ta đư c  1 6 2 −5 −2 −4   1 6 2 −5 0 10          0 0 2 −8 −1 3    −→   0 0 2 −8 0 10   −→          0 0 0 0 1 7 0 0 0 0 1 7          1 6 0 3 0 0    0 0 2 −8 0 10    1 6 0 3 0 0       −→  0 0 1 −4 0 5           0 0 0 0 1 7 0 0 0 0 1 7     Ta có đư c h phương trình tương đương    x1 + 6x2 + 3x4 = 0   x1 = −6x2 − 3x4    x3 − 4x4 = 5 ⇔  x3 = 4x4 + 5      x5 = 7  x5 = 7    V y nghi m t ng quát c a h là (−6a − 3b, a, 4b + 5, b, 7), a, b ∈ R. 14
  15. Các phương pháp gi i HPT tuy n tính t ng quát Phương pháp Gauss-Jordan Ví d :   mx + y + z = 1   Gi i và bi n lu n h phương trình:  x + my + z = 1    x + y + mz = 1  Cách 1: Gauss/Gauss-Jordan      m 1 1 1     1 1 m 1     1 m 1 1   −→  1 m 1 1   −→ A=         1 1 m 1 m 1 1 1          1  1 m 1    1  1 m 1    0 m−1 1−m  0  −→  0 m − 1   1−m 0           0 1 − m 1 − m2 1 − m 0 0 2 − m − m2 1 − m      1 1 −2 1      N u m = −2 : A −→  0 −3 3 0  ⇒ H vô nghi m.       0 0 0 3   N u m = 1 : A −→ 1 1 1 1 ⇒ H tương đương x + y + z = 1 ⇔ x = 1 − y − z Nghi m t ng quát là (1 − a − b, a, b), a, b ∈ R. 15
  16. Các phương pháp gi i HPT tuy n tính t ng quát Phương pháp Gauss-Jordan    1  1 m 1   N um 1 ∧ m −2 : A −→  0    m−1 1−m 0  −→    0 0 2 − m − m2 1 − m   1 1 m 1      1 1 m 1        0 1  −1  −→  0 1  0      −1 0   −→   1        0 0 2+m 1  0 0 1      m+2    1 1 2   1 0   1 0 0  m+2  m+2             1 1          0 1  0  −→  0 1     0    m+2  m+2               0 0 1     1   1  0 0 1       m+2 m+2 1 1 1 ⇒ H có nghi m duy nh t (x, y, z) = ( , , ). m+2 m+2 m+2 V y: m=-2: H vô nghi m. m=1: H có vô s nghi m d ng t ng quát (1 − a − b, a, b), a, b ∈ R. m 1∧m −2: H có nghi m duy nh t (x, y, z) = ( m+2 , m+2 , m+2 ). 1 1 1 16
  17. Các phương pháp gi i HPT tuy n tính t ng quát Phương pháp Gauss-Jordan Cách 2: Cramer+Gauss/Gauss-Jordan m 1 1 Ta có D = |A| = 1 m 1 = m3 − 3m + 2 = (m − 1)2 (m + 2) 1 1 m |A| = 0 ⇔ m = −2 ∨ m = 1  −2 1  1 1 −2 1       1 1    N u m = −2 : A =  1 −2 1 1  −→  0 −3 3 0  ⇒ H             1 1 −2 1 0 0 0 3     vô nghi m.    1 1 1 1    N u m = 1 : A =  1 1 1 1  −→ 1 1 1 1 ⇒ H tương       1 1 1 1   đương x + y + z = 1 ⇔ x = 1 − y − z suy ra h có vô s nghi m, nghi m t ng quát là (1 − a − b, a, b), a, b ∈ R. 17
  18. Các phương pháp gi i HPT tuy n tính t ng quát Phương pháp Gauss-Jordan N um 1 ∧ m −2 : 1 1 1 D1 = 1 m 1 = m2 − 2m + 1 = (m − 1)2 1 1 m Tương t ta tính đư c m 1 1 D2 = 1 1 1 = m2 − 2m + 1 = (m − 1)2 , 1 1 m m 1 1 D3 = 1 m 1 = m2 − 2m + 1 = (m − 1)2 1 1 1 1 ⇒ H có nghi m duy nh t x = y = z = m+2 . 18
  19. H phương trình tuy n tính thu n nh t Đ nh nghĩa Hpttt có ma tr n h s t do b ng không đư c g i là hpttt thu n nh t.   a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = 0    a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = 0   .      . .   a x + a x + ··· + a x = 0  m1 1 m2 2 mn n 19
  20. H phương trình tuy n tính thu n nh t Hpttt thu n nh t luôn có nghi m t m thư ng (x1 , . . . , xn ) = (0, . . . , 0). Do ta luôn có rankA = rank(A) nên theo Croneker-Capelli N u rankA=n thì hpttt thu n nh t ch có nghi m t m thư ng. N u rankA < n thì hpttt thu n nh t có vô s nghi m. Trong trư ng h p hpttt thu n nh t có s phương trình b ng s n N u |A| 0 thì hpttt thu n nh t ch có nghi m t m thư ng. N u |A| = 0 thì hpttt thu n nh t có vô s nghi m. Lưu ý Khi gi i hpttt thu n nh t b ng phương pháp Gauss ho c Gauss-Jordan ch c n bi n đ i trên dòng đ i v i ma tr n h s n A (do B=0).
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2