Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương 4: Chéo hóa ma trận – Dạng toàn phương

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:32

Thêm vào BST

Báo xấu

4
lượt xem 1
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương 4: Chéo hóa ma trận – Dạng toàn phương tập trung vào việc phân tích và biến đổi ma trận thông qua khái niệm trị riêng và véc-tơ riêng. Chương trình trình bày các phương pháp chéo hóa ma trận, bao gồm cả chéo hóa trực giao, và ứng dụng của chúng trong việc đơn giản hóa các phép tính ma trận. Ngoài ra, chương trình còn giới thiệu về dạng toàn phương và dạng toàn phương xác định, những khái niệm quan trọng trong nhiều ứng dụng toán học và kỹ thuật.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương 4: Chéo hóa ma trận – Dạng toàn phương

Chương 4. Chéo hóa ma trận – Dạng toàn phương §1. TRỊ RIÊNG VÀ VÉCTƠ RIÊNG CỦA MA TRẬN 1.1. Định nghĩa. Cho ma trËn vu«ng A cÊp n. Sè ®ưîc gäi lµ trÞ n riªng cña A nÕu tån t¹i vÐct¬ x ,x sao cho Ax x Khi đó vÐct¬ x ®ưîc gäi lµ vÐct¬ riªng cña A øng víi trÞ riªng Chó ý. NÕu x lµ vÐct¬ riªng cña A øng víi trÞ riªng th× víi mäi sè 0 vÐct¬ x còng lµ vÐct¬ riªng cña A øng víi trÞ riªng
▪ §Ó t×m c¸c trÞ riªng cña ma trËn vu«ng A cÊp n, ta viÕt Ax x thµnh Ax Ix; I lµ ma trËn ®¬n vÞ cÊp n (A I)x O : lµ hÖ phư¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh thuÇn nhÊt. §Ó lµ trÞ riªng cña A th× hÖ trªn ph¶i cã nghiÖm x A I 0 : ®©y lµ phư¬ng tr×nh ®Ó x¸c ®Þnh c¸c trÞ riªng cña A vµ ®ưîc gäi lµ phư¬ng tr×nh ®Æc trưng cña A. §a thøc PA ( ) A I : ®ưîc gäi lµ ®a thøc ®Æc trưng cña A.
▪ C¸ch t×m trÞ riªng vµ vÐct¬ riªng cña ma trËn vu«ng A: B1. Gi¶i phư¬ng tr×nh ®Æc trưng A I 0 (víi Èn lµ ) ®Ó t×m c¸c trÞ riªng cña A. B2. Gi¶i hÖ phư¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh thuÇn nhÊt (A I)x O. NghiÖm kh«ng tÇm thưêng cña hÖ chÝnh lµ vÐct¬ riªng cÇn t×m.
n §Þnh nghÜa 1. §Æt E( ) {x (A I)x O} : lµ kh«ng gian nghiÖm cña hÖ (A I)x O vµ ®ưîc gäi lµ kh«ng gian riªng cña A øng víi trÞ riªng §Þnh nghÜa 2. ▪ Béi ®¹i sè (B§S) cña trÞ riªng lµ béi cña trÞ riªng trong phư¬ng tr×nh ®Æc trưng. ▪ Béi h×nh häc (BHH) cña trÞ riªng lµ sè chiÒu cña kh«ng gian riªng øng víi trÞ riªng ®ã (tøc dim E( ) ). §Þnh lý 1. BHH cña mét trÞ riªng lu«n bé hơn hoặc bằng B§S cña nã. Chó ý. BHH cña trÞ riªng lu«n lín h¬n hoÆc b»ng 1. §Þnh lý 2. C¸c vÐct¬ riªng øng víi c¸c trÞ riªng kh¸c nhau th× ®ltt.
VD. H·y t×m c¸c c¬ së cña kh«ng gian riªng cña ma trËn 3 2 0 A 2 3 0 0 0 5 1.2. Ma trËn ®ång d¹ng §Þnh nghÜa. Cho A, B lµ hai ma trËn vu«ng cÊp n. Ma trËn B ®ưîc gäi lµ ®ång d¹ng víi ma trËn A, ký hiÖu B A , nÕu tån t¹i ma trËn vu«ng P cÊp n kh«ng suy biÕn sao cho B = P-1AP. Chó ý. NÕu B Ath× A B §Þnh lý. Hai ma trËn ®ång d¹ng cã cïng ®a thøc ®Æc trưng (tøc cã chung tËp trÞ riªng).
§2. CHÉO HÓA MA TRẬN 2.1. §Þnh nghÜa. Ma trËn vu«ng A cÊp n gäi lµ chÐo hãa ®ưîc nÕu A ®ång d¹ng víi ma trËn chÐo, tøc tån t¹i ma trËn kh¶ nghÞch P cÊp n sao cho P-1AP = D lµ ma trËn chÐo. Khi ®ã ta nãi ma trËn P lµm chÐo hãa ma trËn A. (Như vËy chÐo hãa ma trËn A lµ t×m ra ma trËn kh¶ nghÞch P vµ ma trËn chÐo D). §Þnh lý. (§iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó ma trËn chÐo hãa ®ưîc) §iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó ma trËn vu«ng A cÊp n chÐo hãa ®ưîc lµ A cã n vÐct¬ riªng ®ltt. Chøng minh. Xem [1]
ViÖc chøng minh §Þnh lý trªn ®· chøng tá r»ng:  Ma trËn P cã c¸c cét lµ c¸c vÐct¬ riªng ®ltt cña A.  Ma trËn D cã c¸c phÇn tö n»m trªn ®ưêng chÐo chÝnh lÇn lưît lµ c¸c trÞ riªng tư¬ng øng víi c¸c vÐct¬ riªng t¹o nªn P. HÖ qu¶ 1. NÕu ma trËn vu«ng A cÊp n cã n trÞ riªng ph©n biÖt th× A chÐo hãa ®ưîc. HÖ qu¶ 2. Ma trËn vu«ng A cÊp n chÐo hãa ®ưîc khi vµ chØ khi BHH cña mäi trÞ riªng b»ng B§S cña chóng.
2.2. C¸c bưíc chÐo hãa mét ma trËn vu«ng A cÊp n B1. Gi¶i phư¬ng tr×nh ®Æc trưng A I 0 ®Ó t×m c¸c trÞ riªng cña A. X¸c ®Þnh B§S cña tõng trÞ riªng. B2. Gi¶i c¸c hÖ phư¬ng tr×nh tư¬ng øng víi tõng trÞ riªng. T×m c¬ së cña c¸c kh«ng gian riªng ®Ó tõ ®ã x¸c ®Þnh BHH cña tõng trÞ riªng. B3. ▪ NÕu BHH cña mét trÞ riªng nµo ®ã bÐ h¬n B§S cña nã th× A kh«ng chÐo hãa ®ưîc. ▪ NÕu HÖ qu¶ 2 tháa m·n th× A chÐo hãa ®ưîc. Ma trËn P cã c¸c cét lµ c¸c vÐct¬ riªng c¬ së cña c¸c kh«ng gian riªng. C¸c phÇn tö trªn ®ưêng chÐo chÝnh cña D lÇn lưît lµ c¸c trÞ riªng øng víi c¸c vÐct¬ riªng t¹o nªn P. (Cã thÓ thay ®æi thø tù c¸c cét cña P miÔn sao trÞ riªng cña ma trËn D øng víi c¸c vÐct¬ riªng t¹o nªn P)
VD. XÐt xem ma trËn A cã chÐo hãa ®ưîc kh«ng? NÕu ®ưîc h·y t×m ma trËn P lµm chÐo hãa A, viÕt d¹ng chÐo cña A vµ tÝnh An. 3 2 0 3 3 2 1) A 2 3 0 ; 2) A 1 1 2 0 0 5 3 1 0 3 1 1 1 2 3 3) A 7 5 1 ; 4) A 0 2 3 6 6 2 0 0 3
§3. CHÉO HÓA TRỰC GIAO 3.1. §Þnh nghÜa. ▪ Ma trËn vu«ng A cÊp n ®ưîc gäi lµ ma trËn trùc giao nÕu: ATA = I ( hay A-1 = AT ) ▪ Ma trËn vu«ng A cÊp n ®ưîc gäi lµ chÐo hãa trùc giao ®ưîc nÕu tån t¹i ma trËn trùc giao P cÊp n sao cho P-1AP = D lµ ma trËn chÐo. Khi ®ã ta nãi ma trËn P lµm chÐo hãa trùc giao ma trËn A. §Þnh lý. (§iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó ma trËn chÐo hãa trùc giao ®ưîc) §iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó ma trËn vu«ng A cÊp n chÐo hãa trùc giao ®ưîc lµ A cã mét hÖ trùc chuÈn gåm n vÐct¬ riªng. 3.2. ChÐo hãa trùc giao ma trËn ®èi xøng §Þnh lý 1. §iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó ma trËn vu«ng A cÊp n chÐo hãa trùc giao ®ưîc lµ A ®èi xøng.
§Þnh lý 2. Cho ma trËn vu«ng A ®èi xøng. Khi ®ã c¸c vÐct¬ riªng øng víi c¸c trÞ riªng kh¸c nhau sÏ trùc giao. 3.3. Quy tr×nh chÐo hãa trùc giao ma trËn ®èi xøng A B1. Gi¶i phư¬ng tr×nh ®Æc trưng A I 0 ®Ó t×m c¸c trÞ riªng cña A. B2. T×m mét c¬ së cho mçi kh«ng gian riªng cña A. B3. Sö dông qu¸ tr×nh trùc giao hãa Gram-Schmidt vµo mçi c¬ së ®ã ®Ó ®ưîc mét c¬ së trùc chuÈn cho mçi kh«ng gian riªng. B4. LËp ma trËn P cã c¸c cét lµ c¸c vÐct¬ c¬ së trùc chuÈn x©y dùng ë B3. Ma trËn P nµy sÏ lµm chÐo hãa trùc giao ma trËn A vµ D = P-1AP lµ ma trËn chÐo víi c¸c phÇn tö trªn ®ưêng chÐo chÝnh lÇn lưît lµ c¸c trÞ riªng øng víi c¸c vÐct¬ riªng t¹o nªn P.
VD. H·y chÐo hãa trùc giao ma trËn A vµ tÝnh An, víi 2 1 1 A 1 2 1 1 1 2
§4. DẠNG TOÀN PHƯƠNG 4.1. §Þnh nghÜa. Dạng toàn phương trong không gian véctơ n chiều V được ký hiệu (x1 ,..., xn ) là đa thức đẳng cấp bậc hai theo các biến xi. Nghĩa là n n (x1 ,...,xn ) aijxi x j ; (aij , aij a ji ,i 1, n, j 1, n) i 1 j 1 2 2 2 VD. (x1 ,x2 ,x3 ) x1 2x2 x3 x1x2 3x2x3 là dạng toµn phư¬ng trong 3
4.2. Ma trËn cña d¹ng toµn phư¬ng Ký hiệu: x (x1 x2 ... xn )T và A (aij )n là ma trận vuông thực cấp n với các phần tử aij ; Khi đó dạng toàn phương có thể được viết dưới dạng ma trận: (x) xT Ax Nhận xét. A là ma trận đối xứng thực.
VD 1. Dạng toàn phương 2 2 2 (x1 ,x2 ,x3 ) x1 2x2 x3 x1x2 3x2x3 có ma trận là 1 1 0 2 1 3 A 2 2 2 3 0 1 2
VD 2. Dạng toàn phương 2 2 2 (x1 ,x2 ,x3 ) 2x1 2x2 x3 2x1x2 x1x3 4x2x3 có ma trận là 1 2 1 2 A 1 2 2 1 2 1 2
4.3. Dạng chính tắc của dạng toàn phương 4.3.1. Định nghĩa. Giả sử ω là một dạng toàn phương trên không gian véctơ n chiều V. Nếu trong một cơ sở E {ei };i 1, n nào đó của V, dạng toàn 2 phương ω có dạng (x1 ,...,xn ) 1x1 ... x2 n n ( ) thì (*) được gọi là dạng chính tắc của ω. Ma trận của dạng chính tắc này trong cơ sở E là ma trận chéo 1 0 0 0 2 0 A 0 0 n 2 2 2 VD. (x1 ,x2 ,x3 ) 2x1 x2 5x3
4.3.2. Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc bằng phương pháp Lagrange. Giả sử E {ei };i 1, n là một cơ sở của V và dạng toàn phương ω trên V có dạng n n (x) (x1 ,..., xn ) aijxi x j i 1 j 1 TH1. Tồn tại một hệ số aii 0 a) Nếu a11 0 ta nhóm các số hạng chứa x1 2 (x1 ,..., xn ) (a11x1 2a12 x1x2 ... 2a1n x1x n ) ... (x 2 ,..., x n ) 1 (a11x1 a12 x2 ... a1n xn )2 (x2 ,..., xn ) a11 Trong đó: không chứa x1
y1 a11x1 a12 x2 ... a1n xn yk xk ; k 2, n Đặt 1 2 (x1 ,..., xn ) (y1 ,..., yn ) y1 1 (y2 ,..., yn ) a11 Ta có: trong đó: 1 (y2 ,..., yn ) là dạng toàn phương của n – 1 biến y2, ..., yn. Lặp lại quá trình trên với dạng toàn phương 1 . Sau một số hữu hạn bước ta thu được dạng chính tắc của
b) Nếu aii 0 với i > 1 và a11 0 ta làm tương tự như trên với chú ý xi đóng vai trò x1. Tức là ta đặt yi ai1x1 ai 2 x 2 ... ain xn yk xk ; k i 1 2 Khi đó: (x1 , x2 , x3 ) (y1 ,..., yn ) yi 2 (y1,..., yi 1, yi 1,..., yn ) ai1 Trong đó: 2 là dạng toàn phương của n – 1 biến y1,..., yi 1, yi 1,..., yn Lặp lại quá trình trên với dạng toàn phương 2 . Sau một số hữu hạn bước ta thu được dạng chính tắc của .