Chương 3. Không gian véctơ
§1. KHÁI NIỆM KHÔNG GIAN VÉCTƠ
1.1. Định nghĩa. Một tập V ≠ được gọi là không gian véctơ
(không gian tuyến tính) trên (hay không gian véctơ) nếu:
Có 2 phép toán:
•Phép cộng 2 véctơ:
•Phép nhân 1 số với véctơ ( phép nhân vô hướng):
_
V V V (PhÐp céng khÐp kÝn)
(x,y) x y
V V (PhÐp nh©n v« híng khÐp kÝn)
( ,x) x
Hai phÐp to¸n trªn tháa m·n 8 tiªn ®Ò sau:
x,y,z V; ,
1) Céng kÕt hîp: (x y) z x (y z)
2) Céng giao ho¸n: x y y x
3) Tån t¹i phÇn tö V sao cho: x x.
PhÇn tö ®îc gäi lµ phÇn tö trung hßa.
4) Víi x V, ( x) V sao cho: x ( x) .
PhÇn tö ( x) ®îc gäi lµ phÇn tö ®èi cña x.
5) (x y) x y
6) ( )x x x
7) ( )x ( x)
8) Tiªn ®Ò Unita: 1.x x
Mỗi phÇn tö cña V ®ưîc gäi lµ mét vÐct¬. Mỗi phÇn tö trong ®ưîc
gäi lµ v« hưíng.
VD1. Cho . Xét xem V có phải là
không gian véctơ trên với phép cộng và phép nhân vô hướng
sau không?
1 2 1 2
V {(x , x ) x , x }
1 2 1 2 1 1 2 2
1 2 1 2
a) ( ): (x , x ) (y , y ) (x y , x y )
( ): (x , x ) ( x , x );
1 2 1 2 1 1 2 2
1 2 1 2
b) ( ): (x , x ) (y , y ) (x y , x y )
( ): (x , x ) ( x ,x );
VD2.
VD3. Ký hiÖu: Pn[x] lµ tËp tÊt c¶ c¸c ®a thøc víi hÖ sè thùc cã bËc
kh«ng qu¸ n (n ), tøc:
víi phÐp céng 2 ®a thøc vµ phÐp nh©n 1 sè víi ®a thøc th«ng thưêng.
Khi ®ã Pn[x] lµ kh«ng gian vÐct¬ trªn
VD4. Ký hiÖu: lµ tËp tÊt c¶ c¸c ma trËn cì m×ntrªn víi
phÐp to¸n céng 2 ma trËn vµ nh©n 1 sè víi ma trËn. Khi ®ã
lµ kh«ng gian vÐct¬ trªn
2n
n o 1 2 n i
P [x] {a a x a x ... a x a ;i 0,n}
2n
2n
o 1 2 n
0 0.x 0.x ... 0.x
p(x) a a x a x ... a x
mn
M ( )
mn
M ( )