Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương 3: Không gian véctơ

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:55

Thêm vào BST

Báo xấu

2
lượt xem 1
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng "Đại số tuyến tính - Chương 3: Không gian véctơ" giới thiệu khái niệm không gian véctơ, một khái niệm trung tâm trong đại số tuyến tính. Chương trình thảo luận về sự độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính của các véctơ, cách xác định cơ sở và số chiều của một không gian véctơ. Cuối cùng, chương trình giới thiệu về không gian Euclid, một loại không gian véctơ đặc biệt quan trọng.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương 3: Không gian véctơ

Chương 3. Không gian véctơ §1. KHÁI NIỆM KHÔNG GIAN VÉCTƠ 1.1. Định nghĩa. Một tập V ≠ được gọi là không gian véctơ (không gian tuyến tính) trên (hay _không gian véctơ) nếu:  Có 2 phép toán: • Phép cộng 2 véctơ: V V V (PhÐp céng khÐp kÝn) (x, y) x y • Phép nhân 1 số với véctơ ( phép nhân vô hướng): V V (PhÐp nh©n v« híng khÐp kÝn) ( ,x) x
 Hai phÐp to¸n trªn tháa m·n 8 tiªn ®Ò sau: x, y, z V; , 1) Céng kÕt hîp: (x y) z x (y z) 2) Céng giao ho¸n: x y y x 3) Tån t¹i phÇn tö V sao cho: x x. PhÇn tö ®îc gäi lµ phÇn tö trung hßa. 4) Víi x V, ( x) V sao cho: x ( x) . PhÇn tö ( x) ®îc gäi lµ phÇn tö ®èi cña x. 5) (x y) x y 6) ( )x x x 7) ( )x ( x) 8) Tiªn ®Ò Unita: 1.x x Mỗi phÇn tö cña V ®ưîc gäi lµ mét vÐct¬. Mỗi phÇn tö trong ®ưîc gäi lµ v« hưíng.
VD1. Cho V {(x1 , x2 ) x1 , x2 } . Xét xem V có phải là không gian véctơ trên với phép cộng và phép nhân vô hướng sau không? a) ( ): (x1 , x2 ) (y1 , y2 ) (x1 y1 , x2 y2 ) ( ): (x1 , x2 ) ( x1 , x2 ); b) ( ): (x1 , x2 ) (y1 , y2 ) (x1 y1 , x2 y2 ) ( ): (x1 , x2 ) ( x1 , x2 );
VD2. n TËp gåm tÊt c¶ c¸c bé n sè thùc: {(x1 ,x2 ,...,xn ) xi ;i 1,n} lµ kh«ng gian vÐct¬ trªn víi PhÐp céng 2 vÐct¬ : x y (x1 y1 ,x2 y2 ,...,xn yn ) víi x (x1 ,x2 ,...,xn ); y (y1,y2 ,...,yn ) PhÐp nh©n v« híng: x ( x1 , x2 ,..., xn ) (0,0,...,0); x ( x1 , x2 ,..., xn )
VD3. Ký hiÖu: Pn[x] lµ tËp tÊt c¶ c¸c ®a thøc víi hÖ sè thùc cã bËc kh«ng qu¸ n (n ), tøc: Pn [x] {ao a1x a2 x2 ... an xn ai ;i 0, n} víi phÐp céng 2 ®a thøc vµ phÐp nh©n 1 sè víi ®a thøc th«ng thưêng. Khi ®ã Pn[x] lµ kh«ng gian vÐct¬ trªn 0 0.x 0.x2 ... 0.xn p(x) ao a1x a2 x2 ... an xn VD4. Ký hiÖu: Mm n ( ) lµ tËp tÊt c¶ c¸c ma trËn cì m×n trªn víi phÐp to¸n céng 2 ma trËn vµ nh©n 1 sè víi ma trËn. Khi ®ã Mm n ( ) lµ kh«ng gian vÐct¬ trªn
VD5. Ký hiÖu: R2 lµ tËp hîp tÊt c¶ c¸c vÐct¬ tù do trong mÆt ph¼ng víi phÐp céng vÐct¬ vµ phÐp nh©n 1 sè thùc víi vÐct¬ ®ưîc ®Þnh nghÜa như ë phæ th«ng. Khi ®ã R2 lµ kh«ng gian vÐct¬ trªn 0; vÐct¬ ®èi cña x lµ x Tư¬ng tù: R3 lµ tÊt c¶ c¸c vÐct¬ tù do trong kh«ng gian víi phÐp céng vµ nh©n v« hưíng như trªn còng lµ kh«ng gian vÐct¬ trªn
1.2. Các tính chất. Định lý. Trong không gian véctơ V ta có:  Véctơ là duy nhất  Véctơ đối của véctơ x V là duy nhất  x V ta có 0.x  x V ta có 1 .x x  k ta có k. k 0  Với x V, k ta có kx x Định nghĩa. x, y V:x y x ( y)
1.3. Không gian véctơ con 1.3.1. §Þnh nghÜa. Cho kh«ng gian vÐct¬ V. TËp con A V ®ưîc gäi lµ kh«ng gian vÐct¬ con (hay kh«ng gian con) cña V nÕu A còng lµ kh«ng gian vÐct¬ víi hai phÐp to¸n trªn V. 1.3.2. §Þnh lý. (Tiªu chuÈn kh«ng gian con) Cho kh«ng gian vÐct¬ V. TËp con A V lµ kh«ng gian vÐct¬ con cña V khi vµ chØ khi: a, b A th× a b A , a A th× a A
VD1. Cho V lµ mét kh«ng gian vÐct¬. Khi ®ã  V lµ kh«ng gian con cña V.  TËp V lµ kh«ng gian con cña V. Hai kh«ng gian con V vµ V lµ hai kh«ng gian con tÇm thưêng cña V VD2. 3 Cho tËp hîp A {x (x1 ,x2 ,x3 ) 2x1 x2 x3 0} . 3 Chøng minh r»ng A lµ kh«ng gian vÐct¬ con cña
VD3. Xét xem W có là không gian con của 3 không? 3 W {(x1 , x2 , x3 ) x1 3x2 1} VD4. 0 a Chøng minh r»ng tËp hîp A a, b lµ kh«ng b 0 gian con cña kh«ng gian vÐct¬ M2 ( )
§2. SỰ ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH VÀ PHỤ THUỘC TUYẾN TÍNH 2.1. §Þnh nghÜa. Cho kh«ng gian vÐct¬ V vµ hÖ vÐct¬ a1, a2,..., an V Mét tæ hîp tuyÕn tÝnh (thtt) cña hÖ vÐct¬ ®· cho lµ 1 tæng cã d¹ng: n x a i i a 1 1 a 2 2 ... a n n V, trong ®ã: 1 , 2 ,..., n i 1 Khi ®ã ta nãi x biÓu thÞ tuyÕn tÝnh qua c¸c vÐct¬ ai , i 1, n Nh vËy, vÐct¬ lµ thtt cña mäi hÖ vÐct¬. HÖ vÐct¬ {a1 ,a2 ,...,an} ®îc gäi lµ phô thuéc tuyÕn tÝnh (pttt) nÕu tån t¹i c¸c sè 1 , 2 ,..., n kh«ng ®ång thêi b»ng 0 sao cho thtt cña hÖ b»ng (tøc 1 1 a a 2 2 ... a n n ). HÖ vÐct¬ {a1 ,a2 ,...,an} ®îc gäi lµ ®éc lËp tuyÕn tÝnh (®ltt) nÕu nã kh«ng pttt, tøc lµ tõ a 1 1 a 2 2 ... a n n suy ra i 0; i 1, n
VD 1. Hãy biểu diễn véctơ x thành tổ hợp tuyến tính của các véctơ u, v, w 1) x (7, 2,15); u (2,3,5); v (3, 7,8); w (1, 6,1) 2) x 5 9t 5t2 ; u 2 t 4t2 ; v 1 t 3t2 ; w 3 2t 5t 2
2 VD 2. Trong : x (1, 1); y (2,3). Xét tính đltt và pttt của hệ véctơ {x, y} 1 2 2 0 XÐt 1x 2 y ( 1, 1 ) (2 2 ,3 2 ) (0,0) 1 3 2 0 Gi ¶ i hÖ suy ra 1 2 0 (hoÆc v× hÖ ph¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh thuÇn 1 2 nhÊt cã 5 0 nªn hÖ chØ cã nghiÖm tÇm thêng). 1 3 HÖ {x,y} ®ltt.
3 VD3. Trong : x ( 1,3,2); y (2,0,1); z (0,6,5). Xét tính đltt và pttt của hệ véctơ {x, y, z} 1 2 2 0 XÐt 1x 2 y 3 z ;( ) 3 1 6 3 0 2 1 2 5 3 0 1 2 0 §©y lµ hÖ ph¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh thuÇn nhÊt cã 3 0 6 0 2 1 5 nªn hÖ cã nghiÖm kh«ng tÇm thêng, tøc tån t¹i c¸c sè 1 , 2, 3 kh«ng ®ång thêi b»ng 0 ®Ó ( ) ®óng. VËy hÖ{x,y,z} pttt.
VD4. Xét tính độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính của các hệ véctơ sau 3 S {u (2, 3, m); v (3, 1,5); w (1, 4,3)} trong
2.2. §Þnh lý. HÖ vÐct¬ {a1, a2,..., an} trong kh«ng gian vÐct¬ V lµ pttt khi vµ chØ khi cã mét trong c¸c vÐct¬ cña hÖ lµ thtt cña c¸c vÐct¬ cßn l¹i. 2.3. HÖ qu¶.  Mäi hÖ chøa vÐct¬ kh«ng ®Òu pttt  NÕu cã mét hÖ con cña hÖ pttt th× hÖ ®· cho còng pttt Như vËy, nÕu hÖ ®ltt th× mäi hÖ con cña hÖ còng ®ltt 2.4. Nhận xét.  Hệ véctơ S = {x} với x S đltt  Hệ véctơ S = {x, y} với x y, S đltt  Hệ véctơ S = {x, y} với x y, S đltt
§3. CƠ SỞ VÀ SỐ CHIỀU CỦA KHÔNG GIAN VÉCTƠ 3.1. §Þnh nghÜa. Cho kh«ng gian vÐct¬ V. HÖ vÐct¬ E = {e1, e2,...,en} ®ưîc gäi lµ c¬ së cña V nÕu  HÖ E ®ltt.  HÖ E lµ hÖ sinh (hay tËp sinh) của V, tøc víi x V th× x lµ thtt cña hÖ E, nghÜa lµ tån t¹i c¸c sè xi ,i 1, n sao cho x x1e1 ... xn en Khi ®ã ta còng nãi E sinh ra V. n Bé sè (x1 ,x2 ,...,xn ) ®ưîc gäi lµ täa ®é cña vÐct¬ x ®èi víi c¬ së E vµ ký hiÖu lµ xE (x1,x2 ,...,xn )
Bæ ®Ò. Víi mçi vÐct¬ x V th× täa ®é ®èi víi mét c¬ së E lµ duy nhÊt §Þnh lý. NÕu xE (x1 ,...,xn ) vµ yE (y1 ,..., yn ) th× (x y)E (x1 y1 ,...,xn yn ) ( x)E ( x1 ,..., xn );
2 VD 1. Trong : XÐt hÖ F {e1 (1, 1); e2 (0,1)}. Chứng minh F là cơ sở của 2. Cho xF = (2, 5). Tìm x? HÖ F ®ltt v×: XÐt e 1 1 2 2 e ( 1, 1 ) (0, 2 ) (0,0) 1 0 1 2 0. 1 2 0 2 HÖ F lµ hÖ sinh v×: LÊy bÊt kú x (x1;x2 ) , t×m a, b sao cho x ae1 be2 (x1;x2 ) a(1, 1) b(0,1) (a,b a) a x1 a x1 x x1e1 (x1 x2 )e2 b a x2 b x1 x2 x lµ mét thtt cña F. 2 VËy F lµ mét c¬ së cña .
2 VD 2. Trong : XÐt e1 (1,0); e2 (0,1). Chứng minh E {e1,e2} là cơ sở của 2 2 Trong : XÐt e1 (1,0); e2 (0,1). HÖ E {e1,e2} lµ mét c¬ së cña 2 vµ ®îc gäi lµ c¬ së chÝnh t¾c cña 2 . ThËt vËy: E ®ltt v×: XÐt 1e1 2e2 ( 1,0) (0, 2 ) (0,0) ( 1, 2 ) (0,0) 1 2 0. 2 E lµ hÖ sinh v×: x ta cã x (x1;x2 ) x1 (1,0) x2 (0,1) x1e1 x2e2 . VËy x lµ mét thtt cña E. NhËn xÐt. Mét kh«ng gian vÐct¬ cã thÓ cã nhiÒu c¬ së.