Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương 1: Ma trận – Định thức (42 trang)

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:42

Thêm vào BST

Báo xấu

3
lượt xem 1
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng "Đại số tuyến tính - Chương 1: Ma trận - Định thức" giới thiệu khái niệm ma trận và định thức, hai khái niệm nền tảng trong đại số tuyến tính. Chương trình bao gồm định nghĩa và các phép toán cơ bản trên ma trận, tính toán định thức, tìm hiểu về hạng của ma trận và khái niệm ma trận nghịch đảo. Việc nắm vững các khái niệm này là tiền đề cho việc học các chủ đề nâng cao hơn trong đại số tuyến tính.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương 1: Ma trận – Định thức (42 trang)

( 45 tiết ) Chương 1 : Ma trận – Định thức Chương 2 : Hệ phương trình tuyến tính Chương 3 : Không gian véctơ Chương 4 :Chéo hóa ma trận – Dạng toàn phương
TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Toán học cao cấp, tập 1, Đại số và hình học giải tích, Nguyễn Đình Trí (chủ biên), NXB Giáo dục, 2009 [2] Toán cao cấp, Đại số tuyến tính, Đỗ Công Khanh (chủ biên), NXB ĐHQG TP.HCM, 2010 [3] Giáo trình Toán cao cấp A3, TS. Đỗ Văn Nhơn, NXB ĐHQG TP.HCM, 2009 [4] Jean-Marie Monier, Giáo trình Toán, Đại số 1-2, NXB Giáo dục 2001
Chương 1. Ma trận – Định thức §1. MA TRẬN 1.1. Các định nghĩa Định nghĩa 1. Cho tập M   , m, n  . Ta gọi một ma trận cỡ * m×n trên M là một bảng hình chữ nhật gồm m.n phần tử của M được xếp thành m hàng và n cột  a11 a12 a1n   a11 a12 a1n  a    A 21 a 22 a 2n  hoặc A   a 21 a 22 a 2n          a m1 a m2 a mn   a m1 a m2 a mn 
 aij , (1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n) được gọi là phần tử ở hàng thứ i và cột thứ j của ma trận A ( hay phần tử ở vị trí (i, j) của ma trận A ). Ta gọi i là chỉ số hàng và j là chỉ số cột.  Để đơn giản, ma trận A còn được viết dưới dạng A = [aij]m×n hoặc A = (aij)m×n  Hai ma trận A và B được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng cỡ và aij = bij , ∀i, j. Khi đó ta ký hiệu A = B.
 Khi m = n thì A là ma trận vuông cỡ n×n, ta gọi nó là ma trận vuông cấp n. Ký hiệu là A = [aij]n  a11 a12 a1n  Đường chéo chứa các phần tử a a a 2n  a11, a22, ... , ann được gọi là đường A  21 22  chéo chính của A, đường chéo   còn lại được gọi là đường chéo   phụ. a n1 a n 2 a nn   Ma trận cỡ 1×n được gọi là ma trận hàng ( a11 a12 ... a1n )  Ma trận cỡ m×1 được gọi là ma trận cột  a  11    a 21       a m1 
 Ma trận mà tất cả các phần tử đều bằng 0 được gọi là ma trận không. Ký hiệu là O. Chú ý. Từ nay về sau ta chỉ xét các ma trận thực, tức là các ma trận có mọi phần tử a ij  . Định nghĩa 2. Cho ma trận vuông cấp n: A = (aij)n . Khi đó  A được gọi là ma trận chéo nếu các phần tử nằm ngoài đường chéo chính đều bằng 0, nghĩa là aij = 0,i  j a11 0 0 0 a 0 A 22      0 0 a nn 
 Ma trận chéo cấp n mà tất cả các phần tử trên đường chéo chính đều bằng 1 được gọi là ma trận đơn vị cấp n. Ký hiệu là In ( hoặc I ) 1 0 0 0 1 0 In        0 0 1  A được gọi là ma trận tam giác trên ( dưới ) nếu tất cả các phần tử nằm phía dưới ( trên ) đường chéo chính đều bằng 0, nghĩa là aij = 0,i > j, (i < j) a11 a12 a1n   a11 0 0 0 a a 2n  a 0 A 22  A  21 a 22          0 0 a nn  a n1 a n 2 a nn 
1.2. Các phép toán ma trận 1.2.1. Phép cộng ma trận 1. Định nghĩa. Cho A = [aij]m×n, B = [bij]m×n. Tổng A + B là ma trận C = [cij]m×n, trong đó cij = aij + bij, i  1, m; j  1, n VD.  1 1 2   1 1 4   2 0 6           2 0 1   3 2 1  5 2 0  2. Tính chất.  A + B = B + A  A+O =O +A=A  (A + B) + C = A + (B + C)  Ký hiệu: – A = [– aij]m×n là ma trận đối của ma trận A. Khi đó A + (– A) = (– A) + A = O Hiệu của hai ma trận: A – B = A + (– B)
1.2.2. Phép nhân một số với một ma trận 1. Định nghĩa. Cho A = [aij]m×n và  . Tích λA là ma trận B = [bij]m×n, trong đó λaij = bij, i  1, m; j  1, n VD.  1 4 0   5 20 0  5      3 2 1 15 10 5  2. Tính chất.  λ(A + B) = λA + λB  (λ + β)A = λA + βA  λ(βA) = (λβ)A  1.A = A ; 0.A = O
1.2.3. Phép nhân hai ma trận 1. Định nghĩa. Cho A = [aij]m×n và B = [bij]n×p. Điều kiện để thực hiện được phép nhân AB là số cột của A phải bằng số hàng của B. Khi đó tích AB là ma trận C = [cij]m×p, trong đó n cij   aik bkj  ai1b1 j  ai 2 b2 j  ...  ain bnj ;i  1, m; j  1, p k 1 Nghĩa là để có phần tử đứng ở hàng i cột j trong ma trận tích, ta lấy lần lượt từng phần tử đứng ở hàng i trong ma trận A nhân với từng phần tử tương ứng đứng ở cột j trong ma trận B rồi cộng lại.
VD. 4 0 1   1 2 5 A  0 1 1   AB   9 12 11 . Không có tích BA B ;   1 1 1   0 1 1   1 2 2      ▪ Tích của hai ma trận nói chung không giao hoán: AB ≠ BA. Chẳng hạn  1 0  1 2  1 2   3 6 A  ; B   3 0   AB   11 4  ; BA   3 0   AB  BA  2 3      
2. Tính chất. Với giả thiết các phép toán thực hiện được, ta có  A(B + C) = AB + AC  λ(AB) = (λA)B = A(λB);   (A + B)C = AC + BC  A.I = A ; I.B = B ( I là ma trận đơn vị )  A(BC) = (AB)C  A.O = O; O.B = O 3. Lũy thừa ma trận. Cho A là ma trận vuông cấp m và n  . Lũy thừa n của A là ma trận vuông cấp m, ký hiệu An, được định nghĩa như sau: Ao = I; A1 = A; A2 = A.A;...; An = An-1.A VD.  1 1 Cho A   . Tính A3  0 1  1 2 Ta có: A  A.A   2  0 1  1 3 A  A .A   3 2 0 1 
Tính chất. On  O; n  1 In  I; n   AB  n  An Bn  AB  BA  d1 0 0  d1 n 0 0     0 d2 0  0 dn 0 A A  n 2         0  n  0 0 dn   0 dn  • An = O → A = O • AB = O ↔ A = O hoặc B = O
1.3. Phép chuyển vị 1. Định nghĩa. (Ma trận chuyển vị) Cho ma trận  a11 a12 a1n  a a 22 a 2n  A  a ij     21  m n     a m1 a m2 a mn  Đổi hàng thành cột, cột thành hàng ta được ma trận mới gọi là ma trận chuyển vị của A, ký hiệu là: AT ( hoặc AC ) Vậy:  a11 a 21 a m1  a a a m2  a ji    12 22 A   T  nm     a1n a 2n a mn 
VD.  4 1   4 2 A   3 0 3 thì A   T   2 7   1 0 7    1 0 1  1 2 0 A  2 1 4 thì AT   0  1 1   0 1 3  1 4 3      Đường chéo chính không đổi qua phép chuyển vị nếu A là ma trận vuông Tính chất.  AB  T I  In T n B A T T A   A  T  AT T T A  A  B   AT  BT T
2. Định nghĩa. Ma trận vuông cấp n: A = (aij)n được gọi là ma trận đối xứng nếu AT = A, tức aij = aji; i, j  1, n VD.  1 2 1   là ma trận đối xứng A 2 0 3  1 3 2   ( Các phần tử đối xứng nhau qua đường chéo chính bằng nhau )
§2. ĐỊNH THỨC 2.1. Định nghĩa. Cho ma trận vuông cấp n: A= (aij)n. Định thức của ma trận A được ký hiệu là |A| hoặc detA, được định nghĩa như sau:  A là ma trận cấp 1: A = (a11) thì ta có định thức cấp 1 của ma trận A là |A| = |a11| = a11  a11 a12   A là ma trận cấp 2: A    thì ta có định thức cấp 2 của ma  a21 a22  a11 a12 trận A là A   a11a22  a12a21 a21 a22
 a11 a12 a13     A là ma trận cấp 3: A   a21 a22 a23  thì ta có định thức cấp 3 của a a a  ma trận A là  31 32 33  a11 a12 a13 A  a21 a22 a23  a31 a32 a33  a11a22a33  a12a23a31  a21a32a13  a13a22a31  a12a 21a33  a 23a32a11 Quy tắc Sarius. Ta tính định thức cấp 3 theo hai sơ đồ sau và (+) (-)  Tương tự, nếu A là ma trận cấp n thì ta có định thức cấp n của ma trận A.
Ví dụ. 1 2 1 1 0  1.4  2.3  2; 2 3 1  1 3 4 2 0 1 2.2. Các định thức đặc biệt a11 0 0  |In| = 1 0 a22 0  Định thức đường chéo  a11a22 ...ann 0 0 ann  Định thức tam giác a11 a12 a1n a11 0 0 0 a 22 a 2n a21 a22 0 0 0 a nn an1 an 2 ann  a11a22 ...a nn  a11a22 ...ann Tam giác trên Tam giác dưới
2.3. Các tính chất của định thức Tính chất 1. Định thức không đổi qua phép chuyển vị: |AT| = |A| VD. 1 1 0 1 2 2 2 3 1  1 3 0  1 2 0 1 0 1 1 Tính chất 2. Nếu đổi chỗ 2 hàng thì định thức đổi dấu. VD. 1 1 0 2 3 1 2 3 1   1 1 0 2 0 1 2 0 1 Tính chất 3. Một định thức có 2 hàng giống nhau thì định thức bằng 0. VD. 1 x2 x3 1 x2 x3  0 y y3 y5