intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Bài giảng Đại số tuyến tính: Chương 4 - TS. Nguyễn Hải Sơn

Chia sẻ: Agatha25 Agatha25 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:58

Thêm vào BST
Báo xấu
44
lượt xem 3
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Đại số tuyến tính: Chương 4 Ánh xạ tuyến tính cung cấp cho người học các kiến thức: Khái niệm Ánh xạ tuyến tính; Ma trận của ánh xạ tuyến tính; Trị riêng và vecto riêng của một toán tử tuyến tính; Bài toán chéo hóa ma trận;...Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Đại số tuyến tính: Chương 4 - TS. Nguyễn Hải Sơn

  1. CHƯƠNG 4 13/12/2020 TS. NGUYỄN HẢI SƠN - ĐHBK 1
  2. §1: KHÁI NIỆM ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH  1.1 Định nghĩa. a.Định nghĩa. Cho V và W là 2 KGVT trên trường K. Ánh xạ f :V→W là một ánh xạ tuyến tính nếu thỏa mãn 2 tính chất: (i ) f (u  v)  f (u)  f (v) (ii ) f (ku)  kf (u) với u,v  V , k  K + Ánh xạ tuyến tính f :V→V gọi là toán tử tuyến tính hay phép biến đổi tuyến tính trên V.
  3. §1: KHÁI NIỆM ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH  NX: Ta có thể gộp (i) và (ii) thành (iii ) f (ku  lv )  kf (u)  lf (v ) với u,v  V , k ,l  K b. Các ví dụ. VD1. Ánh xạ không f : V  W , f (v )   W , v  V là ánh xạ tuyến tính. VD2. Ánh xạ đồng nhất IdV : V  V v  IdV (v )  v là một toán tử tuyến tính.
  4. §1: KHÁI NIỆM ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH  VD3. Ánh xạ đạo hàm D : Pn [x]  Pn1 [x] p  D( p )  p' là ánh xạ tuyến tính. Thật vậy, với f , g  Pn [x], k,l   ta có D(k . f  l.g )  (k . f  l.g )'  k . f ' l.g '  kD( f )  lD( g )
  5. §1: KHÁI NIỆM ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH  VD4. Ánh xạ f :    3 2 f (x1 , x2 , x3 )  (x1  2 x2 ,x2  x3 ) là ánh xạ tuyến tính.
  6. §1: KHÁI NIỆM ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH  Thật vậy, với x  ( x1 , x2 , x3 ), y  ( y1 , y2 , y3 )   3 , k   ta có f ( x  y )  f ( x1  y1 , x2  y2 , x3  y3 )  (( x1  y1 )  2( x2  y2 ),( x2  y2 )  ( x3  y3 ))  (( x1  2 x2 )  ( y1  2 y2 ),( x2  x3 )  ( y2  y3 ))  ( x1  2 x2 , x2  x3 )  ( y1  2 y2 , y2  y3 )  f ( x)  f ( y ) f (kx)  f (kx1 , kx2 , kx3 )  (kx1  2kx2 , kx2  kx3 )  (k ( x1  2 x2 ), k ( x2  x3 ))  k ( x1  2 x2 , x2  x3 )  kf ( x)
  7. §1: KHÁI NIỆM ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH  VD5. Với A là một ma trận cỡ mxn bất kì, ánh xạ f : Mn p ( K )  Mm p ( K ) X  AX là ánh xạ tuyến tính.
  8. §1: KHÁI NIỆM ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH  1.2. Các phép toán a. ĐL1. Cho các ánh xạ tuyến tính f,g: V→ W. Khi đó, các ánh xạ ψ, :V→W xác định bởi ψ(x)=(f+g)(x)=f(x)+g(x), (x)=(kf)(x)=k.f(x) , k∊K. cũng là ánh xạ tuyến tính. b. ĐL2. Cho các ánh xạ tuyến tính giữa các K-kgvt f: V → W, g:W → U. Khi đó, các ánh xạ h: V → U, h(x)=g(f(x)) hợp thành của f và g cũng là ánh xạ tuyến tính.
  9. §1. KHÁI NIỆM ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH  1.3 Đơn cấu - toàn cấu - đẳng cấu. a.Định nghĩa. Ánh xạ tuyến tính f:V → W gọi là đơn cấu (toàn cấu, đẳng cấu) nếu f là đơn ánh (toàn ánh, song ánh). Trường hợp f là đẳng cấu, ta nói V và W là đẳng cấu với nhau, kí hiệu: V  W b. Định lý. Mọi không gian vectơ n chiều trên trường K đều đẳng cấu với Kn .
  10. §1. Ánh xạ tuyến tính  1.4 Hạt nhân-Ảnh-Hạng của ánh xạ tuyến tính. Đn1. Cho ánh xạ tuyến tính f:V → W giữa các không gian vectơ. - Hạt nhân của f , kí hiệu là Ker(f) xác định bởi 1 Ker(f)={v  V|f(v)=W}=f ({W}) - Ảnh của f, kí hiệu Im(f) xác định bởi Im(f)={f(u)|u  V}=f(V)
  11. §1: Ánh xạ tuyến tính  Mđ 1. Ker(f) là không gian con của V Im(f) là không gian con của W. c/m:…. Đn2: Hạng của ánh xạ tuyến tính f, kí hiệu r(f) hay rank(f), là số chiều của Im(f) r(f) = dimIm(f) Mđ 2. Nếu f: V →W là ánh xạ tuyến tính và V=span(S) thì f(V)=span(f(S)). c/m: ….
  12. §1: Ánh xạ tuyến tính  Mđ 3. Axtt f: V → W là đơn cấu khi và chỉ khi Ker(f)={θ} c/m:…. Mđ 4. Nếu f: V → W là ánh xạ tuyến tính và dimV=n thì dimIm(f) + dimKer(f) = dimV=n c/m: …. Hq. Hai không gian hữu hạn chiều trên trường K đẳng cấu khi và chỉ khi số chiều của chúng bằng nhau
  13. §1: Ánh xạ tuyến tính  VD 1. Cho ánh xạ tuyến tính f :  3   3 xác định bởi f ( x1 , x2 , x3 )  ( x1  2 x2 , x2  x3 , x1  x2  x3 ) a) Chứng minh f là toán tử tuyến tính. b) Tìm số chiều và một cơ sở của Im(f ) và Ker(f )
  14.  §2: MA TRẬN CỦA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
  15. §2: MA TRẬN CỦA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH  2.1 Định nghĩa Cho ánh xạ tuyến tính giữa các không gian vec tơ hữu hạn chiều f: V → W. G/s BV = {v1, v2, …,vm} và BW= {u1, u2,…, un } lần lượt là cơ sở của V và W (dimV=m, dimW=n). Ma trận A có cột j là ma trận tọa độ của vectơ f(vj) đối với cơ sở BW gọi là ma trận của ánh xạ f đối với cặp cơ sở BV và BW: A  [f(v1 )]BW [f(v2 )]BW ... [f(v m )]BW 
  16. §2: Ma trận của ánh xạ tuyến tính  NX: i) A là ma trận cỡ nxm. ii) [ u1 u2 ... un ]A=[ f (v1 ) f (v2 ) ... f (vm )] MĐ 1. r(A)=r(f)=dimIm(f)
  17. §2: Ma trận của ánh xạ tuyến tính  VD1. Cho ánh xạ tuyến tính f :  3   2 xđ bởi f (x1 , x2 , x3 )  (x1  2 x2 ,x2  x3 ) a)Tìm mtr của f đối với cặp cơ sở chính tắc. b)Tìm mtr của f đối với cặp cơ sở B={v1=(1;0;0), v2=(1;1;2), v3=(1;2;3)} và B’={u1=(1;0), u2=(1;1)} VD2. Tìm ma trận của ánh xạ D:P3[x] → P2[x], D(p)=p’ đối với cặp cơ sở chính tắc E={1, x, x2, x3} và E’={1, x , x2}
  18. §2: Ma trận của ánh xạ tuyến tính  VD 3. Cho ánh xạ tuyến tính f : P3 [x]  P2 [x] có ma trận đối với cặp cơ sở chính tắc là 1 3 4 5  A 2 4 0 1     3 5 1 2  a) Xác định f (a  bx  cx 2  dx 3 ) b) Xác định cơ sở và số chiều của Im(f) và Kerf
  19. §2: Ma trận của ánh xạ tuyến tính  2.2 Công thức tọa độ. Cho f: V → W là ánh xạ tuyến tính có ma trận A đối với cặp cơ sở BV và BW. Khi đó, với mọi vecto u  V , ta có [f (u )]BW  A[u ]BV VD1. Cho ánh xạ tuyến tính f :  3  P2 [x] Xác định f(v) với v=(1;2;3) biết f có ma trận đối với cặp cơ sở chính tắc là 1 0 1 A  2 1 2    3 2 1 
  20. §2: Ma trận của ánh xạ tuyến tính  VD2. (Đề 1_ Hè 2009) Cho toán tử tuyến tính f :  3   3 thỏa mãn: f (1;2;0)  (1;4;7), f (0;1;2)  (1;3;7), f (1;1;1)  (0;4;6) a) Tìm ma trận của f đối với cơ sở chính tắc của  3 b) Tìm vecto v   3 sao cho f (v) = (-1;7;13) VD3. (Đề 2_ Hè 2009) Tương tự VD2 với f (1;2;0)  (1;5;5), f (0;1;2)  (1;4;5), f (1;1;1)  (0;4;6)
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2