Bài giảng Đại số tuyến tính - TS. Đặng Văn Vinh

Đ i h c Qu c gia TP.HCM Trư ng Đ i h c Bách Khoa B môn Toán ng d ng<br /> <br /> .<br /> <br /> Bài Gi ng Đ i S Tuy n Tính<br /> TS. Đ ng Văn Vinh<br /> E-mail: dangvvinh@hcmut.edu.vn Website: www.tanbachkhoa.edu.vn/dangvanvinh<br /> <br /> Ngày 31 tháng 8 năm 2013<br /> <br /> M c tiêu môn h c<br /> Môn h c cung c p ki n th c cơ b n c a đ i s tuy n tính. Sinh viên c n n m v ng ki n th c n n t ng và bi t gi i các bài toán cơ b n: s ph c, tính đ nh th c, làm vi c v i ma tr n, gi i h phương trình tuy n tính, không gian véc tơ, không gian euclide, ánh x tuy n tính, tìm tr riêng - véc tơ riêng, đưa d ng toàn phương v d ng chính t c.<br /> <br /> Tài li u tham kh o<br /> 1) Đ Công Khanh, Ngô Thu Lương, Nguy n Minh H ng. Đ i s tuy n tính. NXB Đ i h c qu c gia. 2) Đ Công Khanh. Đ i s tuy n tính. NXB Đ i h c qu c gia. 3) Tr n Lưu Cư ng. Đ i s tuy n tính.NXB Đ i h c qu c gia.<br /> <br /> Ghi chú:<br /> Tài li u này ch tóm t c l i bài gi ng c a Th y Đ ng Văn Vinh. Đ hi u bài t t, các em c n đi h c trên l p lý thuy t và bài t p. Sinh viên t o tài kho ng trên website www.tanbachkhoa.edu.vn/dangvanvinh , làm thêm bài t p tr c nghi m trên đó. Vì n i dung m i đư c so n l i nên không th tránh sai sót. M i góp ý, sinh viên có th liên h trên di n đàn website ho c qua mail: nguyenhuuhiep47@gmail.com.<br /> <br /> 1<br /> <br /> M cl c<br /> 0 S ph c 0.1 D ng đ i s c a s ph c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.2 D ng lư ng giác c a s ph c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Ma 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 tr n Các khái ni m cơ b n . . Các phép bi n đ i sơ c p Các phép toán ma tr n . H ng c a ma tr n . . . . Ma tr n ngh ch đ o . . . 4 4 6 11 11 13 14 15 16<br /> <br /> . . . . .<br /> <br /> . . . . .<br /> <br /> . . . . .<br /> <br /> . . . . .<br /> <br /> . . . . .<br /> <br /> . . . . .<br /> <br /> . . . . .<br /> <br /> . . . . .<br /> <br /> . . . . .<br /> <br /> . . . . .<br /> <br /> . . . . .<br /> <br /> . . . . .<br /> <br /> . . . . .<br /> <br /> . . . . .<br /> <br /> . . . . .<br /> <br /> . . . . .<br /> <br /> . . . . .<br /> <br /> . . . . .<br /> <br /> . . . . .<br /> <br /> . . . . .<br /> <br /> . . . . .<br /> <br /> . . . . .<br /> <br /> . . . . .<br /> <br /> . . . . .<br /> <br /> . . . . .<br /> <br /> . . . . .<br /> <br /> . . . . .<br /> <br /> . . . . .<br /> <br /> . . . . .<br /> <br /> . . . . .<br /> <br /> . . . . .<br /> <br /> . . . . .<br /> <br /> . . . . .<br /> <br /> . . . . .<br /> <br /> . . . . .<br /> <br /> . . . . .<br /> <br /> . . . . .<br /> <br /> . . . . .<br /> <br /> 2 Đ nh th c 18 2.1 Đ nh nghĩa đ nh th c và ví d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.2 Tính ch t đ nh th c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.3 Tìm ma tr n ngh ch đ o b ng phương pháp đ nh th c. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3 H phương trình 23 3.1 H Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.2 H thu n nh t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 4 Không gian véc tơ 4.1 Đ nh nghĩa và ví d . . . . . . . . 4.2 Đ c l p tuy n tính - ph thu c tuy 4.3 H ng c a h véc tơ . . . . . . . . . 4.4 Cơ s và s chi u . . . . . . . . . . 4.5 T a đ véc tơ . . . . . . . . . . . . 4.6 Ma tr n chuy n cơ s . . . . . . . 4.7 Không gian con . . . . . . . . . . . 4.8 T ng giao hai không gian con . . . 5 Không gian Euclide 5.1 Tích vô hư ng c a 2 véc tơ . . . . 5.2 Bù vuông góc c a không gian con . 5.3 Quá trình Gram-Schmidt . . . . . 5.4 Hình chi u vuông góc . . . . . . . 28 28 29 31 33 36 37 38 41 44 44 47 49 50<br /> <br /> . . . . n tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .<br /> <br /> . . . . . . . .<br /> <br /> . . . . . . . .<br /> <br /> . . . . . . . .<br /> <br /> . . . . . . . .<br /> <br /> . . . . . . . .<br /> <br /> . . . . . . . .<br /> <br /> . . . . . . . .<br /> <br /> . . . . . . . .<br /> <br /> . . . . . . . .<br /> <br /> . . . . . . . .<br /> <br /> . . . . . . . .<br /> <br /> . . . . . . . .<br /> <br /> . . . . . . . .<br /> <br /> . . . . . . . .<br /> <br /> . . . . . . . .<br /> <br /> . . . . . . . .<br /> <br /> . . . . . . . .<br /> <br /> . . . . . . . .<br /> <br /> . . . . . . . .<br /> <br /> . . . . . . . .<br /> <br /> . . . . . . . .<br /> <br /> . . . . . . . .<br /> <br /> . . . . . . . .<br /> <br /> . . . . . . . .<br /> <br /> . . . . . . . .<br /> <br /> . . . . . . . .<br /> <br /> . . . . . . . .<br /> <br /> . . . . . . . .<br /> <br /> . . . . . . . .<br /> <br /> . . . .<br /> <br /> . . . .<br /> <br /> . . . .<br /> <br /> . . . .<br /> <br /> . . . .<br /> <br /> . . . .<br /> <br /> . . . .<br /> <br /> . . . .<br /> <br /> . . . .<br /> <br /> . . . .<br /> <br /> . . . .<br /> <br /> . . . .<br /> <br /> . . . .<br /> <br /> . . . .<br /> <br /> . . . .<br /> <br /> . . . .<br /> <br /> . . . .<br /> <br /> . . . .<br /> <br /> . . . .<br /> <br /> . . . .<br /> <br /> . . . .<br /> <br /> . . . .<br /> <br /> . . . .<br /> <br /> . . . .<br /> <br /> . . . .<br /> <br /> . . . .<br /> <br /> . . . .<br /> <br /> . . . .<br /> <br /> . . . .<br /> <br /> . . . .<br /> <br /> . . . .<br /> <br /> . . . .<br /> <br /> . . . .<br /> <br /> 6 Ánh x tuy n tính 52 6.1 Đ nh nghĩa và ví d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 6.2 Nhân và nh c a ánh x tuy n tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 6.3 Ma tr n c a ánh x tuy n tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 7 Tr riêng - véc tơ riêng 60 7.1 Tr riêng - véc tơ riêng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 7.2 Chéo hóa ma tr n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 7.3 Chéo hóa tr c giao ma tr n đ i x ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 2<br /> <br /> 7.4 7.5<br /> <br /> Tr riêng - véc tơ riêng c a ánh x tuy n tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 Chéo hóa ánh x tuy n tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69<br /> <br /> 8 D ng toàn phương 72 8.1 Đ nh nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 8.2 Đưa d ng toàn phương v d ng chính t c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 8.3 Phân lo i d ng toàn phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75<br /> <br /> Đ i h c Bách khoa TPHCM<br /> <br /> Trang 3<br /> <br /> T.S.Đ ng Văn Vinh<br /> <br /> Chương 0<br /> <br /> S ph c<br /> <br /> N i dung<br /> 1) D ng đ i s c a s ph c. 2) D ng lư ng giác s ph c. 3) D ng mũ s ph c. 4) Nâng s ph c lên lũy th a. 5) Khai căn s ph c. 6) Đ nh lý cơ b n đ i s .<br /> <br /> 0.1<br /> <br /> D ng đ i s c a s ph c<br /> <br /> Đ nh nghĩa 0.1 . i) S i, đư c g i là đơn v o, là m t s sao cho i2 = −1.<br /> <br /> ii) Cho a, b là 2 s th c, i là đơn v o. Khi đó z = a + bi đư c g i là s ph c. S th c a := Re(z) g i là ph n th c c a s ph c z. S th c b := Im(z) g i là ph n o c a s ph c z. iii) T p t t c các s ph c d ng z = 0 + ib, b ∈ R \ {0} g i là s Ví d 0.1 thu n o.<br /> <br /> i, −2i, 3i là nh ng s thu n o. T p h p s th c là t p h p con c a t p h p s ph c, vì: ∀a ∈ R : a = a + 0.i là m t s ph c. Đ nh nghĩa 0.2 2 s ph c b ng nhau khi và ch khi ph n th c và ph n o tương ng b ng nhau a1 + ib1 = a2 + ib2 ⇐⇒ Ví d 0.2 cho z1 = 2 + 3i, z2 = m + 3i. Tìm m đ z1 = z2 . z1 = z2 ⇐⇒ 2 = m, 3 = 3. a1 = b1 , a2 = b2 .<br /> <br /> Phép c ng tr 2 s ph c (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i (a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i 4<br /> <br />