intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Bài giảng Đại số tuyến tính: Chương 3 - ThS. Nguyễn Phương

Chia sẻ: Bfgh Bfgh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:33

Thêm vào BST
Báo xấu
287
lượt xem 43
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Đại số tuyến tính: Chương 3 Không gian vectơ trình bày về những kiến thức chính: vectơ n chiều, không gian vectơ; tổ hợp tuyến tính; hạng của vectơ; không gian con; tạo độ trong không gian n chiều, công thức đổi tọa độ giữa các cơ sở.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Đại số tuyến tính: Chương 3 - ThS. Nguyễn Phương

  1. Chương 3: KHÔNG GIAN VECTƠ Th.S NGUY N PHƯƠNG Khoa Giáo d c cơ b n Trư ng Đ i h c Ngân hàng TPHCM Blog: https://nguyenphuongblog.wordpress.com Email: nguyenphuong0122@gmail.com Yahoo: nguyenphuong1504 Ngày 28 tháng 10 năm 2013 1
  2. 1 Vectơ n-chi u 2 Không gian vectơ Tích vô hư ng Các khái ni m 3 T h p tuy n tính Đ nh nghĩa Liên h gi a t h p tuy n tính v i HPT tuy n tính S ph thu c tuy n tính-đ c l p tuy n tính 4 H ng c a h vectơ Đ nh nghĩa Tính ch t Tìm h ng c a h vectơ b ng h ng c a ma tr n 5 Không gian con Đ nh nghĩa Cơ s và s chi u c a không gian con Không gian sinh Không gian nghi m c a HPT tuy n tính thu n nh t 6 T a đ trong không gian n-chi u T a đ c a m t vectơ đ i v i m t cơ s Công th c đ i t a đ gi a các cơ s 2
  3. Vectơ n-chi u Đ nh nghĩa M t vectơ n-chi u x là m t b n s th c có th t x = (x1 , x2 , . . . , xn ), xi ∈ R. Vectơ không đư c kí hi u là 0 = (0, 0, . . . , 0). Đ nh nghĩa Cho 2 vectơ x = (x1 , x2 , . . . , xn ), y = (y1 , y2 , . . . , yn ) x = y ⇔ xi = yi , ∀i ∈ {1, . . . , n} x + y = (x1 + y1 , x2 + y2 , . . . , xn + yn ) kx = (kx1 , kx2 , . . . , kxn ) ; k ∈ R T ng quát, ta có: ax + by = (ax1 + by1 , ax2 + by2 , . . . , axn + byn ) Ví d : Cho 2 vectơ x = (1, −2, 2), y = (−1, −3, 1), ta có: x + y = (0, −5, 3), −2x = (−2, 4, −4) 2x − 3y = (2, −4, 4) + (3, 9, −3) = (5, 5, 1) 3
  4. Vectơ n-chi u Tính ch t (1) x+y =y+x Tính ch t (2) x + y + z = (x + y) + z = x + (y + z) Tính ch t (3) x+0=x Tính ch t (4) x + (−x) = 0
  5. Vectơ n-chi u Tính ch t (5) k(lx) = (kl)x Tính ch t (6) (k + l)x = kx + lx Tính ch t (7) k(x + y) = kx + ky Tính ch t (8) 1.x = x
  6. Không gian vectơ Đ nh nghĩa (Không gian vectơ n-chi u) T p h p các vectơ n-chi u xây d ng trên R đư c trang b 2 phép toán trên đư c g i là không gian vectơ Rn . Đ nh nghĩa (Không gian Euclide n-chi u) Không gian Euclide Rn là không gian vectơ Rn đư c trang b thêm m t tích vô hư ng c a 2 vectơ x = (x1 , x2 , . . . , xn ), y = (y1 , y2 , . . . , yn ) đư c đ nh nghĩa: x.y = x1 .y1 + x2 .y2 + . . . + xn .yn
  7. Không gian vectơ Tích vô hư ng V i m i vectơ x, y, z ∈ Rn , ta có Tính ch t (1) x.y = y.x Tính ch t (2) x. x ≥ 0 x. x = 0 ⇔ x = 0 Tính ch t (3) (x + y).z = x.z + y.z Tính ch t (4) x.(ky) = (kx).y = k(x.y) 7
  8. Không gian vectơ Các khái ni m Trong Rn cho x = (x1 , x2 , . . . , xn ), y = (y1 , y2 , . . . , yn ) ta có Đ nh nghĩa √ Đ dài c a x: ||x|| = x.x = x2 + x2 + · · · + x2 1 2 n Đ nh nghĩa Kho ng cách gi a x, y: ||x − y|| = (x − y).(x − y) = (x1 − y1 )2 + (x2 − y2 )2 + · · · + (xn − yn )2 Đ nh nghĩa x.y Góc gi a x và y, kí hi u (x,y): cos(x, y) = ||x||||y||
  9. Không gian vectơ Các khái ni m Đ nh nghĩa (Tính tr c giao) x, y tr c giao nhau ⇔ x.y = 0 H vectơ {u1 , u2 , . . . , um } là h tr c giao ⇔ ui .uj = 0, ∀i j ∈ {1, . . . , m} Ví d : Trong R3 cho x = (3, −1, 2), y = (1, 1, m). Xác đ nh m đ x tr c giao v i y. Gi i x tr c giao v i y ⇔ x.y = 0 ⇔ 3 − 1 + 2m = 0 ⇔ m = −1 Đ nh nghĩa (Tính tr c chu n) H vectơ {u1 , u2 , . . . , um } là h tr c chu n ⇔ ui .uj = 0 ∧ ||ui || = 1, ∀i j ∈ {1, . . . , m} Ví d : Trong R3 cho h vectơ {x = (1, 0, 0), y = (0, 1, 0), z = (0, 0, 1)}. Nh n th y x.y = x.z = y.z = 0 và ||x|| = ||y|| = ||z|| = 1 V y: H {x, y, z} là h tr c chu n. 9
  10. T h p tuy n tính Đ nh nghĩa Trong Rn cho h vectơ H = {a1 , a2 , . . . , am } Đ nh nghĩa Vectơ b đư c g i là m t t h p tuy n tính c a h H ⇔ T n t i xj ∈ R, j = 1, m sao cho b = x1 a1 + x2 a2 + · · · + xm am Ví d : Trong R2 cho h vectơ H = {a1 = (1, 1), a2 = (1, 0)}. Vectơ b=(2,3) có ph i là m t t h p tuy n tính c a H hay không? Bi u di n b theo H n u đư c. Gi i Gi s b = x1 a1 + x2 a2 , xi ∈ R. ⇔ (2, 3) = x1 (1, 1) + x2 (1, 0) ⇔ (2, 3) = (x1 , x1 ) + (x2 , 0) ⇔ (2, 3) = (x1 + x2 , x1 ) x1 + x2 = 2 x1 = 3 ⇔ ⇔ ⇔ b = 3a1 − a2 x1 = 3 x2 = −1 V y b là m t t h p tuy n tính c a H. 10
  11. T h p tuy n tính Liên h gi a t h p tuy n tính v i HPT tuy n tính a1j         a2j   Gi s aj = (a1j , a2j , . . . , anj ), b = (b1 , b2 , . . . , bn ). Ta kí hi u Aj =    . ,       . .         anj b1 x1                b2       x2    B= .  và X =  .    . .   . .                         bn xm Khi đó b là m t t h p tuy n tính c a h H ⇔ x1 a1 + x2 a2 + · · · + xm am = b có nghi m ⇔ x1 A1 + x2 A2 + · · · + xm Am = B có nghi m ⇔ AX = B có nghi m, v i A = (A1 A2 . . . Am ). 11
  12. T h p tuy n tính Liên h gi a t h p tuy n tính v i HPT tuy n tính Ví d : Trong R3 cho u = (1, −1, 2), v = (1, 1, −1), w = (−1, −3, 4). Cho bi t x = (1, −3, 5) có ph i là m t t h p tuy n tính c a {u,v,w} hay không? Hãy ch ra m t cách bi u di n c a x theo u, v,w n u có. Gi s x = au + bv + cw, a, b, c ∈ R. ⇔ (1, −3, 5) = (a, −a, 2a) + (b, b, −b) + (−c, −3c, 4c) ⇔  −3, 5) = (a + b − c, −a + b − 3c, 2a − b + 4c) (1,    a+b−c=1 ⇔  −a + b − 3c = −3    2a − b + 4c = 5  1 −1 1   1 1 −1 1       1   −1 1 −3 −3    0 2 −4 −2  (A|B) =    −→      −→       2 −1 4 5 0 −3 6 3     1 1 −1 1 0 1 −2 −1 a+b−c=1 H tương đương Ch n c=0 ta đư c b=-1, a=2. b − 2c = −1 V y x = 2u − v ch ng t x là m t t h p tuy n tính c a u,v,w. 12
  13. T h p tuy n tính S ph thu c tuy n tính-đ c l p tuy n tính Trong Rn cho h vectơ H = {a1 , a2 , . . . , am } Đ nh nghĩa H H là h ph thu c tuy n tính ⇔ T n t i m t vectơ aj ∈ H là t h p tuy n tính c a các vectơ còn l i. ⇔ T n t i xj 0 : x1 a1 + x2 a2 + · · · + xm am = 0 ⇔ AX=0 có nghi m không t m thư ng v i A đư c đ nh nghĩa trên. Ngư c l i H là h đ c l p tuy n tính. 13
  14. T h p tuy n tính S ph thu c tuy n tính-đ c l p tuy n tính Ví d : H H = {a1 = (1, 1, 1, 1), a2 = (1, −1, −1, 1), a3 = (1, −1, 1, −1), a4 = (1, 1, −1, −1)} trong R4 có đ c l p tuy n tính hay không? Gi i Gi s x1 a1 + x2 a2 + x3 a3 + x4 a4 = 0, xi ∈ R ⇔ AX = 0  1 1 1 1   1 1 1 1        1 −1 −1 1      −→  0 −2 −2 0  −→       A=       1 −1 1 −1      0 −2 0 −2          1 1 −1 −1 0 0 −2 −2      1 1 1 1   1 1 1 1        0 −2 −2 0     0 −2 −2 0          −→       0 0 2 −2   0 0 2 −2              0 0 −2 −2 0 −4     0 0 ⇒ H phương trình ch có nghi m t m thư ng (x1 , x2 , x3 , x4 ) = (0, 0, 0, 0). V y: H H là h đ c l p tuy n tính. 14
  15. T h p tuy n tính S ph thu c tuy n tính-đ c l p tuy n tính Ví d : H H = {a1 = (−1, 2, 1), a2 = (1, 1, −2), a3 = (0, 3, −1)} trong R3 đ c l p hay ph thu c tuy n tính? N u h ph thu c tuy n tính hãy tìm m t phương trình bi u di n s ph thu c đó. Gi i = 0, xi ∈ R ⇔ AX = 0 Gi s x1 a1 + x2 a2 + x3 a3  −1 1  −1 1     0  0      −1 1 0 A= 2 1 3  −→    0  3 3  −→  0 1 1         1 −2 −1 0 −1 −1     −x1 + x2 = 0 H phương trình tương đương x2 + x3 = 0 Ch n x2 = 1 ⇒ x1 = 1, x3 = −1 ⇒ H H là h ph thu c tuy n tính. M t phương trình bi u di n s ph thu c đó là a1 + a2 − a3 = 0
  16. T h p tuy n tính S ph thu c tuy n tính-đ c l p tuy n tính Tính ch t (1) H có ch a vectơ không là h ph thu c tuy n tính. Tính ch t (2) H có ch a 2 vectơ t l là h ph thu c tuy n tính. Tính ch t (3) M t h có s vectơ nhi u hơn s chi u luôn là h ph thu c tuy n tính. Tính ch t (4) H vectơ có m t h con ph thu c tuy n tính thì nó ph thu c tuy n tính. H đ c l p tuy n tính thì m i h con c a nó đ u đ c l p tuy n tính. 16
  17. H ng c a h vectơ Đ nh nghĩa Trong Rn cho h vectơ H = {a1 , a2 , . . . , am } Đ nh nghĩa H ng c a H, kí hi u là rank(H), là s vectơ đ c l p tuy n tính t i đa c a h . M i h con có nhi u hơn rankH vectơ đ u là h ph thu c tuy n tính. H có toàn vectơ không đư c quy ư c có h ng b ng 0. Ví d : Tìm h ng c a h vectơ: H = a1 = (1, −3, 2) , a2 = (0, −4, 0) , a3 = (−1, 2, −4) . Gi i: Ta có: a2 = 2a1 + a3 nên a1 , a2 , a3 ph thu c tuy n tính. M t khác a1 , a3 đ c l p tuy n tính. V y rankH = 2 17
  18. H ng c a h vectơ Tính ch t Tính ch t (1) M i vectơ c a h H đ u là m t t h p tuy n tính c a m t h đ c l p tuy n tính có rankH > 0 vectơ. Tính ch t (2) H ng c a h vectơ không đ i n u ta thêm vào h m t vectơ là t h p tuy n tính c a các vectơ c a h . Tính ch t (3) H ng c a h vectơ không đ i n u ta b t đi m t vectơ là t h p tuy n tính c a các vectơ còn l i c a h . Tính ch t (4) Trong Rn cho 2 h H = {a1 , a2 , . . . , am }, F = {b1 , b2 , . . . , bk }. N u aj là m t t h p tuy n tính c a h F (∀j ∈ {1, . . . , m}) thì rankH ≤ rankF. 18
  19. H ng c a h vectơ Tìm h ng c a h vectơ b ng h ng c a ma tr n Đ nh lý  a11 a12 ... a1n    ...   a   21  a22 a2n    Cho A =  . . .. .    . . .   . . . .         am2 . . . amn   am1 Khi đó h ng c a A b ng h ng c a h vectơ dòng/c t c a A. Nghĩa là g i D = {(a11 , a12 , . . . , a1n ), (a21 , a22 , . . . , a2n ), . . . , (am1 , am2 , . . . , amn )} và C = {(a11 , a21 , . . . , am1 ), (a12 , a22 , . . . , am2 ), . . . , (a1n , a2n , . . . , amn )} thì rankA=rankD=rankC. Vì v y, khi ta c n tìm h ng c a m t h vec tơ ta tìm h ng c a ma tr n các dòng/c t đư c l p t nh ng vectơ này. Ví d : Trong R4 cho H = {u = (1, −2, 1, 0), v = (2, 3, 2, −1), w = (3, 1, 3, −1)}. Tìm rankH. Gi i Ta có  1 −2 1 0   1 −2 1 0   1 −2 1 0          2 3 2 −1    0 7 0 −1    0 7 0 −1  A=   −→      −→     =B         3 1 3 −1 0 7 0 −1 0 0 0 0       19
  20. H ng c a h vectơ Tìm h ng c a h vectơ b ng h ng c a ma tr n Tính ch t (1) H ng c a h b ng s vectơ c a h ⇔ H đ c l p tuy n tính. H ng c a h nh hơn s vectơ c a h ⇔ H ph thu c tuy n tính. Tính ch t (2) Cho h H có s vectơ b ng s chi u (m=n): rankH = n ⇔ detA 0 rankH < n ⇔ detA = 0 20
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2