§4. PHÉP CH NG MINH B T ĐNG TH C TRÊN M T T PỨ Ấ Ẳ Ứ Ộ Ậ
Vì ch xét b t đng th c trên t p R các s th c , nên t “ trên R “ ta s b đi.ỉ ấ ẳ ứ ậ ố ự ừ ẽ ỏ
Ví d 11. Ch ng minh r ng ụ ứ ằ
ab
ba
2
n u a ế
0, b
0 ( ho c : ch ngặ ứ
minh b t đng th c ấ ẳ ứ
ab
ba
2
trên t p ậ
0,0|),(
2
baRbaT
).
Gi i:ả
Ph ng pháp th nh t:ươ ứ ấ
ab
ba
2
022
abbaabba
)0,(02)()(
22
bababa
0
2
ba
.
Ph ng pháp th hai:phân tích.ươ ứ
Gi s r ng ả ử ằ
ab
ba
2
, n u a ế
0, b
0. Khi đó
ab
ba
2
abba 2
0)(
04)(
4
2
2
2
ba
abba
abba
Ch ng minh :ứ
( a + b )2
0
abba 4)(
2
43
ab
ba
baabba
2
)0,(2
Ph ng pháp th ba :ươ ứ
.
2
)0,(2
4)(
04)(0)(
2
22
ab
ba
baabba
abba
abbaba
Ph ng pháp th t : ( ph n ch ng)ươ ứ ư ả ứ
Gi s ả ử
ab
ba
2
v i a, b ớ
0. Khi đó
0)(
04)(
4)(
2
2
2
2
2
ba
abba
abba
abbaab
ba
vô lí.
V y ậ
ab
ba
2
, v i a ớ
0, b
0.
Ví d 12.Ch ng minh r ng:ụ ứ ằ
(1)
n
n 1)1(
đây >-1,a # 0,nαở
N,n>1.
Gi i.(Ph ng pháp qui n p).ả ươ ạ
1) V i n=2 ta có ớ
2121)1( 22
suy ra (
21)21 2
.
2) Ta ch ng minh n u b t đng th c (1) đúng v i n=k, đây kứ ế ấ ắ ứ ớ ở
N,k>1 thì b tấ
đng th c (1) đúng v i n=k+1,nghĩa là n u (2)ẳ ứ ớ ế
k
k 1)1(
,v iớ
1,,0,1 kNk
,thì
)1(1)1)(3( 1 k
k
.
44
Th t v y,ậ ậ
)1()1()1()1( 1
k
kk
)1),2((
(
.)1(1)1(11 2
kkk
0
02
k
Nk
a
Nghĩa là,
.)1(1)1( 1
k
k
T 1) và 2) suy ra r ng:ừ ằ
n
n 1)1(
v i ớ
.1,,0,1 nNn
Ví d 13.Ph ng trình (1) ụ ươ
0385,02)12(
2 xx
có nh ng nghi mữ ệ
nào,th c hay o?ự ả
Gi i.ảph ng pháp th nh tươ ứ ấ .Gi s r ng ph ng trình (1) có nghi m o.Đi u đóả ử ằ ươ ệ ả ề
ch x y ra khi và ch khi bi t th c âm,nghĩa là:ỉ ả ỉ ệ ứ
(2)
.0)2385,0(4)12( 2
(2)
5
317
22334,3223
22 )317()21015(31721015
.195364180000442)2300(4422300 22
Tr l i:ph ng trình đã cho có nghi m o.ả ờ ươ ệ ả
Ph ng pháp th haiươ ứ :gi s r ng ph ng trình (1) có nghi m th c.Đi u đó x yả ử ắ ươ ệ ự ề ả
ra khi va ch khi bi t th c không âm,nghĩa là:ỉ ệ ứ
(3)
0)2385,0(4)12( 2
,195364180000
vô lý.
Nghĩa là
0)2385,0(4)12( 2
;suy ra nghi m c a ph ng trình (1) là oệ ủ ươ ả
.
Ch ng minh r ng: (các bài 162-167):ứ ằ
162.
2 x
y
y
x
,n u x>0,y>0.ế
45
163.
2
1
91
3
4
2
x
x
164.
2
4
5
2
2
x
x
165.
abba )(
2
1
,n u aế
0,0 b
.
166.
3
)(
3
1abccba
,n u a,b,cế
0
.
167.
4
)(
4
1abcddcba
,n u a,b,c,dế
0
.
168.Ch ng minh r ng,n u ứ ằ ế
0,...,, 21
n
xxx
và
Nnxxx n ,1,...,, 21
thì
nxxx n ...
21
.
169.Ch ng minh r ng,trung bình c ng c a nh ng s không âm không nh h n trungứ ằ ộ ủ ữ ố ỏ ơ
bình nhân c a chúng,nghĩa là ch ng minh r ng:ủ ứ ằ
nnn aaaa
n...)...(
1
11
,n u ế
1,,0,...
1 nNnaa n
.
170.Ch ng minh r ng,n u ứ ằ ế
1,,0,...,
1 nNnaa n
thì
nnn aaaa
n...)...(
1
11
khi và
ch khi aỉ
n
aaa ...
21
.
171.Ch ng minh r ng,n u ứ ằ ế
0,...,, 21
n
xxx
và
Sxxx n ...
21
, đây S là m t sở ộ ố
d ng đã cho,thì tích ươ
n
xx ...
1
đt giá tr l n nh t khi ạ ị ớ ấ
n
xxx ...
21
.
172. Ch ng minh r ng,n u xứ ằ ế 1, x2, …,xn >0 và x1+x2+ …+xn =S , đây S là m t sở ộ ố
d ng đã cho,thì tích ươ
n
k
n
kxx ...
1
1
v i ớ
Nkk n,...,
1
,đt giá tr l n nh t khiạ ị ớ ấ
n
n
k
x
k
x
k
x ...
2
2
1
1
.
173.Ch ng minh r ng,n u ứ ằ ế
0,...,, 21
n
xxx
và
Pxx n...
1
Đây P là s d ng đãở ố ươ
cho,thì t ng ổ
n
xxx ...
21
đt giá tr nh nh t khi ạ ị ỏ ấ
n
xxx ...
21
.
46
174.Ch ng minh r ng,n u ứ ằ ế
0,...,, 21
n
xxx
và
n
k
n
kxx ...
1
1
=P v i ớ
Nkk n,...,
1
P là số
d ng đã cho,thì t ng ươ ổ
n
xxx ...
21
đt giá tr nh nh t khi ạ ị ỏ ấ
n
n
k
x
k
x
k
x ...
2
2
1
1
.
175.Tìm giá tr l n nh t c a tích xy v i đi u ki n 3x+5y=12.ị ớ ấ ủ ớ ề ệ
176.Tìm giá tr d ng nh nh t c a bi u th c:ị ươ ỏ ấ ủ ể ứ
x
x32 2
.
177.Tìm giá tr l n nh t c a tích ị ớ ấ ủ
22 )3()2( xx
,n u ế
32 x
.
178.Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c:ị ỏ ấ ủ ể ứ
x
bxax ))((
, n u a,b,x>0.ế
179.Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c:ị ớ ấ ủ ể ứ
4
2
2
x
x
,Ch ng minh r ng: (các bài 180-224).ứ ằ
180.(a+b)(b+c)(c+a)
8abc, n u a,b,cế
0
.
181.
zxyzxyzyx 222
.
182.
)(2)( 222 yxyx
.
183. (x+y)48(x4+y4)
184.
3
1
zyx 222
, n u x + y + z =1.ế
185.
6
32
6
3c2ba
cba
, n u a,b,cế
0
.
186.
2
1)n(n
n432
3
12n
..n.4.31.2
, v i nớN*.
187.
2
1
1)
1
...
1
)(...( n
xx
xx
n
n
, n u ế
0,...,, 21
n
xxx
,n
N
.
188.
n
a
a
a
a
a
an
13
2
2
1...
, n u ế
Nnaa n ,0,...,
1
.
189.(
n
n
aaa 2)1)...(1)(1 21
,n u ế
Nnaa n ,0,...,
1
và
1...
21
n
aaa
.
190.
2
8ba64abba
, n u a,bế
0
191.ab(a+b-2c)+bc(b+c-2a)+ca(c+a-2b)0, n u a,b,cế0.
47